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湖南省婁底市2024-2025學年高一下學期4月期中數學試題
學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________
一、單選題
1．若集合，則（ ）
A． B．
C． D．
2．若復數（為虛數單位），則的虛部為（ ）
A． B． C．1 D．
3．在中，為線段的靠近點的一個三分點，則（ ）
A． B．
C． D．
4．若，則（ ）
A． B．2 C．2023 D．2025
5．在中，角的對邊分別為，則的外接圓面積為（ ）
A． B． C． D．
6．已知，且，則的值為（ ）
A． B． C． D．
7．在中，角的對邊分別為，則下列結論正確的是（ ）
A．
B．若，則
C．若，則
D．若，則三角形為銳角三角形
8．已知單位向量、、滿足，則的值為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
9．下列各組向量中，不能作為基底的是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知函數，則下列命題正確的是（ ）
A．函數的最小正周期為
B．函數的圖象關于直線對稱
C．函數在區間上單調遞增
D．將函數的圖象向右平移個單位長度后所得的圖象與函數的圖象重合
11．已知是定義在R上的不恒為零的函數，對于任意a，都滿足，則下述正確的是（ ）
A． B． C．是奇函數 D．若，則
三、填空題
12．利用斜二測畫法得到的：①三角形的直觀圖一定是三角形；②正方形的直觀圖一定是菱形；③菱形的直觀圖一定是菱形.以上結論正確的是 .
13．已知向量，則在上的投影向量為 .
14．已知，且，則的最小值是 .
四、解答題
15．婁底四中校內有塊空地，為美化校園環境，學校決定將空地建成一個小花園，市園林公司中標該項目后須購買一批機器投入施工，據分析，這批機器可獲得的利潤（單位：萬元）與運轉的時間（單位：年）的函數關系為.
(1)當這批機器運轉第幾年時，可獲得最大利潤？最大利潤是多少？
(2)當運轉多少年時，這批機器的年平均利潤最大？
16．已知.
(1)若，求的坐標；
(2)若，求與的夾角的余弦值.
17．在中，角的對邊分別為.
(1)求.
(2)若，求的面積的最大值.
18．在中，已知分別為上的點，且.
(1)求；
(2)求證：；
(3)若是線段上的動點，滿足均為正常數，求的最大值.
19．已知函數.
(1)解方程；
(2)判斷函數的奇偶性，并說明理由；
(3)若函數在上只有一個零點，求的取值范圍.
湖南省婁底市2024-2025學年高一下學期4月期中數學試題參考答案
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A B A D B B D CD ABD
題號 11
答案 ACD
1．C
【詳解】由題意知.
故選：C.
2．A
【詳解】，則的虛部為.
故選：A.
3．B
【詳解】因為為線段的靠近點的一個三分點，所以，
所以.
故選：B
4．A
【詳解】.
故選：A.
5．D
【詳解】由題設，則，
所以外接圓半徑，故圓的面積為.
故選：D
6．B
【詳解】因為，
由于，則，令，則，于是有，
整理可得，因為，解得，即，解得.
故選：B.
7．B
【詳解】A：由，錯；
B：由，則，又，則，對；
C：對于鈍角三角形，若，此時，錯；
D：由，則，故，
所以為銳角，但不能說明三角形為銳角三角形，錯.
故選：B
8．D
【詳解】因為單位向量、、滿足，
則，所以，
所以，，解得，同理可得，
因為
.
故選：D.
9．CD
【詳解】對于A，令，則，顯然無解，則向量不共線，故A不合題意；
對于B，令，則，顯然無解，則向量不共線，故B不合題意；
對于C，令，則，解得，則向量共線，故C符合題意；
對于D，令，則，解得，則向量共線，故D符合題意.
故選：CD.
10．ABD
【詳解】對于A選項，函數的最小正周期為，A對；
對于B選項，因為，故函數的圖象關于直線對稱，B對；
對于C選項，當時，，
所以，函數在區間上不單調，C錯；
對于D選項，將函數的圖象向右平移個單位長度后，
得到函數的圖象，D對.
故選：ABD.
11．ACD
【詳解】令，則，故A正確；
令，則，則，故B錯誤；
令，則，所以，
又令，則，
所以是奇函數，故C正確；
令，則，
所以，故D正確；
故選：ACD
12．①
【詳解】由斜二測畫法規則知，斜二測畫法保持平行性不變，因此原相交直線，利用斜二測畫法得到的仍是相交直線，
三角形的直觀圖一定是三角形，①正確；
斜二測畫法中只有平行于軸或在軸上的線段，長度保持不變，
因此正方形、菱形的相鄰兩邊，利用斜二測畫法得到的線段不等，②③錯誤.
故答案為：①
13．
【詳解】在上的投影向量為.
故答案為：.
14．
【詳解】因為，且，
所以
，
當且僅當，即，時取等號.
故答案為：
15．(1)第7年時，可獲得最大利潤45萬元
(2)
【詳解】（1）故當時，取得最大值，最大值為45，所以這批機器運轉第7年時，可獲得最大利潤45萬元；
（2）記年平均利潤為，則14
當且僅當，即時，等號成立.
16．(1)的坐標為或
(2)
【詳解】（1）設，由題意有，解得或.
故的坐標為或；
（2）由化簡整理得，
則，解得，
=.
17．(1)
(2)
【詳解】（1）因為，
由正弦定理可得，因為0，
所以，，又，所以.
（2）因為，
由余弦定理可得，所以4，
，
當且僅當時，取的面積的最大值.
18．(1)
(2)證明見解析
(3)
【詳解】（1），-，，
所以，；
（2），所以，所以；
（3）因為，由三點共線可得，，
所以，所以，當且僅當時取最大值.
19．(1)
(2)偶函數，理由見解析
(3)2或
【詳解】（1）由得，
所以，所以，
令，解得，所以；
（2）定義域為，關于原點對稱，
，
所以函數為偶函數；
（3）函數有唯一零點等價于方程有唯一解，
即方程有唯一解，
整理得，
令，即方程有唯一正數根，
①若，此時符合題意；
②若，則
當時，符合題意，
當時，不合題意，舍去，
當時，，方程有兩相異實根，符合題意，
當且時，則，
只需，
所以(舍去)，
綜上，實數的取值范圍是2或.

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