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22.1 二次函數的圖象和性質 暑假預習講義
【知識點講解】
一、二次函數的概念
1.一般地，形如（，，是常數，）的函數，叫做二次函數。其中是自變量，、、分別是二次項系數、一次項系數、常數項。
2.注意二次函數的表達式是整式形式，且自變量的最高次數是，同時二次項系數不為。
易錯點提示：容易忽略這個條件。例如判斷函數是否為二次函數時，要先確定，即，若不考慮這一點就可能出錯。
二、二次函數的圖象（以為例）
1.當時，拋物線開口向上，對稱軸是軸（即直線），頂點坐標是。在對稱軸左側（），隨的增大而減小；在對稱軸右側（），隨的增大而增大。
2.當時，拋物線開口向下，對稱軸是軸（直線），頂點坐標是。在對稱軸左側（），隨的增大而增大；在對稱軸右側（），隨的增大而減小。
3.二次函數圖象的形狀是拋物線，越大，拋物線的開口越窄；越小，拋物線的開口越寬。
易錯點提示：
1.混淆開口方向與的正負關系。比如認為時開口向下，這是常見錯誤，一定要牢記開口向上，開口向下。
2.對于拋物線開口寬窄與的關系理解不準確。可能會錯誤地認為越大（不考慮絕對值）開口越寬等，實際上是越大開口越窄。
三、二次函數的圖象和性質
1.它的圖象是由的圖象向上（）或向下（）平移個單位得到的。
2.對稱軸仍然是軸（直線），頂點坐標是。
3.當時，開口向上，在對稱軸左側隨的增大而減小，在對稱軸右側隨的增大而增大；當時，開口向下，在對稱軸左側隨的增大而增大，在對稱軸右側隨的增大而減小。
易錯點提示：在描述平移過程時，容易弄錯方向。例如將函數得到，應該是向下平移個單位，而不是向上平移，要注意是“上加下減”原則，這里是在的值上進行加減來確定平移方向。
四、二次函數的圖象和性質
1.它的圖象是由的圖象向左（）或向右（）平移個單位得到的。
2.對稱軸是直線，頂點坐標是。
3.當時，開口向上，在對稱軸左側隨的增大而減小，在對稱軸右側隨的增大而增大；當時，開口向下，在對稱軸左側隨的增大而增大，在對稱軸右側隨的增大而減小。
易錯點提示：對于平移規律掌握不扎實，在由得到時，錯誤判斷平移方向。比如將變為，應該是向左平移個單位，這里遵循“左加右減”原則，是在的值上進行加減來確定平移方向，容易弄反。
五、二次函數的圖象和性質（頂點式）
1.它是二次函數的頂點式，圖象是由經過平移得到的，平移過程為先左右平移（根據的值），再上下平移（根據的值）。
2.對稱軸是直線，頂點坐標是。
3.其增減性與前面幾種形式類似，當時，開口向上，在對稱軸左側隨的增大而減小，在對稱軸右側隨的增大而增大；當時，開口向下，在對稱軸左側隨的增大而增大，在對稱軸右側隨的增大而減小。
易錯點提示：
1.在求頂點坐標時，可能會錯誤地將頂點式中的、值直接拿來用，而忽略了符號。比如對于函數，頂點坐標是，有的同學可能會錯誤地認為是，要注意頂點式中的值是使得括號內為的值。
2.在根據頂點式分析函數性質時，要準確結合、、的值，不能只看其中一部分，否則會對函數的開口方向、對稱軸、增減性等判斷錯誤。
六、二次函數圖象的對稱軸和頂點坐標的求法
1.對于二次函數（一般式），其對稱軸公式為，把代入函數解析式可求得頂點的縱坐標，所以頂點坐標為。
2.對于頂點式，對稱軸是直線，頂點坐標是。
易錯點提示：
1.在使用對稱軸公式時，可能會忘記不能為這個前提條件，或者在代入計算時出現運算錯誤，比如符號錯誤等。
2.求頂點坐標時，在將代入一般式求縱坐標時，計算過程要仔細，容易出現計算失誤導致頂點坐標錯誤。
【鞏固練習】
一、選擇題
1．下列函數中是二次函數的是（　　）
A． B． C． D．
2．二次函數的圖象開口方向是（　　）
A．向左 B．向右 C．向上 D．向下
3．拋物線y＝2(x－3)2＋4的頂點坐標是（　　）
A．(3，4) B．(－3，4) C．(3，－4) D．(2，4)
4．若將二次函數化為的形式，則所得表達式為（　　）
A． B． C． D．
5．將拋物線 先向左平移 2 個單位，再向下平移 3 個單位，則平移后的拋物線解析式為（　　）
A． B．
C． D．
6．直線與拋物線在同一坐標系里的大致圖象正確的是（　　）
A． B．
C． D．
7．若拋物線的頂點在x軸上，則c的值是（　　）
A．4 B． C． D．
8．已知點，，都在二次函數的圖象上，則（　　）
A． B． C． D．
9．向空中發射一枚炮彈，第x秒時的高度為y米，且高度與時間的關系為 ，若此炮彈在第6秒與第15秒時的高度相等，則在下列時間中炮彈所在高度最高的是（　　）
A．第8秒 B．第10秒 C．第12秒 D．第15秒
10．已知拋物線經過和兩點，則m的值為（　　）
A．2 B． C．3 D．
二、填空題
11．二次函數的圖像經過點，則的值為　 　.
12．當　 　時，函數是二次函數．
13．已知二次函數 ，若y隨x的增大而減小，則x的取值范圍是　 　．
14．已知拋物線 過 和 兩點，那么該拋物線的對稱軸是直線　 　．
15．已知二次函數（為常數，），當時，，則該函數圖象的頂點位于　 　．
16．函數 在 有最大值6，則實數a的值是　 　.
三、解答題
17．在平面直角坐標系中，拋物線經過點、．
（1）求這條拋物線所對應的函數表達式；
（2）求這條拋物線的開口方向和頂點坐標．
18．已知二次函數．
（1）請直接寫出該二次函數的頂點式：_____________；
（2）請你在所給的平面直角坐標系中，畫出二次函數的圖象；
（3）根據圖像回答問題：當時，的取值范圍是___________．
19．已知二次函數的圖象經過點．
（1）求c的值；
（2）判斷點是否在該函數的圖象上，并說明理由．
20．如圖、已知二次函數的對稱軸為直線，與x軸的一個交點為，與y軸的交點為．
（1）求m的值：
（2）求二次函數的解析式；
（3）已知點是二次函數圖象上兩點．且，當時，求的取值范圍．
21．已知二次函數（為常數），
（1）若，求該二次函數圖象的對稱軸；
（2）若，該二次函數在時有最小值2，求的值；
（3）將二次函數的圖象作適當的平移得新拋物線的解析式為：．若時，恒成立，求m的最大值．
參考答案
1．C
2．C
3．A
4．A
5．B
6．D
7．B
8．B
9．B
10．B
11．2
12．
13．x≤1
14．x=2
15．第一象限
16． 或
17．（1）解：∵拋物線經過點、，
∴，
解得：，
∴這條拋物線所對應的二次函數的表達式為；
（2）解：由（1）知：拋物線解析式的二次項系數，
∴拋物線開口向上，
∵，
∴拋物線頂點坐標為．
18．（1）
（2）解：列表如下：
x ..． ﹣1 0 1 2 3 ..．
y ..． 0 3 4 3 0 ..．
描點、連線，如圖所示：
（3）
19．（1）解：把代入得
，
；
（2）解：由（1）得二次函數的解析式為，
當時，，
在這個二次函數的圖象上．
20．（1）解：當時，，
∴，即；
（2）解：∵二次函數的對稱軸為直線，與x軸的一個交點為，
∴，解得：，
∴該二次函數解析式為；
（3）解：將點代入二次函數，得：，．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
解得：．
21．（1）解：∵，
∴（為常數），
∴，
∴二次函數的對稱軸是．
（2）解：∵，
∴二次函數的對稱軸是．
當時，函數有最小值．即，
解得：（舍去）或；
當時，函數有最小值．即，
解得：（舍去）或
綜上，或．
（3）解：如圖，令，設其圖象與原拋物線C交點的橫坐標為和，．觀察圖象，隨著拋物線C的向右不斷平移和的值不斷增大，
當時，恒成立，即時，m的最大值為．
∴，得（舍去）或3．
∴，得或．
∴m的最大值為．

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