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重慶市第八中學2024-2025學年八年級下學期數學期中試卷
學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________
一、單選題
1．若有意義，則滿足的條件是（　?。?br/>A． B． C． D．
2．如圖，在矩形中，對角線，相交于點，，，則的長為（ ）
A．4 B． C．2 D．
3．如圖，在中，點為邊中點，連接并延長交延長線于點，若，則長為（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．下列計算正確的是（　　）
A． B．
C． D．
5．下列說法中正確的是（　?。?br/>A．對角線相等的四邊形是矩形 B．對角線互相垂直的四邊形是正方形
C．平行四邊形的對角線平分一組對角 D．矩形的對角線相等且互相平分
6．某公司研發的兩個模塊和共同處理一批數據．已知單獨處理數據的時間比少2小時，若兩模塊合作處理，僅需1.2小時即可完成．設單獨處理需要小時，則下列方程正確的是（　　）
A． B．
C． D．
7．已知為整式，計算的結果為，則（　?。?br/>A． B． C． D．
8．如圖，在菱形中，，則（　?。?br/>A． B．
C． D．
9．如圖，正方形中，，點為線段上一點，且，點為上的任意一點，則的最小值為（　　）
A．5 B． C．7 D．4
10．如圖，在中，，，點為邊上一點，且，點是的中點，點以每秒的速度從點出發，沿向點運動；同時，點以每秒的速度從點出發，沿向點運動，點運動到點時停止運動，點也同時停止運動，當以為頂點的四邊形是平行四邊形時，運動的時間為（　?。?br/>A． B． C．或 D．
11．若正數滿足，則的值為（　　）
A． B． C． D．
二、多選題
12．如圖所示，正方形的邊長為6，是邊上一點，且，連接，作的垂直平分線交于點，交的延長線于點，連接交于點，連接．下列結論正確的是（　　）
A． B．平分
C．的周長為12 D．的面積為15
三、填空題
13．一個多邊形的內角和為，這個多邊形的邊數是 ．
14．如圖，已知矩形中，分別是、的中點，四邊形的周長等于，則矩形的對角線長為 ．
15．若，則的值為 ．
16．如圖，在平面直角坐標系中，是菱形的對角線的交點，軸，且，則點的坐標是 ．
17．若關于的不等式組有且只有2個奇數解，關于的分式方程的解為非負數，則所有滿足條件的整數的值的和是 ．
18．如圖，在菱形中，對角線，交于點，過點作交的延長線于點，連接．若，則的周長為 ．
19．一個三位數，若它的各個數位上的數字均不為，且滿足百位數字的平方等于十位數字與個位數字之積的倍（為整數），則稱為“百數”，例如：三位數，∵，∴為“百數”；將去掉個位數字剩余的兩位數記為，去掉百位數字剩余的兩位數記為，規定，則最小的“百數”為 ；若一個“百數”的十位數字是，且能被整除，則滿足條件的所有的和為 ．
四、解答題
20．分式化簡：
(1)
(2)
21．解分式方程：
(1)
(2)
22．先化簡，再從，0，1，2四個數字中選擇一個你喜歡的數代入上式求值．
23．如圖，在中，、分別是、上的一點，，．
(1)證明：四邊形是矩形；
(2)若，，，求的長．
24．某水果店購進了一批奇異果和芒果，兩種水果總重量為千克，奇異果的進價是芒果進價的倍，奇異果的進貨費用為元，芒果的進貨費用為元．
(1)求奇異果和芒果的進價分別是多少元每千克；
(2)該水果店將這批奇異果全部按元每千克的價格售出．由于芒果不易保存，水果店將這批芒果的按元每千克的價格售出后，剩余的芒果降價銷售，并全部售出．如果這批奇異果和芒果的總利潤不低于元，則芒果最多降價多少元？
25．若，對作變化，得到；再對作變化，得到；再對作變化，得到；依次變化下去，；在此變化過程中，記（n為正整數）
(1)當時，，求此時的值；
(2)填空：化簡并猜想___________，___________，___________；（用只含和的代數式表示）
(3)當為整數時，求此時的值．
26．如圖1，在平面直角坐標系中，直線與軸交于點，與軸交于點，與直線交于點．點是軸上一點，過點作軸的垂線交于點，交于點．
(1)求直線、的關系式；
(2)如圖2，是線段上一動點，為的中點，連接、、，當四邊形的面積為9時，求出點的坐標；
(3)如圖3，是軸上一點，是平面內一點，在（2）問的條件下，是否存在以點為頂點的四邊形是菱形，若存在，直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．
27．在中，，，點是直線上一點．
(1)如圖1，點是線段上一點，將線段繞點順時針旋轉，得到線段，連接，，若，，求線段的長；
(2)如圖2，點是線段延長線上一點，將繞點順時針旋轉，交線段于點，點為線段上一點，過點作的垂線，垂足為點，過點作交延長線于點，連接．若平分，求證：；
(3)如圖3，在（1）問的條件下，在線段下方作，使得．點，分別為線段，上的動點，且，連接，當最小時，直接寫出四邊形的面積．
《 重慶市第八中學2024-2025學年八年級下學期數學期中試卷》參考答案
1．A
解：有意義，
，
，
故選：A．
2．C
解：∵矩形中，，
∴，
∵，，
∴是等邊三角形
∴．
故選：C．
3．B
解：四邊形為平行四邊形，
點為邊中點，
又，
，
，
故選：B．
4．C
解：、，原選項計算錯誤，不符合題意；
、，原選項計算錯誤，不符合題意；
、，原選項計算正確，符合題意；
、，原選項計算錯誤，不符合題意；
故選：．
5．D
∵對角線相等的平行四邊形是矩形，
∴A不正確；
∵對角線互相垂直的矩形是正方形，
∴B不正確；
∵平行四邊形的對角線互相平分，菱形的對角線平分一組對角，
∴C不正確；
∵矩形的對角線互相平分且相等，
∴D正確；
故選D．
6．C
解：依題意得，
故選：C．
7．D
解：，
，
故選：D．
8．C
解：四邊形為菱形，
，
，
，
故選：C．
9．A
解：如圖，作點P關于的對稱點，連接，
則的長即為的最小值，
，
，
，
則的最小值為5，
故選：A
10．C
解：點E是的中點，
，
，
點P運動到F點的時間為，點Q運動到點E的時間為，
當時，，則，
當以P、Q、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形時，，
即，
解得：，
當時，，則，
當以P、Q、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形時，，
即，
解得：，
綜上所述，當以P、Q、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形時，運動的時間為或．
故選：C．
11．C
解：，
∴，
∴，
解得：，
∵是正數，
∴，
∵正數滿足，
∴，即，
∴，
把代入，得：，
∴，
故選：C．
12．ABCD
解：如圖，設與交于點，
由題可知，是的垂直平分線，
∴，故A選項符合題意；
∴，
∵四邊形是正方形，
∴，，，
∴，
∴，
∴平分，故B選項符合題意；
如圖，過點作于點，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
設，則，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
解得：，
∴，，
∴的周長，故C選項符合題意；
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，故D選項符合題意；
故選：ABCD．
13．5
解：設這個多邊形的邊數為n，
根據多邊形內角和定理得，
，
解得．
故答案為：5．
14．
解：如圖，連接，
∵四邊形是矩形，
∴，
∵分別是、的中點，
∴，
∴，
∵四邊形的周長等于，
∴，
∴，
∴，
故答案為：．
15．
解：，
∴，
∴，
∴，
故答案為：．
16．
解：如圖：
∵四邊形是菱形，
∴，，，，，,
在中，，
∴，
∴，，
∴，
∵軸軸，軸，，
∴，
∴，即，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在中，，
∴點，
故答案為：．
17．1
解：，整理得：，
則不等式組的解為，
不等式組有且只有2個奇數解，
，
，
對應的整數a有：，，0，1，2，3，
，解得：，
，
，
，即，
，
則所有滿足條件的整數的值有：，0，1，2，
，
故答案為：1．
18．
解：∵，
∴，，
∵四邊形是菱形，
∴，，，，
∴在中，，
∴，
∵，，
∴，
設，則，
在中，，
在中，，
∴，
即
整理得：，
解得：，
∴，
∴的周長，
故答案為：．
19．
解：設三位數為，根據定義可得：，
∴是的倍，
∴時，，，
∴，或，；
∴對應的“百數”為或，
∴最小的“百數”為；
設一個“百數”為，則，，
∴，則必為偶數，
∴當時，，
若，時，，
則，符合題意，此時為，
若，時，，
則，不符合題意；
當時，，
若，時，，
則，不符合題意；
若，時，，
則，不符合題意；
若，時，，
則，不符合題意；
當時，，
若，時，，
則，不符合題意；
若，時，，
則，不符合題意；
若，時，，
則，不符合題意；
若，時，，
則，符合題意，此時為；
當時，，
若，時，，
則，不符合題意；
綜上可知：滿足條件的值為，，
∴滿足條件的所有的和為，
故答案為：，．
20．(1)；
(2)．
（1）解：
；
（2）解：
．
21．(1)；
(2)．
（1）解：
∴，
整理得：，
解得：，
經檢驗，是原方程的解，
∴原方程的解為：；
（2）解：，
∴，
∴，
∴，
整理得：，
解得：，
經檢驗，是原方程的解，
∴原方程的解為：．
22．，
解：，
，
，
，
；
根據分式有意義的條件，x不能為，0，
當時，原式．
23．(1)見解析
(2)
（1）證明：四邊形為平行四邊形，
，，
，
，
四邊形為平行四邊形，
，
四邊形是矩形；
（2）四邊形是矩形，
，
，，
，
,
，
。
24．(1)芒果的進價是元每千克為元，則奇異果進價是元每千克；
(2)芒果最多降價元．
（1）解：設芒果的進價是元每千克為元，則奇異果進價是元每千克，
由題意得，，
解得，，
經檢驗是分式方程的解，
∴，
答：芒果的進價是元每千克為元，則奇異果進價是元每千克；
（2）解：設芒果降價元，
由（）得：奇異果數量為，
芒果數量為，
∴，
解得：，
答：芒果最多降價元．
25．(1)
(2)，，；
(3)
（1）已知，，
將代入可得，，
把代入得．
∵，
∴，
解得．
（2），
，
，
，
，
∴，
∵，
∴．
將代入得
．
故答案為：，，；
（3）由（2）知，
，
．
．
∵為整數，
∴能整除，即或．
∴或或或
∵，
∴．
26．(1)，
(2)
(3)或或或．
（1）解：把代入，得
，
∴，
∴．
把代入，得
，
∴，
∴；
（2）解：如圖，連接，設．
當時，，
∴，
∵為的中點，
∴．
，
，
∵四邊形的面積為9，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴，．
∵，
∴．
當為對角線時，如圖，作交N，
∵
∴四邊形是平行四邊形，
∵，
∴四邊形是菱形，即四邊形是菱形，
∴，
∴；
當為邊時，點N在店P的下方時，如圖，
∵四邊形是菱形，
∴與互相垂直平分，
∴點N在直線上，且，
∴；
當為邊時，點N在店P的右邊時，如圖，
∵四邊形是菱形，
∴，
∴；
當為邊時，點N在店P的左邊時，如圖，
∵四邊形是菱形，
∴，
∴；
綜上可知，點的坐標為：或或或．
27．(1)
(2)證明見解析
(3)
（1）解：如圖，過點N作于E，設，
由旋轉知，，
∴是等邊三角形，
∴，，
由勾股定理得，
∵，，
∴；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
則，
∴，
∴；
（2）證明：如圖，過點作延長線于點，過點作延長線于點，
由旋轉得，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴四邊形是矩形，
∴，
∴為等腰直角三角形，
∴，
∴；
（3）解：∵，，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
∴
∴，
如圖，過點在下方作，過點作于點，
∴，
∴，
由點到直線的距離可得當，，依次共線，且時，取得最小值，即取得最小值，此時如圖，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵是等邊三角形，
∴，，
∴垂直平分，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．

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