資源簡介

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2025年高一年級分班考試數(shù)學(xué)模擬試卷（3）
一．選擇題
1．設(shè)a，b，c為不為零的實(shí)數(shù)，那么的不同的取值共有（　　）
A．6種 B．5種 C．4種 D．3種
2．若u，ν滿足v＝++，那么u2﹣uv+v2＝（　　）
A． B． C． D．
3．在解決代數(shù)問題時我們常會通過構(gòu)建幾何圖形來分析．比如在計算tan15°時，如圖，在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延長CB使BD＝AB，連接AD，得∠D＝15°，所以tan15°＝＝．類比這種方法，可得tan22.5°的值為（　　）
A． B．﹣1 C． D．
4．甲、乙兩人同時同地出發(fā)相背而行，1小時后分別到達(dá)各自的目的地A、B，若仍以原來的速度出發(fā)并互換彼此到達(dá)的目的地，則甲在乙到達(dá)A地35分鐘后到達(dá)B地，則甲乙兩人的速度之比是（　　）
A． B． C． D．
5．關(guān)于x的函數(shù)，當(dāng)m＜x＜1時，y2＜y1．若y3＜y1，則（　　）
A．﹣m+2＜x＜1 B．m+2＜x＜1 C．1＜x＜﹣m+2 D．1＜x＜m+2
6．已知a＝m+2024，b＝m+2025，c＝m+2026，則代數(shù)式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值為（　　）
A．5 B．6 C．3 D．8
7．若關(guān)于x的方程||x﹣2|﹣1|＝a有三個整數(shù)解，則a的值是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
8．一張圓桌旁有四個座位，A先坐在如圖所示的座位上，B，C，D三人隨機(jī)坐到其他三個座位上，則A與B不相鄰而坐的概率為（　　）
A． B． C． D．
9．對于一個函數(shù)：當(dāng)自變量x取a時，其函數(shù)值y也等于a，我們稱a為這個函數(shù)的不動點(diǎn)．若二次函數(shù)y＝x2+2x+c（c為常數(shù)）有兩個不相等且都小于1的不動點(diǎn)，則c的取值范圍是（　　）
A．c＜﹣3 B．﹣3＜c＜﹣2 C．﹣2＜c＜ D．c＞
10．如圖，已知矩形ABCD，點(diǎn)E是AB邊的中點(diǎn)，F(xiàn)為AD邊上一點(diǎn)，∠DFC＝2∠BCE，若CE＝4，CF＝5，有如下結(jié)論：①CF＝BC+AF，②DF＝，③BC＝，④∠BCE＝∠BCF，其中正確的是（　　）
A．②④ B．①②④ C．①③ D．①③④
二．填空題
11．計算：＝　 　
12．8位裁判給一位運(yùn)動員打分，每個人給的分?jǐn)?shù)都是整數(shù)，去掉一個最高分，再去掉一個最低分，其余得分的平均數(shù)為該運(yùn)動員的得分．若用四舍五入取近似值的方法精確到十分位，該運(yùn)動員得8.3分，如果精確到百分位，該運(yùn)動員得分應(yīng)當(dāng)是 　 　 ．
13．有一列數(shù)，記第n個數(shù)為an，已知a1＝2，當(dāng)n＞1時，，則a2024的值為 　 　 ．
14．已知：實(shí)常數(shù)a、b、c、d同時滿足下列兩個等式：①asinθ+bcosθ﹣c＝0；②acosθ﹣bsinθ+d＝0（其中θ為任意銳角），則a、b、c、d之間的關(guān)系式是：　 　 ．
15．設(shè)max{x，y}表示x，y兩個數(shù)中的最大值．例如“max{1，3}＝3，max{﹣2，0，}＝”．則關(guān)于x的函數(shù)y＝max{2x，﹣x﹣2，﹣x2}的最小值為 　 　 ．
16．如圖，AB為半圓的直徑，C是半圓弧上任一點(diǎn)，正方形DEFG的一邊DG在直線AB上，另一邊DE過△ABC的內(nèi)切圓圓心I，且點(diǎn)E在半圓弧上，已知DE＝9，則△ABC的面積為　 　 ．
三．解答題
17．計算：．
18．已知正數(shù)a、b滿足a+b＝4．
（1）求的最小值；
（2）若xy＝6，bx+ay＝9，x+y＝11﹣2ab，求a，b，x，y的值．
19．如圖，正方形BCEF的中心為O，△CBO的外接圓上有一點(diǎn)A（A、O在BC同側(cè)，A、C在BO異側(cè)），且AB＝2，AO＝4．
（1）求∠CAO的值；
（2）求tan∠ACB的值；
（3）求正方形BCEF的面積．
20．已知函數(shù)f（x）＝﹣2x2+bx+c在x＝1時有最大值1．
（1）求實(shí)數(shù)b，c的值；
（2）設(shè)0＜m＜n，若當(dāng)m≤x≤n時，f（x）的最小值為，最大值為，求m，n的值．
21．已知，等邊△ABC邊長為6，P為BC邊上一點(diǎn)，且BP＝4，點(diǎn)E、F分別在邊AB、AC上，且∠EPF＝60°，設(shè)BE＝x，CF＝y(tǒng)．
（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；
（2）①若四邊形AEPF的面積為4時，求x的值．②四邊形AEPF的面積是否存在最大值？若存在，請直接寫出面積的最大值；若不存在，請說明理由．
22．定義：如圖1，點(diǎn)M、N把線段AB分割成AM、MN和BN，若以AM、MN、BN為邊的三角形是一個直角三角形，則稱點(diǎn)M、N是線段AB的勾股點(diǎn)．
（1）已知點(diǎn)M、N是線段AB的勾股點(diǎn)，若AM＝1，MN＝2，求BN的長；
（2）如圖2，點(diǎn)P（a，b）是反比例函數(shù)y＝（x＞0）上的動點(diǎn)，直線y＝﹣x+2與坐標(biāo)軸分別交于A、B兩點(diǎn)，過點(diǎn)P分別向x、y軸作垂線，垂足為C、D，且交線段AB于E、F．證明：E、F是線段AB的勾股點(diǎn)；
（3）如圖3，已知一次函數(shù)y＝﹣x+3與坐標(biāo)軸交于A、B兩點(diǎn)，與二次函數(shù)y＝x2﹣4x+m交于C、D兩點(diǎn)，若C、D是線段AB的勾股點(diǎn)，求m的值．
答案與解析
一．選擇題
1．設(shè)a，b，c為不為零的實(shí)數(shù)，那么的不同的取值共有（　　）
A．6種 B．5種 C．4種 D．3種
【點(diǎn)撥】根據(jù)絕對值的定義，分情況討論，從而得出不同的取值的種數(shù)．
【解析】解：①當(dāng)a＞0，b＞0，c＞0時，原式＝1+1+1＝3；
②當(dāng)a＞0，b＞0，c＜0時，原式＝1+1﹣1＝1；
③當(dāng)a＞0，b＜0，c＞0時，原式＝1﹣1+1＝1；
④當(dāng)a＞0，b＜0，c＜0時，原式＝1﹣1﹣1＝﹣1；
⑤當(dāng)a＜0，b＞0，c＞0時，原式＝﹣1+1+1＝1；
⑥當(dāng)a＜0，b＞0，c＜0時，原式＝﹣1+1﹣1＝﹣1；
⑦當(dāng)a＜0，b＜0，c＞0時，原式＝﹣1﹣1+1＝﹣1；
⑧當(dāng)a＜0，b＜0，c＜0時，原式＝﹣1﹣1﹣1＝﹣3．
∴的不同的取值共有4種．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了絕對值的定義，分類討論的思想，注意不要遺漏，不要重復(fù)．
2．若u，ν滿足v＝++，那么u2﹣uv+v2＝（　　）
A． B． C． D．
【點(diǎn)撥】依據(jù)與互為相反數(shù)，它們都是非負(fù)數(shù)，即可得到2u＝v，代入等式即可得到u和v的值，進(jìn)而得出結(jié)論．
【解析】解：由題可得，與互為相反數(shù)，
又∵它們都是非負(fù)數(shù)，
∴＝＝0，
∴2u＝v，
∴v＝0+0+＝，
∴u＝，
∴u2﹣uv+v2＝﹣+＝，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式有意義的條件，如果一個式子中含有多個二次根式，那么它們有意義的條件是：各個二次根式中的被開方數(shù)都必須是非負(fù)數(shù)．
3．在解決代數(shù)問題時我們常會通過構(gòu)建幾何圖形來分析．比如在計算tan15°時，如圖，在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延長CB使BD＝AB，連接AD，得∠D＝15°，所以tan15°＝＝．類比這種方法，可得tan22.5°的值為（　　）
A． B．﹣1 C． D．
【點(diǎn)撥】在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝45°，延長CB使BD＝AB，連接AD，得∠D＝22.5°，設(shè)AC＝BC＝1，則AB＝BD＝，根據(jù)tan22.5°＝計算即可．
【解析】解：在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝45°，延長CB使BD＝AB，連接AD，得∠D＝22.5°，
設(shè)AC＝BC＝1，則AB＝BD＝，
∴tan22.5°＝＝＝﹣1，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，學(xué)會把問題轉(zhuǎn)化為特殊角，屬于中考常考題型．
4．甲、乙兩人同時同地出發(fā)相背而行，1小時后分別到達(dá)各自的目的地A、B，若仍以原來的速度出發(fā)并互換彼此到達(dá)的目的地，則甲在乙到達(dá)A地35分鐘后到達(dá)B地，則甲乙兩人的速度之比是（　　）
A． B． C． D．
【點(diǎn)撥】設(shè)甲，乙的速度為未知數(shù)，那么可得到達(dá)目的地的路程．根據(jù)甲用的時間﹣乙用的時間＝，得到相應(yīng)方程，整理即可．
【解析】解：設(shè)甲，乙的速度為x千米/時，y千米/時，則甲的行程為x千米，乙的行程為y千米．
﹣＝，
設(shè)＝a，則原方程變?yōu)椹乤＝，
a2+a﹣1＝0，
（a+）（a﹣）＝0，
解得a＝﹣（不合題意，舍去）；或a＝，
即甲乙兩人的速度之比為．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題綜合考查了一元二次方程及分式方程的應(yīng)用；得到甲乙兩人交換目的地所用的時間的等量關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵；利用換元法求得甲乙兩人的速度之比是解決本題的難點(diǎn)．
5．關(guān)于x的函數(shù)，當(dāng)m＜x＜1時，y2＜y1．若y3＜y1，則（　　）
A．﹣m+2＜x＜1 B．m+2＜x＜1 C．1＜x＜﹣m+2 D．1＜x＜m+2
【點(diǎn)撥】拋物線的開口向下，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4），對稱軸為直線x＝1，再得出直線y2＝kx﹣k+4、y3＝（m﹣1）x+5﹣m都經(jīng)過定點(diǎn)（1，4）根據(jù)當(dāng)m＜x＜1時，y2＜y1，求得k＝1﹣m，從而得出y3＝（m﹣1）x+5﹣m，拋物線與直線y2＝kx﹣k+4的交點(diǎn)坐標(biāo)為（m，km﹣k+4），求得拋物線與直線y3＝（m﹣1）x+5﹣m的另一交點(diǎn)橫坐標(biāo)為2﹣m，根據(jù)y3＜y1，利用數(shù)形結(jié)合思想即可求解．
【解析】解：∵，
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4），對稱軸為直線x＝1，
把x＝1代入y2＝kx﹣k+4，得y2＝4，
∴直線y2＝kx﹣k+4經(jīng)過定點(diǎn)（1，4），
∵當(dāng)m＜x＜1時，y2＜y1．
∴拋物線與直線y2＝kx﹣k+4的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為m，
設(shè)拋物線與直線y2＝kx﹣k+4的交點(diǎn)坐標(biāo)為（m，km﹣k+4），
把（m，km﹣k+4）代入，得
km﹣k+4＝﹣m2+2m+3
∴m＝1﹣k或m＝1（舍去），
∴k＝1﹣m
∴y3＝﹣kx+k+4＝﹣（1﹣m）x+1﹣m+4＝（m﹣1）x+5﹣m
把x＝1代入，得y3＝4
∴y3＝（m﹣1）x+5﹣m經(jīng)過定點(diǎn)（1，4），
設(shè)拋物線與直線y3的交點(diǎn)坐標(biāo)為（n，（m﹣1）n+5﹣m），代入到，得：
（m﹣1）n+5﹣m＝﹣n2+2n+3，
∴n2+（m﹣3）n+2﹣m＝0，
∴n＝2﹣m或n＝1，
∴拋物線與直線y3＝（m﹣1）x+5﹣m的另一交點(diǎn)橫坐標(biāo)為2﹣m，
∵y3＜y1，
∴1＜x＜2﹣m．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的圖象性質(zhì)，一次函數(shù)圖象性質(zhì)，根據(jù)交點(diǎn)確定不等式的解集，數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
6．已知a＝m+2024，b＝m+2025，c＝m+2026，則代數(shù)式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值為（　　）
A．5 B．6 C．3 D．8
【點(diǎn)撥】因?yàn)閍＝m+2024，b＝m+2025，c＝m+2026，求出a﹣b＝﹣1，b﹣c＝﹣1，a﹣c＝﹣2，將原式化簡成，代入數(shù)據(jù)計算即可．
【解析】解：因?yàn)閍＝m+2024，b＝m+2025，c＝m+2026，
所以a﹣b＝﹣1，b﹣c＝﹣1，a﹣c＝﹣2，
a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac
＝×（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac）
＝
＝
＝3．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用完全平方公式．
7．若關(guān)于x的方程||x﹣2|﹣1|＝a有三個整數(shù)解，則a的值是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【點(diǎn)撥】根據(jù)絕對值的性質(zhì)可得|x﹣2|﹣1＝±a，然后討論x≥2及x＜2的情況下解的情況，再根據(jù)方程有三個整數(shù)解可得出a的值．
【解析】解：①若|x﹣2|﹣1＝a，
當(dāng)x≥2時，x﹣2﹣1＝a，解得：x＝a+3，a≥﹣1；
當(dāng)x＜2時，2﹣x﹣1＝a，解得：x＝1﹣a；a＞﹣1；
②若|x﹣2|﹣1＝﹣a，
當(dāng)x≥2時，x﹣2﹣1＝﹣a，解得：x＝﹣a+3，a≤1；
當(dāng)x＜2時，2﹣x﹣1＝﹣a，解得：x＝a+1，a＜1；
又∵方程有三個整數(shù)解，
∴可得：a＝﹣1或1，根據(jù)絕對值的非負(fù)性可得：a≥0．
即a只能取1．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查含絕對值的一元一次方程，難度較大，掌握絕對值的性質(zhì)及不等式的解集的求法是關(guān)鍵．
8．一張圓桌旁有四個座位，A先坐在如圖所示的座位上，B，C，D三人隨機(jī)坐到其他三個座位上，則A與B不相鄰而坐的概率為（　　）
A． B． C． D．
【點(diǎn)撥】根據(jù)題意，按照A位不動，逆時針排列，列舉出B、C、D隨機(jī)而坐的情況，得出所有可能的情況數(shù)，然后找出符合題意的情況數(shù)，最后根據(jù)概率公式求出結(jié)果即可．
【解析】解：如圖，A先坐在如圖所示的座位上，B，C，D三人隨機(jī)坐到其他三個座位上，
按從A開始，逆時針排列如下：
ABCD，ABDC，ACBD，ACDB，ADBC，ADCB，
根據(jù)列舉情況可知：A先坐，B，C，D隨機(jī)坐其他三個座位的結(jié)果數(shù)共有6種，
其中A與B不相鄰而坐的結(jié)果有2種，為：ACBD，ADBC，
∴A與B不相鄰而坐的概率為：．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了列表法與樹狀圖法，概率公式，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握概率的求法．
9．對于一個函數(shù)：當(dāng)自變量x取a時，其函數(shù)值y也等于a，我們稱a為這個函數(shù)的不動點(diǎn)．若二次函數(shù)y＝x2+2x+c（c為常數(shù)）有兩個不相等且都小于1的不動點(diǎn)，則c的取值范圍是（　　）
A．c＜﹣3 B．﹣3＜c＜﹣2 C．﹣2＜c＜ D．c＞
【點(diǎn)撥】由函數(shù)的不動點(diǎn)概念得出x1、x2是方程x2+2x+c＝x的兩個實(shí)數(shù)根，由Δ＞0且x＝1時y＞0，即可求解．
【解析】解：由題意知二次函數(shù)y＝x2+2x+c有兩個相異的不動點(diǎn)x1、x2是方程x2+2x+c＝x的兩個不相等實(shí)數(shù)根，且x1、x2都小于1，
整理，得：x2+x+c＝0，
由x2+x+c＝0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根知：Δ＞0，即1﹣4c＞0①，
令y＝x2+x+c，畫出該二次函數(shù)的草圖如下：
而x1、x2（設(shè)x2在x1的右側(cè)）都小于1，即當(dāng)x＝1時，y＝x2+x+c＝2+c＞0②，
聯(lián)立①②并解得：﹣2＜c＜；
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是理解并掌握不動點(diǎn)的概念，并據(jù)此得出關(guān)于c的不等式．
10．如圖，已知矩形ABCD，點(diǎn)E是AB邊的中點(diǎn)，F(xiàn)為AD邊上一點(diǎn)，∠DFC＝2∠BCE，若CE＝4，CF＝5，有如下結(jié)論：①CF＝BC+AF，②DF＝，③BC＝，④∠BCE＝∠BCF，其中正確的是（　　）
A．②④ B．①②④ C．①③ D．①③④
【點(diǎn)撥】過E作EH⊥CF于H，利用矩形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)判斷即可．
【解析】解：過E作EH⊥CF于H，連接EF，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠BCD＝∠D＝90°，
∵∠DFC+∠DCF＝90°，∠DCF+∠FCE+∠BCE＝90°，
∴∠DFC＝∠FCE+∠BCE，
∵∠DFC＝2∠BCE，
∴∠FCE＝∠BCE，
在△CHE與△CBE中，
，
∴△CHE≌△CBE（AAS），
∴CH＝CB，HE＝BE，∠CEH＝∠CEB，∠BCE＝∠ECF，
∴∠BCE＝∠BCF，④正確；
∵AE＝EB，
∴AE＝EH，
在Rt△FAE與Rt△FHE中，
，
∴Rt△FAE≌Rt△FHE（HL），
∴AF＝FH，∠AEF＝∠HEF，
∵CE＝4，CF＝5，
∴CF＝CH+FH＝BC+AF，①正確；
∵∠AEF＝∠HEF，∠CEH＝∠CEB，
∴∠FEH+∠CEH＝90°，
∴EF＝，
∴HE＝，
∴AE＝，
∴AB＝2AE＝，
∴AF＝，
∴DF＝AD﹣AF＝CH﹣AF＝CF﹣FH﹣AF＝CF﹣AF﹣AF＝5﹣＝，②正確；
∴BC＝CH＝CF﹣FH＝5﹣＝，③錯誤；
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識；熟練掌握矩形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．
二．填空題
11．計算：＝　123454321　
【點(diǎn)撥】把分母寫成123452﹣（12345+1）（12345﹣1）的形式，再利用平方差公式計算．
【解析】解：原式＝＝123 454 321．
【點(diǎn)睛】本題考查了平方差公式法分解因式，靈活應(yīng)用平方差公式計算，看似復(fù)雜的問題變得簡單了．
12．8位裁判給一位運(yùn)動員打分，每個人給的分?jǐn)?shù)都是整數(shù)，去掉一個最高分，再去掉一個最低分，其余得分的平均數(shù)為該運(yùn)動員的得分．若用四舍五入取近似值的方法精確到十分位，該運(yùn)動員得8.3分，如果精確到百分位，該運(yùn)動員得分應(yīng)當(dāng)是 　8.33　 ．
【點(diǎn)撥】應(yīng)根據(jù)得8.3分得到6位裁判的準(zhǔn)確打分和，除以6，再保留2位小數(shù)即可．
【解析】解：用四舍五入取近似值的方法精確到一位小數(shù)能得到8.3的數(shù)值范圍是：（大于等于8.25和小于8.35之間），
∴8個裁判去掉最高和最低得分后，實(shí)際取值就是6個人的分?jǐn)?shù)，
∴該運(yùn)動員的有效總得分在大于或等于8.25×6＝49.5分和小于8.35×6＝50.1之間．
∵每個裁判給的分?jǐn)?shù)都是整數(shù)，
∴得分總和也是整數(shù)，
在49.5和50.1之間只有50是整數(shù)，
∴該運(yùn)動員的有效總得分是50分．
∴得分為：50÷6≈8.33．
故答案為：8.33．
【點(diǎn)睛】本題考查了算術(shù)平均數(shù)，近似數(shù)和有效數(shù)字．得到得分為兩位小數(shù)的準(zhǔn)確分值的范圍，及得到8位裁判的準(zhǔn)確打分和是難點(diǎn)．
13．有一列數(shù)，記第n個數(shù)為an，已知a1＝2，當(dāng)n＞1時，，則a2024的值為 　　 ．
【點(diǎn)撥】根據(jù)題意，依次求出a2，a3，a4，…，發(fā)現(xiàn)規(guī)律即可解決問題．
【解析】解：由題知，
因?yàn)閍1＝2，
所以，
，
，
…，
由此可見，，
因?yàn)?024為偶數(shù)，
所以．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)字變化的規(guī)律，能通過計算發(fā)現(xiàn)是解題的關(guān)鍵．
14．已知：實(shí)常數(shù)a、b、c、d同時滿足下列兩個等式：①asinθ+bcosθ﹣c＝0；②acosθ﹣bsinθ+d＝0（其中θ為任意銳角），則a、b、c、d之間的關(guān)系式是：　a2+b2＝c2+d2　 ．
【點(diǎn)撥】把兩個式子移項(xiàng)后，兩邊平方，再相加，利用sin2θ+cos2θ＝1，即可找到這四個數(shù)的關(guān)系．
【解析】解：由①得 asinθ+bcosθ＝c，
兩邊平方，a2sin2θ+b2cos2θ+2absinθcosθ＝c2③
由②得 acosθ﹣bsinθ＝﹣d，
兩邊平方，a2cos2θ+b2sin2θ﹣2absinθcosθ＝d2④
③+④得
a2（sin2θ+cos2θ）+b2（sin2θ+cos2θ）＝c2+d2
∴a2+b2＝c2+d2．
故答案為：a2+b2＝c2+d2．
【點(diǎn)睛】本題考查了sin2θ+cos2θ＝1的應(yīng)用．
15．設(shè)max{x，y}表示x，y兩個數(shù)中的最大值．例如“max{1，3}＝3，max{﹣2，0，}＝”．則關(guān)于x的函數(shù)y＝max{2x，﹣x﹣2，﹣x2}的最小值為 　﹣1　 ．
【點(diǎn)撥】根據(jù)題目信息將y＝2x，y＝﹣x﹣2和y＝﹣x2畫在同一個坐標(biāo)系中，利用數(shù)形結(jié)合確定圖形的三個組成部分，進(jìn)而確定最小值．
【解析】解：將y＝2x，y＝﹣x﹣2和y＝﹣x2畫在同一個坐標(biāo)系中，如圖所示，
易得點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，﹣1），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，0），
由題意可知，
關(guān)于x的函數(shù)y＝max{2x，﹣x﹣2，﹣x2}，即y＝2x，y＝﹣x﹣2和y＝﹣x2的不同范圍內(nèi)的部分圖形，
即當(dāng)x≤﹣1時，y＝﹣x﹣2，當(dāng)x＝﹣1時，有最小值，為﹣1；
當(dāng)﹣1≤x≤0時，y＝﹣x2，當(dāng)x＝﹣1時，有最小值，為﹣1；
當(dāng)x＞0時，y＝2x，當(dāng)x＝0時，有最小值，為0．
綜上關(guān)于x的函數(shù)y＝max{2x，﹣x﹣2，﹣x2}的最小值為﹣1．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)和一次函數(shù)的性質(zhì)，能夠準(zhǔn)確畫出圖形是第一步，能夠根據(jù)題意分類討論從而獲得不同范圍內(nèi)y的表達(dá)式進(jìn)而求出y的最小值，能夠熟練運(yùn)用數(shù)形結(jié)合是解答本題的關(guān)鍵．
16．如圖，AB為半圓的直徑，C是半圓弧上任一點(diǎn)，正方形DEFG的一邊DG在直線AB上，另一邊DE過△ABC的內(nèi)切圓圓心I，且點(diǎn)E在半圓弧上，已知DE＝9，則△ABC的面積為　81　 ．
【點(diǎn)撥】根據(jù)切線的性質(zhì)得到AD＝AM，CM＝CN＝r，根據(jù)圓周角定理得到∠ACB＝90°，根據(jù)勾股定理得到AB2＝AC2+BC2，于是得到AD DB＝AC BC，由射影定理得AD DB＝DE2＝81，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論．
【解析】解：設(shè)⊙I切AC與M，切BC于N，半徑為r，
則AD＝AM，CM＝CN＝r，BD＝BN，r＝（AC+BC﹣AB），
∵AB為半圓的直徑，
∴∠ACB＝90°，
∴AB2＝AC2+BC2，
∴AD DB＝AM BN＝（AC﹣r）（BC﹣r）＝[AC﹣（AC+BC﹣AB）][BC﹣（AC+BC﹣AB）]
＝（AC﹣BC+AB）（AB+BC﹣AC）＝（AB2﹣AC2﹣BC2+2AC BC）＝AC BC，
由射影定理得AD DB＝DE2＝81，
∴S△ABC＝AC BC＝81，
故答案為：81．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，勾股定理，射影定理，三角形的面積的計算，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．
三．解答題
17．計算：．
【點(diǎn)撥】根據(jù)化簡絕對值，特殊角的三角函數(shù)值，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，零指數(shù)冪進(jìn)行計算即可求解．
【解析】解：原式＝
＝
＝4+1
＝5．
【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握化簡絕對值，特殊角的三角函數(shù)值，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，零指數(shù)冪是解題的關(guān)鍵．
18．已知正數(shù)a、b滿足a+b＝4．
（1）求的最小值；
（2）若xy＝6，bx+ay＝9，x+y＝11﹣2ab，求a，b，x，y的值．
【點(diǎn)撥】（1）將已知式子化為＝＝，再由b＝4﹣a得原式轉(zhuǎn)化為求的最小值，只要分母最大時即可得解；
（2）將b＝4﹣a分別代入x+y＝11﹣2ab，bx+ay＝9，整理得x﹣y＝4（a﹣2）﹣，x+y＝2（a﹣2）2+3，令a﹣2＝t，則（2t2+3）2﹣（4t﹣）2＝24，解得t＝±1，即可求a＝1，b＝3，x＝2，y＝3或a＝3，b＝1，x＝3，y＝2．
【解析】解：（1）＝＝＝＝，
∵﹣≤，
∴的最小值為＝．此時a＝，b＝4﹣a＝4﹣＝．
（2）∵a+b＝4，
∴b＝4﹣a，
∴x+y＝11﹣2ab＝2a2﹣8a+11，bx+ay＝（4﹣a）x+ay＝9，
∴（2﹣a）（x﹣y）＝﹣4a2+16a﹣13＝﹣4（a﹣2）2+3，
∴x﹣y＝4（a﹣2）﹣，x+y＝2（a﹣2）2+3，
令a﹣2＝t，
則（2t2+3）2﹣（4t﹣）2＝24，
解得t＝±1，
∴a＝1，b＝3，x＝2，y＝3或a＝3，b＝1，x＝3，y＝2．
【點(diǎn)睛】本題考查因式分解的應(yīng)用，熟練掌握配方法，利用換元法求出a﹣2的值是解題的關(guān)鍵．
19．如圖，正方形BCEF的中心為O，△CBO的外接圓上有一點(diǎn)A（A、O在BC同側(cè)，A、C在BO異側(cè)），且AB＝2，AO＝4．
（1）求∠CAO的值；
（2）求tan∠ACB的值；
（3）求正方形BCEF的面積．
【點(diǎn)撥】（1）根據(jù)同弧所對的圓周角相等，即可求解；
（2）作BH⊥OA，交OA的延長線于H，可以得到∠ACB＝∠BOH，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可求解；
（3）根據(jù)三角函數(shù)即可求得AC的長，然后根據(jù)勾股定理即可求得BC的長，則正方形的面積即可求解．
【解析】解：（1）∠CAO＝∠CBO＝45°；
（2）作BH⊥OA，交OA的延長線于H，
則∠BAH＝45°
∴AH＝2，BH＝2
∴tan∠BOH＝＝
又∠ACB＝∠BOH
∴tan∠ACB＝．
（3）∵tan∠ACB＝，又AB＝2
∴AC＝6
∴BC2＝80
∴正方形BCEF的面積是80．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，以及三角函數(shù)，正確作出輔助線求得AC的長度是解題關(guān)鍵．
20．已知函數(shù)f（x）＝﹣2x2+bx+c在x＝1時有最大值1．
（1）求實(shí)數(shù)b，c的值；
（2）設(shè)0＜m＜n，若當(dāng)m≤x≤n時，f（x）的最小值為，最大值為，求m，n的值．
【點(diǎn)撥】（1）x＝1時函數(shù)有最大值，得x＝﹣＝1，故b＝4，代入（1，1）得c＝﹣1，
（2）由f（x）＝﹣2x2+4x﹣1＝﹣2（x﹣1）2+1，得m、n是關(guān)于x的方程﹣2（x﹣1）2+1＝的兩個根，再計算即可．
【解析】解：（1）x＝1時函數(shù)有最大值，
∴x＝﹣＝1，
∴b＝4，
又x＝1時有最大值1，代入得﹣2+4+c＝1，
∴c＝﹣1，
故b＝4，c＝﹣1．
（2）f（x）＝﹣2x2+4x﹣1＝﹣2（x﹣1）2+1，
∴f（x）≤1，
又0＜m＜n，
∴≤1，
∴m≥1．
∵m≤x≤n，
∴f（m）＝﹣2（m﹣1）2+1＝，
f（n）＝﹣2（n﹣1）2+1＝，
∴m、n是關(guān)于x的方程﹣2（x﹣1）2+1＝的兩個根，
∴（x﹣1）（2x2﹣2x﹣1）＝0，
∴x＝1或或，
∵1≤m＜n，
∴m＝1，n＝．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的最值，采用配方法是解題關(guān)鍵．
21．已知，等邊△ABC邊長為6，P為BC邊上一點(diǎn)，且BP＝4，點(diǎn)E、F分別在邊AB、AC上，且∠EPF＝60°，設(shè)BE＝x，CF＝y(tǒng)．
（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；
（2）①若四邊形AEPF的面積為4時，求x的值．②四邊形AEPF的面積是否存在最大值？若存在，請直接寫出面積的最大值；若不存在，請說明理由．
【點(diǎn)撥】（1）求出△BEP∽△CPF，得出比例式，代入求出即可；
（2）①過A作AD⊥BC于D，過E作EN⊥BC于N，過F作FM⊥BC于M，求出AD＝3，EN＝x，CF＝y(tǒng)＝，F(xiàn)M＝，根據(jù)S四邊形AEPF＝S△ABC﹣S△BEP﹣S△CFP得出方程，求出x即可；
②四邊形AEPF的面積存在最大值，把9﹣x﹣化成﹣（﹣）2+5，即可得出答案．
【解析】解：（1）∵∠EPF＝60°，
∴∠BPE+∠CPF＝120°，
∵等邊三角形ABC，
∴∠B＝60°，
∴∠BPE+∠BEP＝120°，
∴∠BEP＝∠CPF，
∵∠B＝∠C＝60°，
∴△BEP∽△CPF，
∴＝，
∴＝，
∴y＝；
∵當(dāng)F和A重合時，y＝CF＝6，x＝，
即x的取值范圍是≤x≤6；
（2）①過A作AD⊥BC于D，
過E作EN⊥BC于N，過F作FM⊥BC于M，
∵∠B＝60°，AB＝6，BE＝x，
∴AD＝sin60°×6＝3，EN＝sin60°×x＝x，
∵∠C＝60°，CF＝y(tǒng)＝，
∴FM＝sin60°×＝，
∴S四邊形AEPF＝S△ABC﹣S△BEP﹣S△CFP＝×6×3﹣×4×x﹣×2×＝9﹣x﹣＝4，
x2﹣5x+4＝0，
x＝1（舍去），x＝4，
∴當(dāng)四邊形AEPF的面積為4時，x＝4；
②四邊形AEPF的面積存在最大值，
9﹣x﹣＝﹣（+x﹣9）＝﹣[（﹣）2﹣5]＝﹣（﹣）2+5
即最大值是5．
【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，等邊三角形性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，三角形的面積，勾股定理，函數(shù)的最值等知識點(diǎn)的應(yīng)用，題目綜合性比較強(qiáng)，難度偏大．
22．定義：如圖1，點(diǎn)M、N把線段AB分割成AM、MN和BN，若以AM、MN、BN為邊的三角形是一個直角三角形，則稱點(diǎn)M、N是線段AB的勾股點(diǎn)．
（1）已知點(diǎn)M、N是線段AB的勾股點(diǎn)，若AM＝1，MN＝2，求BN的長；
（2）如圖2，點(diǎn)P（a，b）是反比例函數(shù)y＝（x＞0）上的動點(diǎn)，直線y＝﹣x+2與坐標(biāo)軸分別交于A、B兩點(diǎn)，過點(diǎn)P分別向x、y軸作垂線，垂足為C、D，且交線段AB于E、F．證明：E、F是線段AB的勾股點(diǎn)；
（3）如圖3，已知一次函數(shù)y＝﹣x+3與坐標(biāo)軸交于A、B兩點(diǎn)，與二次函數(shù)y＝x2﹣4x+m交于C、D兩點(diǎn)，若C、D是線段AB的勾股點(diǎn)，求m的值．
【點(diǎn)撥】（1）根據(jù)勾股點(diǎn)的定理，即可求出BN的長度；
（2）利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征結(jié)合反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，找出點(diǎn)A、B、E、F的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式可求出BF、EF、AE的長度，由BF2+AE2＝EF2即可證出E、F是線段AB的勾股點(diǎn)；
（3）利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可得出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，將一次函數(shù)解析式代入二次函數(shù)解析式中利用解一元二次方程可得出點(diǎn)C、D的橫坐標(biāo)，進(jìn)而可得出AC、CD、BD的長度，結(jié)合C、D是線段AB的勾股點(diǎn)，即可得出關(guān)于m的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論．
【解析】解：（1）∵點(diǎn)M、N是線段AB的勾股點(diǎn)，
∴BN＝＝或BN＝＝，
∴BN的長為或．
（2）∵點(diǎn)P（a，b）是反比例函數(shù)y＝（x＞0）上的動點(diǎn)，
∴b＝．
∵直線y＝﹣x+2與坐標(biāo)軸分別交于A、B兩點(diǎn)，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，2），點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0）；
當(dāng)x＝a時，y＝﹣x+2＝2﹣a，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（a，2﹣a）；
當(dāng)y＝時，有﹣x+2＝，
解得：x＝2﹣，
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2﹣，）．
∴BF＝＝（2﹣），EF＝＝|2﹣a﹣|，AE＝＝（2﹣a）．
∵BF2+AE2＝16+2a2﹣8a+﹣＝EF2，
∴以BF、AE、EF為邊的三角形是一個直角三角形，
∴E、F是線段AB的勾股點(diǎn)．
（3）∵一次函數(shù)y＝﹣x+3與坐標(biāo)軸交于A、B兩點(diǎn)，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，3），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0）．
將y＝﹣x+3代入y＝x2﹣4x+m中，整理得：x2﹣3x+m﹣3＝0，
解得：xC＝，xD＝，
∴AC＝（xC﹣0）＝，CD＝（xD﹣xC）＝，BD＝（3﹣xD）＝．
∵C、D是線段AB的勾股點(diǎn)，AC＝BD，
∴CD2＝AC2+BD2，即42﹣8m＝30﹣4m﹣6，
整理得：4m2+12m﹣153＝0，
解得：m1＝（舍去），m2＝，
∴m的值為．
【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)、勾股定理、兩點(diǎn)間的距離公式以及解無理方程，解題的關(guān)鍵是：（1）利用勾股定理求出BN的長度；（2）利用勾股定理逆定理證出以BF、AE、EF為邊的三角形是一個直角三角形；（3）利用勾股定理找出關(guān)于m的無理方程．
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