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2024-2025學年（下）高一年級摸底考試
數學
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 已知事件互斥，且，則（ ）
A 0.3 B. 0.5 C. 0.6 D. 0.9
2. 已知復數滿足，則的虛部為 （ ）
A. B. C. D. 2
3. 已知數據的分位數是8，則實數的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
4. 已知在平行四邊形中，，，記，，則（ ）
A. B. C. D.
5. 如圖，正四面體棱長均為2，是棱的中點，是棱上一動點，則的最小值為（ ）
A. B. C. D.
6. 某同學課后進行“拋擲一枚質地均勻的硬幣次”的實驗，每次拋擲硬幣的結果互不影響.設事件次中反面朝上的次數大于0且小于，則（ ）
A B. C. D.
7. 魏晉時期的數學家劉徽撰寫的《海島算經》是中國最早的一部關于測量的數學著作，其中給出了測量建筑物高度的方法.如圖，是某球形建筑物與水平地面的接觸點（即切點），若在地面上與點共線的點處測得球形建筑物上點的最大仰角分別為和，且，則該球形建筑物的表面積為（ ）參考數據：，.
A. B. C. D.
8. 在中，內角的對邊分別為，若，則的最小值為（ ）
A. B. C. D.
二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 2020年至2024年某地植被面積的年增加量（單位：萬公頃）如圖所示，則（ ）
A. 這組數據的極差為0.7
B. 這組數據的平均數為3.7
C. 從這5個數據中隨機抽取1個，抽到的數據與中位數之差大于0.2的概率為
D. 從這5個數據中隨機抽取1個，抽到的數據大于3.5的概率為
10. 如圖，在棱長為2的正方體中，為的中點，為正方形內一動點（含邊界），且平面，則（ ）
A. 正方體的外接球半徑為
B. 平面
C. 三棱錐的體積為定值
D. 動點的軌跡是一條線段
11. 已知復數，（均為非零實數）在復平面內對應點分別為，定義運算，記復數的實部為，虛部為，則下列結論中正確的是（ ）
A 若，則
B. 若，則向量的夾角為銳角
C.
D.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 若的面積，則__________.
13. 將面積為1的直角三角形繞其斜邊所在直線旋轉一周得到的幾何體體積的最大值為____________.
14. 在中，已知，O是的外心，且，則______．
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 已知向量.
（1）若，求；
（2）若，求；
（3）若，求在上的投影向量的坐標.
16. 已知復數是方程的兩根，且在復平面內，對應的點在對應的點的上方.
（1）求；
（2）求；
（3）求在復平面內對應的點的坐標.
17. 在某高校舉行的一次國際學術與文化交流會上，對外國留學生舉行了“中華文化知多少”的知識競賽.某數學興趣小組從中隨機抽取部分學生的成績，整理后分成五段：，繪制了如下的頻率分布直方圖 .
（1）求的值；
（2）若參賽學生共有2000名，估計其中成績小于70分的人數；
（3）已知樣本中在內的成績的平均數為52，方差為105，在內的成績的平均數為72，方差為503，估計所有參賽學生成績的方差.
18. 記的內角的對邊分別為，已知，.
（1）證明：為等腰三角形；
（2）若，為的中點，求的最大值.
19. 如圖，三棱錐的體積為，二面角為銳角，為的中點，平面平面，.
（1）證明：平面；
（2）求二面角的正弦值；
（3）若分別是直線上一點，且平面，記平面平面，與所成角的正弦值為，求的值.
2024-2025學年（下）高一年級摸底考試
數學
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
【1題答案】
【答案】B
【2題答案】
【答案】A
【3題答案】
【答案】C
【4題答案】
【答案】D
【5題答案】
【答案】B
【6題答案】
【答案】B
【7題答案】
【答案】C
【8題答案】
【答案】D
二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
【9題答案】
【答案】ABD
【10題答案】
【答案】ACD
【11題答案】
【答案】AD
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
【12題答案】
【答案】
【13題答案】
【答案】
【14題答案】
【答案】
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
【15題答案】
【答案】（1）
（2）
（3）
【16題答案】
【答案】（1）
（2）
（3）
【17題答案】
【答案】（1）；
（2）；
（3）467.6.
【18題答案】
【答案】（1）證明見解析
（2）
【19題答案】
【答案】（1）證明見解析
（2）
（3）或

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