資源簡介

湖南省婁底市部分學校2024-2025學年高二下學期期中聯考數學試題
學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________
一、單選題
1．若，，則（ ）
A． B．
C． D．
2．若（為虛數單位），則復數的虛部為（ ）
A． B． C． D．
3．已知向量，，若，則（ ）
A． B．1 C．2 D．4
4．已知是公差為2的等差數列，且，，成等比數列，則等于（ ）
A．63 B．72 C．81 D．90
5．設為銳角，若，則（ ）
A． B． C． D．
6．已知直線和圓，則直線與圓的位置關系是（ ）
A．相切 B．相交 C．相離 D．相交或相切
7．已知函數且，若在上為減函數，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
8．已知定義在上的函數滿足，，則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
9．下列命題中，正確的命題為（ ）
A．已知隨機變量服從二項分布，若，，則
B．將一組數據中的每個數據都加上同一個常數后，方差可能會變
C．設隨機變量服從正態分布，若，則
D．對于回歸分析，相關系數的絕對值越大，說明擬合效果越好
10．已知函數，則下列選項正確的有（ ）
A．不是的周期
B．成立的充要條件是，
C．的圖象可通過的圖象上所有點向左平移個單位長度得到
D．在區間上單調遞減
11．已知定義在上的函數滿足，若時，，則下列選項正確的有（ ）
A．的最小正周期
B．的圖象關于對稱
C．
D．函數在區間上所有的零點之和為2
三、填空題
12．展開式中的常數項為 ．
13．如圖，在中，，，為的中點，沿將翻折至的位置，使得平面平面，則三棱錐外接球的表面積為 ．
14．甲、乙、丙3臺機床加工統一型號的零件，它們加工的零件依次占總數的，，，已知甲機床加工的次品率為0.05，乙機床加工的次品率為0.15，丙機床加工的次品率為0.15，加工出來的零件混放在一起，現從中任取一個零件為次品的概率為 ，該次品來自乙機床的概率為 ．
四、解答題
15．在中，角，，對應的邊分別為，，，滿足．
(1)求；
(2)若，求的取值范圍．
16．已知橢圓，為的左焦點，右頂點到的距離為，且離心率為，直線過點．
(1)求橢圓的方程；
(2)若直線與橢圓交于、兩點（、異于左、右頂點），求直線與的斜率之積．
17．如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，側面為等腰直角三角形，平面平面，且，．

(1)求證：；
(2)求平面與平面夾角的余弦值．
18．慢跑是一項簡單且高效的有氧運動，長期堅持能顯著提升身體健康水平，它通過增強心肺功能、促進代謝、改善情緒等多方面作用，成為大眾健身的首選方式之一．某志愿者協會隨機對全市100位居民的跑步時間進行了問卷調查，并將問卷中的這100人根據其跑步時長分組統計如圖所示．
(1)求的取值以及這組數據的中位數（結果精確到）；
(2)已知跑步時長在分鐘內的男生數與女生數之比為，若在該區間的人中隨機抽取2人進行采訪，求2人均為男生的概率；
(3)用樣本估計總體，在全市慢跑居民中隨機抽取3人，記抽取的3人中時長在區間中的人數為，求的分布列及期望．
19．已知函數．
（1）當時，求函數的單調區間；
（2）當時，求證：總存在唯一的極小值點，且．
湖南省婁底市部分學校2024-2025學年高二下學期期中聯考數學試題參考答案
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A D C C D A B AD BCD
題號 11
答案 BC
1．B
【詳解】，解得，，
又，.
故選：B.
2．A
【詳解】由已知得，化簡得.
故選：A.
3．D
【詳解】由已知得：，，
所以，解得.
故選：D
4．C
【詳解】由是公差為2的等差數列，且，，成等比數列，可得，
即，解得，代入，故.
故選：C.
5．C
【詳解】.
故選：C
6．D
【詳解】由題意，直線可化為：，
直線過定點，代入圓中，
易知該點為圓上一點，所以直線1與圓相交或相切.
故選：D.
7．A
【詳解】當時，單調遞減，此時，
若當時，單調遞減，則，此時，
因為在上單調遞減，所以，解得，又，所以.
故選：A.
8．B
【詳解】設，
則，
因為，所以，又，所以恒成立，
所以在定義域上單調遞增．
故原不等式可轉化為，又，所以，
所以，所以，故不等式的解集為．
故選：B
9．AD
【詳解】A選項：，，，正確；
B選項：將一組數據中的每個數據都加上同一個常數后，方差恒不變，錯誤；
C選項：隨機變量服從正態分布，則，
若，則，則，錯誤；
D選項：對于回歸分析，相關系數的絕對值越大，說明擬合效果越好，正確.
故選：AD
10．BCD
【詳解】A：是的最小正周期，故是的周期，錯．
B：當時，，，則，，正確．
C：把的圖象上所有點向左平移個單位長度得到，正確．
D：，則，
在區間上單調遞減，正確．
故選：BCD
11．BC
【詳解】因為，所以是奇函數；
因為，所以的圖象關于對稱，
所以，則，
因而，所以的最小正周期，故A錯誤；
由，
則的一個對稱中心為，故B正確；
，故C正確；
當時，單調遞增且值域為，
因為的圖象關于對稱，所以在單調遞減且值域為，
又因為是奇函數，所以在的圖象關于對稱且值域為，
所以函數在區間上有兩個零點，且所有零點之和為-2，故D錯誤.
故選：BC.
12．
【詳解】二項式展開式的通項為（且），
令，解得，所以，
即展開式中的常數項為.
故答案為：
13．
【詳解】在中，，，為的中點，則，
平面平面，平面平面，平面，
且，
平面，又，
取的中點，連接，則，
過作，則平面，
設三棱錐的外接球球心為，則球心必位于上，如圖：
設其半徑為，則，
，，解得，
三棱錐的外接球的表面積為．
故答案為：
14． 0.1/ 0.3/
【詳解】記為事件“零件為第臺車床加工”，
則，，，
B為事件“任取一個零件為次品”，由全概率公式得：
，
由貝葉斯公式得：.
故答案為：0.1；0.3.
15．(1)
(2)
【詳解】（1），
，
在中，由正弦定理得，
因為，則,
，則．
因為，所以．
（2）由（1）知，又，
則由正弦定理，，
，， 又在中，,
則
，
，，，
故.
16．(1)
(2)
【詳解】（1）設橢圓的半焦距為，由已知點、，
依題意得，解得，
所以橢圓的方程為.
（2）依題意可得直線的斜率存在且不為，
設直線的方程為，設點、，
由得，，可得，
由韋達定理可得， ，
已知，則，同理可得，
所以
.
17．(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）底面為直角梯形，，為直角，，，
，，得，所以，
又平面平面，平面平面，平面，則平面，
又平面，，
又側面為等腰直角三角形，，，
又，平面，又平面，所以，．
（2）平面平面，平面平面，
可過點作垂足為，
由題意知為等腰直角三角形，故點為線段的中點，且，
分別以過點與直線，平行的直線為軸，軸，以所在直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，，，，，

所以，，，
設平面的一個法向量為，
則，即，取，，所以，
設平面的一個法向量為，
則，即，取，，，則，
設平面與平面的夾角為，
則，
所以平面與平面夾角的余弦值為.
18．(1)，56.7
(2)
(3)分布列見解析，
【詳解】（1）根據題意可得，解得；
因為前3組的頻率依次為0.1，0.2，0.3，，
所以中位數在50和60之間，設中位數為，則，解得，
所以該市群眾每天慢跑時長的中位數約為56.7.
（2）慢跑時長在分鐘內有人，
因為男生數與女生數之比為，所以其中男生6人，女生4人，
記“隨機抽取2人進行采訪，2人均為男生”為事件，
所以.
（3）因為用樣本估計總體，所以任取1人時長在的概率為，
隨機變量服從二項分布，即，的可能取值為0，1，2，3，
，，
，，
所以的分布列如下表：
X 0 1 2 3
P
.
19．（1）在上單調遞減，在上單調遞增；（2）證明見解析．
【詳解】（1）函數的定義域為．
當時，，所以，
易知在上單調遞增，且．
則在上，在上，
從而在上單調遞減，在上單調遞增．
（2）證明：，所以，且．
設，則，
所以在上單調遞增，即在上單調遞增，
由即，設
，則在上單調遞增且．
則當時，都恰有一個，使得，
且當時，當時，
因此總有唯一的極小值點．
所以，從而，
極小值
由，可得當時，即，
隨增大而增大，易得．
令，則，設，
，所以在上單調遞減，且，從而．
即．

展開更多......

收起↑