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2024級高一下學期期末考試 數學試卷
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.已知向量，若，則( )
A. B. C. D.
2.（1+i）-（1-i）=（ ）
A 0 B 4 C -4i D 4i
3.在中，，，，則( )
A. B. C. D.
4.已知、，且、是方程的兩根，則的值為( )
A. B. C. D.
5.為了得到函數的圖象，只需要把函數的圖象上( )
A. 各點的橫坐標縮短到原來的，再向左平移個單位長度
B. 各點的橫坐標縮短到原來的，再向左平移個單位長度
C. 各點的橫坐標伸長到原來的倍，再向左平移個單位長度
D. 各點的橫坐標伸長到原來的倍，再向左平移個單位長度
6.如圖為地動儀的模型圖，地動儀共有東、南、西、北、東南、西南、東北、西北八個方位，每個方位上均有一個含龍珠的龍頭，且每個龍頭下方均有一只蟾蜍與其對應，任何一方如有地震發生，該方向龍口所含龍珠即落入蟾蜍口中，由此便可測出地震的方向在相距的，兩地各放置一個地動儀，在的南偏西方向，若地地動儀正東方位的龍珠落下，地地動儀東南方位的龍珠落下，則震中的位置距離地( )
A. B.
C. D.
7.在中，邊上的高等于，則( )
A. B. C. D.
8.已知，函數在上單調遞增，且對任意，都有
，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.已知，則下列說法正確的是( )
A. 的最小正周期為 B. 的最大值為
C. 關于對稱 D. 若，則
10.已知是夾角為的單位向量，且，則下列選項正確的是( )
A. B.
C. 的夾角為 D. 在上的投影向量為
11.在銳角中，，點為所在平面內一點，且滿足，則下列說法正確的是( )
A. 為三角形 的重心
B. 為三角形 的外心
C. 若 ，則 的取值范圍是
D. 若 ，則 的取值范圍是
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.中，角，，所對的邊分別為，，，已知，，，則角大小為______．
13.已知向量，，則在方向上的投影向量的坐標______．
14.在中，點為邊上一點且滿足，若點為上一點且滿足，則的最小值為______．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.本小題分
設．
若，求．若與共線，求與夾角的余弦值．
16.本小題分
設，，求：
求的最小正周期和單調遞減區間；
求在區間上的最小值，并求出此時對應的的值．
17.本小題分
已知中，，，分別為角，，的對邊，且．
求；
若，是的中點，且，求的面積．
18.本小題分
在中，角，，的對邊分別為，，，且C.
若，求角
若，，求邊的中線的長
若角的內角平分線的長為，求的最小值．
19.本小題分
已知函數，且的圖象關于原點對稱．
求的解析式；
將的圖象向右移個單位，再將所得到圖象的縱坐標變為原來的倍，得到的圖象已知關于的方程在內有個不同的解、．
求的取值范圍；
求用表示
2024級高一下學期期末考試
數學參考答案
1.
2.D
3.
4.
5.
6.
7.
8.A
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：當時，，
又，
則，
故．
，
又與共線，
又，
，解得，
，
．
16.解：由已知，
，
所以，則的最小正周期為，
令，解得，
所以的單調減區間為，；
由可知，當時，的單調減區間為，
時，的單調減區間為，
所以時，在上單調遞減，在上單調遞增，
所以，
即在處取得最小值．
17.解：在中，因為，即，
由余弦定理可得：，
可得，
因為，
所以；
因為是的中點，所以，
可得，，，
即，
解得，，
所以的面積為．
18.解：因為，
由正弦定理，得，即，
則，
又，則．
因為，
由正弦定理，得，
即，
即，
因為，則，即，
又，則．
則；
，
因為，由正弦定理得，則，
又，所以，
設中點為，
因為，
則，
所以
因為是角的內角平分線，，所以，
根據三角形面積公式，
即，
則，即，
則，
當且僅當時等號成立，
故的最小值為．
19.解：函數的原點關于原點對稱，
所以，其中，
因為，所以，
所以函數．
將的圖象向右移個單位，再將所得到圖象的縱坐標變為原來的倍，得到的圖象，
則，，
，，，
因為，所以，
因為．
．
結合正弦型函數性質可知，．
根據對稱性有：，所以，
所以，因為，
所以，
所以．

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