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專題06：四大立體圖形的表面積和體積-2025年小升初數(shù)學(xué)暑假專項(xiàng)提升（人教版）
學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________
一、選擇題
1．一個(gè)直角三角形，兩條直角邊分別是4cm和3cm。以下面兩種方式旋轉(zhuǎn)得到立體圖形（每條旋轉(zhuǎn)軸垂直于底邊），旋轉(zhuǎn)后圖1的體積是圖2體積的（ ）。
A． B． C． D．
2．軋鋼廠要把一種底面直徑6厘米，長(zhǎng)1米的圓柱形鋼錠，軋制成內(nèi)徑（內(nèi)側(cè)直徑）為10厘米，外徑（外側(cè)直徑）為30厘米的無(wú)縫鋼管，如果不計(jì)加工過(guò)程中的損耗，則這種無(wú)縫鋼管的長(zhǎng)是（ ）。
A．4.25厘米 B．5厘米 C．4厘米 D．4.5厘米
3．如圖是一個(gè)正方體的展開(kāi)圖，已知這個(gè)正方體相對(duì)面上的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)，則n表示的數(shù)是（ ）。
A． B． C．
4．把11塊相同的長(zhǎng)方體磚如圖所示拼成一個(gè)大長(zhǎng)方體，已知每塊磚的體積是288立方厘米，大長(zhǎng)方體的表面積是（ ）平方厘米。
A．1368 B．1974 C．2014 D．2054
5．在棱長(zhǎng)3cm的正方體上挖去一個(gè)棱長(zhǎng)1cm的小正方體，剩下物體的表面積是（ ）。
A．58平方厘米 B．56平方厘米 C．54平方厘米 D．以上情況都有可能
二、填空題
6．把一個(gè)底面半徑是5厘米的圓錐體木塊，從頂點(diǎn)處沿著高豎直把它切成兩塊完全相同的木塊，這時(shí)表面積增加120平方厘米，求這個(gè)圓錐體木塊的體積是( )立方厘米。
7．一個(gè)長(zhǎng)和寬都是8cm，高12cm的長(zhǎng)方體盒子，它的表面積是( ) cm2；在盒內(nèi)放入一個(gè)最大的圓柱，圓柱的側(cè)面積是( )cm2，體積是( )cm3。
8．把一個(gè)底面半徑是2cm，高是25cm的圓柱沿直徑切割成兩個(gè)半圓柱，表面積增加( )cm2；把兩個(gè)底面直徑為6cm，高為8cm的圓柱拼成一個(gè)大圓柱，表面積減少( )cm2。
9．一段長(zhǎng)10dm的圓柱形木料，直徑為2cm，如果把它截成( )段小圓柱，表面積就增加25.12cm2。
10．如果把一段底面半徑為5厘米的圓柱形鋼材完全浸沒(méi)在一個(gè)圓柱形水桶里，桶里的水面會(huì)上升7厘米（水未溢出）；如果將圓柱形鋼材露出水面15厘米（水中還有一部分），水面又會(huì)下降3厘米這段鋼材的體積是( )。
11．兩個(gè)正方體的棱長(zhǎng)比為1∶2，體積之和是720立方厘米，這兩個(gè)正方體體積分別是( )立方厘米和( )立方厘米。
12．在一個(gè)長(zhǎng)10cm，寬7cm，高6cm的長(zhǎng)方體木塊中切出了一個(gè)最大的正方體，這個(gè)最大的正方體的棱長(zhǎng)是( )cm，再用剩下的木塊切出一個(gè)最大的正方體，這個(gè)正方體的棱長(zhǎng)是( )cm，最終剩下的這些木塊的體積是( )cm2。
13．如圖，一個(gè)長(zhǎng)方體蛋糕盒，底面是邊長(zhǎng)30厘米的正方形，高25厘米。做這樣一個(gè)蛋糕盒至少需要( )平方分米硬紙板；如果用彩帶把這個(gè)禮品盒捆扎起來(lái)，打結(jié)處長(zhǎng)20厘米，那么一共需要( )分米的彩帶。
14．把一個(gè)表面涂上顏色的正方體，每條棱平均分成若干份，切成64個(gè)相等的小正方體。在這些小正方體中，3面涂色的有( )個(gè)，1面涂色的有( )個(gè)。
15．如圖1是邊長(zhǎng)為30厘米的正方形紙板，裁掉陰影部分后將其折疊成如圖2所示的長(zhǎng)方體紙盒。已知該長(zhǎng)方體的寬是高的2倍，則它的表面積是( )平方厘米，體積是( )立方厘米。
16．將圖甲圍成圖形乙的正方體，則在面①CDHE；②BCEF；③ABFG；④ADHG中，圖甲中的標(biāo)志所在的正方形是正方體中的面( )。（填序號(hào)）
17．把一個(gè)橫截面是正方形的長(zhǎng)方體木料切削成一個(gè)體積最大的圓柱體，此圓柱體的表面積是175.84平方厘米，底面直徑與高的比是，原長(zhǎng)方體的表面積是( )平方厘米。
三、判斷題
18．一個(gè)正方體木料，加工成一個(gè)最大的圓錐，圓錐的體積是正方體體積的。( )
19．從長(zhǎng)方體的一個(gè)頂點(diǎn)處切去一個(gè)小正方體后，它的表面積不變，體積減少。( )
20．把一塊不規(guī)則的橡皮泥捏成長(zhǎng)方體形狀（均為實(shí)心），橡皮泥的形狀和體積都發(fā)生了改變。( )
21．在一個(gè)長(zhǎng)方體的上面挖出一個(gè)正方體的槽后，表面積變小了。( )
22．做成一個(gè)，數(shù)字“4”的對(duì)面數(shù)字是“2”。( )
四、計(jì)算題
23．如圖，把一根圓柱木料沿底面直徑平均鋸成兩半。求這半個(gè)圓柱木料的表面積與體積。
24．看圖列式計(jì)算。
已知：長(zhǎng)方體表面積＝94cm2，長(zhǎng)＝5cm，高＝4cm，求它的體積是多少立方厘米？
五、解答題
25．一只長(zhǎng)方體的玻璃缸，長(zhǎng)6分米，寬5分米，高4分米，水深3.8分米。如果投入一塊底面直徑和高都是4分米的圓柱體鐵塊，缸里的水溢出多少升？
26．一個(gè)圓柱形水桶，從里面量得底面半徑是10厘米，高是40厘米，里面水深30厘米，把一個(gè)底面半徑為5厘米的圓錐形鐵塊全部放入水中，這時(shí)水面上升1厘米。這個(gè)圓錐形鐵塊的高是多少厘米？
27．一個(gè)底面直徑是6厘米，高是10厘米的圓柱體容器中裝有5厘米深的水。將一個(gè)長(zhǎng)方體鐵塊垂直放入水中，這時(shí)水的高度上升到7厘米，且剛好有的鐵塊浸沒(méi)于水中。
（1）放入鐵塊后，容器側(cè)面與水的接觸面增加了多少平方厘米？
（2）這個(gè)鐵塊的體積是多少立方厘米？
28．小東測(cè)量瓶子的容積（如下圖），測(cè)得瓶子的底面直徑是8厘米，然后給瓶子內(nèi)盛入一些水，正放時(shí)水高15厘米，倒放時(shí)水高25厘米，瓶子深30厘米。這個(gè)瓶子的容積是多少毫升？（π取3.14）（單位：厘米）
29．如圖，有一個(gè)長(zhǎng)方體物體，底面是正方形，中間是空心的正方形。如果把這個(gè)物體浸沒(méi)在水中，它與水接觸的面積是多少平方厘米？
30．素養(yǎng)提升：一個(gè)長(zhǎng)10厘米、寬8厘米的長(zhǎng)方體容器中的水深6厘米。現(xiàn)將一根底面積為20平方厘米的長(zhǎng)方體鐵棒豎直放入水中，其底面與容器底完全接觸（水沒(méi)有溢出），仍有部分鐵棒露出水面，現(xiàn)在水深多少厘米？
31．某款長(zhǎng)方體禮盒，經(jīng)測(cè)量發(fā)現(xiàn)：它的長(zhǎng)、寬、高都是質(zhì)數(shù)，且前面和上面的面積之和是209平方厘米，你能求出這個(gè)禮盒的體積是多少立方厘米嗎？
32．一個(gè)長(zhǎng)方體，表面全涂上紅色后，被分割成若干個(gè)體積都等于1立方厘米的小正方體。如果在這些小正方體中，不帶紅色的小正方體的個(gè)數(shù)等于7，那么兩面帶紅色的小正方體的個(gè)數(shù)是多少？
33．如圖，倉(cāng)庫(kù)里有A、B兩種規(guī)格的鐵皮各若干張，從中選出5張鐵皮焊成一個(gè)無(wú)蓋水箱。
（1）你能想出幾種不同的選法？并算出每種選法做成的水箱容積各是多少升？
（2）如果選定容積最大且節(jié)省材料的方法做成水箱，請(qǐng)你算出需要多少平方分米鐵皮？
（3）用（2）中做成的水箱盛水105升，浸沒(méi)一個(gè)鐵塊后，水面離箱口0.5分米，鐵塊的體積是多少立方分米？
《專題06：四大立體圖形的表面積和體積-2025年小升初數(shù)學(xué)暑假專項(xiàng)提升（人教版）》參考答案
1．B
【分析】圖1，以直角三角形的長(zhǎng)直角邊4cm為軸旋轉(zhuǎn)，那么形成的圖形是一個(gè)底面半徑為3cm、高為4cm的圓錐；
圖2，如圖的方式旋轉(zhuǎn)，圖2的體積＝圓柱的體積－圓錐的體積，圓柱、圓錐的底面半徑都是3cm、高都是4cm；
根據(jù)圓柱的體積公式V＝πr2h，圓錐的體積公式V＝πr2h，分別求出圖1、圖2的體積；
最后用圖1的體積除以圖2體積，求出圖1的體積是圖2體積的幾分之幾。
【詳解】圖1的體積：
×π×32×4
＝×π×9×4
＝12π（cm3）
圖2的體積：
π×32×4－×π×32×4
＝π×9×4－×π×9×4
＝36π－12π
＝24π（cm3）
圖1的體積是圖2體積的：
12π÷24π＝
旋轉(zhuǎn)后圖1的體積是圖2體積的。
故答案為：B
【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是通過(guò)圓柱體積減圓錐體積求出圖2的體積。
2．D
【分析】根據(jù)圓柱的體積得出這個(gè)鋼錠的體積。軋制成無(wú)縫鋼管，體積不變，無(wú)縫鋼管的底面是環(huán)形，根據(jù)環(huán)形的計(jì)算公式S＝其中r2表示外徑，r1表示內(nèi)徑，再用鋼錠的體積除以底面積即可。
【詳解】1米＝100厘米
3.14×（6÷2）2×100
＝3.14×32×100
＝3.14×9×100
＝2826（立方厘米）
3.14×[（30÷2）2－（10÷2）2]
＝3.14×[152－52]
＝3.14×[225－25]
＝3.14×200
＝628（平方厘米）
2826÷628＝4.5（厘米）
這種無(wú)縫鋼管的長(zhǎng)是4.5厘米
故答案為：D
【點(diǎn)睛】注意體積沒(méi)有的過(guò)程中，地面即發(fā)生變化，要分析出無(wú)縫鋼管的底面積是外面的圓套的里面的圓，則底面積＝大圓的面積－小圓的面積。
3．B
【分析】根據(jù)正方體的11種展開(kāi)圖的特征，此圖屬于“二三一”型，折成正方體后n和相對(duì)；根據(jù)互為倒數(shù)的兩個(gè)數(shù)乘積為1，解答即可。
【詳解】根據(jù)分析得，n和相對(duì)，
1÷＝1×＝
故答案為：B
4．A
【分析】觀察大長(zhǎng)方體的正面，可知2a＝3b，觀察大長(zhǎng)方體的右面，可知a＝4h，將a＝4h代入2a＝3b，可得b＝h，根據(jù)長(zhǎng)方體體積＝長(zhǎng)×寬×高，確定h的值，將h的值分別代入a＝4h和b＝h，求出a和b的值，進(jìn)而確定大長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高，根據(jù)長(zhǎng)方體表面積＝（長(zhǎng)×寬＋長(zhǎng)×高＋寬×高）×2，求出大長(zhǎng)方體的表面積。
【詳解】觀察大長(zhǎng)方體的正面和右面，可得2a＝3b、a＝4h。
將a＝4h代入2a＝3b
可得2×（4h）＝3b
解：3b＝8h
3b÷3＝8h÷3
b＝h
將a＝4h、b＝h代入 abh＝288
可得4h×h×h＝288
解：h3＝288
h3÷＝288÷
h3＝288×
h3＝27＝33
因此h＝3
a＝4h＝4×3＝12（厘米）
b＝h＝×3＝8（厘米）
大長(zhǎng)方體的長(zhǎng)：2a＝2×12＝24（厘米）
大長(zhǎng)方體的寬：4h＝4×3＝12（厘米）
大長(zhǎng)方體的高：b＋h＝8＋3＝11（厘米）
大長(zhǎng)方體的表面積：（24×12＋24×11＋12×11）×2
＝（288＋264＋132）×2
＝684×2
＝1368（平方厘米）
大長(zhǎng)方體的表面積是1368平方厘米。
故答案為：A
【點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵是理清每塊磚長(zhǎng)寬高之間的關(guān)系，進(jìn)而求出大長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高。
5．D
【分析】根據(jù)題意，如果在頂點(diǎn)挖去小正方體后，減少三個(gè)面，同時(shí)又增加三個(gè)面，其實(shí)剩下的圖形的表面積與原正方體的面表積是相等的；
如果在中間挖去的一個(gè)小正方體后，原來(lái)的表面積就會(huì)露出5個(gè)邊長(zhǎng)為1厘米的正方形的面，即大正方體的表面積增加了4個(gè)邊長(zhǎng)為1厘米的小正方形，用正方體的原來(lái)的表面積加上增加的4個(gè)正方形的面積就是這個(gè)大正方體現(xiàn)在的表面積；
如果在棱的中間挖去小正方體后，減少2個(gè)面，同時(shí)又增加4個(gè)面，所以表面積比原來(lái)增加了2個(gè)面的面積，據(jù)此列式解答即可。
【詳解】如果在頂點(diǎn)挖去小正方體后，減少三個(gè)面，同時(shí)又增加三個(gè)面，其實(shí)剩下的圖形的表面積與原正方體的面表積是相等的；
在面的中間挖去小正方體后的表面積是：
3×3×6＋1×1×4
＝9×6＋4
＝54＋4
＝58（平方厘米）
如果在棱的中間挖去小正方體后表面積是：
3×3×6＋1×1×2
＝9×6＋2
＝54＋2
＝56（平方厘米）
答：現(xiàn)在這個(gè)正方體的表面積可能是54平方厘米、58平方厘米、56平方厘米。
故答案為：D。
【點(diǎn)睛】此題主要考查正方體的表面積公式的靈活應(yīng)用，關(guān)鍵是確定在什么位置挖去的小正方體。
6．314
【分析】根據(jù)題意，從圓錐的頂點(diǎn)處沿著高豎直把它切成兩塊完全相同的木塊，那么增加的表面積是2個(gè)切面的面積，每個(gè)切面是一個(gè)底等于圓錐的底面直徑，高等于圓錐的高的三角形；先用增加的表面積除以2，求出一個(gè)切面（三角形）的面積，然后根據(jù)三角形的高＝面積×2÷底，即可求出圓錐的高；最后根據(jù)圓錐的體積公式V＝πr2h，代入數(shù)據(jù)計(jì)算求出這個(gè)圓錐體木塊的體積。
【詳解】120÷2＝60（平方厘米）
60×2÷（5×2）
＝120÷10
＝12（厘米）
×3.14×52×12
＝×3.14×25×12
＝3.14×100
＝314（立方厘米）
【點(diǎn)睛】本題考查三角形面積公式、圓錐的體積公式的靈活運(yùn)用，關(guān)鍵是求出圓錐的高。
7． 512 301.44 602.88
【分析】根據(jù)長(zhǎng)方體的表面積公式S＝2（ab＋ah＋bh），代入數(shù)據(jù)計(jì)算求盒子的表面積；
長(zhǎng)方體盒內(nèi)放入一個(gè)最大的圓柱，這個(gè)圓柱的底面直徑是8cm，高是12cm；根據(jù)圓柱的側(cè)面積公式S側(cè)＝πdh，圓柱的體積公式V＝πr2h，代入數(shù)據(jù)計(jì)算分別求出圓柱的側(cè)面積和體積。
【詳解】長(zhǎng)方體的表面積：
（8×8＋8×12＋8×12）×2
＝（64＋96＋96）×2
＝256×2
＝512（cm2）
圓柱的側(cè)面積：
3.14×8×12
＝25.12×12
＝301.44（cm2）
圓柱的體積：
3.14×（8÷2）2×12
＝3.14×16×12
＝50.24×12
＝602.88（cm3）
【點(diǎn)睛】掌握長(zhǎng)方體的表面積、圓柱的側(cè)面積、圓柱的體積計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵。
8． 200 56.52
【分析】把一個(gè)底面半徑是2cm，高是25cm的圓柱沿直徑切割成兩個(gè)半圓柱，表面積增加兩個(gè)切面的面積，每個(gè)切面是一個(gè)長(zhǎng)等于圓柱的高，寬等于圓柱的底面直徑的長(zhǎng)方形；根據(jù)長(zhǎng)方形的面積公式S＝ab，求出一個(gè)切面的面積，再乘2即可求出增加的表面積；
把兩個(gè)底面直徑為6cm，高為8cm的圓柱拼成一個(gè)大圓柱，表面積減少兩個(gè)底面的面積，根據(jù)圓的面積公式S＝πr2，求出一個(gè)底面的面積，再乘2即可求出減少的表面積。
【詳解】表面積增加：
25×（2×2）×2
＝25×4×2
＝100×2
＝200（cm2）
表面積減少：
3.14×（6÷2）2×2
＝3.14×9×2
＝28.26×2
＝56.52（cm2）
【點(diǎn)睛】本題考查圓柱的切拼，明確把圓柱沿直徑切割成兩個(gè)半圓柱，表面積增加2個(gè)長(zhǎng)方形切面的面積；把兩個(gè)底面相同的圓柱拼成一個(gè)大圓柱，表面積減少2個(gè)底面的面積。
9．5
【分析】根據(jù)題意，把一段圓柱形木料截成若干段小圓柱，增加的表面積是截面的面積，即增加了若干個(gè)圓柱的底面；先根據(jù)圓的面積公式S＝πr2，求出圓柱的底面積；然后用增加的表面積除以底面積，求出增加底面的個(gè)數(shù)；根據(jù)每截一次增加兩個(gè)底面，用增加底面的個(gè)數(shù)除以2，求出截的次數(shù)，再加上1，就是截的段數(shù)。
【詳解】圓柱的底面積：
3.14×（2÷2）2
＝3.14×1
＝3.14（cm2）
增加底面積的個(gè)數(shù)：
25.12÷3.14＝8（個(gè)）
截成的段數(shù)：
8÷2＋1
＝4＋1
＝5（段）
【點(diǎn)睛】掌握?qǐng)A柱切割的特點(diǎn)，明確每截一次增加兩個(gè)截面（底面），截的段數(shù)比次數(shù)多1。
10．2747.5立方厘米/2747.5cm3
【分析】當(dāng)鋼材露出水面15厘米時(shí)，露出部分鋼材的體積與水桶中水面下降3厘米的水的體積相等。利用圓柱體積公式V＝Sh，用鋼材底面積（3.14×52）乘露出長(zhǎng)度（15厘米），得到露出鋼材體積；再結(jié)合水面下降高度（3厘米），用“露出鋼材體積÷水面下降高度”可求出水桶的底面積。當(dāng)鋼材完全浸沒(méi)時(shí)，鋼材的體積與水桶中水面上升7厘米的水的體積相等。用前面求出的水桶底面積乘水面上升高度（7厘米），就能算出鋼材的體積。
【詳解】計(jì)算露出鋼材的體積（即水面下降3厘米的水的體積）：
鋼材底面積為3.14×52＝3.14×25＝78.5（平方厘米）
露出鋼材的長(zhǎng)度為15厘米，根據(jù)圓柱體積公式V＝Sh，露出鋼材的體積為78.5×15＝1177.5（立方厘米）
計(jì)算水桶的底面積：1177.5÷3＝392.5（平方厘米）
計(jì)算鋼材的體積（即水面上升7厘米的水的體積）：
根據(jù)圓柱體積公式V＝Sh，392.5×7＝2747.5（立方厘米）
水面又會(huì)下降3厘米這段鋼材的體積是2747.5立方厘米。
【點(diǎn)睛】利用 “水面升降體積＝鋼材對(duì)應(yīng)體積”，結(jié)合圓柱體積公式求解，關(guān)鍵是找體積對(duì)應(yīng)關(guān)系。
11． 80 640
【分析】?jī)蓚€(gè)正方體的棱長(zhǎng)比為1∶2，則它們的體積比為13∶23，由此可知，兩個(gè)正方體的體積比是1∶8；根據(jù)題意，兩個(gè)正方體的體積之和是720立方厘米，則把兩個(gè)正方體的體積和分成1＋8＝9份，用兩個(gè)正方體的體積之和除以總份數(shù)，求出1份是多少，進(jìn)而解答。
【詳解】?jī)蓚€(gè)正方體棱長(zhǎng)比是1∶2，則它們的體積比為：13∶23＝1∶8
1＋8＝9（份）
720÷9×1
＝80×1
＝80（立方厘米）
720－80＝640（立方厘米）
兩個(gè)正方體的棱長(zhǎng)比為1∶2，體積之和是720立方厘米，這兩個(gè)正方體體積分別是80立方厘米和640立方厘米。
【點(diǎn)睛】解答本題的關(guān)鍵明確兩個(gè)正方體體積比是它們的棱長(zhǎng)的立方比。
12． 6 4 140
【分析】（1）在一個(gè)長(zhǎng)10cm，寬7cm，高6cm的長(zhǎng)方體木塊中切一個(gè)最大的正方體，這個(gè)正方體的棱長(zhǎng)等于這個(gè)長(zhǎng)方體的高；
（2）用剩下的木塊的再切出一個(gè)最大的正方體，我們要弄清楚剩下的木塊的形狀，在剩下的木塊中，有一部分長(zhǎng)是10－6＝4cm，寬是7cm，高是6cm的長(zhǎng)方體。所以第二次切最大的正方體的棱長(zhǎng)是4cm。
（3）根據(jù)長(zhǎng)方體的體積＝長(zhǎng)×寬×高，求出開(kāi)始長(zhǎng)方體木塊的面積，再分別求出第一次得到正方體的體積和第二次得到正方體的體積，用最開(kāi)始的長(zhǎng)方體體積減去兩次得到的正方體體積。
【詳解】（1）第一次得到的正方體棱長(zhǎng)是6cm；
（2）10－6＝4（cm）
第二次得到的正方體棱長(zhǎng)是4cm；
（3）10×7×6
＝70×6
＝420（）
6×6×6
＝36×6
＝216（）
4×4×4
＝16×4
＝64（）
420－216－64
＝204－64
＝140（）
最終剩下的這些木塊的體積是140。
【點(diǎn)睛】本題考查了長(zhǎng)方體、正方體的體積公式。每次切出最大的正方體的棱長(zhǎng)是長(zhǎng)方體長(zhǎng)、寬、高中最小的一個(gè)，這是解題的關(guān)鍵。
13． 48 24
【分析】根據(jù)長(zhǎng)方體的表面積公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，把數(shù)據(jù)分別代入公式解答；100平方厘米＝1平方分米，據(jù)此換算單位。
長(zhǎng)方體蛋糕盒的2個(gè)長(zhǎng)、2個(gè)寬、4個(gè)高、打結(jié)處的長(zhǎng)度合起來(lái)就是彩帶的長(zhǎng)度。據(jù)此解答即可。10厘米＝1平方分米，據(jù)此換算單位。
【詳解】（30×30＋30×25＋30×25）×2
＝（900＋750＋750）×2
＝2400×2
＝4800（平方厘米）
4800平方厘米＝48平方分米
2×30＋2×30＋4×25＋20
＝60＋60＋100＋20
＝220＋20
＝240（厘米）
240厘米＝24分米
所以，做這樣一個(gè)蛋糕盒至少需要48平方分米硬紙板；如果用彩帶把這個(gè)禮品盒捆扎起來(lái)，打結(jié)處長(zhǎng)20厘米，那么一共需要24分米的彩帶。
【點(diǎn)睛】解答有關(guān)長(zhǎng)方體計(jì)算的實(shí)際問(wèn)題，一定要搞清所求的是什么，再進(jìn)一步選擇合理的計(jì)算方法進(jìn)行計(jì)算解答問(wèn)題。
14． 8 24
【分析】根據(jù)題意正方體平均切成了64個(gè)小正方體，那么大正方體的棱長(zhǎng)是4，分割的正方體中，三面涂色的是頂點(diǎn)8個(gè)正方體；
一面涂色的是剩下的外表面的正方體，有[（4－2）×（4－2）×6]個(gè)正方體，據(jù)此解答。
【詳解】由分析可知：三面涂色的小正方體個(gè)數(shù)：8個(gè)；
一面涂色的小正方體個(gè)數(shù)：
（4－2）×（4－2）×6
＝2×2×6
＝4×6
＝24（個(gè)）
把一個(gè)表面涂上顏色的正方體，每條棱平均分成若干份，切成64個(gè)相等的小正方體，在這些小正方體中，3面涂色的有8個(gè)，1面涂色的有24個(gè)。
【點(diǎn)睛】本題考查涂色的正方體的個(gè)數(shù)，弄清楚三面、兩面和一面被涂色的小正方體分別在長(zhǎng)方體的什么位置是解答本題的關(guān)鍵。
15． 700 1000
【分析】看圖可知，正方形紙板的邊長(zhǎng)包含2條高和2條寬，寬是高的2倍，根據(jù)和倍問(wèn)題的解題方法，正方形邊長(zhǎng)÷（1＋1＋2＋2）＝高，高×2＝寬，正方形邊長(zhǎng)－高×2＝長(zhǎng)，據(jù)此確定長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高。根據(jù)長(zhǎng)方體表面積＝（長(zhǎng)×寬＋長(zhǎng)×高＋寬×高）×2，長(zhǎng)方體體積＝長(zhǎng)×寬×高，列式計(jì)算即可。
【詳解】高：30÷（1＋1＋2＋2）
＝30÷6
＝5（厘米）
寬：5×2＝10（厘米）
長(zhǎng)：30－5×2
＝30－10
＝20（厘米）
表面積：（20×10＋20×5＋10×5）×2
＝（200＋100＋50）×2
＝350×2
＝700（平方厘米）
體積：20×10×5＝1000（立方厘米）
它的表面積是700平方厘米，體積是1000立方厘米。
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵是掌握和倍問(wèn)題的解題方法，先確定長(zhǎng)、寬、高，再靈活運(yùn)用長(zhǎng)方體表面積和體積公式。
16．④
【分析】分析題意，根據(jù)正方體展開(kāi)圖的11種特征來(lái)分析； 此展開(kāi)圖屬于“141”結(jié)構(gòu)，上、下面的“1”分成了兩部分，上面兩部分合成正方體的上面，下面兩部分合成正方體的下面，帶有紅心的面與中間從左到右第二個(gè)正方形相對(duì)； 再看上面等腰三角的兩邊，當(dāng)?shù)妊切蔚捻旤c(diǎn)與我們相對(duì)時(shí)，紅心居左面，即可以得出答案。
【詳解】據(jù)分析可知，將平面展開(kāi)圖對(duì)應(yīng)正方體的各個(gè)點(diǎn)進(jìn)行標(biāo)記出來(lái)，如圖：
因此，可知標(biāo)志在正方形ADHG上，圖甲中的標(biāo)志所在的正方形是正方體中的面④。
【點(diǎn)睛】本題考查了正方體的展開(kāi)圖，關(guān)鍵是根據(jù)上面、底面，弄清圍成后前、后、左、右四個(gè)面的位置，再確定標(biāo)志所在的面。
17．224
【分析】長(zhǎng)方體木料切削成一個(gè)最大的圓柱，則這個(gè)圓柱的底面直徑等于橫截面的邊長(zhǎng)，圓柱的高等于長(zhǎng)方體的高，由此設(shè)長(zhǎng)方體的橫截面的邊長(zhǎng)為x厘米，則長(zhǎng)方體的高為3x厘米，根據(jù)圓柱的表面積＝可得關(guān)于x的方程，求得x2的值再利用長(zhǎng)方體的表面積＝（長(zhǎng)×寬＋長(zhǎng)×高＋寬×高）×2進(jìn)行解答。
【詳解】解：設(shè)長(zhǎng)方體的橫截面的邊長(zhǎng)為x厘米，則長(zhǎng)方體的高為3x厘米，則最大圓柱的底面直徑是x厘米，高是3x厘米，所以：
3.14××2＋3.14×x×3x＝175.84
6.28×＋9.42x2＝175.84
1.57x2＋9.42 x2＝175.84
10.99 x2＝175.84
10.99 x2÷10.99＝175.84÷10.99
x2＝16
則長(zhǎng)方體的表面積：
（3x×x＋3x×x＋x×x）×2
＝（3x2＋3x2＋x2）×2
＝7 x2×2
＝14 x2
＝14×16
＝224（平方厘米）
所以，原長(zhǎng)方體的表面積是224平方厘米。
【點(diǎn)睛】長(zhǎng)方體的橫截面的邊長(zhǎng)為x厘米，即圓的直徑也是x厘米，再通過(guò)底面直徑與高的比是，得到長(zhǎng)方體的高為3x厘米，最后根據(jù)圓柱的表面積公式、長(zhǎng)方體的表面積公式求解即可。
18．×
【詳解】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，則圓錐的高是a，圓錐的底面直徑是a，底面半徑是， 圓錐的體積是：×π×（）2×a
＝×π××a
＝
正方體的體積是a×a×a＝a3
圓錐的體積是正方體體積的：÷a3＝， 原題說(shuō)法錯(cuò)誤。
故答案為：×
19．√
【分析】畫(huà)圖，從長(zhǎng)方體的一個(gè)頂點(diǎn)處切去一個(gè)小正方體后，少了一部分，體積肯定是減少的，求表面積的話，可以畫(huà)出現(xiàn)在這個(gè)圖形的三視圖，三視圖的面積之和是不變的，所以表面積也是不變的。
【詳解】如圖所示：
從長(zhǎng)方體的一個(gè)頂點(diǎn)處切去一個(gè)小正方體后，它的表面積不變，體積減少，題干闡述正確。
故答案為：√
【點(diǎn)睛】從頂點(diǎn)處切，表面積不變，從棱上切，表面積增加兩個(gè)小正方體的面，從面上切，表面積增加4個(gè)小正方體的面。
20．×
【分析】根據(jù)長(zhǎng)方體的特征和長(zhǎng)方體體積的計(jì)算方法，由題意知：把一塊不規(guī)則的橡皮泥捏成長(zhǎng)方體形狀（均為實(shí)心），橡皮泥的形狀改變了，體積沒(méi)有發(fā)生改變。
【詳解】把一塊不規(guī)則的橡皮泥捏成長(zhǎng)方體形狀（均為實(shí)心），橡皮泥的形狀改變了，體積沒(méi)有發(fā)生改變。
故答案是：×
【點(diǎn)睛】能理解把不規(guī)則物體捏成長(zhǎng)方體（均為實(shí)心），形狀改變了，體積沒(méi)有改變，是解決此題的關(guān)鍵。
21．×
【分析】可畫(huà)簡(jiǎn)單示意圖知：挖去小正方體后，減少一個(gè)面，同時(shí)又增加四個(gè)面，則剩下的圖形的表面積比原來(lái)長(zhǎng)方體的表面積增加了。
【詳解】據(jù)分析知：挖去小正方體后，減少一個(gè)面，同時(shí)又增加四個(gè)面，則剩下的圖形的表面積比原來(lái)長(zhǎng)方體的表面積增加了。因此題中說(shuō)法是錯(cuò)誤的。
【點(diǎn)睛】此題是理解正方體的特征以及長(zhǎng)方體的表面積，明確：挖去的正方體中相對(duì)的面的面積都相等。
22．√
【分析】將正方體展開(kāi)圖動(dòng)手折一折，做成一個(gè)正方體，找出數(shù)字“4”相對(duì)的面，據(jù)此解答。
【詳解】折成正方體后發(fā)現(xiàn)：數(shù)字“1”與數(shù)字“3”相對(duì)，數(shù)字“2”與數(shù)字“4”相對(duì)，數(shù)字“5”與數(shù)字“6”相對(duì)。
故答案為：√
【點(diǎn)睛】本題主要考查學(xué)生的動(dòng)手能力，可以動(dòng)手實(shí)踐操作下。
23．5.2656平方米；0.314立方米
【分析】觀察圖形可知，半個(gè)圓柱木料的表面積包含一個(gè)圓柱底面積、半個(gè)圓柱側(cè)面積以及一個(gè)長(zhǎng)為5m，寬為4dm的長(zhǎng)方形面積；半個(gè)圓柱木料的體積正好是圓柱體積的一半，據(jù)此解答即可。
【詳解】4分米＝0.4米
表面積：0.4×5＋3.14×（0.4÷2）2＋3.14×0.4×5÷2
＝2＋0.1256＋3.14
＝5.2656（平方米）
體積：3.14×（0.4÷2）2×5÷2
＝3.14×0.04×5÷2
＝0.618÷2
＝0.314（立方米）
【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓柱體積和面積的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題。
24．60立方厘米
【分析】設(shè)長(zhǎng)方體的寬是x厘米，根據(jù)長(zhǎng)方體的表面積＝（長(zhǎng)×寬＋長(zhǎng)×高＋寬×高）×2，把數(shù)據(jù)代入公式求出長(zhǎng)方體的寬，再根據(jù)長(zhǎng)方體的體積＝長(zhǎng)×寬×高，把數(shù)據(jù)代入公式即可求出長(zhǎng)方體的體積。
【詳解】解：設(shè)長(zhǎng)方體的寬是x厘米，
（5×4＋5x＋4x）×2＝94
20＋9x＝47
9x＝27
x＝3
5×4×3＝60（立方厘米）
25．44.24升
【分析】已知長(zhǎng)方體的玻璃缸沒(méi)有裝滿水，無(wú)水部分是一個(gè)長(zhǎng)6分米，寬5分米，高（4－3.8）分米的長(zhǎng)方體，根據(jù)長(zhǎng)方體的體積＝長(zhǎng)×寬×高，求出玻璃缸無(wú)水部分的體積；
已知投入的圓柱體鐵塊的底面直徑和高，根據(jù)圓柱的體積公式V＝πr2h，求出這個(gè)鐵塊的體積；
把鐵塊投入未裝滿水的玻璃缸中，玻璃缸先漲滿水，再溢出，所以溢出水的體積＝鐵塊的體積－玻璃缸無(wú)水部分的體積，然后根據(jù)進(jìn)率：1立方分米＝1升，換算單位即可。
【詳解】玻璃缸無(wú)水部分的體積：
6×5×（4－3.8）
＝6×5×0.2
＝6（立方分米）
鐵塊的體積：
3.14×（4÷2）2×4
＝3.14×22×4
＝3.14×4×4
＝50.24（立方分米）
水溢出：50.24－6＝44.24（立方分米）
44.24立方分米＝44.24升
答：缸里的水溢出44.24升。
【點(diǎn)睛】本題考查長(zhǎng)方體、圓柱體積公式的運(yùn)用以及體積、容積單位之間的換算。明確溢出的水是由哪些體積相減得到，然后根據(jù)體積公式列式計(jì)算。
26．12厘米
【分析】根據(jù)題意，把一個(gè)圓錐形鐵塊放入圓柱形水桶中，水面上升1厘米，那么水上升部分的體積等于這塊圓錐形鐵塊的體積；水上升部分是一個(gè)底面半徑為10厘米，高為1厘米的圓柱，根據(jù)圓柱的體積公式V＝πr2h，求出水上升部分的體積，也是鐵塊的體積。
已知圓錐形鐵塊的底面半徑，根據(jù)S＝πr2，求出圓錐的底面積；
根據(jù)圓錐的體積公式V＝Sh可知，圓錐的高h(yuǎn)＝3V÷S，代入數(shù)據(jù)計(jì)算，即可求出圓錐形鐵塊的高。
【詳解】水上升部分的體積（圓錐的體積）：
3.14×102×1
＝3.14×100×1
＝314（立方厘米）
圓錐的底面積：
3.14×52
＝3.14×25
＝78.5（平方厘米）
圓錐的高：
314×3÷78.5
＝942÷78.5
＝12（厘米）
答：這個(gè)圓錐形鐵塊的高是12厘米。
【點(diǎn)睛】本題考查圓柱、圓錐體積公式的靈活運(yùn)用，把求圓錐形鐵塊的體積轉(zhuǎn)移到求水上升部分的體積是解題的關(guān)鍵。
27．（1）37.68平方厘米
（2）226.08立方厘米
【分析】（1）已知把一個(gè)長(zhǎng)方體鐵塊垂直放入水深5厘米的圓柱體容器中，這時(shí)水的高度上升到7厘米，則水上升了（7－5）厘米；容器側(cè)面與水接觸的面積增加的部分是一個(gè)底面直徑為6厘米、高為（7－5）厘米的圓柱側(cè)面積；根據(jù)圓柱的側(cè)面積S側(cè)＝πdh，代入數(shù)據(jù)計(jì)算，即可求解。
（2）已知把一個(gè)長(zhǎng)方體鐵塊放入水中后，水的高度上升了（7－5）厘米，此時(shí)剛好有的鐵塊浸沒(méi)于水中，那么水上升部分的體積即是長(zhǎng)方體鐵塊體積的；
先根據(jù)圓柱的體積公式V＝πr2h，求出水上升部分的體積，也就是長(zhǎng)方體鐵塊體積的；
再把長(zhǎng)方體鐵塊的體積看作單位“1”，單位“1”未知，根據(jù)分?jǐn)?shù)除法的意義求出長(zhǎng)方體鐵塊的體積。
【詳解】（1）3.14×6×（7－5）
＝18.84×2
＝37.68（平方厘米）
答：放入鐵塊后，容器側(cè)面與水的接觸面增加了37.68平方厘米。
（2）3.14×（6÷2）2×（7－5）
＝3.14×32×2
＝3.14×9×2
＝56.52（立方厘米）
56.52÷
＝56.52×4
＝226.08（立方厘米）
答：這個(gè)鐵塊的體積是226.08立方厘米。
【點(diǎn)睛】（1）先弄清楚容器側(cè)面與水接觸的面是哪些面，再根據(jù)圓柱的側(cè)面積公式求解。
（2）明白水上升部分的體積即是鐵塊浸沒(méi)于水中部分的體積，也就是整個(gè)長(zhǎng)方體鐵塊體積的；先根據(jù)圓柱的體積公式求出長(zhǎng)方體鐵塊體積的，再根據(jù)分?jǐn)?shù)除法的意義求出整個(gè)長(zhǎng)方體鐵塊的體積。
28．1004.8毫升
【分析】從圖中可知，瓶子正放時(shí)，空白部分是一個(gè)不規(guī)則圖形；瓶子倒放時(shí)，空白部分正好是一個(gè)圓柱形；因?yàn)槠孔拥娜莘e、水的體積都不變，所以瓶子正放和倒放時(shí)的空白部分的容積相等，那么這個(gè)瓶子的容積＝水的體積＋倒放時(shí)空白部分的容積，根據(jù)圓柱的體積（容積）公式V＝πr2h，代入數(shù)據(jù)計(jì)算，再根據(jù)1立方厘米＝1毫升解答即可。
【詳解】3.14×（8÷2）2×15＋3.14×（8÷2）2×（30－25）
＝3.14×16×15＋3.14×16×5
＝3.14×16×（15＋5）
＝3.14×16×20
＝1004.8（立方厘米）
1004.8立方厘米＝1004.8毫升
答：這個(gè)瓶子的容積是1004.8毫升。
【點(diǎn)睛】本題考查體積的計(jì)算，解題關(guān)鍵是明確瓶子正放和倒放時(shí)空白部分的容積是不變的，用倒放時(shí)的空白部分替換正放時(shí)的空白部分，轉(zhuǎn)化成圓柱體，再利用圓柱的體積（容積）公式求解。
29．1470平方厘米
【分析】從圖中可知，這個(gè)長(zhǎng)方體物體外面的側(cè)面是4個(gè)長(zhǎng)22厘米、寬10厘米的長(zhǎng)方形，物體里面的側(cè)面是4個(gè)長(zhǎng)22厘米、寬5厘米的長(zhǎng)方形，根據(jù)長(zhǎng)方形的面積＝長(zhǎng)×寬，求出一個(gè)面的面積，再乘4，分別求出長(zhǎng)方體外面、里面的側(cè)面積；
這個(gè)長(zhǎng)方體物體的底面積＝邊長(zhǎng)為10厘米的正方形的面積－邊長(zhǎng)為5厘米的正方形的面積，根據(jù)正方形的面積＝邊長(zhǎng)×邊長(zhǎng)求解；
如果把這個(gè)物體浸沒(méi)在水中，它與水接觸的面積＝物體外面的側(cè)面積＋物體里面的側(cè)面積＋物體的底面積×2，據(jù)此求出物體與水接觸的面積。
【詳解】物體外面的側(cè)面積：10×22×4＝880（平方厘米）
物體里面的側(cè)面積：5×22×4＝440（平方厘米）
物體的兩個(gè)底面積：
（10×10－5×5）×2
＝（100－25）×2
＝75×2
＝150（平方厘米）
物體與水接觸的面積：
880＋440＋150＝1470（平方厘米）
答：它與水接觸的面積是1470平方厘米。
【點(diǎn)睛】本題考查長(zhǎng)方體表面積公式的靈活運(yùn)用，分析出物體接觸水的面是哪些面，再根據(jù)圖形的面積公式求解。
30．8厘米
【分析】長(zhǎng)方體容器中放入長(zhǎng)方體鐵棒后，水的體積沒(méi)有變化，由于放入的鐵棒占據(jù)了部分底面積，所以底面積等于原來(lái)長(zhǎng)方體容器的底面積－鐵棒的底面積；這時(shí)，水的形狀變成一個(gè)中間被抽去一個(gè)長(zhǎng)方體的中空的長(zhǎng)方體，求這樣一個(gè)中空的長(zhǎng)方體的體積，根據(jù)：體積＝底面積×高，高＝體積÷底面積，即可求出現(xiàn)在水的高度。
【詳解】10×8×6÷（10×8－20）
＝80×6÷（80－20）
＝480÷60
＝8（厘米）
答：現(xiàn)在水深8厘米。
【點(diǎn)睛】明確水的體積不變以及熟練掌握和運(yùn)用長(zhǎng)方體體積公式是解答本題的關(guān)鍵。
31．374立方厘米
【分析】前面和上面的面積之和是209平方厘米，即長(zhǎng)×寬＋長(zhǎng)×高＝209，且長(zhǎng)、寬、高都是質(zhì)數(shù)，據(jù)此可以求出長(zhǎng)、寬、高，然后根據(jù)長(zhǎng)方體的體積公式：V＝abh，把數(shù)據(jù)代入公式解答。
【詳解】長(zhǎng)×寬＋長(zhǎng)×高＝209
長(zhǎng)×（寬＋高）＝209
209＝11×19
要么寬＋高＝11，要么寬＋高＝19
11＝2＋9＝3＋8＝4＋7＝5＋6，這樣都有一個(gè)數(shù)是合數(shù)；
19＝2＋17＝3＋16＝5＋14＝7＋12＝11＋8＝13＋6，只有2和17都是質(zhì)數(shù)。
所以這個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別11厘米，17厘米，2厘米。
11×2×17
＝22×17
＝374（立方厘米）
答：這個(gè)長(zhǎng)方體的體積是374立方厘米。
【點(diǎn)睛】此題考查的目的是理解掌握質(zhì)數(shù)的意義及應(yīng)用，長(zhǎng)方體的體積公式及應(yīng)用，關(guān)鍵是求出長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高。
32．36個(gè)
【分析】根據(jù)題意可知，不帶紅色的小正方體的個(gè)數(shù)等于7，它應(yīng)該是7個(gè)小正方體排成一排，所以長(zhǎng)方體被切割成了3排9列3層，共有3×9×3＝81（個(gè)）小正方體，兩面帶紅色的小正方體在12條棱上（不含頂點(diǎn)上的小正方體），每條長(zhǎng)上有7個(gè)，每條寬上有1個(gè)，每條高上有1個(gè)，所以共有（7＋1＋1）×4＝36（個(gè)），據(jù)此即可解答。
【詳解】（7＋1＋1）×4
＝9×4
＝36（個(gè)）
答：兩面帶紅色的小正方體是36個(gè)。
【點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵要明確：三面有色的處在8個(gè)頂點(diǎn)上，兩面有色的處在12條棱上（不含頂點(diǎn)上的小正方體），一面有色的處在每個(gè)面的中間，無(wú)色的處在中心。
33．（1）三種；216升；252升；252升
（2）198平方分米
（3）126立方分米
【分析】（1）根據(jù)長(zhǎng)方體的特征，長(zhǎng)方體的6個(gè)面都是長(zhǎng)方形（特殊情況有兩個(gè)相對(duì)的面是正方形），相對(duì)面的面積相對(duì)。由此可知，有三種不同的選法，①選5張A；②選1張A和4張B；③選2張A和3張B。根據(jù)長(zhǎng)方體的容積公式：V＝abh，把數(shù)據(jù)分別代入公式解答。
（2）根據(jù)（1）所得容積，選出容積最大且表面積小的選法，第②和③容積一樣大，但A的面積小于B，所以③的表面積小，計(jì)算需要鐵皮的面積即可。
（3）根據(jù)長(zhǎng)方體的體積公式：V＝abh，把數(shù)據(jù)代入公式求出鐵塊和水的體積和，然后減去水的體積就是鐵塊的體積。
【詳解】（1）第一種：選5張A，即是一個(gè)棱長(zhǎng)為6分米的正方體：
6×6×6＝216（立方分米）
216立方分米＝216升
第二種：1張A和4張B，即是一個(gè)長(zhǎng)6分米，寬6分米，高7分米的長(zhǎng)方體：
7×6×6＝252（立方分米）
252立方米＝252升
第三種：2張A和3張B，即是一個(gè)長(zhǎng)7分米，寬6分米，高6分米的長(zhǎng)方體：
6×6×7＝252（立方分米）
252立方分米＝252升
（2）6×6×2＋6×7×3
＝72＋126
＝198（平方分米）
答：需要198平方分米鐵皮。
（3）6×7×（6－0.5）
＝42×5.5
＝231（立方分米）
105升＝105立方分米
231－105＝126（立方分米）
答：鐵塊的體積是126立方分米。
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查長(zhǎng)方體的表面積公式、容積（體積）公式的靈活運(yùn)用，關(guān)鍵是熟記公式
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁(yè) （共 2 頁(yè)）
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