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2025年高一年級分班考試數學模擬試卷（2）
一．選擇題
1．a，b是兩個連續整數，若a＜b，則a+b的值為（　?。?br/>A．3 B．5 C．7 D．13
2．已知實數a滿足，那么a﹣20062的值是（　?。?br/>A．2005 B．2006 C．2007 D．2008
3．已知二次函數y＝a（x+k）2+h（a，k，h均為常數）的圖象與x軸的交點的橫坐標分別為﹣2和5，則關于x的一元二次方程a（x+k+2）2+h＝0的兩個實數根分別是（　?。?br/>A．x1＝﹣4，x2＝3 B．x1＝3，x2＝7
C．x1＝0，x2＝7 D．x1＝0，x2＝3
4．不等式組的解集是關于x的一元一次不等式ax＞﹣1解集的一部分，則a的取值范圍是（　?。?br/>A．0＜a≤1 B．
C． D．且a≠0．
5．對于實數c、d，我們可用min{c，d}表示c、d兩數中較小的數，如min{3，﹣1}＝﹣1．若關于x的函數y＝min{2x2，a（x﹣t）2}的圖象關于直線x＝3對稱，則a、t的值可能是（　?。?br/>A．3，6 B．2，﹣6 C．2，6 D．﹣2，6
6．已知拋物線y＝x2+bx的對稱軸為直線x＝1，若關于x的方程x2+bx﹣3＝0的兩根分別為x1、x2，則+3x1x2+的值為（　　）
A．﹣2 B．1 C．4 D．7
7．反比例函數y＝（k≠0）的圖象上有一點A（﹣4，2），點O為坐標原點，將直線OA繞點A逆時針旋轉90°，交雙曲線于點B，則點B的坐標為（　?。?br/>A．（﹣，4） B．（，6） C．（﹣2，4） D．（﹣1，8）
8．如圖，標有數字①～⑨的正方形與標有字母A，B，C，D的正方形大小均相同．現從標有數字的9個正方形中等可能的任選一個，則所選正方形與標有字母的正方形所組成的圖形恰可以是一個無蓋的正方體的表面展開圖，且沒有蓋的一面恰好與標有字母“A”的一面相對的概率為（　?。?br/>A． B． C． D．
二．填空題
9．二元一次方程2x+3y＝11的正整數解有 　 　 組．
10．在一次引體向上測試中，某小組8名男生的成績分別為：13，9，a，11，7，11，8，9，若這組數據的唯一眾數為11，則這組數據的中位數為 　 　 ．
11．如圖，在Rt△ABC中，AB＝6cm，BC＝8cm，D、E分別為AC、BC中點，連接AE、BD相交于點F，點G在CD上，且DG：GC＝1：2，則四邊形DFEG的面積為 　 　 ．
12．如圖，點P為函數y＝（x＞0）的圖象上一點，且到兩坐標軸距離相等，⊙P半徑為2，A（3，0），B（6，0），點Q是⊙P上的動點，點C是QB的中點，則AC的最大值是　 　 ．
13．如圖，在△ABC中，BD⊥AC于點D，CE⊥AB于點E，BD，CE交于點O，F為BC的中點，連接EF，DF，DE，則下列結論：①EF＝DF；②AD AC＝AE AB；③△DOE∽△COB；④若∠ABC＝45°時，BE＝FC．
其中正確的是　 　 （把所有正確結論的序號都選上）
14．如圖，矩形OABC的邊OA、OC分別在x軸、y軸上，點B的坐標為（3，），點E在邊AB上，且AE＝1．已知點P是邊CO上的一個動點，連接EP，過點O作直線EP的垂線段，垂足為點H，在點P從點C運動到原點O的過程中，點H的運動路徑長為　 　 ．
三．解答題
15．若關于xy的方程組的解滿足x＞1，y≤1，求滿足條件的整數a．
16．中國古代在公元前2世紀就制成了世界上最早的潛望鏡，西漢初年成書的《淮南萬畢術》中有這樣的記載：“取大鏡高懸，懇水盆于其下，則見四鄰矣”，如圖1所示，其工作方法主要利用了光的反射原理．在圖2中，AB呈水平狀態，AE，CD為法線，∠BCD＝∠ACD＝41°，∠CAE＝37°，AE⊥AB，已知米，求鏡面上點C到水盆A的距離．（結果精確到0.1米，參考數據：sin82°≈0.99，cos82°≈0.14，tan82°≈7.12）
17．在 ABCD中，∠ABC＝45°，過A作AE⊥CD于E，連接BE，延長EA至F，使CE＝AF，連接DF．
（1）求證：DF＝BE；
（2）若DF＝，AD＝3，求四邊形ADEB的周長．
18．已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以邊AB為直徑作⊙O，與AC邊交于點D，點E為邊BC的中點，連接DB，DE．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）求證：BC2＝AC CD；
（3）點P為直線BC上任意一動點，連接AP．當AB＝6，BC＝8，tan∠CAP＝時，求CP的長．
19．一超市對經營的A和B兩種商品信息如下：
商品 A B
規格 12kg/箱 15kg/箱
進價（元/箱） 60 150
解答下列問題：
（1）已知今年2～5月這四個月．銷售A和B共3300kg，A比B多銷售了300kg，獲得利潤10800元，B的銷售單價比A的銷售單價多10元/kg：求這四個月銷售A、B各多少千克，銷售單價各是每千克多少元；（利潤＝售價﹣進價）
（2）根據之前的銷售情況，A新品六月上市，5月底要進六月要賣的貨時，發現A商品成本下降到54元/箱，商店為了保持與之前相同的盈利．所以將A的售價也下調了；B的新品11月才能上市，進價設有改變，商店保持售價也不變，估計今年6月到10月這后五個月，還能至少銷售A和B共3600kg：其中，A的銷售量不低于2100g．假設這五個月，A銷售了x（kg），銷售A和B獲得的總利潤為y（元），求出y與x之間的函數關系式，并求這五個月，最多可獲得總利潤多少元．
20．在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2﹣5ax+4a與x軸交于A、B（A點在B點的左側）與y軸交于點C．
（1）如圖1，連接AC、BC，若△ABC的面積為3時，求拋物線的解析式；
（2）如圖2，點P為第四象限拋物線上一點且在直線BC下方，連接PC，若∠BCP＝2∠ABC時，求點P的橫坐標；
（3）如圖3，在（2）的條件下，點F在AP上，過點P作PH⊥x軸于H點，點K在PH的延長線上，AK＝KF，∠KAH＝∠FKH，PF＝﹣4a，連接KB并延長交拋物線于點Q，求PQ的長．
答案與解析
一．選擇題
1．a，b是兩個連續整數，若a＜b，則a+b的值為（　?。?br/>A．3 B．5 C．7 D．13
【點撥】估算出的值的范圍，即可解答．
【解析】解：∵4＜7＜9，
∴2＜＜3，
∵a，b是兩個連續整數，若a＜b，
∴a＝2，b＝3，
∴a+b＝2+3＝5，
故選：B．
【點睛】本題考查了估算無理數的大小，熟練掌握平方數是解題的關鍵．
2．已知實數a滿足，那么a﹣20062的值是（　　）
A．2005 B．2006 C．2007 D．2008
【點撥】根據負數沒有平方根，得到a﹣2007大于等于0，然后根據a的范圍化簡絕對值，移項后兩邊平方即可求出所求式子的值．
【解析】解：由題意可知：a﹣2007≥0，
解得：a≥2007，
則|2006﹣a|+＝a，
化為：a﹣2006+＝a，
即＝2006，
兩邊平方得：a﹣2007＝20062，
解得：a﹣20062＝2007．
故選：C．
【點睛】本題考查平方根的定義，化簡絕對值的方法，是一道基礎題．學生做題時注意負數沒有平方根．
3．已知二次函數y＝a（x+k）2+h（a，k，h均為常數）的圖象與x軸的交點的橫坐標分別為﹣2和5，則關于x的一元二次方程a（x+k+2）2+h＝0的兩個實數根分別是（　　）
A．x1＝﹣4，x2＝3 B．x1＝3，x2＝7
C．x1＝0，x2＝7 D．x1＝0，x2＝3
【點撥】設二次函數，根據二次函數的平移規律可得y向左平移2個單位長度得到y1，即可得出y1與x軸的交點橫坐標，即可進行解答．
【解析】解：設二次函數，
∵y＝a（x+k）2+h，
∴y向左平移2個單位長度得到y1，
∵二次函數y的圖象與x軸的交點的橫坐標分別為﹣2和5，
∴二次函數y1的圖象與x軸的交點的橫坐標分別為﹣4和3，
∴一元二次方程a（x+k+2）2+h＝0的兩個實數根分別是x1＝﹣4，x2＝3，
故選：A．
【點睛】本題主要考查了二次函數的平移，以及二次函數與一元二次方程的關系，解題的關鍵是掌握二次函數的平移規律“左加右減，上加下減”，以及二次函數與x軸交點的橫坐標的值等于所對應一元二次方程的根．
4．不等式組的解集是關于x的一元一次不等式ax＞﹣1解集的一部分，則a的取值范圍是（　　）
A．0＜a≤1 B． C． D．且a≠0．
【點撥】先求出不等式組的解集，分為三種情況：a＞0、a＜0，a＝0，求出不等式ax＞﹣1的解集，再求出答案即可．
【解析】解：，
解不等式①，得x＞﹣1，
解不等式組②，得﹣2≤x≤3，
所以不等式組的解集是﹣1＜x≤3，
分為三種情況：①當a＜0時，不等式ax＞﹣1的解集是x＜﹣，
∵不等式組是關于x的一元一次不等式ax＞﹣1解集的一部分，
∴﹣＞3，
∴a＞﹣，
②當a＞0時，不等式ax＞﹣1的解集是x＞﹣，
∵不等式組的解集是關于x的一元一次不等式ax＞﹣1解集的一部分，
∴﹣≤﹣1，
∴a≤1，
③當a＝0時，ax＞﹣1變成0＞﹣1，此時不是一元一次不等式，舍去，
即a的取值范圍是﹣a≤1且a≠0，
故選：D．
【點睛】本題考查了解一元一次不等式組，能求出符合的所以情況是解此題的關鍵．
5．對于實數c、d，我們可用min{c，d}表示c、d兩數中較小的數，如min{3，﹣1}＝﹣1．若關于x的函數y＝min{2x2，a（x﹣t）2}的圖象關于直線x＝3對稱，則a、t的值可能是（　　）
A．3，6 B．2，﹣6 C．2，6 D．﹣2，6
【點撥】根據x的函數y＝min{2x2，a（x﹣t）2}的圖象關于直線x＝3對稱，對于四個選項一一判斷即可解決問題．
【解析】解：A、當a＝3，t＝6時，函數y＝min{2x2，a（x﹣t）2}的圖象不關于直線x＝3對稱，故本選項不符合題意．
B、當a＝2，t＝﹣6時，函數y＝min{2x2，a（x﹣t）2}的圖象關于直線x＝﹣3對稱，故本選項不符合題意．
C、當a＝2，t＝6時，函數y＝min{2x2，a（x﹣t）2}的圖象關于直線x＝3對稱，故本選項符合題意．
D、當a＝﹣2，t＝6時，函數y＝min{2x2，a（x﹣t）2}的圖象關于直線x＝6對稱，故本選項不符合題意．
故選：C．
【點睛】本題考查的是二次函數的圖象與幾何變換，先根據題意分別代入驗證a和t的值，是解答此題的關鍵．
6．已知拋物線y＝x2+bx的對稱軸為直線x＝1，若關于x的方程x2+bx﹣3＝0的兩根分別為x1、x2，則+3x1x2+的值為（　?。?br/>A．﹣2 B．1 C．4 D．7
【點撥】先根據二次函數的對稱軸公式求出b，則得到一元二次方程為x2﹣2x﹣3＝0，兩根即可求解，再代入求值即可，亦可根據根與系數的關系求解．
【解析】解：由題意得，，
∴b＝﹣2，
則方程為：x2﹣2x﹣3＝0，
（x﹣3）（x+1）＝0，
解得：x1＝3，x2＝﹣1，
∴．
故選：B．
【點睛】本題考查了二次函數的對稱軸公式，解一元二次方程，以及代數式求值，熟練掌握這些知識點是解題的關鍵．
7．反比例函數y＝（k≠0）的圖象上有一點A（﹣4，2），點O為坐標原點，將直線OA繞點A逆時針旋轉90°，交雙曲線于點B，則點B的坐標為（　　）
A．（﹣，4） B．（，6） C．（﹣2，4） D．（﹣1，8）
【點撥】先求出兩個函數的解析式，再求交點．
【解析】解：∵反比例函數y＝（k≠0）的圖象上有一點A（﹣4，2），
∴k＝﹣4×2＝﹣8，
∴反比例函數為：y＝﹣．
設直線OA的表達式為：y＝mx，代入點A（﹣4，2）得：2＝﹣4m．
∴m＝﹣．
∴y＝﹣x．
∵直線OA⊥直線AB．
∴設直線AB的解析式為：y＝2x+b，
代入點A（﹣4，2）得：2＝﹣8+b，
∴b＝10．
∴直線AB：y＝2x+10．
由解得：或．
∴B（﹣1，8）．
故選：D．
【點睛】本題考查反比例函數與一次函數的交點，分別求出一次函數和反比例函數的解析式是求解本題的關鍵．
8．如圖，標有數字①～⑨的正方形與標有字母A，B，C，D的正方形大小均相同．現從標有數字的9個正方形中等可能的任選一個，則所選正方形與標有字母的正方形所組成的圖形恰可以是一個無蓋的正方體的表面展開圖，且沒有蓋的一面恰好與標有字母“A”的一面相對的概率為（　?。?br/>A． B． C． D．
【點撥】共有9個數字，其中所選正方形與標有字母的正方形所組成的圖形恰可以是一個無蓋的正方體的表面展開圖，且沒有蓋的一面恰好與標有字母“A”的一面相對的⑦⑧⑨三種情況，又只能選①②⑥能拼成正方體，根據概率公式即可求解．
【解析】解：標有數字①～⑨的正方形共有9個，
∵所選正方形與標有字母的正方形所組成的圖形恰可以是一個無蓋的正方體的表面展開圖，且沒有蓋的一面恰好與標有字母“A”的一面相對的⑦⑧⑨三種情況，又只能選①②⑥能拼成正方體，
∴沒有蓋的一面恰好與標有字母“A”的一面相對的概率為3÷9＝．
故選：B．
【點睛】本題考查專題：正方體相對兩個面上的文字，靈活運用正方體的相對面解答問題，立意新穎，是一道不錯的題．
二．填空題
9．二元一次方程2x+3y＝11的正整數解有 　2　 組．
【點撥】找出符合條件的正整數解即可．
【解析】解：二元一次方程2x+3y＝11的正整數解有，，共2組，
故答案為：2．
【點睛】本題考查了二元一次方程的解，根據方程的正整數解確定組數是解題的關鍵．
10．在一次引體向上測試中，某小組8名男生的成績分別為：13，9，a，11，7，11，8，9，若這組數據的唯一眾數為11，則這組數據的中位數為 　10　 ．
【點撥】先根據眾數的定義得出a＝11，再根據中位數的定義求解即可．
【解析】解：∵數據13，9，a，11，7，11，8，9的唯一眾數為11，
∴a＝11，
則這組數據為：7，8，9，9，11，11，11，13，
所以這組數據的中位數為＝10，
故答案為：10．
【點睛】本題主要考查眾數和中位數，解題的關鍵是掌握眾數和中位數的定義．
11．如圖，在Rt△ABC中，AB＝6cm，BC＝8cm，D、E分別為AC、BC中點，連接AE、BD相交于點F，點G在CD上，且DG：GC＝1：2，則四邊形DFEG的面積為 　4cm2　 ．
【點撥】，BE＝CE＝4cm，即得△DEF∽△BAF，所以，即可求出，再由DG：GC＝1：2可求得，由此即得答案．
【解析】解：如圖所示，連接DE，
∵D、E分別為AC、BC中點，
∴DE∥AB，，，
∴△DEF∽△BAF，
∴，
∴，
∵∠ABC＝90°，
∴∠DEC＝90°，
∴，
∴，
∵DG：GC＝1：2，
∴，
∴，
∴四邊形DFEG的面積＝．
故答案為：4cm2．
【點睛】此題考查了相似三角形的性質和判定，三角形中位線的性質，三角形面積公式等知識，解題的關鍵是熟練掌握以上知識點．連結DE，利用三角形中位線定理可得DE∥AB，
12．如圖，點P為函數y＝（x＞0）的圖象上一點，且到兩坐標軸距離相等，⊙P半徑為2，A（3，0），B（6，0），點Q是⊙P上的動點，點C是QB的中點，則AC的最大值是　2+1　 ．
【點撥】易求點P（4，4），連接OP交⊙P于點Q′，連接BQ′．因為OA＝AB，CB＝CQ，所以AC＝OQ，所以當OQ最大時，AC最大，Q運動到Q′時，OQ最大，由此即可解決問題．
【解析】解：∵點P為函數y＝（x＞0）的圖象上一點，且到兩坐標軸距離相等，
∴可設P（x，x）（x＞0），則x＝，解得x＝±4（負值舍去），
∴點P（4，4）．
∴OP＝4，
如圖，連接OP交⊙P于點Q′，連接BQ′，取BQ′的中點C′，連接AC′，此時AC′最?。?br/>∵A（3，0），B（6，0），點C是QB的中點，
∴OA＝AB，CB＝CQ，
∴AC＝OQ．
當Q運動到Q′時，OQ最大，
此時AC的最大值AC′＝OQ′＝（OP+PQ′）＝2+1．
故答案為2+1．
【點睛】本題考查點與圓的位置關系、坐標與圖形的性質、三角形中位線定理、最大值問題等知識，解題的關鍵是理解圓外一點到圓的最小距離以及最大距離，學會用轉化的思想思考問題，屬于中考?？碱}型．
13．如圖，在△ABC中，BD⊥AC于點D，CE⊥AB于點E，BD，CE交于點O，F為BC的中點，連接EF，DF，DE，則下列結論：①EF＝DF；②AD AC＝AE AB；③△DOE∽△COB；④若∠ABC＝45°時，BE＝FC．
其中正確的是?、佗冖邰堋?（把所有正確結論的序號都選上）
【點撥】①由EF和DF均是斜邊BC邊上的中線可迅速作出判斷；
②由B、C、D、E四點共圓及割線定理迅速作出判斷；
③由B、C、D、E四點共圓可得出對應圓周角相等，從而得出結論；
④若∠ABC＝45°，則△BEC是等腰直角三角形，而F是BC中點，從而結論顯然．
【解析】解：∵BD⊥AC于點D，CE⊥AB于點E，F為BC的中點，
∴EF＝BC，DF＝BC，
∴EF＝DF，故①正確；
∵∠BEC＝∠BDC＝90°，
∴B、C、D、E四點共圓，
由割線定理可知AD AC＝AE AB，故②正確；
∵B、C、D、E四點共圓，
∴∠OED＝∠OBC，∠ODE＝∠OCB，
∴△DOE∽△COB，故③正確；
若∠ABC＝45°，則△BEC為等腰直角三角形，
∴BC＝BE，
∵F為BC中點，
∴FC＝BC＝BE，
∴BE＝FC，故④正確；
故答案為：①②③④．
【點睛】本題主要考查了直角三角形斜邊中線定理、四點共圓的判定與性質、割線定理、相似三角形的判定與性質、等腰直角三角形的判定與性質等知識點，難度不大，屬于常規題型．解答的關鍵是明確題目所給條件（比如中點，垂直）與所學幾何定理的聯系．
14．如圖，矩形OABC的邊OA、OC分別在x軸、y軸上，點B的坐標為（3，），點E在邊AB上，且AE＝1．已知點P是邊CO上的一個動點，連接EP，過點O作直線EP的垂線段，垂足為點H，在點P從點C運動到原點O的過程中，點H的運動路徑長為　　 ．
【點撥】H經過的路徑是以OE為直徑的弧，當點P與點C重合時，連接CE，首先求得△OPE的面積，然后利用三角形面積公式求得OH的長，然后在直角△OEH中，利用三角函數求得∠OEH的度數，然后利用弧長公式即可求解．
【解析】解：∵矩形OABC的邊OA、OC分別在x軸、y軸上，點B的坐標為（3，），
∴OA＝BC＝3，OC＝AB＝，
當點P與點C重合時，
S△OPE＝OC×OA＝×3＝，
在Rt△OAE中，AE＝1，OA＝3，
∴OE＝＝，
在Rt△PBE中，BE＝，BC＝3，
∴PE＝＝，
∴S△OPE＝PE×OH，
即×OH＝
∴OH＝，
∴在Rt△OEH中，sin∠OEH＝＝＝，
∴∠OEH＝45°，
∴點H的運動路徑為以OE為直徑，從點H到點O的四分之一的圓弧，
所以點H的運動路徑長是：＝．
故答案為：．
【點睛】本題考查了軌跡、坐標與圖形性質、矩形的性質，解決本題的關鍵是綜合運用以上知識．
三．解答題
15．若關于xy的方程組的解滿足x＞1，y≤1，求滿足條件的整數a．
【點撥】把a當作已知數，解方程組求出方程組的解（x y的值）根據已知得出不等式組，求出a的取值范圍即可．
【解析】解：整理得：，
①﹣②得：3y＝a﹣5，
∴y＝，
①×2+②得：3x＝2a+5，
∴x＝，
∵x＞1，y≤1，
∴＞1，≤1，
解得：﹣1＜a≤8，
∴滿足條件的整數a有0，1，2，3，4，5，6，7，8．
【點睛】本題綜合考查了解方程組和解不等式組的應用，關鍵是根據題意求出關于a的不等式組．
16．中國古代在公元前2世紀就制成了世界上最早的潛望鏡，西漢初年成書的《淮南萬畢術》中有這樣的記載：“取大鏡高懸，懇水盆于其下，則見四鄰矣”，如圖1所示，其工作方法主要利用了光的反射原理．在圖2中，AB呈水平狀態，AE，CD為法線，∠BCD＝∠ACD＝41°，∠CAE＝37°，AE⊥AB，已知米，求鏡面上點C到水盆A的距離．（結果精確到0.1米，參考數據：sin82°≈0.99，cos82°≈0.14，tan82°≈7.12）
【點撥】過點A作AF⊥BC，由∠BCD＝∠ACD＝41°可得∠ACB＝82°，由EA⊥AB，∠CAE＝37°可得∠CAB＝53°，進而得到∠ABC＝45°，分別解Rt△ABF和Rt△ACF即可求解．
【解析】解：過點A作AF⊥BC，垂足為F，則∠AFB＝∠AFC＝90°，
∵EA⊥AB，
∴∠EAB＝90°，
∵∠BCD＝∠ACD＝41°，
∴∠ACB＝82°，
∵∠CAE＝37°，
∴∠CAB＝∠EAB﹣∠EAC＝53°，
∴∠ABC＝180°﹣∠CAB﹣∠ACB＝45°，
在Rt△ABF中，∠ABC＝45°，
∴（米），
在Rt△ACF中，∠ACB＝82°，
∴AC＝AF÷sin82°≈11÷0.99≈11.1（米），
∴鏡面上點C到水盆A的距離約為11.1米．
【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，掌握解直角三角形是解題的關鍵．
17．在 ABCD中，∠ABC＝45°，過A作AE⊥CD于E，連接BE，延長EA至F，使CE＝AF，連接DF．
（1）求證：DF＝BE；
（2）若DF＝，AD＝3，求四邊形ADEB的周長．
【點撥】（1）由已知證得AB＝EF，DE＝AE，根據全等三角形的判定證得△FDE≌△BEA，根據全等三角形的性質可得結論；
（2）由勾股定理得求得DE＝3，EF＝5，由（1）知，AB＝EF，BE＝DF，即可求得結論．
【解析】（1）證明：∵AE⊥CD，
∴∠FED＝90°，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠ABC＝45°，AB＝DC，
∴∠BAE＝∠FED＝90°，∠ADE＝∠ABC＝45°，
∴AE＝DE，
∵CE＝AF，
∴AB＝EF，
△FDE和△BEA中，，
∴△FDE≌△BEA（SAS），
∴DF＝BE；
（2）在Rt△ADE中，AE＝DE，AD＝3，
由勾股定理得：DE＝3，
在Rt△FDE中，DE＝3，DF＝，
∴EF＝＝＝5，
由（1）知，AB＝EF＝5，BE＝DF＝，
∴四邊形ADEB的周長為：AD+DE+BE+AB＝3+3++5＝8+3+．
【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質，全等三角形的判定和性質，勾股定理，證得AB＝EF，DE＝AE，是解決問題的關鍵．
18．已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以邊AB為直徑作⊙O，與AC邊交于點D，點E為邊BC的中點，連接DB，DE．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）求證：BC2＝AC CD；
（3）點P為直線BC上任意一動點，連接AP．當AB＝6，BC＝8，tan∠CAP＝時，求CP的長．
【點撥】（1）連接OD，利用圓周角定理，直角三角形的斜邊上的中線的性質，等腰三角形的性質和圓的切線的判定定理解答即可；
（2）利用圓周角定理和相似三角形的判定與性質解答即可；
（3）利用分類討論的思想方法分兩種情形討論解答：①當點P在線段BC上時，過點P作 PT⊥AC于點T，利用勾股定理求得AC，設PT＝x，利用直角三角形的邊角關系定理得到，則AT＝4PT＝4x，在Rt△PCT和Rt△ABC中利用直角三角形的邊角關系定理列出x的方程，解方程求得x值，進而求得CP；②當點P在BC的延長線上時，過點C作CG⊥AP于點G，設CG＝a，則AG＝4a，利用勾股定理求得a值，設CP＝m，則，再利用勾股定理解答即可得出結論．
【解析】（1）證明：連接OD，如圖，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB＝90°，
∴∠CDB＝180°﹣∠ADB＝90°，
∵點E為邊BC的中點，
∴EB＝ED，
∴∠EDB＝∠EBD，
∵OB＝OD，
∴∠ODB＝∠OBD，
∵∠ABC＝90°，
即∠EBD+∠OBD＝90°，
∴∠EDB+∠ODB＝∠EBD+∠OBD＝90°．
即∠ODE＝90°，
∴DE⊥OD，
∵OD是⊙O的半徑，
∴DE是⊙O的切線；
（2）證明：∠ABC＝∠BDC＝90°，∠BCD＝∠BCA，
∴△BCA∽△DCB，
∴，
∴BC2＝AC CD；
（3）解：①當點P在線段BC上時，過點P作 PT⊥AC于點T，如圖，
在Rt△ABC中，
∵AB＝6，BC＝8，
∴，
設PT＝x，
∵tan∠CAP＝，tan∠CAP＝，
∴，
∴AT＝4PT＝4x，
∴CT＝AC﹣AT＝10﹣4x，
∵，
∴，
解得：．
∴，
∵，
∴，
∴；
②當點P在BC的延長線上時，過點C作CG⊥AP于點G，如圖，
∵，tan∠CAP＝，
∴，
設CG＝a，則AG＝4a，
在Rt△ACG中，
∵AG2+CG2＝AC2，
∴（4a）2+a2＝102，
解得 ，（負數不合題意，舍去）．
∴，．
∵，
∴，
設CP＝m，則，
在Rt△ABP中，
∵AB2+BP2＝AP2，
∴
解得： （負數不合題意，舍去），，
∴．
綜上所述，CP的長為或．
【點睛】本題主要考查了圓的有關性質，圓周角定理，直角三角形的性質，勾股定理，直角三角形的邊角關系定理，直角三角形的斜邊上的中線的性質，圓的切線的判定定理，相似三角形的判定與性質，連接經過切點的半徑，作出垂線段構造直角三角形是解題的關鍵．
19．一超市對經營的A和B兩種商品信息如下：
商品 A B
規格 12kg/箱 15kg/箱
進價（元/箱） 60 150
解答下列問題：
（1）已知今年2～5月這四個月．銷售A和B共3300kg，A比B多銷售了300kg，獲得利潤10800元，B的銷售單價比A的銷售單價多10元/kg：求這四個月銷售A、B各多少千克，銷售單價各是每千克多少元；（利潤＝售價﹣進價）
（2）根據之前的銷售情況，A新品六月上市，5月底要進六月要賣的貨時，發現A商品成本下降到54元/箱，商店為了保持與之前相同的盈利．所以將A的售價也下調了；B的新品11月才能上市，進價設有改變，商店保持售價也不變，估計今年6月到10月這后五個月，還能至少銷售A和B共3600kg：其中，A的銷售量不低于2100g．假設這五個月，A銷售了x（kg），銷售A和B獲得的總利潤為y（元），求出y與x之間的函數關系式，并求這五個月，最多可獲得總利潤多少元．
【點撥】（1）先設銷售A為akg，根據題意列出方程，解出a的值即可，然后算出A、B每千克的成本，設A的銷售單價為m元/kg，根據題中獲得利潤10800元列出方程，解出m的值即可；
（2）根據題意可知A與B商品每千克的利潤都不發生變化，則可列出：y＝（6﹣5）x+（3600﹣x）（16﹣10），整理即可得函數關系式，注意自變量的取值范圍，再根據一次函數的性質即可的獲利最大值．
【解析】解：（1）設銷售A為akg，則銷售B為（a﹣300）kg，
根據題意列方程得：a+a﹣300＝3300，
解得：a＝1800，則1800﹣300＝1500（kg），
A商品的成本：60÷12＝5（元/kg），B商品的成本：150÷15＝10（元/kg），
設A的銷售單價為m元/kg，則B的銷售單價為（m+10）元/kg，
根據題意可列方程得：1800（m﹣5）+1500（m+10﹣10）＝10800，
解得：m＝6，則6+10＝16（元/kg），
答：銷售A為1800kg，銷售B為1500kg，A的銷售單價為6元/kg，B的銷售單價為16元/kg；
（2）根據題意可知，A商品和之前的利潤相同，B商品也保持不變，
則y＝（6﹣5）x+（3600﹣x）（16﹣10），
整理得：y＝﹣5x+21600（2100≤x＜3600），
∵﹣5＜0，
∴y隨x的增大而減小，
∴當x＝2100時，y有最大值，最大值為11100，
綜上所述：y與x之間的函數關系式為：y＝﹣5x+21600（2100≤x＜3600），這五個月最多可獲得總利潤為11100元．
【點睛】本題考查主要是一元一次方程的應用以及一次函數的應用，解題關鍵：一是找出題中的等量關系列方程，二是利用函數的增減性求最值．
20．在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2﹣5ax+4a與x軸交于A、B（A點在B點的左側）與y軸交于點C．
（1）如圖1，連接AC、BC，若△ABC的面積為3時，求拋物線的解析式；
（2）如圖2，點P為第四象限拋物線上一點且在直線BC下方，連接PC，若∠BCP＝2∠ABC時，求點P的橫坐標；
（3）如圖3，在（2）的條件下，點F在AP上，過點P作PH⊥x軸于H點，點K在PH的延長線上，AK＝KF，∠KAH＝∠FKH，PF＝﹣4a，連接KB并延長交拋物線于點Q，求PQ的長．
【點撥】（1）通過解方程ax2﹣5ax+4a＝0可得到A（1，0），B（4，0），然后利用三角形面積公式求出OC得到C點坐標，再把C點坐標代入y＝ax2﹣5ax+4a中求出a即可得到拋物線的解析式；
（2）過點P作PH⊥x軸于H，作CD⊥PH于點H，如圖2，設P（x，ax2﹣5ax+4a），則PD＝﹣ax2+5ax，通過證明Rt△PCD∽Rt△CBO，利用相似比可得到（﹣ax2+5ax）：（﹣4a）＝x：4，然后解方程求出x即可得到點P的橫坐標；
（3）過點F作FG⊥PK于點G，如圖3，先證明∠HAP＝∠KPA得到HA＝HP，由于P（6，10a），則可得到﹣10a＝6﹣1，解得a＝﹣，再判斷Rt△PFG單位等腰直角三角形得到FG＝PG＝PF＝2，接著證明△AKH≌△KFG，得到KH＝FG＝2，則K（6，2），然后利用待定系數法求出直線KB的解析式為y＝x﹣4，再通過解方程組得到Q（﹣1，﹣5），利用P、Q點的坐標可判斷PQ∥x 軸，于是可得到QP＝7．
【解析】解：（1）當y＝0時，ax2﹣5ax+4a＝0，解得x1＝1，x2＝4，則A（1，0），B（4，0），
∴AB＝3，
∵△ABC的面積為3，
∴ 3 OC＝3，解得OC＝2，則C（0，﹣2），
把C（0，﹣2）代入y＝ax2﹣5ax+4a得4a＝﹣2，解得a＝﹣，
∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+x﹣2；
（2）過點P作PH⊥x軸于H，作CD⊥PH于點H，如圖2，設P（x，ax2﹣5ax+4a），則PD＝4a﹣（ax2﹣5ax+4a）＝﹣ax2+5ax，
∵AB∥CD，
∴∠ABC＝∠BCD，
∵∠BCP＝2∠ABC，
∴∠PCD＝∠ABC，
∴Rt△PCD∽Rt△CBO，
∴PD：OC＝CD：OB，
即（﹣ax2+5ax）：（﹣4a）＝x：4，解得x1＝0，x2＝6，
∴點P的橫坐標為6；
（3）過點F作FG⊥PK于點G，如圖3，
∵AK＝FK，
∴∠KAF＝∠KFA，
而∠KAF＝∠KAH+∠PAH，∠KFA＝∠PKF+∠KPF，
∵∠KAH＝∠FKP，
∴∠HAP＝∠KPA，
∴HA＝HP，
∴△AHP為等腰直角三角形，
∵P（6，10a），
∴﹣10a＝6﹣1，解得a＝﹣，
在Rt△PFG中，∵PF＝﹣4a＝2，∠FPG＝45°，
∴FG＝PG＝PF＝2，
在△AKH和△KFG中
，
∴△AKH≌△KFG，
∴KH＝FG＝2，
∴K（6，2），
設直線KB的解析式為y＝mx+n，
把K（6，2），B（4，0）代入得，
解得，
∴直線KB的解析式為y＝x﹣4，
當a＝﹣時，拋物線的解析式為y＝﹣x2+x﹣2，
解方程組，
解得或，
∴Q（﹣1，﹣5），
而P（6，﹣5），
∴PQ∥x 軸，
∴QP＝7．
【點睛】本題考查了二次函數的綜合題：熟練掌握二次函數圖象上點的坐標特征和二次函數的性質；會利用待定系數法求函數解析式；理解坐標與圖形性質；會利用全等三角形的知識證明線段相等和相似比計算線段的長．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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