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2.2 有理數的乘法與除法 講義
知識梳理
一、有理數乘法
1.有理數乘法法則：
（1）兩數相乘：同號得正，異號得負，并把絕對值相乘。例如：
①同號情況：（兩個正數相乘，結果為正，絕對值相乘）；（兩個負數相乘，結果為正，絕對值相乘）。
②異號情況：（正數與負數相乘，結果為負，絕對值相乘）；。
（2）任何數與0相乘：都得0。例如：，。
要點詮釋：在進行有理數乘法運算時，首先要準確判斷兩數的符號，根據“同號得正，異號得負”確定乘積的符號，然后再計算絕對值的乘積。乘積的結果的符號與兩因數的符號關系密切，這是有理數乘法運算的關鍵步驟之一。
2.多個有理數相乘：
（1）幾個不等于0的數相乘，積的符號由負因數的個數決定。當負因數有奇數個時，積為負；當負因數有偶數個時，積為正。
（2）幾個數相乘，如果有一個因數為0，那么積就為0。
要點詮釋：確定多個有理數相乘的積的符號時，只需數出負因數的個數，不必考慮正因數的個數。例如：計算，這里有3個負因數（奇數個），所以積為負，先確定符號后再計算絕對值相乘，即積為。
3.有理數乘法運算律：
（1）乘法交換律：兩個數相乘，交換因數的位置，積不變。即。例如：。
（2）乘法結合律：三個數相乘，先把前兩個數相乘，或者先把后兩個數相乘，積不變。即。例如：，先計算，再乘以得到；右邊先計算，再乘以也得到。
（3）乘法分配律：一個數與兩個數的和相乘，等于把這個數分別與這兩個數相乘，再把積相加。即。例如：，左邊，右邊。
要點詮釋：乘法交換律和結合律可以方便地改變乘法運算的順序，在進行多個有理數乘法運算時，可根據因數的特點靈活運用這些運算律來簡化計算。乘法分配律常用于式子中有一個數與一個和或差的形式相乘的情況，通過分配律可以將乘法轉化為較簡單的乘法和加法（或減法）運算，降低計算難度。
二、有理數除法
1.有理數除法法則：
（1）除以一個不等于0的數：等于乘上這個數的倒數。即。例如：；。
（2）兩數相除：同號得正，異號得負，并把絕對值相除。例如：
①同號情況：（兩個正數相除，結果為正，絕對值相除）；（兩個負數相除，結果為正，絕對值相除）。
②異號情況：（正數與負數相除，結果為負，絕對值相除）；。
要點詮釋：有理數除法運算首先要判斷兩數的符號，根據“同號得正，異號得負”確定商的符號，然后再進行絕對值的相除。同時要注意，除數不能為0，因為0沒有倒數，這是進行有理數除法運算的基本前提。
2.有理數的乘除混合運算： 在進行有理數的乘除混合運算時，通常按照從左到右的順序依次進行計算，也可以根據乘除法的運算律將運算進行適當調整，以簡化計算。例如：，按照從左到右的順序計算，先計算，再除以4得到，最后乘以得到；如果利用運算律，可將式子變形為，先計算括號內的，再進行乘法運算，也能得到相同結果。
要點詮釋：在乘除混合運算中，要注意運算順序，同時合理運用運算律能提高計算效率。當式子中有括號時，先算括號內的，再按照順序進行乘除運算。
鞏固練習
一、選擇題
1．下列算式中，積為負數的是 （　?。?br/>A．0×(-5) B．
C．(-1.5)×(-2) D．4×(-0.5)×(-10)
2．下列計算結果最小的是（　?。?br/>A． B． C． D．
3．下列各式中計算正確的有（　?。?br/>① ；② ；③ ；④
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
4．在簡便運算時，把變形成最合適的形式是（　?。?br/>A． B．
C． D．
5．計算的結果是（　?。?br/>A． B． C． D．1
6．在等五個數中，任意三個數的積最小為（　?。?br/>A． B． C． D．
7．小航在計算時，誤將“”看成“”得到的結果是，則的正確結果是（　?。?br/>A． B． C．2 D．1
8．已知，且， 則的值為（　　）
A．2 B． C． D．或
二、填空題
9．兩數的商是，被除數是，則除數是　 ?。?br/>10．若高度每增加1千米，氣溫就下降，現在地面氣溫是，那么離地面高度為6千米的高空的氣溫是　 　℃
11．絕對值不小于1且小于3的所有整數的積是　 　．
12．若，則=　 ?。?br/>13．已知是有理數，若，則　 ?。?br/>14．現定義兩種運算“ ”和“※”．對于任意兩個有理數，，如，， 如， 則　 ?。?br/>三、解答題
15．計算：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
16． 列式并計算：
（1）已知一個數與 的積是4，求這個數。
（2）一個數除以1 的相反數的商為一4，求這個數。
17． 小明有 5 張寫著不同數字的卡片，請按要求抽出卡片，解答下面各題：
（1）從中抽出2 張卡片，使這2張卡片上數字相除的商最小，如何抽取 最小值是多少
（2）從中抽取三張卡片，使得三張卡片中，兩張上的數字先乘，再除以第三張上的數字所得的結果最大，如何抽取 最大值是多少
18．學習了有理數的乘法后，老師給同學們出示了這樣一道題目：計算看誰算得又快又對，有兩位同學的解法如下：聰聰：原式
明明：原式
（1）對于以上兩種解法，你認為誰的解法更簡便
（2）睿睿認為還有一種更好的方法，請你仔細思考，把它寫出來．
（3）用你認為最合適的方法計算：．
19．一輛出租車從公司出發，在南北向的北京路上連續接送5批客人，行駛路程記錄如下（規定向南為正，向北為負）：
第1批 第2批 第3批 第4批 第5批
5千米 2千米 千米 千米 6千米
（1）接送完第5批客人后，該駕駛員在公司什么方向，距離公司多少千米？
（2）該出租車送完第五批客人之后回到公司，若出租車每千米耗油0.3升，那么在這過程中共耗油多少升？
參考答案
1．B
2．C
3．A
4．A
5．A
6．B
7．B
8．C
9．
10．
11．0
12．
13．3或
14．
15．（1）解：原式=
=
=
（2）解：原式=
=
（3）解：原式=
=
（4）解：原式=
=
（5）解：原式=
=
=
（6）解：原式=
=3
16．（1）；
（2）.
17．（1）解：由商最小，可知為負數，即兩數一正一負，
∴抽取-5和3，最小值為 ；
（2）解：由題意可得，結果為正數，即三個數中有兩個負數，一個正數，
∴抽取-5，4和-3，最大值為 .
18．（1）解：觀察兩個同學的方法，明明的計算量要小一點，所以明明的解法更簡便．
（2）解：
（3）解：
19．（1） 解：
答：接送完第5批客人后，該駕駛員在公司南邊6千米處.
（2）解： (升)。
答：在這過程中共耗油6升.

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