資源簡介

21.1 一元二次方程 暑假預習講義
【知識點講解】
一、一元二次方程的定義
1.定義內容：只含有一個未知數（一元），并且未知數的最高次數是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程。
2.一般形式：一元二次方程的一般形式是。其中是二次項，是二次項系數；是一次項，是一次項系數；是常數項。例如方程，這里，，。
二、一元二次方程的識別
1.判斷方法：要判斷一個方程是否為一元二次方程，需看它是否滿足以下幾個條件：
（1）首先是整式方程，即方程中的分母不含未知數。比如就不是一元二次方程，因為它的分母含有未知數，是分式方程。
（2）只含有一個未知數。像含有兩個未知數和，所以不是一元二次方程。
（3）未知數的最高次數是。例如，未知數的最高次數是，它是一元一次方程，而不是一元二次方程。
三、一元二次方程的根
1.定義：使一元二次方程左右兩邊相等的未知數的值叫做一元二次方程的根，也叫做一元二次方程的解。比如對于方程，當或時，方程左右兩邊相等，所以和就是這個一元二次方程的根。
【易錯點】
一、關于一元二次方程的一般形式
1.易錯點：忽視這個條件。在一元二次方程的一般形式中，作為二次項系數不能為，如果，那么方程就變成了，這是一元一次方程了。例如方程，實際上它就是，是一元一次方程，而不是一元二次方程，有些同學在判斷或運用一元二次方程相關知識時，容易忽略這個關鍵條件。
二、方程的整理與識別
1.未化成最簡形式就判斷：有些方程需要先化簡整理才能準確判斷它是否是一元二次方程。比如，如果直接看可能會覺得它不是一元二次方程，但將左邊展開并整理得到，進一步化簡為，這說明原方程是恒等式，不是一元二次方程。但很多同學沒有養成先化簡再判斷的習慣，容易出錯。
2.對整式方程的理解不準確：如前面提到的分式方程和整式方程的區分，有些同學可能會誤認為含有分式形式的式子只要能通過運算化成整式形式就是整式方程，這是錯誤的。比如，雖然化簡后是，但原方程是分式方程，因為它最初的形式分母含有未知數，所以在判斷方程類型時一定要看原始的方程形式是否符合整式方程的定義。
三、關于方程的根
1.漏解情況：當求解一元二次方程時，可能會出現漏解的情況。例如對于方程，開平方得到，但有些同學可能只得到，忘記了也是方程的根。在解一元二次方程時，要牢記根據平方根的性質，正數有兩個平方根，它們互為相反數，所以要全面考慮所有可能的解，避免漏解。
2.代入檢驗的忽略：求出方程的根后，應該將根代入原方程進行檢驗，看是否能使原方程左右兩邊相等。有些同學在解題過程中往往忽略了這一步，特別是在較為復雜的計算后得到的根，可能會存在計算錯誤導致實際上并不滿足原方程，如果不檢驗就無法發現這些錯誤。
【鞏固練習】
一、選擇題
1．下列方程是一元二次方程的是（　　）
A． B． C． D．
2．一元二次方程的二次項系數、一次項系數、常數項分別是（　　）
A．，， B．，， C．，； D．，，
3．關于x的方程是一元二次方程，則（　　）
A． B． C． D．
4．若是一元二次方程的一個解，則的值是（　　）
A． B．2 C．0 D．或0
5．一個小組有若干人，新年互相發送1條祝福信息，已知全組共發送306條信息，則這個小組有多少人？設這個小組有x人，根據題意可列方程（　　）
A． B． C． D．
6．若是關于的一元二次方程的解，則的值為（　　）
A． B．8 C． D．4
二、填空題
7．寫出以的一個一元二次方程　 　．
8．方程的一次項系數是　 　．
9．將方程化為一般形式為　 　．
10．當　 　時，關于的方程是一元二次方程．
11．關于x的一元二次方程 有一個根是0，則k的值是　 　．
三、解答題
12．把方程 先化成一元二次方程的一般形式，再寫出它的二次項系數、一次項系數和常數項．
13．已知關于x的方程（m-1）x2+x-2＝0．
（1）當m為何值時，此方程是一元一次方程？
（2）當m為何值時，此方程是一元二次方程？
參考答案
1．B
2．A
3．B
4．A
5．C
6．A
7．（答案不唯一）
8．-8
9．
10．
11．-2
12．解：去括號，得
移項、合并同類項，得
二次項系數化為 1，得
所以二次項系數、一次項系數和常數項分別為 1，16，0．
13．（1）解：∵（m-1）x2+x-2＝0，
∴此方程是一元一次方程，則m-1＝0，
解得m＝1．
即m＝1時，此方程是一元一次方程；
（2）解：∵（m-1）x2+x＝2＝0，
此方程是一元二次方程，則m-1≠0，
解得m≠1．
即m≠1時，此方程是一元一次方程．

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