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第七章　第36練　專題強化：用三大觀點解決動力學問題
[分值：50分]
1.(11分)(2024·江蘇鎮江市一模)如圖所示，在光滑水平桌面上，有一光滑的弧形軌道，其底端恰好與桌面相切。右側有一豎直放置的光滑圓弧軌道MNP，軌道半徑R＝0.8 m，MN為其豎直直徑，P點到桌面的豎直距離也是R，質量為mB＝2.0 kg的小物塊B靜止在水平桌面上。質量為mA＝2.0 kg的小物塊A從距離水平桌面某一高度的S點沿弧形軌道從靜止開始下滑，經過弧形軌道的最低點Q滑上水平桌面與B發生彈性碰撞，然后小物塊B從桌面右邊緣D點飛離桌面后，恰由P點沿圓軌道切線落入圓軌道，g取10 m/s2，求：
(1)(3分)物塊B離開D點時的速度大小；
(2)(4分)S與Q豎直高度h；
(3)(4分)物塊B能否沿圓軌道到達M點，并通過計算說明理由。
2.(11分)(2024·江蘇泰州市一模)如圖所示，可視為質點的兩個小物塊A、B并排放在粗糙水平面上，一根輕繩一端固定于水平面上的O點，另一端系在小物塊A上。已知mA＝1 kg，mB＝3 kg，A、B與水平面間的動摩擦因數μ＝0.2，輕繩長l＝0.314 m，g取10 m/s2，π取3.14且π2＝10。現給A一個向左的初速度v0＝2 m/s，使其繞O點做圓周運動，運動一周時與B發生彈性碰撞。求：
(1)(2分)A剛開始運動時所受輕繩拉力的大小FT；
(2)(4分)A與B碰前瞬間的加速度大小a；
(3)(5分)A與B碰后B滑行的距離s。
3.(12分)(2024·江蘇南通市二模)如圖所示，半徑R＝0.6 m的光滑半球靜止于水平桌面，在半球的頂端B點有兩個相同的小球，小球可看作質點，重力加速度大小g取10 m/s2，剛開始小球用雙手固定，現同時放開雙手，兩小球由靜止分別向左、向右運動，O點是球心，不計空氣阻力。
(1)(4分)求小球離開球面瞬間的速度大小v；
(2)(4分)求兩個小球在水平桌面的落點間的距離d；
(3)(4分)若半球質量M＝4 kg，小球質量m＝1 kg，以初始球心O位置為坐標中心，OB方向為y軸正半軸，OC方向為x軸正半軸建立坐標系，在B點放一個小球，由于輕微擾動，當其由靜止向右運動時，求小球在半球球面上運動時的軌跡方程。
4.(16分)(2025·江蘇淮安市期中)如圖所示，光滑水平面ab上靜止放置著質量均為0.2 kg的物塊A、B(均可視為質點)，右側放置一個不固定的質量為0.2 kg的光滑弧形滑塊C(足夠高)，C的弧面與水平面相切。水平面左側的光滑水平地面上停著一質量為0.2 kg的小車，小車上表面與ab等高，最左端有一固定的豎直擋板。用輕質細繩將A、B連接在一起，A、B間夾著一根被壓縮的輕質彈簧(與A、B不拴接)。現將細繩剪斷，與彈簧分開后A以v0＝12 m/s的速度向左滑上小車，小車與擋板碰撞時間極短，每次碰撞后小車速度反向，速度大小減為碰前速度大小的。已知物塊A與小車之間的動摩擦因數μ＝0.1，物塊A與小車在小車與擋板第1次碰撞時已到共速，在整個過程物塊A未從小車上滑落，重力加速度g取10 m/s2。求：
(1)(4分)細繩剪斷之前彈簧的彈性勢能；
(2)(4分)B在C上可達到的最大高度h；
(3)(8分)小車與擋板第1次碰撞后到最終停下來的過程中，小車的總路程。
參考解析
1.(1)4 m/s　(2)0.8 m　(3)不能，理由見解析
解析　(1)A、B發生彈性碰撞，根據動量守恒和機械能守恒可知，因二者位置相等，所以碰后交換速度，故A靜止，物塊B由D點做平拋運動，落到P點時其豎直速度為vy，
有＝2gR
又＝tan 45°
解得vD＝4 m/s
(2)設A與B碰撞前的速度為v0，A與B相碰交換速度，
所以v0＝vD＝4 m/s
A從S滑到Q的過程中，根據機械能守恒定律得mAgh＝mA
解得h＝0.8 m
(3)設物塊B能沿圓軌道到達M點，且到達時其速度為vM，從D到M由動能定理得－mBgRcos 45°
＝mBmB
解得vM≈2.2 m/s<≈2.8 m/s
即物塊B不能到達M點。
2.(1)76.43 N　(2)2 m/s2
(3)1 m
解析　(1)A剛開始運動時輕繩拉力提供向心力FT＝mA
解得輕繩拉力的大小FT≈76.43 N
(2)設A與B碰前瞬間的速度為v，根據動能定理
－μmAg·2πl＝mAv2－mA
解得v＝4 m/s
此時繩子的拉力為FT'＝
根據牛頓第二定律
＝mAa
解得a＝2 m/s2
(3)根據動量守恒mAv＝mAv1＋mBv2
根據機械能守恒
mAv2＝mAmB
解得v2＝2 m/s
B的加速度大小為aB＝μg＝2 m/s2
A與B碰后B做勻減速直線運動，則B滑行的距離s＝＝1 m。
3.(1)2 m/s　(2) m　(3)()2＋y2＝0.36
解析　(1)由于兩個相同的小球向左、向右對稱運動，兩個小球對半球在水平方向的分力始終大小相等、方向相反，半球不會運動。設小球在A點離開球面，OA與OC的夾角為θ，則有mgsin θ＝m
從B點到A點由機械能守恒定律得
mg(R－Rsin θ)＝mv2
解得v＝2 m/s，sin θ＝
(2)小球離開半球后做斜拋運動，水平方向有x＝vtsin θ
豎直方向有Rsin θ＝vtcos θ＋gt2
又d＝2(Rcos θ＋x)
其中，由數學知識可得cos θ＝
解得d＝ m
(3)小球與半球在水平方向動量守恒，有Mv1＝mv
運動時間相等，有Mx1＝mx
又x1＋x＝x'，x'2＋y2＝R2
整理得()2＋y2＝0.36。
4.(1)28.8 J　(2)3.6 m　(3)4.5 m
解析　(1)細繩剪斷后，A、B組成的系統動量守恒，以向左為正方向，由動量守恒定律得mAv0－mBvB＝0
將mA＝mB＝0.2 kg代入上式解得vB＝v0＝12 m/s
由能量守恒定律得
Ep＝mAmB
解得Ep＝28.8 J
(2)B、C組成的系統在水平方向動量守恒，以向右為正方向，由動量守恒定律得mBvB＝(mB＋mC)vBC
由機械能守恒定律得mB
＝(mB＋mC)＋mBgh，
將vB＝12 m/s代入以上兩式解得h＝3.6 m
(3)A與小車相互作用到與擋板第一次碰撞的過程中，滿足動量守恒定律mAv0＝(mA＋M)v1
將mA＝0.2 kg，M＝0.2 kg代入上式解得v1＝6 m/s
小車與擋板碰撞后，速度方向反向，速度大小變為原來的，即v1＝2 m/s
小車在第1次與擋板碰撞后到與擋板第2次發生碰撞前共速，系統動量守恒：mAv1－M×v1＝(mA＋M)v2
解得v2＝v1＝2 m/s
小車從與擋板碰撞到與物塊A共速過程中小車的加速度
a＝＝μg＝1 m/s2
小車從第一次碰撞到第二次碰撞的路程s1＝2x1＝2×＝4 m
同理s2＝2x2＝2×s1
綜上所述，小車與擋板第1次碰撞后到最終停下來的過程中，小車的總路程：
s＝s1＋s2＋s3＋…＋sn＝s1＋s1＋()2s1＋…＋()n－1s1＝4.5 m。

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