資源簡介

寧遠一中崇德學校高二2025年期末考試
數學
本試卷共4頁。全卷滿分150分，考試時間120分鐘。
注意事項：
1.答題前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在本試卷和答題卡上。
2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應的答案標號涂黑，如有改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案；回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。
3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1．若橢圓上一點Ｐ到左焦點的距離為５，則其到右焦點的距離為（ ）
A．５ B．３ C．２ D．１
2．設，則以線段為直徑的圓的方程是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知命題，命題，若p假q真，則實數a的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
4．將編號1，2，3，4的小球放入編號為1，2，3的盒子中，要求不允許有空盒子，且球與盒子的號不能相同，則不同的放球方法有（ ）
A．16種 B．12種 C．9種 D．6種
5，若直線與圓相切，則（ ）
A． B． C． D．
6，雙曲線的左右焦點分別為，，點在雙曲線上，若，則（ ）
A． B． C．或 D．
7．若數列的通項公式為，則（ ）
A．27 B．21 C．15 D．13
8．函數的單調遞增區間為（ ）
A． B． C． D．
多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對得6分，部分選對得部分分，選錯得0分.
9，下列各對事件中,不是相互獨立事件的有( )
A．運動員甲射擊一次,“射中9環”與“射中8環”
B．甲 乙兩運動員各射擊一次,“甲射中10環”與“乙射中9環”
C．甲 乙兩運動員各射擊一次,“甲 乙都射中目標”與“甲 乙都沒有射中目標”
D．甲 乙兩運動員各射擊一次,“至少有1人射中目標”與“甲射中目標但乙未射中目標”
10．在中，內角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，不解三角形，確定下列判斷錯誤的是（ ）
A．B＝60°，c＝4，b＝5，有兩解 B．B＝60°，c＝4，b＝3.9，有一解
C．B＝60°，c＝4，b＝3，有一解 D．B＝60°，c＝4，b＝2，無解
11，若隨機變量服從兩點分布，其中，，分別為隨機變量的均值與方差，則下列結論正確的是（ ）
A． B．
C． D．
填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12．化簡：_________.
13，已知函數在時取得最小值，則________．
14．若，且，則的值等于_________.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
15，如圖，某港口一天6時到18時的水深變化曲線近似滿足函數.
（1）求的值；
（2）求這段時間水深（單位：）的最大值.
16．已知函數.討論的單調性；
17．如圖，在正方體中，分別是的中點，試用空間向量知識解決下列問題
（1）求證： （2）求證平面．
18，2020年新冠疫情以來，醫用口罩成為防疫的必需品.根據國家質量監督檢驗標準，過濾率是生產醫用口罩的重要參考標準，對于直徑小于5微米的顆粒的過濾率必須大于90%.為了監控某條醫用口罩生產線的生產過程，檢驗員每天從該生產線上隨機抽取10個醫用口置，檢測其過濾率，依據長期生產經驗，可以認為這條生產線正常狀態下生產的醫用口罩的過濾率服從正態分布.假設生產狀態正常，生產出的每個口罩彼此獨立.記表示一天內抽取10個口罩中過濾率小于或等于的數量.
（1）求的概率；
（2）求的數學期望；
（3）一天內抽檢的口罩中，如果出現了過濾率小于的口罩，就認為這條生產線在這一天的生產過程中可能出現了異常情況，需要對當天的生產過程進行檢查維修，試問這種監控生產過程的方法合理嗎？
附：若隨機變量，則，，，.
19．已知函數.
（1）若，求曲線在處的切線方程；
（2）若函數有3個零點，求實數的取值范圍.
答案
1．若橢圓上一點Ｐ到左焦點的距離為５，則其到右焦點的距離為（ ）
A．５ B．３ C．２ D．１
【答案】D
【解析】由題意a=3,P點到右焦點的距離為2a-5=1
2．設，則以線段為直徑的圓的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】的中點坐標為，圓的半徑為，
所以圓的方程為.故選：A.
3．已知命題，命題，若p假q真，則實數a的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】命題，為假命題，則為真命題，滿足，解得；命題為真命題，由，當且僅當時等號成立，可知，故實數a的取值范圍為，
故選：C.
4．將編號1，2，3，4的小球放入編號為1，2，3的盒子中，要求不允許有空盒子，且球與盒子的號不能相同，則不同的放球方法有（ ）
A．16種 B．12種 C．9種 D．6種
【答案】B
【解析】由題意可知，這四個小球有兩個小球放在一個盒子中，當四個小球分組為如下情況時，放球方法有：
當1與2號球放在同一盒子中時，有2種不同的放法；
當1與3號球放在同一盒子中時，有2種不同的放法； ^
當1與4號球放在同一盒子中時，有2種不同的放法；
當2與3號球放在同一盒子中時，有2種不同的放法；
當2與4號球放在同一盒子中時，有2種不同的放法；
當3與4號球放在同一盒子中時，有2種不同的放法；
因此，不同的放球方法有12種，故選B.
5，若直線與圓相切，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由題得圓的圓心坐標為（0,0），所以.故選C
6，雙曲線的左右焦點分別為，，點在雙曲線上，若，則（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】B
【解析】雙曲線的，
點在雙曲線的右支上，可得，
點在雙曲線的左支上，可得，
由可得在雙曲線的左支上，可得，即有.　故選：B.
7．若數列的通項公式為，則（ ）
A．27 B．21 C．15 D．13
【答案】A
【解析】因為，所以，故選：A.
8．函數的單調遞增區間為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由題意，函數的定義域為，則，
令，解得，
所以，函數的單調遞增區間為.故選：C.
多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對得6分，部分選對得部分分，選錯得0分.
9，下列各對事件中,不是相互獨立事件的有( )
A．運動員甲射擊一次,“射中9環”與“射中8環”
B．甲 乙兩運動員各射擊一次,“甲射中10環”與“乙射中9環”
C．甲 乙兩運動員各射擊一次,“甲 乙都射中目標”與“甲 乙都沒有射中目標”
D．甲 乙兩運動員各射擊一次,“至少有1人射中目標”與“甲射中目標但乙未射中目標”
【答案】ACD
【解析】在A中,甲射擊一次,“射中9環”與“射中8環”兩個事件不可能同時發生,二者是互斥事件,不獨立;在B中,甲 乙各射擊一次,“甲射中10環”發生與否對“乙射中9環”的概率沒有影響,二者是相互獨立事件;在C中,甲,乙各射擊一次,“甲 乙都射中目標”與“甲 乙都沒有射中目標“不可能同時發生,二者是互斥事件,不獨立;在D中,設“至少有1人射中目標”為事件A,“甲射中目標但乙未射中目標”為事件B,則,因此當時,,故A B不獨立,故選：ACD
10．在中，內角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，不解三角形，確定下列判斷錯誤的是（ ）
A．B＝60°，c＝4，b＝5，有兩解 B．B＝60°，c＝4，b＝3.9，有一解
C．B＝60°，c＝4，b＝3，有一解 D．B＝60°，c＝4，b＝2，無解
【答案】ABC
【解析】對于，因為為銳角且，所以三角形有唯一解，故錯誤；
對于，因為為銳角且，所以三角形有兩解，故錯誤；
對于，因為為銳角且 ，所以三角形無解，故錯誤；
對于，因為為銳角且，所以三角形無解，故正確.
故選：ABC.
11，若隨機變量服從兩點分布，其中，，分別為隨機變量的均值與方差，則下列結論正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【解析】因為隨機變量服從兩點分布，且，所以，
，所以，故A正確；
，故B正確；
，故C正確；
，故D不正確.
故選：ABC
填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12．化簡：_________.
【答案】
【解析】
則
所以故答案為：.
13，已知函數在時取得最小值，則________．
【答案】
【解析】因為，所以，當且僅當即，由題意，解得
14．若，且，則的值等于_________.
【解析】由可得，
即，解得或（舍）.
，，
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
15，如圖，某港口一天6時到18時的水深變化曲線近似滿足函數.
（1）求的值；
（2）求這段時間水深（單位：）的最大值.
【答案】（1）；（2）這段時間水深的最大值是.
【解析】（1）圖知：，因為，所以，解得：.
（2）.所以，這段時間水深的最大值是.
16．已知函數.討論的單調性；
【解析】函數，定義域為，，
當時，.
故在定義域上單調遞增，此時無減區間.
當時，令，得；
當時，，故單調遞增；
當時，，故單調遞減.
綜上所述，當時，在定義域上單調遞增，此時無減區間；
當時，在上單調遞增，在上單調遞減.
17．如圖，在正方體中，分別是的中點，試用空間向量知識解決下列問題
（1）求證： （2）求證平面．
【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析
【解析】（1）如圖所示：以為軸建立空間直角坐標系，設正方體邊長為，
則，，，，，
故，，故，故.
（2），故，故，
又，，故平面.
18，2020年新冠疫情以來，醫用口罩成為防疫的必需品.根據國家質量監督檢驗標準，過濾率是生產醫用口罩的重要參考標準，對于直徑小于5微米的顆粒的過濾率必須大于90%.為了監控某條醫用口罩生產線的生產過程，檢驗員每天從該生產線上隨機抽取10個醫用口置，檢測其過濾率，依據長期生產經驗，可以認為這條生產線正常狀態下生產的醫用口罩的過濾率服從正態分布.假設生產狀態正常，生產出的每個口罩彼此獨立.記表示一天內抽取10個口罩中過濾率小于或等于的數量.
（1）求的概率；
（2）求的數學期望；
（3）一天內抽檢的口罩中，如果出現了過濾率小于的口罩，就認為這條生產線在這一天的生產過程中可能出現了異常情況，需要對當天的生產過程進行檢查維修，試問這種監控生產過程的方法合理嗎？
附：若隨機變量，則，，，.
【答案】（1）；（2）；（3）這種監控生產過程的方法合理.
【解析】（1）抽取口罩中過濾率在內的概率，
所以，
所以，
故
（2）由題意可知，所以.
（3）如果按照正常狀態生產，由（1）中計算可知，一只口罩過濾率小于或等于的概率，一天內抽取的10只口覃中，出現過濾率小于或等于的概率，發生的概率非常小，屬于小概率事件.所以一旦發生這種情況，就有理由認為這條生產線在這一天的生產過程中可能出現了異常情況，需要對當天的生產過程進行檢查維修.可見這種監控生產過程的方法合理.
19．已知函數.
（1）若，求曲線在處的切線方程；
（2）若函數有3個零點，求實數的取值范圍.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由題意，，故，
又當時，，
故所求的切線方程為，即.
（2）由題意，，
令，得或，
故當時，，當時，，當時，
故當時，函數有極大值，
當時，函數有極小值.
若函數有3個零點，實數滿足，解得，
即實數的取值范圍為.

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