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21.2 解一元二次方程 暑假預習講義
【知識點講解】
一、直接開平方法
1.對于形如（）的一元二次方程，可以直接利用平方根的定義求解，即。
2.當方程為（）的形式時，先開平方，得到，然后再進一步求解的值，即（）。
易錯點提示：
1.忽略條件：在使用直接開平方法時，一定要注意方程右邊的常數必須是非負的，否則方程在實數范圍內無解。例如對于方程，直接開平方法在實數范圍內就不適用，不能錯誤地寫成，要牢記負數在實數范圍內沒有平方根這一基本性質。
2.求解過程中符號錯誤：當對形如的方程開平方得到后，在進一步求解的過程中，要注意正確處理正負號。比如在求解方程時，開平方得到，不能只考慮這一種情況，而忽略了的情況，否則會導致漏解。
二、配方法
對于一元二次方程（），配方法的步驟如下：
1.先將二次項系數化為（如果），即方程兩邊同時除以，得到。
2.在等式兩邊加上一次項系數一半的平方，即，得到。
3.將左邊式子變形為完全平方式，則方程變為。
4.最后再用直接開平方法求解的值。
易錯點提示：
1.系數化為時出錯：當二次項系數不為時，在將系數化為的過程中，要注意方程兩邊每一項都要除以二次項系數，不能只除了部分項，否則會導致方程變形錯誤。比如對于方程，應該將方程兩邊同時除以得到，而不能錯誤地寫成（只除了二次項）。
2.添加項計算錯誤：在等式兩邊添加一次項系數一半的平方時，要準確計算這個值。例如對于方程，一次項系數一半的平方是，不能錯誤地計算成其他值，不然會導致后續配方過程出錯。
3.配方后忘記還原方程求解：完成配方得到完全平方式后，不能忘記將其還原為可以用直接開平方法求解的形式，從而得出方程的解。比如配成的形式后，要繼續進行開平方求解的步驟，否則無法得到方程的解。
三、公式法
對于一元二次方程（），其求根公式為。只要確定了方程中的、、的值，代入求根公式就可以求出方程的解。
易錯點提示：
1.確定、、值錯誤：在代入求根公式時，要準確確定方程中的、、的值，尤其是當方程的形式比較復雜時。比如對于方程，如果把它看作關于的一元二次方程，設，則方程變為，此時，，，不能錯誤地把原方程中的系數直接當作、、的值代入求根公式，否則會導致求解錯誤。
2.計算錯誤：在求根公式中，是一個關鍵的部分，其計算結果會影響到方程的解。在計算時，可能會出現運算錯誤，比如符號錯誤、乘法運算錯誤等。例如在解方程，，，，計算應該是，不能錯誤地計算成其他值，不然會影響到求根結果。
四、因式分解法
如果一元二次方程（）可以通過因式分解將其轉化為兩個一次因式乘積的形式，即，那么令，根據“若兩個數的乘積為零，則至少其中一個數為零”的原理，得到或，然后分別求解這兩個一元一次方程就可以得到一元二次方程的解。
易錯點提示：
1.因式分解錯誤：這是使用因式分解法的關鍵所在，如果因式分解不正確，就無法正確求解方程。例如對于方程，應該分解為，不能錯誤地分解成其他形式，比如，否則會導致求解出的結果錯誤。
2.遺漏方程的解：當得到兩個一元一次方程和后，要分別求解這兩個方程，不能只解其中一個而遺漏另一個方程的解。比如對于方程，因式分解為，得到和，不能只解了，得到，而遺漏了這個解。
五、韋達定理
對于一元二次方程（），設它的兩個根為、，那么韋達定理指出：
1.兩根之和。
2.兩根之積。
例如，對于方程，根據求根公式可求得兩根為，。這里，，。按照韋達定理，兩根之和，而；兩根之積，而，驗證了韋達定理的正確性。
易錯點提示：
1.記錯公式：韋達定理的公式相對簡單，但容易記錯。一定要牢記兩根之和是，兩根之積是，不能混淆這兩個公式，否則在運用韋達定理解決問題時會得出錯誤的結果。
2.未明確方程的、、值：在使用韋達定理時，首先要準確確定所給一元二次方程的、、的值，然后才能正確運用公式計算兩根之和與兩根之積。如果對、、的值判斷錯誤，那么根據韋達定理得出的結果也必然是錯誤的。
3.應用場景錯誤：韋達定理主要用于已知一元二次方程求兩根的關系，或者已知兩根的關系反推一元二次方程的系數等情況。但有些同學可能會在不適合的場景下錯誤地嘗試使用韋達定理，比如在方程還未確定是一元二次方程或者還未明確其系數時就想用韋達定理，這是不正確的做法，會導致解題思路混亂和結果錯誤。
【鞏固練習】
一、選擇題
1．用配方法解下列方程，其中應在左右兩邊同時加上4的是（　　）
A． B． C． D．
2．能用直接開平方法求解的方程是（　　）
A． B． C． D．
3．用配方法解方程 時，原方程應變形為（　　）
A． B． C． D．
4．關于x的一元二次方程x2－mx－1=0的根的情況是（　　）
A．有兩個不相等的實數根 B．有兩個相等的實數根
C．沒有實數根 D．無法確定
5．一元二次方程的根是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
6．若關于的一元二次方程沒有實數根，則的值可以是（　　）
A． B． C． D．
7．關于的一元二次方程的一個根是，則的值是（　　）
A．或 B． C． D．
8．已知，實數是關于x的方程的兩個根，若，則k的值為（　　）
A．1 B． C． D．
二、填空題
9．把方程化成的形式，則的值是　 　．
10．如果關于 的方程 （ 為常數）有兩個不相等的實數根，那么 的取值范圍是　 　．
11．已知三角形的兩邊長分別為3和6，第三邊長是方程 的根，則這個三角形的周長為　 　.
12．設是方程的兩個根，且，則m＝　 　．
13．定義：是一元二次方程的倒方程．則下列四個結論：
①如果是的倒方程的解，則；
②如果，那么這兩個方程都有兩個不相等的實數根；
③如果一元二次方程無解，則它的倒方程也無解；
④如果一元二次方程有兩個不相等的實數根，則它的倒方程也有兩個不相等的實數根。
其中正確的有　 　（填正確的序號）
三、解答題
14．解方程：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
15．以下是某同學解方程的過程：
解：方程兩邊因式分解，得，①
方程兩邊同除以，得，②
∴原方程的解為．③
（1）上面的運算過程第______步出現了錯誤．
（2）請你寫出正確的解答過程．
16．已知關于的一元二次方程
（1）求證：無論為何值，方程總有兩個不相等的實數根；
（2）若方程兩實數根分別為和，且滿足，求的值．
17．已知關于x的方程，其中a，b，c分別為三邊的長．
（1）若是方程的根，試判斷的形狀；
（2）若方程有兩個相等的實數根，且，求c的值．
參考答案
1．C
2．B
3．A
4．A
5．A
6．D
7．B
8．B
9．
10．k＜1
11．13
12．2
13．①②③
14．（1）解：，
移項得，
開方得，
∴，；
（2）解：，
移項得，
配方得，即，
開方得，
∴，；
（3）解：，
移項得，
因式分解得，
∴或，
∴，；
（4）解：，
開方得，
∴或，
∴，．
15．（1）②
（2）解：方程兩邊因式分解，得，
移項，得，
∴，
∴，．
16．（1）解：，
，
=（a-2）2+4，
∵（a-2）2≥0，
∴（a-2）2+4＞0，即b2-4ac＞0，
無論為何值， 方程總有兩個不相等的實數根.
（2）解：，
，即：，
∵和是方程x2-ax-2=0的兩實數根，
∴由一元二次方程的根與系數的關系可得：
，，
∴，即，
解得：a=1或，
答：或．
17．（1）解：∵是關于x的方程的根，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）解：∵，
∴
∵方程有兩個相等的實數根，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．

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