資源簡介

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2025年高一年級分班考試數學模擬試卷（1）
一．選擇題
1．下列計算中，結果正確的是（　?。?br/>A．（a2）3＝a5 B．20﹣1＝﹣1 C． D．a6÷a2＝a3
2．如圖，邊長為1的小正方形網格中，⊙O的圓心在格點上，則∠AED的余弦值是（　?。?br/>A． B．1 C． D．
3．如圖，⊙O的半徑OD⊥弦AB于點C，連接AO并延長交⊙O于點E，連接EC．若AB＝8，CD＝2，則EC的長為（　?。?br/>A．2 B．8 C．2 D．2
4．設的整數部分是a，小數部分是b，則a﹣b的值為（　?。?br/>A． B． C． D．
5．濮陽為中華上古文明的重要發祥地，地下文物豐富，“中華第一龍”就出土自中國顓頊的老家濮陽．這些珍貴的文物記載著華夏民族的偉大歷史．下列四件文物中，不考慮紋路，僅考慮外觀，主視圖與左視圖不一致的是（　?。?br/>A． B． C． D．
6．小穎有兩件上衣，分別為紅色和白色，有兩條褲子，分別為黑色和白色，她隨機拿出一件上衣和一條褲子穿上，恰好是白色上衣和白色褲子的概率是（　　）
A． B． C． D．
7．已知等腰三角形三邊的長為a、b、c，且a＝c．若關于x的一元二次方程的兩根之差為，則等腰三角形的一個底角是（　?。?br/>A．15° B．30° C．45° D．60°
8．如圖，一張半徑為1的圓形紙片在邊長為a（a≥3）的正方形內任意移動，則該正方形內，這張圓形紙片“不能接觸到的部分”的面積是（　?。?br/>A．a2﹣π B．（4﹣π）a2 C．π D．4﹣π
9．已知二次函數y＝ax2+bx+c（a＞0）經過點M（﹣1，2）和點N（1，﹣2），交x軸于A，B兩點，交y軸于C．則：
①b＝﹣2；
②該二次函數圖象與y軸交于負半軸；
③存在這樣一個a，使得M、A、C三點在同一條直線上；
④若a＝1，則OA OB＝OC2．
以上說法正確的有（　?。?br/>A．①②③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③
10．如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，以OB為直徑畫圓M，過D作⊙M的切線，切點為N，分別交AC、BC于點E、F，已知AE＝5，CE＝3，則DF的長是（　?。?br/>A．3 B．4 C．4.8 D．5
二．填空題
11．因式分解：a3﹣9a＝ 　 　 ．
12．甲、乙兩臺機床生產同一種零件，并且每天產量相等，在隨機抽取的6天的生產中，每天生產零件中的次品數依次是：
甲 3 0 0 2 0 1
乙 1 0 2 1 0 2
則甲、乙兩臺機床中，性能較穩定的為 　 　 機床．（填“甲”或“乙”）
13．已知二次函數y＝3x2﹣6x+m的圖象與x軸有交點，則m的取值范圍為　 　 ．
14．如圖，矩形ABCD中，由8個面積均為1的小正方形組成的L型模板如圖放置，則矩形ABCD的面積為 　 　 ．
15．如圖，在△ABC中，∠A＝90°，點D是AC上一點，將△BCD沿著BD折疊得到△BED．（1）若DE⊥AC，則∠BDE的度數為 　 　 ；
（2）設BE與AC交于點F，若△DEF是直角三角形，AB＝5，AC＝12，則CD的長為 　 　 ．
16．如圖，在Rt△ABC中，AC＝15，BC＝20，AM＝2CM，CD⊥AB，I為△BCD內心，則IM＝　 　 ．
三．解答題
17．先化簡（1﹣），再從﹣3＜a＜3中選取一個你喜歡的整數a的值代入求值．
18．如圖，已知反比例函數y1＝和一次函數y2＝k2x+b的圖象相交于點A、C兩點，其中點A的橫坐標為﹣2，點C的縱坐標為﹣1，過點A作AB⊥x軸于點B，△AOB的面積為2．
（1）求反比例函數和一次函數的解析式．
（2）根據圖象直接回答：當x取何值時，一次函數大于反比例函數的值．
（3）若A點關于x軸的對稱點A′在二次函數y3＝﹣x2+mx+n的圖象上，請判斷二次函數y4＝x2+mx﹣n﹣3與x軸的交點個數，并說明理由．
19．為創建“國家園林城市”，某校舉行了以“愛我黃石”為主題的圖片制作比賽，評委會對200名同學的參賽作品打分發現，參賽者的成績x均滿足50≤x＜100，并制作了頻數分布直方圖，如圖．
根據以上信息，解答下列問題：
（1）請補全頻數分布直方圖；
（2）若依據成績，采取分層抽樣的方法，從參賽同學中抽40人參加圖片制作比賽總結大會，則從成績80≤x＜90的選手中應抽多少人？
（3）比賽共設一、二、三等獎，若只有25%的參賽同學能拿到一等獎，則一等獎的分數線是多少？
20．某超市準備購進野生木耳和人工培育木耳，已知購進一斤野生木耳比一斤人工培育木耳多15元，若用1200元購進的野生木耳的數量是用500元購進的人工培育木耳數量的倍，請解答下列問題：
（1）求該超市購進的野生木耳和人工培育木耳單價各為多少元；
（2）該超市預計購進野生木耳和人工培育木耳共100斤（野生木耳和人工培育木耳的數量都是整數），總資金不超過3040元，人工培育木耳的數量不超過野生木耳的數量的2倍，求有哪幾種購進方案；
（3）在（2）的條件下，該超市野生木耳每斤售價70元，人工木耳每斤售價40元，若全部售出，則該超市獲得的最大利潤是多少元？
21．在△ABC中，∠C＝90°．
（1）如圖①，點O在斜邊AB上，以點O為圓心，OB長為半徑的圓交AB于點D，交BC于點E，與邊AC相切于點F，求證：∠1＝∠2；
（2）在圖②中作⊙M，使它滿足以下條件：①圓心在邊AB上；②經過點B；③與邊AC相切；（尺規作圖，只保留作圖痕跡，不要求寫出作法）
（3）在（2）問條件下，若∠A＝30°，⊙M的半徑為2，求線段BC的長．
22．如圖1，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝ax2+bx+3經過點A（﹣1，0），B（3，0），與y軸交于點C，頂點為D．
（1）求拋物線的表達式及頂點D的坐標；
（2）如圖2，連接CB，DB，若拋物線上存在點E，滿足∠CBD＝∠BDE，求點E的坐標；
（3）如圖3，點F為x軸上一動點，連接CF，DF，當∠CFD最大時，請直接寫出點F的坐標．
答案與解析
一．選擇題
1．下列計算中，結果正確的是（　　）
A．（a2）3＝a5 B．20﹣1＝﹣1 C． D．a6÷a2＝a3
【點撥】運用冪運算法則，二次根式的化簡方法計算．
【解析】解：A、根據冪的乘方法則，（a2）3＝a6，故不對；
B、因為0任何不等于0的數的0次冪等于1，所以20﹣1＝1﹣1＝0，故不對；
C、把二次根式化簡，故正確；
D、a6÷a2＝a4，故不對．
故選：C．
【點睛】本題考查的是實數的運算能力．注意：要正確掌握各種運算法則．
2．如圖，邊長為1的小正方形網格中，⊙O的圓心在格點上，則∠AED的余弦值是（　　）
A． B．1 C． D．
【點撥】根據圓周角定理，可得∠AED與∠ABD的關系，根據勾股定理，可得BC的長，再根據余弦等于鄰邊比斜邊，可得答案．
【解析】解：由圓周角定理，得
∠AED＝∠ABD．
在Rt△ABC中，由勾股定理，得
BC＝＝，
cos∠AED＝cos∠ABC＝＝＝，
故選：D．
【點睛】本題考查了銳角三角函數的定義，利用圓周角定理得出∠AED＝∠ABD是解題關鍵，注意余弦是在直角三角形中鄰邊比斜邊．
3．如圖，⊙O的半徑OD⊥弦AB于點C，連接AO并延長交⊙O于點E，連接EC．若AB＝8，CD＝2，則EC的長為（　?。?br/>A．2 B．8 C．2 D．2
【點撥】先根據垂徑定理求出AC的長，設⊙O的半徑為r，則OC＝r﹣2，由勾股定理即可得出r的值，故可得出AE的長，連接BE，由圓周角定理可知∠ABE＝90°，在Rt△BCE中，根據勾股定理即可求出CE的長．
【解析】解：∵⊙O的半徑OD⊥弦AB于點C，AB＝8，
∴AC＝AB＝4，
設⊙O的半徑為r，則OC＝r﹣2，
在Rt△AOC中，
∵AC＝4，OC＝r﹣2，
∴OA2＝AC2+OC2，即r2＝42+（r﹣2）2，解得r＝5，
∴AE＝2r＝10，
連接BE，如圖．
∵AE是⊙O的直徑，
∴∠ABE＝90°，
在Rt△ABE中，
∵AE＝10，AB＝8，
∴BE＝＝＝6，
在Rt△BCE中，
∵BE＝6，BC＝4，
∴CE＝＝＝2．
故選：D．
【點睛】本題考查的是垂徑定理及勾股定理，根據題意作出輔助線，構造出直角三角形是解答此題的關鍵．
4．設的整數部分是a，小數部分是b，則a﹣b的值為（　?。?br/>A． B． C． D．
【點撥】≈1.414，由此可得出的整數部分a，再用4﹣減整數部分可得出小數部分b，從而求出a﹣b的值．
【解析】解：≈1.414，
∴整數部分a＝2，小數部分b＝4﹣﹣2＝2﹣，
∴a﹣b＝2﹣（2﹣）
＝．
故選：B．
【點睛】本題主要考查了估算無理數的大小的知識，注意應先判斷所給的無理數的近似值然后解題．
5．濮陽為中華上古文明的重要發祥地，地下文物豐富，“中華第一龍”就出土自中國顓頊的老家濮陽．這些珍貴的文物記載著華夏民族的偉大歷史．下列四件文物中，不考慮紋路，僅考慮外觀，主視圖與左視圖不一致的是（　?。?br/>A． B． C． D．
【點撥】根據三視圖的概念求解即可．
【解析】解：A、物體的主視圖與左視圖相同，故選項不符合題意；
B、選項物體的主視圖與左視圖不相同，故選項符合題意；
C、物體的主視圖與左視圖相同，故選項不符合題意；
D、物體的主視圖與左視圖相同，故選項不符合題意；
故選：B．
【點睛】本題主要考查了簡單的概率計算，解題的關鍵在于能夠熟練掌握概率計算公式．
6．小穎有兩件上衣，分別為紅色和白色，有兩條褲子，分別為黑色和白色，她隨機拿出一件上衣和一條褲子穿上，恰好是白色上衣和白色褲子的概率是（　?。?br/>A． B． C． D．
【點撥】先畫出樹狀圖，從而可得她隨機拿出一件上衣和一條褲子穿上的所有等可能的結果，再找出恰好是白色上衣和白色褲子的結果，然后利用概率公式求解即可得．
【解析】解：由題意，畫出樹狀圖如下：
由圖可知，小穎隨機拿出一件上衣和一條褲子穿上的所有等可能的結果共有4種，其中，恰好是白色上衣和白色褲子的結果有1種，
則恰好是白色上衣和白色褲子的概率為，
故選：B．
【點睛】本題考查了利用列舉法求概率，正確畫出樹狀圖是解題關鍵．
7．已知等腰三角形三邊的長為a、b、c，且a＝c．若關于x的一元二次方程的兩根之差為，則等腰三角形的一個底角是（　?。?br/>A．15° B．30° C．45° D．60°
【點撥】根據一元二次方程的根與系數的關系得到，兩根之和與兩根之積，把兩根之差變形成與兩根之和和兩根之積有關的式子，代入兩根之和與兩根之積，得到a、b的關系后，再根據特殊角的三角函數值求得底角的度數．
【解析】解：由根與系數的關系可知：x1+x2＝，x1 x2＝，
又知（x1﹣x2）＝，
則（x1﹣x2）2＝2，
即（x1+x2）2﹣4x1 x2＝2，
∴2×﹣4×＝2，
解得b＝a，
∴底角的余弦cosC＝＝＝，
∴底角為30度．
故選：B．
【點睛】將根與系數的關系與代數式變形相結合解題是一種經常使用的解題方法．本題考查了一元二次方程的根與系數的關系，特殊角的三角函數值．
8．如圖，一張半徑為1的圓形紙片在邊長為a（a≥3）的正方形內任意移動，則該正方形內，這張圓形紙片“不能接觸到的部分”的面積是（　?。?br/>A．a2﹣π B．（4﹣π）a2 C．π D．4﹣π
【點撥】這張圓形紙片“不能接觸到的部分”的面積是就是小正方形的面積與扇形的面積的差．
【解析】解：小正方形的面積是：1；
當圓運動到正方形的一個角上時，形成扇形BAO，它的面積是：．
則這張圓形紙片“不能接觸到的部分”的面積是4（1﹣）＝4﹣π．
故選：D．
【點睛】本題主要考查了正方形和圓的面積的計算公式，正確記憶公式是關鍵．
9．已知二次函數y＝ax2+bx+c（a＞0）經過點M（﹣1，2）和點N（1，﹣2），交x軸于A，B兩點，交y軸于C．則：
①b＝﹣2；
②該二次函數圖象與y軸交于負半軸；
③存在這樣一個a，使得M、A、C三點在同一條直線上；
④若a＝1，則OA OB＝OC2．
以上說法正確的有（　　）
A．①②③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③
【點撥】①二次函數y＝ax2+bx+c（a＞0）經過點M（﹣1，2）和點N（1，﹣2），因而將M、N兩點坐標代入即可消去a、c解得b值．
②根據圖象的特點及與直線MN比較，可知當﹣1＜x＜1時，二次函數圖象在直線MN的下方．
③同②理．
④當y＝0時利用根與系數的關系，可得到OA OB的值，當x＝0時，可得到OC的值．通過c建立等量關系求證．
【解析】解：①∵二次函數y＝ax2+bx+c（a＞0）經過點M（﹣1，2）和點N（1，﹣2），
∴，
解得b＝﹣2．
故該選項正確．
②方法一：∵二次函數y＝ax2+bx+c，a＞0
∴該二次函數圖象開口向上
∵點M（﹣1，2）和點N（1，﹣2），
∴直線MN的解析式為y﹣2＝，
即y＝﹣2x，
根據拋物線的圖象的特點必然是當﹣1＜x＜1時，二次函數圖象在y＝﹣2x的下方，
∴該二次函數圖象與y軸交于負半軸；
方法二：由①可得b＝﹣2，a+c＝0，即c＝﹣a＜0，
所以二次函數圖象與y軸交于負半軸．
故該選項正確．
③根據拋物線圖象的特點，M、A、C三點不可能在同一條直線上．
故該選項錯誤．
④當a＝1時，c＝﹣1，∴該拋物線的解析式為y＝x2﹣2x﹣1
當y＝0時，0＝x2﹣2x+c，利用根與系數的關系可得 x1 x2＝c，
即OA OB＝|c|，
當x＝0時，y＝c，即OC＝|c|＝1＝OC2，
∴若a＝1，則OA OB＝OC2，
故該選項正確．
總上所述①②④正確．
故選：C．
【點睛】本題是二次函數的綜合題型，其中涉及到的知識點有拋物線的圖象性質及特點、一元二次方程根與系數的關系、直線解析式的確定．
10．如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，以OB為直徑畫圓M，過D作⊙M的切線，切點為N，分別交AC、BC于點E、F，已知AE＝5，CE＝3，則DF的長是（　?。?br/>A．3 B．4 C．4.8 D．5
【點撥】首先延長EF，過點B作直線平行AC和EF相交于P，由菱形的性質，可求得OE的長，證得AC是⊙M的切線，然后由切線長定理，求得EN的長，易證得△DMN∽△DEO，△EFC∽△PFB，然后由相似三角形的對應邊成比例，求得答案．
【解析】解：延長EF，過點B作直線平行AC和EF相交于P，
∵AE＝5，EC＝3，
∴AC＝AE+CE＝8，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴OA＝OC＝AC＝4，AC⊥BD，
∴OE＝OC﹣CE＝4﹣3＝1，
∵以OB為直徑畫圓M，
∴AC是⊙M的切線，
∵DN是⊙M的切線，
∴EN＝OE＝1，MN⊥AN，
∴∠DNM＝∠DOE＝90°，
∵∠MDN＝∠EDO，
∴△DMN∽△DEO，
∴DM：MN＝DE：OE，
∵MN＝BM＝OM＝OB，
∴DM＝OD+OM＝3MN，
∴DE＝3OE＝3，
∵OE∥BP，
∴OD：OB＝DE：EP，
∵OD＝OB，
∴DE＝EP＝3，
∴BP＝2OE＝2，
∵OE∥BP，
∴△EFC∽△PFB，
∴EF：PF＝EC：BP＝3：2，
∴EF：EP＝3：5，
∴EF＝EP×＝1.8，
∴DF＝DE+EF＝3+1.8＝4.8．
故選：C．
【點睛】此題屬于圓的綜合題，考查了切線的判定與性質、菱形的性質以及相似三角形的判定與性質．注意準確作出輔助線是解此題的關鍵．
二．填空題
11．因式分解：a3﹣9a＝ 　a（a+3）（a﹣3）　 ．
【點撥】原式提取a，再利用平方差公式分解即可．
【解析】解：原式＝a（a2﹣9）
＝a（a+3）（a﹣3），
故答案為：a（a+3）（a﹣3）．
【點睛】此題考查了提公因式法與公式法的綜合運用，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關鍵．
12．甲、乙兩臺機床生產同一種零件，并且每天產量相等，在隨機抽取的6天的生產中，每天生產零件中的次品數依次是：
甲 3 0 0 2 0 1
乙 1 0 2 1 0 2
則甲、乙兩臺機床中，性能較穩定的為 　乙　 機床．（填“甲”或“乙”）
【點撥】先計算出甲乙的平均數，甲的平均數＝乙的平均數＝1，再根據方差的計算公式分別計算出它們的方差，然后根據方差的意義得到方差小的性能較穩定．
【解析】解：甲的平均數＝（3+0+0+2+0+1）＝1，
乙的平均數＝（1+0+2+1+0+2）＝1，
∴S2甲＝[（3﹣1）2+3×（0﹣1）2+（2﹣1）2+（1﹣1）2]＝
S2乙＝[（2×（1﹣1）2+2×（0﹣1）2+2×（2﹣1）2]＝，
∴S2甲＞S2乙，
∴乙臺機床性能較穩定．
故答案為：乙．
【點睛】本題考查了方差的計算公式和意義：一組數據x1，x2，…，xn，其平均數為，則這組數據的方差S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]；方差反映一組數據在其平均數左右的波動大小，方差越大，波動就越大，越不穩定，方差越小，波動越小，越穩定．
13．已知二次函數y＝3x2﹣6x+m的圖象與x軸有交點，則m的取值范圍為　m≤3　 ．
【點撥】利用根的判別式的意義得到Δ＝（﹣6）2﹣4×3×m≥0，然后解不等式即可．
【解析】解：根據題意得，Δ＝（﹣6）2﹣4×3×m≥0，
解得，m≤3，
∴m的取值范圍為m≤3，
故答案為：m≤3．
【點睛】本題主要考查拋物線與x軸的交點，解答本題的關鍵是熟練掌握二次函數的性質．
14．如圖，矩形ABCD中，由8個面積均為1的小正方形組成的L型模板如圖放置，則矩形ABCD的面積為 　　 ．
【點撥】根據AAS可以證明△ABE≌△ECF，得AB＝CE，BE＝CF；根據兩角對應相等，可以證明△ECF∽△FDG，則DF：CE＝FG：EF＝1：2．設BE＝x，則AB＝2x，根據勾股定理求得x的值，進而求得矩形的面積．
【解析】解：根據等角的余角相等，得
∠BAE＝∠CEF＝∠DFG．
又∠B＝∠C＝∠D＝90°，AE＝EF＝4，FG＝2，
∴△ABE≌△ECF，△ECF∽△FDG．
∴AB＝CE，BE＝CF，DF：CE＝FG：EF＝1：2．
設BE＝x，則AB＝2x，根據勾股定理，得
x2+4x2＝16，
x＝．
則矩形ABCD的面積為：2x×3x＝6x2＝．
故答案為：．
【點睛】此題綜合運用了全等三角形的判定和性質、相似三角形的判定和性質，能夠用一個未知數表示矩形的長和寬，根據勾股定理列方程求解．
15．如圖，在△ABC中，∠A＝90°，點D是AC上一點，將△BCD沿著BD折疊得到△BED．（1）若DE⊥AC，則∠BDE的度數為 　135°　 ；
（2）設BE與AC交于點F，若△DEF是直角三角形，AB＝5，AC＝12，則CD的長為 　7或　 ．
【點撥】（1）由折疊可知，代入已知條件即可求解；
（2）分兩種情況：當∠EDF＝90°時，當∠DFE＝90°時，BE與BA共線，分別用勾股定理求出對應的值即可．
【解析】解：（1）∵DE⊥AC，
∴∠CDE＝90°．
由折疊可知．
故答案為：135°；
（2）如圖1，當∠EDF＝90°時，
由（1）可知∠BDE＝135°，
則∠AOB＝∠ABD＝45°，
∴AB＝AD＝5，
∴CD＝AC﹣AD＝7．
如圖2，當∠DFE＝90°時，BE與BA共線．
在Rt△ABC中，AB＝5，AC＝12，
由勾股定理得BC＝13，
∴BE＝13，
∴AE＝BE﹣AB＝13﹣5＝8，
設CD＝DE＝x，則AD＝12﹣x．
由勾股定理得DE2＝AE2+AD2，
即x2＝82+（12﹣x）2，
解得．
綜上，CD的長為7或．
故答案為：7或．
【點睛】本題考查了折疊的性質，勾股定理等，關鍵是設邊長，根據勾股定理列方程求解．
16．如圖，在Rt△ABC中，AC＝15，BC＝20，AM＝2CM，CD⊥AB，I為△BCD內心，則IM＝　　 ．
【點撥】作IE⊥BC于E，IF⊥CD于F，IG⊥AB于G，IH⊥AC于H，連接BI，由條件求出IE，CE的長，得到CH，IH的長，由勾股定理即可求出IM的長．
【解析】解：作IE⊥BC于E，IF⊥CD于F，IG⊥AB于G，IH⊥AC于H，連接BI，
∵I為△BCD內心，
∴IE＝IF＝IG，
∵BI＝BI，IG＝IE，
∴Rt△BIG≌Rt△BIE（HL），
∴BE＝BG，
同理DG＝DF，CF＝CE，
∵CD⊥AB，
∴四邊形DGIF是正方形，
∴DG＝DF＝IG，
∵AC⊥BC，
∴四邊形IECH是矩形，
∴CH＝IE，IH＝EC，
在Rt△ABC中，AC＝15，BC＝20，
∴AB＝＝＝25，
∵AB CD＝AC BC，
∴25CD＝15×20，
∴CD＝12，
∴BD＝＝＝16，
∵DB+DC﹣BC＝DG+BG+DF+FC﹣（BE+CE）＝16+12﹣20＝8，
∴2DG＝8，
同理可得：2CE＝（BC+CD﹣BD）＝（20+12﹣16）＝16，
∴CE＝8，
∴IE＝DG＝4，IH＝CE＝8，
∴CH＝IE＝4，
∵AM＝2CM，
∴CM＝AC＝＝5，
∴MH＝CM﹣CH＝5﹣4＝1，
∴IM＝＝＝．
故答案為：．
【點睛】本題考查三角形的內心，勾股定理，關鍵是掌握三角形內心的性質，通過作輔助線構造直角三角形．
三．解答題
17．先化簡（1﹣），再從﹣3＜a＜3中選取一個你喜歡的整數a的值代入求值．
【點撥】根據分式的運算法則即可求出答案．
【解析】解：原式＝×
＝
∵a≠﹣2，2，1
∴a＝0時，
原式＝2
【點睛】本題考查分式的運算法則，解題的關鍵是熟練運用分式的運算法則，本題屬于基礎題型．
18．如圖，已知反比例函數y1＝和一次函數y2＝k2x+b的圖象相交于點A、C兩點，其中點A的橫坐標為﹣2，點C的縱坐標為﹣1，過點A作AB⊥x軸于點B，△AOB的面積為2．
（1）求反比例函數和一次函數的解析式．
（2）根據圖象直接回答：當x取何值時，一次函數大于反比例函數的值．
（3）若A點關于x軸的對稱點A′在二次函數y3＝﹣x2+mx+n的圖象上，請判斷二次函數y4＝x2+mx﹣n﹣3與x軸的交點個數，并說明理由．
【點撥】（1）根據反比例函數|k1|的幾何意義，知S△AOB＝|k1|，得k1＝﹣4，可求得A、C兩點坐標，代入一次函數解析式得關于k2、b的二元一次方程組，求得一次函數解析式；
（2）觀察圖象，y2＞y1，即表示y2的圖象位于y1的圖象上方，直接找出對應的x的取值范圍；
（3）由題意可得到n＝2m+2，再根據二次函數圖象與x軸交點情況與對應的一元二次方程根的情況有關，求出Δ＝b2﹣4ac的值即可判斷．
【解析】解：（1）∵S△AOB＝2，
∴|k1|＝4，
∵y1＝的圖象位于第二、四象限，
∴k1＝﹣4，
∴，
∴A（﹣2，2），C（4，﹣1），
由題意得：，解得；
∴
（2）觀察圖象得：當x＜﹣2或0＜x＜4時，y2＞y1；
（3）由題意得A′（﹣2，﹣2）在y3＝﹣x2+mx+n的圖象上，
∴﹣（﹣2）2﹣2m+n＝﹣2，
∴n＝2m+2，
在y4＝x2+mx﹣n﹣3中，令y4＝0，得x2+mx﹣n﹣3＝0，
∴△＝m2﹣4×1×（﹣n﹣3）＝m2+4n+12＝m2+4（2m+2）+12＝（m+4）2+4，
∵（m+4）2≥0，
∴（m+4）2+4＞0，即Δ＞0，
∴關于x的一元二次方程x2+mx﹣n﹣3＝0有兩個不相等的實數根，即二次函數y4＝x2+mx﹣n﹣3的圖象與x軸有兩個交點．
【點睛】本題考查了待定系數法求一次函數和反比例函數解析式、反比例函數|k|的幾何意義、二次函數圖象與x軸交點情況等；解題關鍵是理解和應用反比例函數|k|的幾何意義以及拋物線與坐標軸交點情況的判斷方法．
19．為創建“國家園林城市”，某校舉行了以“愛我黃石”為主題的圖片制作比賽，評委會對200名同學的參賽作品打分發現，參賽者的成績x均滿足50≤x＜100，并制作了頻數分布直方圖，如圖．
根據以上信息，解答下列問題：
（1）請補全頻數分布直方圖；
（2）若依據成績，采取分層抽樣的方法，從參賽同學中抽40人參加圖片制作比賽總結大會，則從成績80≤x＜90的選手中應抽多少人？
（3）比賽共設一、二、三等獎，若只有25%的參賽同學能拿到一等獎，則一等獎的分數線是多少？
【點撥】（1）利用總人數200減去其它各組的人數即可求得第二組的人數，從而作出直方圖；
（2）設抽了x人，根據各層抽取的人數的比例相等，即可列方程求解；
（3）利用總人數乘以一等獎的人數，據此即可判斷．
【解析】解：（1）200﹣（35+40+70+10）＝45，如圖：
（2）設抽了x人，則，解得x＝8；
（3）依題意知獲一等獎的人數為200×25%＝50（人）．
則一等獎的分數線是80分．
【點睛】本題考查讀頻數分布直方圖的能力和利用統計圖獲取信息的能力；利用統計圖獲取信息時，必須認真觀察、分析、研究統計圖，才能作出正確的判斷和解決問題．
20．某超市準備購進野生木耳和人工培育木耳，已知購進一斤野生木耳比一斤人工培育木耳多15元，若用1200元購進的野生木耳的數量是用500元購進的人工培育木耳數量的倍，請解答下列問題：
（1）求該超市購進的野生木耳和人工培育木耳單價各為多少元；
（2）該超市預計購進野生木耳和人工培育木耳共100斤（野生木耳和人工培育木耳的數量都是整數），總資金不超過3040元，人工培育木耳的數量不超過野生木耳的數量的2倍，求有哪幾種購進方案；
（3）在（2）的條件下，該超市野生木耳每斤售價70元，人工木耳每斤售價40元，若全部售出，則該超市獲得的最大利潤是多少元？
【點撥】（1）設購進一斤野生木耳a元，則購進一斤人工培育木耳（a﹣15）元，根據用1200元購進的野生木耳的數量是用500元購進的人工培育木耳數量的倍，列出關于a的分式方程，解方程即可；
（2）設購進野生木耳x斤，則購進人工培育木耳（100﹣x）斤，根據總資金不超過3040元，人工培育木耳的數量不超過野生木耳的數量的2倍，列出關于x的一元一次不等式組，解不等式組，即可解決問題；
（3）設總利潤為w元，根據題意得w＝15x+1500，再根據一次函數的性質結合（2）的結論可得答案．
【解析】解：（1）設該超市購進的野生木耳的單價為x元，則人工培育木耳單價的單價為（a﹣15）元，
由題意得：，
解得：a＝40，
經檢驗，a＝40是原方程的解，且符合題意，
∴x﹣15＝40﹣15＝25，
答：該超市購進的野生木耳的單價為40元，人工培育木耳單價的單價為25 元；
（2）設購進野生木耳x斤，則購進人工培育木耳（100﹣x）斤，
由題意得：，
解得：，
∵x是正整數，
∴x＝34，35，36，
∴100﹣x＝66，65，64，
∴有3種購進方案：
①野生木耳34斤，人工培育木耳66斤；
②野生木耳35斤，人工培育木耳65斤；
③野生木耳36斤，人工培育木耳64斤；
（3）設總利潤為w元，
由題意得：w＝（70﹣40）x+（40﹣25）（100﹣x）＝15x+1500，
∵15＞0，
∴w隨x的增大而增大，
∴當x＝36時，w由最大值，w最大＝15×36+1500＝2040，
答：該超市獲得的最大利潤是2040元．
【點睛】本題考查了分式方程的應用，一元一次不等式的應用以及一次函數的應用．解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出分式方程；（2）找出數量關系，正確列出一元一次不等式組；（3）找出數量關系，正確列出一次函數關系式．
21．在△ABC中，∠C＝90°．
（1）如圖①，點O在斜邊AB上，以點O為圓心，OB長為半徑的圓交AB于點D，交BC于點E，與邊AC相切于點F，求證：∠1＝∠2；
（2）在圖②中作⊙M，使它滿足以下條件：①圓心在邊AB上；②經過點B；③與邊AC相切；（尺規作圖，只保留作圖痕跡，不要求寫出作法）
（3）在（2）問條件下，若∠A＝30°，⊙M的半徑為2，求線段BC的長．
【點撥】（1）連接OF，可證得OF∥BC，結合平行線的性質和圓的特性可求得∠1＝∠OFB＝∠2，可得出結論；
（2）由（1）可知切點是∠ABC的角平分線和AC的交點，圓心在BF的垂直平分線上，由此即可作出⊙M．
（3）先求出AB長，利用直角三角形30°所對直角邊＝斜邊的一半，即可得答案．
【解析】（1）證明：如圖①，連接OF，
∵AC是⊙O的切線，
∴OF⊥AC，
∵∠C＝90°，
∴OF∥BC，
∴∠1＝∠OFB，
∵OF＝OB，
∴∠OFB＝∠2，
∴∠1＝∠2．
（2）解：如圖②所示⊙M為所求．
①作∠ABC平分線交AC于F點，
②作BF的垂直平分線交AB于M，以MB為半徑作圓，
即⊙M為所求．
證明：∵M在BF的垂直平分線上，
∴MF＝MB，
∴∠MBF＝∠MFB，
又∵BF平分∠ABC，
∴∠MBF＝∠CBF，
∴∠CBF＝∠MFB，
∴MF∥BC，
∵∠C＝90°，
∴FM⊥AC，
∴⊙M與邊AC相切．
（3）∵⊙M與AC相切，
∴∠AFM＝90°，
∴AM＝2FM＝4，
∴AB＝AM+BM＝4+2＝6，
∵∠C＝90°，∠A＝30°，
∴BC＝＝3．
【點睛】本題主要考查圓和切線的性質和基本作圖的綜合應用．掌握連接圓心和切點的半徑與切線垂直是解題的關鍵．
22．如圖1，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝ax2+bx+3經過點A（﹣1，0），B（3，0），與y軸交于點C，頂點為D．
（1）求拋物線的表達式及頂點D的坐標；
（2）如圖2，連接CB，DB，若拋物線上存在點E，滿足∠CBD＝∠BDE，求點E的坐標；
（3）如圖3，點F為x軸上一動點，連接CF，DF，當∠CFD最大時，請直接寫出點F的坐標．
【點撥】（1）利用待定系數法求出拋物線的表達式，再將拋物線一般式化成頂點式即可得出點D的坐標．
（2）分兩種情況，當點E在x軸上方的拋物線上，和點E在x軸下方的拋物線上，畫出圖形，根據∠CBD＝∠BDE分解求解即可．
（3）延長CD到點M，利用待定系數法求出CD的解析式，進而可得出點M的坐標，根據題意可知，當點C，D，F所在的圓與x軸相切時，∠CFD取得最大值，再證明△MCF∽△MFD，由相似三角形的性質即可求解．
【解析】解：（1）由條件可得，
解得，
∴拋物線y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴頂點D（1，4）；
（2）如圖，
由條件可知CB∥DE，
設直線DE的解析式為y＝﹣x+m，將點D的坐標代入得：m＝5，
∴直線DE的解析式為y＝﹣x+5，
聯立，
解得：（舍）或，
∴E1（2，3）；
②∵y＝﹣x2+2x+3，
∴C（0，3），
∵B（3，0），
∴直線CB：y＝﹣x+3，
如圖，設DE交CB于點G，
由條件可知GD＝GB，
設G（n，﹣n+3），
，
解得，
解得，
設直線DG的解析式為y＝ax+b，
則，
解得：，
∴直線DG的解析式為y＝﹣7x+11，
聯立，
解得：（舍）或，
∴E2（8，﹣45）；
（3）延長DC交x軸于點M，則 D（1，4），C（0，3），
∴設CD的解析式為：y＝mx+3，
由條件可得出m＝1，
∴CD的解析式為：y＝x+3，
∴M（﹣3，0），
∴，
根據題意可知，當點C，D，F所在的圓與x軸相切時，∠CFD取得最大值，
∵∠M＝∠M，∠MFC＝∠MDF，
∴△MCF∽△MFD，
∴，
∴，
∴．
【點睛】本題主要考查了二次函數的綜合題，待定系數法求二次函數解析式，一次函數解析式，二次函數角度綜合題，相似三角形的判定和性質等知識，掌握二次函數的圖象和性質是解題的關鍵．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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