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21.3 實際問題與一元二次方程 暑假預習講義
【知識點講解】
一、列一元二次方程解應用題的一般步驟
1.審題：認真閱讀題目，理解題意，明確題目中的已知條件和所求問題。分清題目中的數量關系，哪些是常量，哪些是變量。
易錯點提示：對題意理解不透徹，遺漏關鍵信息。例如在涉及行程問題時，沒有注意到是相向而行還是同向而行等條件，導致后續列方程錯誤。
2.設未知數：根據題目所求問題，合理設出未知數。可以直接設未知數，即設所求的量為；也可以間接設未知數，通過設與所求量相關的其他量為，再進一步找出與所求量的關系。
易錯點提示：設未知數不合理，使得后續列方程和求解變得復雜甚至無法進行。比如在面積問題中，應該設邊長等與面積計算直接相關的量為未知數，但卻設了一些不便于表示面積關系的量，增加了解題難度。
3.列方程：根據題目中的等量關系列出一元二次方程。常見的等量關系在不同類型的實際問題中有不同體現，如面積問題中長方形面積 = 長×寬，增長率問題中增長后的量 = 原來的量×(1 + 增長率) 等。
易錯點提示：
（1）找不到正確的等量關系。例如在銷售問題中，混淆利潤、售價、成本之間的關系，本應是利潤 = 售價 - 成本，卻錯誤地列成其他關系，導致方程錯誤。
（2）對一些實際問題中的數量變化規律把握不準。比如在連續增長或降低問題中，沒有正確理解每次增長或降低是在之前的基礎上進行的，從而列錯方程。
4.解方程：運用前面所學的解一元二次方程的方法（如直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法）求解所列出的一元二次方程。
易錯點提示：
（1）在解方程過程中出現計算錯誤。如用公式法時，計算判別式的值出錯，或者代入求根公式時計算失誤。
（2）忘記檢驗方程的解是否符合實際問題的情境。因為一元二次方程可能有兩個根，但在實際問題中，有些根可能不符合實際意義（如人數不能為負數、長度不能為負等），需要舍去。
5.檢驗并作答：把求得的方程的解代入原方程進行檢驗，看是否滿足方程左右兩邊相等，同時還要檢驗解是否符合實際問題的背景和條件。然后根據檢驗結果，寫出符合題意的答案。
易錯點提示：只檢驗了是否是方程的解，而忽略了對實際意義的檢驗，導致給出不符合實際情況的答案。例如求出的物品單價是負數，卻沒有意識到這不符合實際，直接作為答案給出。
二、常見實際問題類型及相關知識點
1.面積問題
（1）常見圖形的面積公式要牢記，如長方形面積（、分別為長和寬），正方形面積（為邊長），三角形面積（為底，為高）等。
（2）根據題目描述，通過設未知數表示出圖形的邊長等相關量，再利用面積公式列出一元二次方程。例如，已知長方形的長比寬多厘米，面積是平方厘米，設寬為厘米，則長為厘米，可根據面積公式列出方程。
易錯點提示：
（1）對圖形的邊長變化關系理解錯誤。比如在一個長方形的長和寬都增加一定長度后求面積變化的問題中，沒有正確表示出增加后的長和寬，導致方程列錯。
（2）在計算面積時，代入公式的量對應錯誤。例如把三角形的底和高弄反了代入面積公式，得出錯誤的方程。
2.增長率問題
（1）若原來的量為，平均增長率為，經過次增長后的量為，則有公式。同理，若為降低率問題，公式為（這里為降低率）。
（2）根據題目給定的關于原來的量、增長（或降低）后的量以及增長（或降低）次數等信息，設出增長率（或降低率）為未知數，利用上述公式列出方程。例如，某工廠去年的產量為件，今年預計產量比去年增加，設增長率為，今年產量為件，則可列出方程。
易錯點提示：
（1）混淆增長率和增長后的量的概念。在列方程時，錯誤地把增長后的量當作增長率代入公式，導致方程錯誤。
（2）對于多次增長或降低的問題，沒有正確理解每次增長或降低是在前一次的基礎上進行的。比如在連續兩年增長的問題中，第二年的增長應該是在第一年增長后的量的基礎上進行，而不是在原來的量的基礎上，若理解錯誤會列錯方程。
3.銷售問題
（1）掌握利潤、售價、成本之間的關系，即利潤售價成本。售價標價×折扣率（如果有折扣情況）。
（2）根據題目中關于成本、售價、利潤以及銷售數量等信息，設出合適的未知數（如設售價提高或降低的金額為未知數等），利用上述關系列出一元二次方程。例如，某商品成本為元，標價為元，若設售價降低元，則售價為元，利潤為元，若已知某種銷售數量與利潤的關系，就可以據此列出方程。
易錯點提示：
（1）對利潤、售價、成本的關系記憶不準確，在列方程時出現錯誤的表達式。比如把利潤錯誤地寫成售價成本等。
（2）沒有考慮到銷售數量與利潤之間的關系。有些題目中利潤不僅與售價和成本有關，還與銷售數量有關，若忽略這一點，方程就不完整，無法準確求解問題。
【鞏固練習】
一、選擇題
1．我國古代著作《四元玉鑒》中記載“買椽多少”問題，其大意為：現請人代買一批椽，這批株的價錢為6210文．如果每株椽的運費是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的運費恰好等于一株椽的價錢．根據題意可列方程，其中x表示（　　）
A．剩余椽的數量 B．這批椽的數量
C．剩余椽的運費 D．每株椽的價錢
2． 春季是流感的高發時期，某校4月初有一人患了流感，經過兩輪傳染后，共49人患流感，假設每輪傳染中平均每人傳染x人，則可列方程（　　）
A． B．
C． D．
3．某校“玩轉數學”活動小組在一次實踐調查中發現某種植物的1個主干上長出x個支干，每個支干上再長出x個小分支．若在1個主干上的主干、支干和小分支的總數是36個，則下列方程中正確的是（　　）
A． B．
C． D．
4．如圖，把一塊長為，寬為的矩形硬紙板的四角剪去四個相同的小正方形，然后把紙板的四邊沿虛線折起，并用膠帶粘好，即可做成一個無蓋紙盒．若該無蓋紙盒的底面積為，設剪去小正方形的邊長為，則可列方程為（　　）
A． B．
C． D．
5．在一次籃球邀請賽中，參賽的每兩個隊之間都要比賽一場，共比賽36場．則參賽的球隊數為（　　）
A．6個 B．8個 C．9個 D．12個
6．某經濟技術開發區今年一月份工業產值達50億元，且一月份、二月份、三月份的總產值為億元，若設平均每月的增長率為，根據題意可列方程（　　）
A． B．
C． D．
二、填空題
7．若干個好朋友除夕夜打電話互相問候，兩個朋友之間都通話交流一次，一共通話次，設這些朋友一共人，則可列方程：　 　．
8．如圖，某小區要在長為，寬為的矩形空地上建造一個花壇，使花壇四周小路的寬度相等，且花壇所占面積為空地面積的一半，則小路寬為　 　．
9．已知某工廠計劃經過兩年的時間，把某種產品從現在的年產量100萬臺提高到121萬臺，那么每年平均增長的百分率是　 　．
10．某商店經銷一批小家電，每個小家電成本40元，經市場預測，定價為50元時，可銷售200個，定價每增加1元，銷售量將減少10個，如果商店進貨后全部銷售完，賺了2160元，該小家電定價是　 　元．
三、解答題
11．某校團體操表演隊伍有6行8列，后又增加了51人，使得團體操表演隊伍增加的行、列數相同，求增加了多少行或多少列？
12．一個兩位數，個位數字比十位數字大，把這個數的個位數字和十位數字對調后，得到新的兩位數，原兩位數與其十位數字的乘積加上正好等于新的兩位數，求原來的兩位數．
13．某醫療器械生產廠生產某種醫療器械，80條生產線齊開，每條生產線每個月可生產8臺該種醫療器械.該廠經過調研發現：當生產線適當減少后（減少的條數在總條數的20%以內時），每減少10條生產線，每條生產線每個月反而會多生產4臺.若該廠需要每個月的產能達到840臺，那么應減少幾條生產線？
14．某大型批發商場平均每天可售出某款商品3000件，售出1件該款商品的利潤是10元. 經調查發現，若該款商品的批發價每降低1元，則每天可多售出1000件.為了使每天獲得的利潤更多，該批發商場決定降價x元銷售該款商品.
（1）當x為多少元時，該批發商場每天賣出該款商品的利潤為40000元？
（2）若按照這種降價促銷的策略，該批發商場每天賣出該款商品的利潤能達50000元嗎？若能，請求出x的值，若不能，請說明理由.
15．如圖，為了便于勞動課程的開展，學校打算建一個矩形生態園，生態園一面靠墻，若墻長為，另三邊用竹籬笆圍成，籬笆總長．
（1）要圍成生態園的面積為，請求出的長．
（2）圍成生態園的面積能否達到？請說明理由．
16．某商場銷售某款上衣，剛上市時每件可盈利100元，銷售一段時間后開始滯銷，經過連續兩次降價后，每件盈利81元，平均每天可售出20件．
（1）求平均每次降價盈利減少的百分率；
（2）為盡快減少庫存，商場決定再次降價．每件上衣每降價1元，每天可多售出2件．若商場每天要盈利2940元，每件應降價多少元？
參考答案
1．B
2．C
3．C
4．D
5．C
6．D
7．
8．
9．
10．52或58
11．解：設增加了 行，則增加的列數為 ，
根據題意，得： ，
整理，得： ，
解得 ， （舍 ，
答：增加了3行3列．
12．解：設原來的兩位數的十位數字為，
，
整理得：
解得：，不符合題意，舍去
，故原來的兩位數為．
答：原來的兩位數為．
13．解：設減少x臺生產線
∵80×20％=16
∴
∴ ，即
解得： ， （舍去），
所以應減少10條生產線.
14．（1）解：該批發商場決定降價x元銷售該款商品，依題意得，
，
即
解得：，
答：當x為2或5時，該飲料批發商店每天賣出該款飲料的利潤為40000元
（2）解：，
即
∵，原方程無解，
∴按照這種降價促銷的策略，該飲料批發商店每天賣出該款飲料的利潤不能達到50000元.
15．（1）解：設米，則米，根據題意得，
，
解得：，
當時，不符合題意，舍去，
答：的長為米．
（2）解：由（1）得：，
整理得：，
∴，
∴方程無解，
∴圍成生態園的面積不能達到．
16．（1）解：設平均每次降價盈利減少的百分率為，
依題意，得，
解得（不合題意，舍去）．
答：平均每次降價盈利減少的百分率為．
（2）解：設每件應降價元，則每天可售出件，
依題意，得，
解得：，．
要盡快減少庫存，
．
答：每件應降價60元．

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