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/ 讓教學(xué)更有效 精品試卷 | 數(shù)學(xué)學(xué)科
廣東省（北師大版）2025年七年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)期末考前押題卷
滿分120分 時(shí)間120分鐘
學(xué)校:___________ 姓名：___________ 班級(jí)：___________ 考號(hào)：___________
一、選擇題（共30分）
1．中國“十二生肖”是中國文化的代表之一，被聯(lián)合國教科文組織列為人類非物質(zhì)文化遺產(chǎn)．某同學(xué)在新年來臨之際，通過簡筆畫描繪其一家四人的生肖屬相，分別代表“龍”“豬”“猴”“雞”，其中是軸對(duì)稱圖形的是（ ）
A． B． C． D．
2．禽流感病毒的形狀一般為球形，直徑大約為，數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示為（ ）
A． B． C． D．
3．如圖，在長方形的紙片上畫出，按下列方式折疊，能得到邊上的高的是（ ）
A．對(duì)折邊，使點(diǎn)B與點(diǎn)C重合，則高在折痕上
B．沿著過A點(diǎn)的直線對(duì)折，使點(diǎn)C落在直線上，則高在折痕上
C．沿著過B點(diǎn)的直線對(duì)折，使得邊與邊重合，則高在折痕上
D．延長，并沿著過B點(diǎn)的直線折疊，使得C落在直線上，則高在折痕上
4．下列運(yùn)算正確的是（　　）
A． B．
C． D．
5．以下列各組線段為邊，能組成三角形的是（ ）
A． B． C． D．
6．一個(gè)不透明的袋子中裝有3個(gè)白球和2個(gè)黃球，它們除顏色外無其他差別，從中隨機(jī)摸出一個(gè)小球，摸到黃球的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．已知，則的值為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．兄弟兩人沿五四廣場的木棧道跑步，領(lǐng)先的哥哥看弟弟跑的慢，就停下來看風(fēng)景．過了一會(huì)發(fā)現(xiàn)弟弟跑前面去了，急忙追趕，結(jié)果比弟弟提前到達(dá)終點(diǎn)．用分別表示弟弟和哥哥所跑的路程，t為跑步時(shí)間，則下列圖象中與故事情節(jié)相吻合的是（ ）
A． B．
C． D．
9．如圖，兩個(gè)正方形的邊長分別為a, b,如果a+b=ab=9,則陰影部分的面積為（ ）
A．36 B．27 C．18 D．9
10．如圖，銳角三角形中，直線l為的中垂線，直線m為的角平分線，l與m相交于P點(diǎn)．若，，則的度數(shù)是（　　）
A． B． C． D．
二、填空題（共15分）
11．某市話費(fèi)按每分鐘元計(jì)，則樂樂一個(gè)月的話費(fèi)（元）與通話時(shí)長（分鐘）之間的關(guān)系式是 ．
12．若是一個(gè)完全平方式，則的值是 ．
13．如圖，已知長方形紙片，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊和上，且，H和G分別是邊和上的動(dòng)點(diǎn)，現(xiàn)將點(diǎn)A，B，C，D分別沿、折疊至點(diǎn)N，M，P，K處，若，則的度數(shù)為 ．
14．如圖，中，是邊上的中線且，F(xiàn)是上的動(dòng)點(diǎn)，E是邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為 ．
15．若一個(gè)正整數(shù)能表示為兩個(gè)正整數(shù)的平方差，則稱這個(gè)正整數(shù)為“智慧數(shù)”（如，）．“智慧數(shù)”按從小到大的順序構(gòu)成如下數(shù)列：3，5，7，8，9，11，12，13，15，16，17，19，20，21，23，24，25，…，則第2024個(gè)“智慧數(shù)”是 ．
三、解答題（共75分）
16．（7分）計(jì)算：
(1)；
(2)（用簡便方法計(jì)算）；
17．（7分）先化簡，再求值：，其中，．
18．（7分）六一兒童節(jié)期間，某商場文具賣場為了吸引顧客，設(shè)立了一個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤（轉(zhuǎn)盤被等分成20個(gè)扇形），并規(guī)定：顧客每購買100元的商品，就能獲得一次轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤的機(jī)會(huì)．如果轉(zhuǎn)盤停止后，指針正好對(duì)準(zhǔn)紅色、黃色或綠色區(qū)域，顧客就可以分別獲得相應(yīng)的獎(jiǎng)品(如下表)．小明和媽媽購買了125元的商品，可以獲得一次轉(zhuǎn)盤的機(jī)會(huì)，請(qǐng)完成下列問題：
顏色 獎(jiǎng)品
紅色 筆袋
黃色 中性筆
綠色 橡皮
(1)小明獲得中性筆的概率是多少？
(2)小明獲得獎(jiǎng)品的概率是多少？
(3)為了吸引更多顧客，商家決定將獲得獎(jiǎng)品的概率提高為，則需要在原轉(zhuǎn)盤的基礎(chǔ)上將空白扇形涂色，那么需要再將幾個(gè)空白扇形涂上顏色？
19．（9分）某地政府為鼓勵(lì)節(jié)約用電，采用階梯式電價(jià)計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)．根據(jù)每戶居民每月的用電量（用電量均為整數(shù)，單位：千瓦·時(shí)）分為三檔進(jìn)行收費(fèi)（第一檔：月用電量不高于240千瓦·時(shí)．第二檔： 月用電量為千瓦·時(shí)，第三檔： 月用電量超過 400 千瓦·時(shí)）．設(shè)居民每月應(yīng)交電費(fèi)y（元） ，用電量為x（千瓦·時(shí)）
用電量（千瓦·時(shí)） 收費(fèi)（元）
不超過 240 千瓦·時(shí) 每千瓦·時(shí) 元
千瓦·時(shí) 每千瓦·時(shí) 元
超過 400千瓦·時(shí) 超過的部分每千瓦·時(shí) 元
(1)①每月用電量不超過240千瓦·時(shí)，y= ；
②每月用電量超過 400千瓦·時(shí)，y= ．
(2)若某戶居民用電量為210千瓦·時(shí)，則應(yīng)交電費(fèi)多少元
(3)若某戶居民某月交費(fèi)210元，則該戶居民用電多少千瓦·時(shí)
20．（9分）如圖，C為線段AE上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A、E重合)，在AE同側(cè)分別作正三角形ABC和正三角形CDE，AD與BE交于點(diǎn)O，AD與BC交于點(diǎn)P，BE與CD交于點(diǎn)Q，連接PQ．
(1)求證：△BEC≌△ADC．
(2)求證：△PQC是等邊三角形．
21．（9分）從邊長為a的正方形中剪掉一個(gè)邊長為b的正方形（如圖1），然后將剩余部分拼成一個(gè)長方形（如圖2）．
(1)設(shè)圖1中陰影部分面積為，圖2中陰影部分面積為，請(qǐng)直接用含a，b的代數(shù)式表示______，_______；寫出上述過程所揭示的乘法公式：_________．
(2)請(qǐng)應(yīng)用上面的公式完成下列各題：①若，，則________；
②計(jì)算：．
22．（13分）綜合與實(shí)踐數(shù)學(xué)社團(tuán)的同學(xué)以“兩條平行線，和一塊含 角的直角三角板 （， ）”為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng)， 已知點(diǎn)E、F不能同時(shí)落在直線和 之間．
(1)觀察猜想：如圖1，把三角板的角的頂點(diǎn)E，G 分別放在，上，若 則 的度數(shù)為 ；
(2)類比探究：如圖2，把三角板的銳角頂點(diǎn) G 放在上，且保持不動(dòng)，繞點(diǎn) G 轉(zhuǎn)動(dòng)三角板，若點(diǎn)E恰好落在和之間，且與所夾銳角為 （即 求 的度數(shù)；
(3)解決問題：把三角板的銳角頂點(diǎn)G放在上，在繞點(diǎn)G旋轉(zhuǎn)三角板的過程中，若存在()， 請(qǐng)求出射線與相交所夾銳角的度數(shù)．
23．（14分）如圖1，已知，，，點(diǎn)P在線段上由點(diǎn)B向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度與運(yùn)動(dòng)時(shí)間之間的關(guān)系如圖2所示．
(1)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度為 ；
(2)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)，求線段的長（用含t的代數(shù)式表示）；
(3)點(diǎn)Q在射線上由點(diǎn)B向點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)，與點(diǎn)P同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)隨之結(jié)束．當(dāng)點(diǎn)Q的速度是多少時(shí)，與全等？
參考答案
題號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A D C B A C A B C
1．D
【分析】此題考查了軸對(duì)稱圖形的概念，根據(jù)概念逐一判斷即可，如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸，這時(shí)，我們也可以說這個(gè)圖形關(guān)于這條直線(成軸）對(duì)稱，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】、不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；
、不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；
、不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；
、是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)符合題意；
故選：．
2．A
【分析】根據(jù)科學(xué)記數(shù)法的定義即可得．
【詳解】解：，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了科學(xué)記數(shù)法，熟記科學(xué)記數(shù)法的定義（將一個(gè)數(shù)表示成的形式，其中，為整數(shù)，這種記數(shù)的方法叫做科學(xué)記數(shù)法）是解題關(guān)鍵．確定的值時(shí)，要看把原數(shù)變成時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．
3．D
【分析】本題主要考查了折疊的性質(zhì)與三角形的相關(guān)知識(shí)，根據(jù)折疊的性質(zhì)與三角形的高，角平分線等知識(shí)一一判斷即可．
【詳解】解：．對(duì)折邊，使點(diǎn)B與點(diǎn)C重合，則的垂直平分線在折痕上，故該選項(xiàng)不符合題意；
．沿著過A點(diǎn)的直線對(duì)折，使點(diǎn)C落在直線上，則邊上的高在折痕上 ，故該選項(xiàng)不符合題意；
．沿著過B點(diǎn)的直線對(duì)折，使得邊與邊重合，則的平分線在折痕上，故該選項(xiàng)不符合題意；
．延長，并沿著過B點(diǎn)的直線折疊，使得C落在直線上，則上的高在折痕上 ，故該選項(xiàng)符合題意；
故選：D．
4．C
【分析】本題考查整式的運(yùn)算，根據(jù)同底數(shù)冪的乘法，單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式，多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的法則，進(jìn)行計(jì)算后判斷即可．
【詳解】解：A、，原選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤；
B、，原選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤；
C、，正確；
D、，原選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤；
故選：C．
5．B
【分析】本題考查三角形的三邊關(guān)系，關(guān)鍵是掌握三角形的三邊關(guān)系定理．判定三條線段能否構(gòu)成三角形時(shí)，只要兩條較短的線段長度之和大于第三條線段長度即可．
【詳解】解：A、，長度是的線段不能組成三角形，故A不符合題意；
B、，長度是的線段能組成三角形，故B符合題意；
C、，長度是的線段不能組成三角形，故C不符合題意；
D、，長度是的線段不能組成三角形，故D不符合題意．
故選：B．
6．A
【分析】本題考查的是概率公式，熟知隨機(jī)事件A的概率事件A可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)與所有可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)的商是解答此題的關(guān)鍵．
根據(jù)概率計(jì)算公式進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：∵不透明的袋子里裝有3個(gè)白球和2個(gè)黃球，
∴從袋子中隨機(jī)摸出一個(gè)，摸到黃球的概率為．
故選：A．
7．C
【分析】本題考查冪的乘方的逆用，同底數(shù)冪的乘除法，利用冪的運(yùn)算法則結(jié)合，得到，進(jìn)而得到，得到，求解即可．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
故選C．
8．A
【分析】弟弟是勻速行走的，圖象為線段，哥哥是：先跑后停再急跑，圖象為三條折線組成；最后弟弟比哥哥晚到，即弟弟到終點(diǎn)花的時(shí)間多．
【詳解】解：根據(jù)題意，一直增加；有三個(gè)階段：1、增加，2、停下了看風(fēng)景，不變，3、于是急忙追趕，增加；最后弟弟比哥哥晚到，即在的上方，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖象，行程問題，分析清楚時(shí)間與路程的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
9．B
【分析】陰影部分面積等于兩個(gè)正方形面積之和減去兩個(gè)直角三角形面積，求出即可．
【詳解】解：∵a+b=ab=9，
∴S=a2+b2-a2-b（a+b）=（a2+b2-ab）=[（a+b）2-3ab]= ×（81-27）=27．
故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查整式的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．
10．C
【分析】根據(jù)角平分線定義求出，根據(jù)線段的垂直平分線性質(zhì)得出，求出，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出方程，求出方程的解即可．
【詳解】解：平分，
，
直線l是線段的垂直平分線，
，
，
，
，
，
解得：，故C正確．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，線段垂直平分線性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的定義，能求出是解此題的關(guān)鍵，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
11．
【分析】本題主要考查了列函數(shù)關(guān)系式，掌握話費(fèi)與通話時(shí)間和每分鐘計(jì)費(fèi)的關(guān)系成為解題的關(guān)鍵．
根據(jù)“話費(fèi)=每分鐘收費(fèi)×?xí)r間”進(jìn)行列式即可解答．
【詳解】解：根據(jù)“話費(fèi)=每分鐘收費(fèi)×?xí)r間”可得話費(fèi)（元）與通話時(shí)長（分鐘）之間的關(guān)系式是．
故答案為：．
12．或
【分析】本題主要考查完全平方公式，根據(jù)完全平方公式得出結(jié)論即可．熟練掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：是一個(gè)完全平方式，
，
即，
故答案為：或．
13．或
【分析】分兩種情況討論：當(dāng)在上方時(shí)，延長，相交于Q點(diǎn)，證明，則，求出，則可得的度數(shù)；當(dāng)在下方時(shí)，延長交于Q點(diǎn)，證明，則．求出，則可得的度數(shù)．
本題考查了矩形中的折疊問題，分類討論，掌握平行線的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：①如圖，在上方時(shí)，
延長，相交于Q點(diǎn)，
由折疊知：，，
，
，
，
，
，
，，
，
由折疊知：，
，
，
；
②如圖，在下方時(shí)，
延長，交于Q點(diǎn)，
由折疊知：，，
，
又，
，
，
，
，
，
，
，，
，
由折疊知：，
，
．
故答案為：或
14．/
【分析】本題考查了軸對(duì)稱-最短路線問題，作E關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)M，連接交于F，連接，過C作于N，根據(jù)三線合一定理求出的長和，根據(jù)三角形面積公式求出，根據(jù)對(duì)稱性求出，根據(jù)垂線段最短得出，即可得出答案．
【詳解】解：作E關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)M，連接交于F，連接，過C作于N，
∵是邊上的中線，
∴平分，
∴M在上，
在中，，
∴ ，
∴，
∵E關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)M，
∴，
∴，
根據(jù)垂線段最短得出：，
即，
即的最小值是，
故答案為：．
15．2701
【分析】本題考查了探索規(guī)律的問題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意找出規(guī)律，從而得出答案．根據(jù)題意觀察探索規(guī)律，知全部智慧數(shù)從小到大可按每三個(gè)數(shù)分一組，從第2組開始每組的第一個(gè)數(shù)都是4的倍數(shù)，第二個(gè)數(shù)比第一個(gè)數(shù)大1．歸納可得第n組的第二個(gè)數(shù)為，又因?yàn)椋缘?024個(gè)智慧數(shù)是第675組中的第2個(gè)數(shù)，從而得到．
【詳解】解：觀察探索規(guī)律，知全部智慧數(shù)從小到大可按每三個(gè)數(shù)分一組，從第2組開始每組的第一個(gè)數(shù)都是4的倍數(shù)，第二個(gè)數(shù)比第一個(gè)數(shù)大1．
歸納可得第n組的第二個(gè)數(shù)為，
∵，
∴第2024個(gè)智慧數(shù)是第675組中的第2個(gè)數(shù)，
即為．
故答案為：2701．
16．(1)0
(2)
【分析】（1）先計(jì)算冪運(yùn)算、絕對(duì)值、零指數(shù)冪和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，再進(jìn)行實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算即可；
（2）利用平方差公式進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算、冪運(yùn)算、絕對(duì)值、零指數(shù)冪和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、平方差公式，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
17．，
【分析】本題考查了整式的混合運(yùn)算—化簡求值，平方差公式，完全平方公式，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．先利用平方差公式，完全平方公式計(jì)算括號(hào)里，再算括號(hào)外，然后把，的值代入化簡后的式子進(jìn)行計(jì)算，即可解答．
【詳解】解：
，
當(dāng)，時(shí)，原式．
18．(1)
(2)
(3)5
【分析】本題主要考查了簡單的概率計(jì)算，已改概率求數(shù)量：
（1）用黃色區(qū)域數(shù)除以20即可得到答案；
（2）用黃色，綠色，紅色的區(qū)域數(shù)之和除以20即可得到答案；
（3）用20乘以獲獎(jiǎng)概率得到染色的區(qū)域總數(shù)，再減去原本染色的區(qū)域總數(shù)即可得到答案.
【詳解】（1）解：，
∴小明獲得中性筆的概率是；
（2）解：，
∴小明獲得獎(jiǎng)品的概率是；
（3）解：∵獲得獎(jiǎng)品的概率提高為，
∴涂色的區(qū)域一共有個(gè)，
∵，
∴需要再將5個(gè)空白扇形涂上顏色.
19．(1)①；②
(2)（元）
(3)本月用電344度
【分析】(1) ①根據(jù)費(fèi)用=單價(jià)乘以用電量，列式計(jì)算即可．
②根據(jù)費(fèi)用=單價(jià)乘以用電量，列式計(jì)算即可．
(2)根據(jù)(1)求得的結(jié)果，討論x的值，得出的結(jié)論．
（3）根據(jù)當(dāng)時(shí)，最多費(fèi)用為元；當(dāng)時(shí)，最多費(fèi)用為元；當(dāng)時(shí)，費(fèi)用大于元；根據(jù)分檔計(jì)算即可．
本題考查了一元一次方程的生活實(shí)際應(yīng)用，正確理解分檔的界點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】（1）①根據(jù)時(shí)，每千瓦·時(shí) 元，
故，
故答案為：．
②根據(jù)時(shí)，每千瓦·時(shí) 元，
故
，
故答案為：．
（2）根據(jù)時(shí)，每千瓦·時(shí) 元，
故，
由，
故當(dāng)時(shí)，
(元)．
答：應(yīng)交電費(fèi)元．
（3）根據(jù)題意，當(dāng)時(shí)，最多費(fèi)用為元；
當(dāng)時(shí)，最多費(fèi)用為元；
當(dāng)時(shí)，費(fèi)用大于元；
∵，
∴用電量滿足，
設(shè)用電x度，根據(jù)題意，得，
解得，
答：本月用電344度．
20．(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）利用證得
（2）證明則可得又由即可證得：為等邊三角形．
【詳解】（1）如圖，
∵△ABC和△CDE為等邊三角形，
∴AC＝BC，CE＝CD，∠ACB＝∠ECD＝60°．
∴∠ACB＋∠3＝∠ECD＋∠3，
即∠ACD＝∠BCE．
又∵C在線段AE上，
∴∠3＝60°．
在△ACD和△BCE中，
∴△ACD≌△BCE．
（2）∵△ACD≌△BCE．
∴∠1＝∠2．
在△APC和△BQC中，
∴△APC≌△BQC．
∴CP＝CQ．
∵∠3＝60°，CP＝CQ．
∴△PCQ為等邊三角形.
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)與判定，掌握等邊三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．
21．(1)；；
(2)①4；②
【分析】本題主要考查了平方差公式的推導(dǎo)（通過圖形面積轉(zhuǎn)化 ）及應(yīng)用，熟練掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)特征和靈活運(yùn)用公式進(jìn)行計(jì)算、變形是解題的關(guān)鍵．
（1）分別根據(jù)圖1、圖2的圖形特征，用面積公式表示出、，再通過面積相等得出乘法公式．
（2）①利用（1）中得出的乘法公式，將變形后，結(jié)合已知條件求解．②把每個(gè)括號(hào)內(nèi)的式子用平方差公式變形，然后通過約分計(jì)算出結(jié)果．
【詳解】（1）解：圖1中陰影部分是大正方形減小正方形，大正方形邊長為，小正方形邊長為，
∴．
圖2中長方形長為，寬為，
∴．
因?yàn)椋?br/>∴ ．
故答案為：；； ．
（2）解：①，且，
故答案為 ．
②
．
22．(1)100
(2)110
(3)或
【分析】（1）根據(jù)題意，得，繼而得到，得到，結(jié)合，
解答即可．
（2）過E作，利用平行線的判定和性質(zhì)，解答即可．
（3）設(shè)，則，分 在之上和下面兩種情況求解即可．
本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，平角的定義，分類思想，熟練掌握平行線的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】（1）解：根據(jù)題意，得，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案為：100．
（2）解：過E作，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∵，，
∴．
（3）解：設(shè)，則，
如圖2，當(dāng) 在之上時(shí)，設(shè)的交點(diǎn)為H，
∵，，
∴，
解得，
∴．
∵，
∴，
∴．
如圖3，當(dāng) 在之下時(shí)，延長與的交點(diǎn)為H，
∵，，
∴，
解得，
∴．
∵，
∴，
∴．
綜上所述，射線與相交所夾銳角的度數(shù)或．
．
23．(1)3
(2)
(3)或
【分析】本題考查的是從函數(shù)圖象中獲取性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)；清晰的分類討論是解本題的關(guān)鍵；
（1）根據(jù)函數(shù)圖象可得答案；
（2）先表示，再利用線段的和差關(guān)系可得答案；
（3）由，再分兩種情況討論：①當(dāng)時(shí)，設(shè)點(diǎn)Q的速度為，②當(dāng)時(shí)，再建立方程求解即可；
【詳解】（1）解：由圖象可得：點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度為；
（2）解：∵，，
∴；
（3）解：∵，
①當(dāng)時(shí)，設(shè)點(diǎn)Q的速度為，
∴，，
∴，，
解得：，
②當(dāng)時(shí)，
∴，，
∴，，
解得：；
綜上：點(diǎn)Q的速度是或

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