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專題03：式與方程-2025年小升初數學暑假專項提升（人教版）
學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________
一、選擇題
1．數m、n、t在數線上的位置如圖所示，與數t最接近的是（ ）。
A．n＋m B．n－m C．n×m D．n÷m
2．一個兩位數，十位上的數字是個位上的，把十位上數字與個位上數字調換后，新數比原數大18，則原數個位數字和十位數字之和是（ ）。
A．10 B．12 C．18 D．21
3．一家商店以進價提高40%的價格標價一種商品，然后以八折優惠賣出，結果每件商品仍獲利15元。這種商品的進價是多少元？（ ）
A．150元 B．125元 C．175元 D．100元
4．一個長方形，如果它的長增加，寬增加，那么新的長方形的面積比原來增加（ ）。
A． B． C． D．
5．袋子里紅球與白球的個數比是19∶13。放入若干只紅球后，紅球與白球數量之比是5∶3，再放入若干只白球后，紅球與白球數量之比是13∶11。已知放入的白球比紅球多80只。那么原來袋子中有白球（ ）只。
A．360 B．350 C．390 D．400
6．古希臘著名的畢達哥拉斯學派把1，3，6，10…這樣的數稱為“三角形數”，而把1，4，9，16…這樣的數稱為“正方形數”。從下圖中可以發現，任何一個大于1的“正方形數”都可以看作兩個相鄰的“三角形數”之和。下列等式中，符合這一規律的是（ ）。
A．25＝9＋16 B．36＝15＋21 C．49＝18＋31 D．64＝31＋33
二、填空題
7．如圖，C是線段AB的一點，D是線段CB的中點。已知圖中所有線段的長度之和是23厘米，線段AC的長度與線段CB的長度都是整數，則線段AC的長度為( )厘米。
8．甲每小時跑14.4千米，乙每小時跑10.8千米，乙比甲多跑2分鐘，結果比甲少跑了120米，那么甲跑了( )米。
9．漏窗是中國古典園林建筑中的裝飾性透空窗，有景中有畫、畫中有景的藝術效果。下面是“燈籠錦”樣式的漏窗設計示意圖，第1幅圖有5個正八邊形，第2幅圖有8個。按照這樣的規律設計，第6幅圖有( )個正八邊形，第n幅圖有( )個正八邊形。
10．若用an表示n2的個位數字。
例如：a1表示12的個位數字，即a1＝1；a2表示22的個位數字，即a2＝4；a3表示32的個位數字，即a3＝9；a4表示42的個位數字，即a4＝6；…
則a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a2011＋a2012＋a2013＝( )。
11．《九章算術》記載：“今有勾五步，股十二步，問勾中容方幾何？”轉化為數學問題：如圖1、圖2，在直角△ABC中，∠C＝90°，BC＝5cm，AC＝12cm，D、E、F是三角形三邊上的點，且四邊形CDEF是一個正方形。根據下述閱讀材料，則正方形CDEF的邊長為( )cm。
12．古希臘畢達哥拉斯學派信奉“萬物皆數”，正三角形、正方形、正五邊形等美麗的圖形都可以用數排列出來。圖1中，我們不難發現1、3、6，這些數叫作三角形數。圖2中，1、4、9、16可以排成正方形數。圖3中，1、5、12、22、( )、( )可以排成五邊形數。
13．有一塊菜地和一塊麥地，菜地的一半和麥地的放在一起是13公頃，麥地的一半和菜地的放在一起12公頃，那么菜地是( )公頃。
14．《九章算術》是我國古代一部偉大的數學名著，其中描述了這樣一道題：一個人用車裝米，從甲地運往乙地，裝米的車日行25千米，不裝米的空車日行35千米，5日往返三次。兩地相距 千米。
15．“重陽節”那天，延齡茶社來了25位老人品茶。他們的年齡恰好是25個連續自然數，兩年以后，這25位老人的年齡之和正好是2000，其中年齡最大的老人今年( )歲。
16．由四個互不相同的非零數字組成的沒有重復數字的所有四位數之和為106656，則這些四位數中最大的是( )。
三、判斷題
17．5只貓5天吃5只老鼠，10只貓10天吃20只老鼠。( )
18．甲數是30，比乙數的倍少，乙數就是。( )
19．有兩個數，它們的和、差、積都相等，這兩個數一定是0和0。( )
20．甲、乙、丙三人用相同的錢數去買體育用品，甲買了3個足球，乙買了4個籃球，丙買了1個足球、1個籃球、2個排球。如果足球每個是4x元，那么排球每個是2.5x元。( )
21．要使（a是非負數）成立，則a必須大于0。( )
四、計算題
22．解方程。

五、解答題
23．有一杯90克的糖水，其中糖與水的質量比是2∶13，現在要增加糖水的甜度，使糖占糖水的。有以下兩種方法：一是再增加一些糖，二是蒸發掉一些水。請你分別計算出要再增加多少克糖或蒸發掉多少克水？
24．陽光小學六年級女生人數與男生人數的比是7∶8，王老師從女生中選出20人，又選出男生人數的25%參加文體活動，這時男、女生剩下的人數正好相等，六年級有男生多少人？
25．媽媽給了亮亮10元6角錢，正好可以買3千克香蕉和2千克蘋果，結果亮亮把香蕉和蘋果的數量弄顛倒了，因此少花了0.7元錢。香蕉和蘋果每千克的價錢各是多少元？
26．王老師買了同樣的4支鋼筆和15本筆記本，共付款120元。已知2支鋼筆的價錢等于5本筆記本的價錢。每支鋼筆和每本筆記本各多少元？
27．同學們從學校到少年宮，走了全程的80%時，正好到達體育館。沿原路返回，行了全程的時，就過了體育館0.3千米。學校到少年宮的路程是多少千米？
28．一艘貨輪要把貨物從下游的A地運往上游的B地，同時從B地有一條無動力漂流觀景船同時出發，隨江水漂向A地。貨輪行駛64千米后遇到觀景船，共用了8小時到達B地。一周后，貨輪和觀景船仍然分別從A地和B地同時出發，但此時水速已經是上一周的兩倍，于是貨輪將靜水速度也提高了一半，結果貨輪行駛了千米后遇到觀景船。求AB兩地之間的路程，并求出貨輪原先的靜水速度？
29．某學生步行速度15千米/時，騎自行車速度是步行的3倍。從家到學校上學一半路程步行，一半路程騎自行車，放學回家一半時間步行，一半時間騎自行車，結果放學回家比上學少用10分鐘，求這個學生家到學校的路程。
30．小江家剛好在學校和媽媽單位的正中間。一天早上，小江和媽媽一起從家出發，小江向東去學校，媽媽向西去單位上班，媽媽的速度是小江的2.5倍。出發10分鐘后媽媽距單位還有500米，此時發現小江的眼鏡在包里，媽媽立即掉頭加速20%去追小江，在離學校250米處追上小江后，又以原速度返回單位上班，當小江到學校時，媽媽離單位還有多遠？
31．某停車場實施分段計費：不超過10個小時的部分每小時5元；超過10的小時不超過24小時的部分每小時4元；超過24小時的部分每小時3元（按整數小時計時收費，不足1小時的部分按1時間計算）。李老師兩次在停車場停車共計40小時，停車費共交了176元。求兩次停車各多長時間？
《專題03：式與方程-2025年小升初數學暑假專項提升（人教版）》參考答案
1．D
【分析】由題中圖可知：m大于0，m小于n且m和n都小于1，t大于2且小于3。一個數（0除外）乘小于1的數，結果比原來的數小。分別對每個選項中的算式進行計算，算結果的范圍，找到結果最接近2和3之間即可。
【詳解】A．n、m大于0且小于1，n＋m的結果大于0且小于2；
B． n、m大于0且小于1，n大于m，所以n－m的結果大于0且小于1；
C． n、m大于0且小于1，n×m的結果比n小，所以結果大于0且小于1；
D． n、m大于0且小于1，n是m的兩倍多，所以n÷m的結果大于2且小于3，最符合題意；
故答案為：D
【點睛】本題主要考查學生對用字母表示數的理解，其中能計算出每個算式的結果的取值范圍是解題關鍵。
2．A
【分析】根據“十位上的數字是個位上的”，可以設原來數字個位上的數是，那么十位上數字是；把十位上數字與個位上數字調換后，則新數個位上數字是，十位上的數字是；
根據“新數比原數大18”可得出等量關系：新數－原數＝新數比原數大的數，據此列出方程，并求解；
求出原來個位數字與十位數字之后，再相和即可求出它們的和。
【詳解】解：設原來兩位數個位上的數字是，那么十位上的數字是。
（10＋）－（×10＋）＝18
－＝18
3＝18
＝18÷3
＝6
原來十位是：6×＝4
和是：6＋4＝10
則原來這個兩位數個位與十位上數字的和是10。
故答案為：A
【點睛】明白兩位數是“十位上的數字×10＋個位上的數字”組成，關鍵是得出原來兩位數與新兩位數的組成，再根據題意找出等量關系，按等量關系列出方程求解。
3．B
【分析】根據題意，設這種商品的進價為元，先把進價看作單位“1”，標價比進價提高40%，即標價是進價的（1＋40%），根據百分數乘法的意義可知，標價是（1＋40%）元；
然后以八折優惠賣出，即售價是標價的80%，把標價看作單位“1”，根據百分數乘法的意義可知，售價是（1＋40%）×80%元；
根據“結果每件商品仍獲利15元”可得出等量關系：售價－進價＝獲利，據此列出方程，并求解。
【詳解】解：設這種商品的進價為元。
（1＋40%）×80%－＝15
1.4×0.8－＝15
1.12－＝15
0.12＝15
＝15÷0.12
＝125
這種商品的進價是125元。
故答案為：B
【點睛】掌握進價、標價、售價、獲利之間的關系是解題的關鍵。
4．C
【分析】設原來的長方形的長和寬分別為a和b，則變化后的長方形的長和寬分別為（1＋）a、（1＋）b，根據長方形的面積＝長×寬，分別求出變化前后長方形的面積，再把原來的長方形面積看作單位“1”，用變化后的長方形面積減去變化前的長方形的面積，求出差，再用它們的差除以原來的長方形面積，即可求出面積增加的分率。
【詳解】設原來的長方形的長和寬分別為a和b，則變化后的長方形的長和寬分別為（1＋）a、（1＋）b，
原來的面積：ab
現在的面積：（1＋）a×（1＋）b
＝a×b
＝ab
面積增加：（－1）ab÷ab
＝ab÷ab
＝
那么新的長方形的面積比原來增加。
故答案為：C
【點睛】此題主要考查長方形的面積的計算方法的靈活應用。
5．C
【分析】已知原來紅球與白球的個數比是19∶13，可知原來紅球的個數是白球的，可以設原來袋子里有只白球，則原來袋子里有紅球只；
放入若干只紅球后，紅球與白球數量之比是5∶3，此時白球的數量仍是只，而紅球的數量變成只，則放入的紅球數量是（－）只；
再放入若干只白球后，紅球與白球數量之比是13∶11，此時紅球數量是白球的；已知放入的白球比紅球多80只，即放入的白球數量是（－＋80）只，再加上原來白球的數量只，即是白球的總數量；
根據等量關系：紅球的總數量＝白球的總數量×，據此列出方程，并求解。
【詳解】解：設原來袋子里有只白球，則原來袋子里有紅球只。
＝×（＋－＋80）
＝×（＋－＋80）
＝×（＋80）
÷＝＋80
×＝＋80
＝＋80
－＝80
＝80
＝80÷
＝80×
＝390
那么原來袋子中有白球390只。
故答案為：C
【點睛】本題的數量關系較復雜，把比轉化成分數，得出每一次數量變化時，紅球的數量與白球的數量之間的關系是解題的關鍵。
6．B
【分析】根據題目可知，三角形數的規律為：第1個三角形個數＝1，第2個三角形個數＝1＋2＝3，第3個三角形個數＝1＋2＋3＝6，第4個三角形個數＝1＋2＋3＋4＝10，……第n個三角形個數＝1＋2＋3＋4＋…＋n，而任何一個大于1的“正方形數”都可以看作兩個相鄰的“三角形數”之和，逐項分析后進行選擇，據此解答。
【詳解】根據分析：
A．1＋2＋3＝6，1＋2＋3＋4＝10，1＋2＋3＋4＋5＝15，那么9和16都不是“三角形數”，不符合題意；
B．1＋2＋3＋4＋5＝15，1＋2＋3＋4＋5＋6＝21，那么15和21都是“三角形數”，且是兩個相鄰的“三角形數”，符合題意；
C．1＋2＋3＋4＋5＝15，1＋2＋3＋4＋5＋6＝21，1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28，1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36，那么18和31都不是“三角形數”，不符合題意；
D．1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28，1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36，那么31和33都不是“三角形數”，不符合題意；
所以符合這一規律的是36＝15＋21。
故答案為：B
【點睛】找出三角形數的規律，是解答本題的關鍵。
7．3
【分析】根據線段有2個端點，從A點開始，可以確定有AC、AD、AB、CD、CB、DB，共6條線段，因為D是線段CB的中點，因此CD＝DB、CB＝2CD，假設CD＝DB＝x，AC＝y，根據所有線段的長度之和是23厘米，可以列出方程y＋（x＋y）＋（2x＋y）＋x＋2x＋x＝23，將左邊合并后是7x＋3y＝23，又因為線段AC的長度與線段CB的長度都是整數，分別確定x和y的值，找到符合題意的情況即可。
【詳解】根據題意，可得AC＋AD＋AB＋CD＋CB＋DB＝23
假設CD＝DB＝x，AC＝y
可以寫出方程：y＋（x＋y）＋（2x＋y）＋x＋2x＋x＝23
解：y＋x＋y＋2x＋y＋x＋2x＋x＝23
化簡得：7x＋3y＝23
因為線段AC的長度與線段CB的長度都是整數，x最大為3
當x＝3時
7×3＋3y＝23
解：21＋3y＝23
21＋3y－21＝23－21
3y＝2
3y÷3＝2÷3
y＝
y不是整數，不符合；
當x＝2時
7×2＋3y＝23
解：14＋3y＝23
14＋3y－14＝23－14
3y＝9
3y÷3＝9÷3
y＝3
符合題意；
當x＝1時
7×1＋3y＝23
7＋3y－7＝23－7
3y＝16
3y÷3＝16÷3
y＝
y不是整數，不符合。
線段AC的長度為3厘米。
【點睛】關鍵是熟悉線段的特點，確定所有的線段，根據線段之間的長度關系，列出方程并化簡，從而逐步試出線段AC的長度。
8．1920
【分析】根據1小時＝60分鐘，1千米＝1000米，統一單位。設甲跑了x小時，則乙跑時間＝甲跑的時間＋乙比甲多跑的時間，根據甲的速度×甲的時間－乙的速度×乙的時間＝乙比甲少跑的路程，列出方程求出x的值是甲跑的時間，甲的速度×甲的時間＝甲跑的路程。
【詳解】2分鐘＝小時＝小時
120米＝0.12千米
解：設甲跑了x小時。
14.4x－（x＋）×10.8＝0.12
14.4x－10.8x－0.36＝0.12
3.6x－0.36＋0.36＝0.12＋0.36
3.6x＝0.48
3.6x÷3.6＝0.48÷3.6
x＝
x＝
14.4×＝1.92（千米）＝1920（米）
甲跑了1920米。
【點睛】關鍵是理解速度、時間、路程之間的關系，用方程解決問題的關鍵是找到等量關系。
9． 20 3n＋2
【分析】觀察圖形可知，第1幅圖、第2幅圖、第3幅圖分別有5個、8個、11個正八邊形，發現：每增加1幅圖，正八邊形的數量就增加3個，據此找出規律，并按規律解答。
【詳解】第1幅圖，有5個正八邊形，5＝3×1＋2；
第2幅圖，有8個正八邊形，8＝3×2＋2；
第3幅圖，有11個正八邊形，11＝3×3＋2；
……
規律：第n幅圖有（3n＋2）個正八邊形。
當n＝6時
3n＋2
＝3×6＋2
＝18＋2
＝20（個）
填空如下：
按照這樣的規律設計，第6幅圖有（20）個正八邊形，第n幅圖有（3n＋2）個正八邊形。
【點睛】關鍵是從已知的圖形或數據中找出規律，并用含字母的式子表示規律。
10．9059
【分析】由于12＝1、22＝4、32＝9、42＝16、52＝25、62＝36、72＝49、82＝64、92＝81、102＝100、112＝121…每10個數組成一個周期，個位數字成1、4、9、6、5、6、9、4、1、0周期出現，確定周期后，用總量除以周期，如果正好是整數個周期，結果為周期的最后一個；如果比整數格周期多n個，也就是余數是n，那么結果為下一個周期里的第n個。據此先求出一個周期的數字和，以及周期數，一個周期的數字和×周期數＋余下的幾個數＝這組數據的和。
【詳解】根據分析，個位數按照1，4，9，6，5，6，9，4，1，0，…進行變化，每10個數重復一次。
1＋4＋9＋6＋5＋6＋9＋4＋1＋0＝45
2013÷10＝201（組）……3（個）
a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a2011＋a2012＋a2013
＝1＋4＋9＋6＋5＋6＋9＋4＋1＋0…＋1＋4＋9＋6＋5＋6＋9＋4＋1＋0＋1＋4＋9
＝45×201＋（1＋4＋9）
＝9045＋14
＝9059
a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a2011＋a2012＋a2013＝9059。
【點睛】解決本題的關鍵是理解an表示n2的個位數字，確定周期。
11．
【分析】
如圖所示，拼成的長方形的長等于（AC＋BC），設正方形CDEF的邊長為xcm，則拼成的長方形的寬為xcm；根據長方形的面積＝2×三角形ABC的面積，三角形的面積＝底×高÷2，代入相應數值計算，據此解答。
【詳解】解：設正方形的邊長為xcm，則拼成的長方形的寬為xcm。
三角形ABC的面積為：
5×12÷2
＝60÷2
＝30（cm2）
拼成的長方形的長＝BC＋AC＝5＋12＝17（cm）
拼成的長方形的面積＝17x＝三角形面積×2
即17x＝2×30
17x＝60
17x÷17＝60÷17
x＝
因此正方形CDEF的邊長為cm。
【點睛】關鍵是找出拼成的圖形和原圖形之間的面積關系，再將面積轉化到邊長的計算。
12． 35 51
【分析】觀察圖1，三角形數按1、3、6、10…排列，規律：第n個三角形數＝ n×（n－1）÷2；
觀察圖2，正方形數按1、4、9、16…排列，規律：第n個正方形數＝n2；
觀察圖3，五邊形數按1、5、12、22…排列，可以看作1，5＝1＋4，12＝3＋9，22＝6＋16…，即把第n個五邊形數看作第（n－1）個三角形數與第n個正方形數之和：
圖3的規律：
第1個圖的五邊形數是1；
第2個圖的五邊形數是5，5＝1＋4＝2×（2－1）÷2＋22；
第3個圖的五邊形數是12，12＝3＋9＝3×（3－1）÷2＋32；
第4個圖的五邊形數是22，22＝6＋42＝4×（4－1）÷2＋42；
……
規律：第n個五邊形數＝n×（n－1）÷2＋n2；
據此規律解答。
【詳解】規律：第n個五邊形數＝n×（n－1）÷2＋n2；
當n＝5時
n×（n－1）÷2＋n2
＝5×（5－1）÷2＋52
＝5×4÷2＋25
＝10＋25
＝35
當n＝6時
n×（n－1）÷2＋n2
＝6×（6－1）÷2＋62
＝6×5÷2＋36
＝15＋36
＝51
圖3中，1、5、12、22、35、51可以排成五邊形數。
【點睛】通過數與形的結合，從已知的圖形或數據中找到規律，并按規律解題。
13．18
【分析】根據題意，設菜地的面積是公頃；由菜地的一半和麥地的放在一起是13公頃，用13公頃減去菜地的一半，即是麥地的，再除以，即是麥地的面積，用（13－）÷表示；
根據“麥地的一半和菜地的放在一起12公頃”可得出等量關系：麥地的面積×＋菜地的面積×＝12，據此列出方程，并求解。
【詳解】解：設菜地的面積是公頃。
（13－）÷×＋＝12
（13－）×3×＋＝12
13×3×－×3×＋＝12
－＋＝12
－（－）＝12
－（－）＝12
－＝12
＝－12
＝
＝÷
＝×
＝18
菜地是18公頃。
【點睛】本題考查列方程解決較復雜的實際問題，當有兩個未知數時，要找出兩個未知數之間的關系，并能用一個未知數表示出來，從題目中找出等量關系，根據等量關系列出方程。
14．/
【分析】5日往返三次，則往返一次需要5÷3＝（日）。設往返一次裝米的車行了x日，則不裝米的車行駛了（－x）日。根據題意可得：往返一次裝米的車的速度×所用時間＝不裝米的車的速度×所用時間，據此可列出方程25x＝35×（－x）。解出方程求出往返一次裝米的車所用的時間后，再根據速度×時間＝路程，用25乘所用的時間，即可求出兩地相距的路程。
【詳解】5÷3＝（日）
解：設往返一次裝米的車行了x日。
25x＝35×（－x）
25x＝－35x
25x＋35x＝
60x＝
60x×＝×
x＝
25×＝（千米）
則兩地相距千米。
【點睛】列方程解答本題比較簡單。先求出往返一次所需的時間，再分別用含有字母的式子表示裝米和不裝米的車所行的路程，從而列方程求出所用時間是解題的關鍵。
15．90
【分析】根據題意，兩年以后，每位老人都增加了2歲，即增加的年齡和是2×25＝50（歲），用2000減去50就是25位老人今年的年齡和，設最小的老人是n歲，則其他老人的年齡分別為：（n＋1）歲、（n＋2）歲…（n＋24）歲，它們的和等于1950，據此列方程并解答，再用最小的老人的歲數加24即可得解。
【詳解】2000－2×25
＝2000－50
＝1950（歲）
解：設最小的老人是n歲，由題意得：
n＋（n＋1）＋（n＋2）＋（n＋3）＋…＋（n＋23）＋（n＋24）＝1950
25n＋（1＋2＋3＋…＋23＋24）＝1950
25n＋300＝1950
25n＋300－300＝1650－300
25n＝1650
25n÷25＝1650÷25
n＝66
那么年齡最大的老人今年的歲數是：
n＋24＝66＋24＝90（歲）
因此，年齡最大的老人今年90歲。
【點睛】分別找出25位老人今年的年齡和與25個連續自然數的和，據此列出方程，是解題的關鍵。
16．9421
【分析】分析題目，4個非零數字一共組成了4×3×2×1＝24（個）四位數，即每個數字在每個數位上均出現了24÷4＝6（次），據此可以設四個互不相同的非零數字是a、b、c、d，可列出方程：6×（a＋b＋c＋d）×（1＋10＋100＋1000）＝106656，進一步解方程求出a＋b＋c＋d的值，再根據這個四位數最大，則越高位的數字越大，據此解答。
【詳解】4×3×2×1＝24（個）
24÷4＝6（次）
解：設四個互不相同的非零數字是a、b、c、d。
6×（a＋b＋c＋d）×（1＋10＋100＋1000）＝106656
6×（a＋b＋c＋d）×1111＝106656
6×（a＋b＋c＋d）×1111÷6÷1111＝106656÷6÷1111
a＋b＋c＋d＝16
要使這個四位數最大，則千位數字是9，個位數字是1，16－9－1＝6，6＝4＋2，所以這些四位數中最大的是9421。
由四個互不相同的非零數字組成的沒有重復數字的所有四位數之和為106656，則這些四位數中最大的是9421。
【點睛】解題的關鍵是利用好排列組合的思想，找出數字之間的關系，由此列出方程，再找出4個非零數字的和，通過嘗試確定最大的四位數。
17．√
【分析】5只貓5天捉5只老鼠，5×2＝10，那么10只貓5天抓（5×2＝10）只老鼠，則10只貓10天抓（10×2＝20）只老鼠；據此解答即可。
【詳解】10÷5＝2
10只貓里面有2個5只貓；10天里面有2個5天；
10只貓5天可以抓：5×2＝10（只）
10只貓10天可以抓：10×2＝20（只）
所以10只貓10天捉20只老鼠；
故答案為：√
【點睛】解答本題需要求出貓的只數和時間都是已知的幾倍，再由此求解。
18．√
【分析】由題意知：甲數是30，比乙數的倍少，意思就是甲數再加上就正好是乙的倍，據此解答。
【詳解】由分析知：乙數是
故答案為：√
【點睛】理解“比乙數的倍少”，就是30加上才是乙數的倍。是解答本題的關鍵。
19．√
【分析】假設這兩個數是a和b，根據它們的和、差、積都相等，求出a和b的值即可。
【詳解】假設這兩個數是a和b，a＋b＝a×b＝a－b，那么a＝b，2a＝0，2b＝0，所以這兩個數一定是0和0：0＋0＝0×0＝0－0，原題正確，故答案為：√。
【點睛】解答此題的關鍵是利用字母表示數，推導出這兩個數的值。
20．√
【分析】甲、乙、丙三人用相同的錢數去買體育用品，錢的總數一樣，題干中給出若足球每個為4x元，則總價為：（元），利用總價和乙買的籃球數求出籃球價格，再利用丙買的球數和球的總價得出排球價格。
【詳解】若足球每個為4x元，則總價為：（元）；
乙買了4個籃球，則每個籃球價格為：（元）；
丙買了1個足球、1個籃球、2個排球，即一個排球的價格為：
（元）
故本題正確。
【點睛】本題主要考查的是簡易方程的實際運用，解題的關鍵是利用足球的單價求出總錢數，進而求出排球價格。
21．×
【分析】表示兩個a相乘，2a表示2個a相加，把兩個式子寫成等式，再根據等式的基本性質解答即可。
【詳解】①假設，a≠0
則
②假設，a＝0
當a＝0時，不等式是不成立的，所以a＝0不滿足題意；
綜上，要使成立，即，所以a必須大于2。
故答案為：×
【點睛】解決此題關鍵是理解一個數的平方和一個數的兩倍的區別，進而利用等式的性質即可得解。
22．；
【分析】先應用乘法分配律把計算出來，方程兩邊再同時加減73.5，化簡后得到方程，對化簡后的方程兩邊再同時加12后除以6，可以解出未知數；
把和分別看作整體，方程兩邊同時加和，化簡后含和的項分別在等號兩邊，再逆用分配律，分別提出和進行化簡后，方程兩邊同時乘6去掉分母后，運用等式的性質解方程。
【詳解】
解：
解：
23．7.5克；30克
【分析】無論是用方法一還是方法二解決此題，都可以根據糖與水的比是2∶13先求出糖的質量，90×＝12克；
方法一：在增加糖的過程中，要注意整杯糖水的總質量是隨之增加的，所以找到等量關系式，設再增加克糖，則增加糖后的糖的總質量∶增加糖后的糖水的總質量＝，然后列出方程求解；
方法二：蒸發掉一些水，糖的質量沒有改變，所以可以列出等量關系式，設設蒸發掉克水，則糖的質量∶蒸發掉一些水后的糖水的總質量＝，然后列出方程求解。
【詳解】90×
＝90×
＝12（克）
方法一：解：設再增加克糖。
方法二：解：設蒸發掉克水。
答：要再增加7.5克的糖或蒸發掉30克的水，使糖占糖水的。
【點睛】此題要抓住不變量進行找等量關系，然后根據等量關系列出方程進行求解。
24．160人
【分析】根據比的意義，可假設六年級女生人數為7x人，男生人數為8x人；根據題意可知，六年級女生人數－20人＝六年級男生的人數×（1－25%），據此解出方程，進而求出六年級男生人數。
【詳解】解：設六年級女生人數為7x人，男生人數為8x人。
7x－20＝8x×（1－25%）
7x－20＝8x×0.75
7x－20＝6x
7x－20＋20＝6x＋20
7x＝6x＋20
7x－6x＝6x＋20－6x
x＝20
8×20＝160（人）
答：六年級有男生160人。
【點睛】根據比的意義設未知數，找到對應的數量關系式列方程是解答本題的關鍵。
25．香蕉2.4元；蘋果1.7元
【分析】把10元6角轉化為10.6元，買3千克香蕉和2千克蘋果需要10.6元，買2千克香蕉和3千克蘋果需要（10.6－0.7）元，則1千克香蕉比1千克蘋果貴0.7元，把香蕉的單價設為未知數，用含有字母的式子表示出蘋果的單價，等量關系式：香蕉的單價×3＋蘋果的單價×2＝10.6元，據此列方程解答。
【詳解】10元6角＝10.6元
3千克香蕉＋2千克蘋果
＝2千克香蕉＋2千克蘋果＋1千克香蕉
＝10.6元
2千克香蕉＋3千克蘋果
＝2千克香蕉＋2千克蘋果＋1千克蘋果
＝10.6元－0.7元
＝9.9元
1千克香蕉－1千克蘋果
＝10.6元－9.9元
＝0.7元
解：設每千克香蕉x元，則每千克蘋果（x－0.7）元。
3x＋2（x－0.7）＝10.6
3x＋2x－2×0.7＝10.6
3x＋2x－1.4＝10.6
5x－1.4＝10.6
5x－1.4＋1.4＝10.6＋1.4
5x＝12
5x÷5＝12÷5
x＝2.4
2.4－0.7＝1.7（元）
答：每千克香蕉2.4元，每千克蘋果1.7元。
【點睛】分析題意明確少花的錢數是每千克香蕉比每千克蘋果貴的錢數并找出等量關系式準確列出方程是解題的關鍵。
26．12元；4.8元
【分析】已知2支鋼筆的價錢等于5本筆記本的價錢，因此買的鋼筆數量÷2×5，相當于對應數量筆記本的錢數，即4÷2×5＝10（本），4支鋼筆相當于10本筆記本的錢數，（10＋15）本筆記本共付款120元，總錢數÷筆記本總數量＝每本筆記本的錢數，每支鋼筆的錢數＝每本筆記本的錢數×5÷2，據此列式解答。
【詳解】4÷2×5＝10（本）
120÷（10＋15）
＝120÷25
＝4.8（元）
4.8×5÷2＝12（元）
答：每支鋼筆和每本筆記本各12元、4.8元。
【點睛】關鍵是靈活進行代換，用10本筆記本代替與它價值相等的4支鋼筆，從而根據總價÷數量＝單價，求出筆記本的單價，進而求出鋼筆的單價。
27．6千米
【分析】先設學校到少年宮的路程是x千米，則還剩（1－80）%x的路程沒走完，求一個數的幾分之幾或百分之幾，用乘法。再根據題意，用全程乘，再減去全程的（1－80%）等于0.3千米，據此列出方程式為：，求解x即可。
【詳解】解：設學校到少年宮的路程是x千米。
x＝6
答：學校到少年宮的路程是6千米。
【點睛】此題主要考查路程問題，關鍵是理清題目中的數量關系，通過設方程的方法，巧妙解決問題。
28．路程96千米；貨輪原先的靜水速度18千米/小時
【分析】設貨輪靜水速度為a千米/小時，水速為b千米/小時，全程距離為s千米，
第一次相遇用時，
第二次相遇用時 ，即
又知道第二次的水速是第一次的2倍，即第一次漂流的速度與第二次漂流的速度的比是1∶2
根據因此，兩次漂流距離比為
，解方程可得AB兩地之間的路程為96千米。
根據用（千米/時）貨輪原先的逆流速度，再根據，用得到第一次相遇的時間，再根據用漂流觀景船的路程除以遇上時間得水流速度，再加貨輪的逆流速度即可得貨輪原先的靜水速度。據此解答。
【詳解】解：設貨輪靜水速度為a千米/小時，水速為b千米/小時，全程距離為s千米，
第一次相遇用時，
第二次相遇用時
即兩次漂流距離比為
（千米/時）
（千米/小時）
答：AB兩地之間的路程為96千米；貨輪原先的靜水速度為18千米/小時。
【點睛】輪船逆流的速度等于它的靜水速度減水流速度，根據相遇問題、一般的路程問題的關系式，確定兩次漂流距離的比。
29．15千米
【分析】根據題意，用15乘3得到騎自行車的速度，設這個學生家到學校的路程為S，則從家到學校的時間為：，根據放學回家比上學少用10分鐘求出放學回家的時間，再根據放學回家一半路程騎自行車，放學回家一半時間步行，即可求出騎自行車和步行的用時，然后根據“路程＝速度×時間”列出等量關系即可求出S，即這個學生家到學校的路程。
【詳解】解：設這個學生家到學校的路程為S，則從家到學校的時間為：
＝
＝（小時）
10分鐘＝小時
因為放學回家比上學少用10分鐘，所以從學?；丶业臅r間為：（－）小時
即放學回家步行和騎自行車的時間均為：（－）÷2＝（－）小時
所以：
（－）×15＋（－）×（15×3）＝S
－＋S－＝S
＋S－－＝S
＋S－S－＋－＋＝S－S＋＋
S＝15
答：這個學生家到學校的路程為15千米。
【點睛】本題考查了列方程解決分數行程問題的應用，關鍵能靈活表示各個數量的關系。
30．5125米
【分析】首先，設小江的速度為每分鐘x米，則媽媽的速度為每分鐘2.5x米；出發10分鐘，媽媽走了（2.5x×10）＝25x米，據此媽媽距離單位還有500米；所以媽媽單位到家的距離為（25x＋500）米，媽媽掉頭加速20%，則速度為2.5x×（1＋20%）＝3x米；媽媽從家出來到追上小江用的時間與小江從家到距離學校250米的時間相等；小江走了（25x＋500－250）米；媽媽走了（25x＋25x＋500－250）米，根據時間＝路程÷速度；小江用的時間等于媽媽用的時間；列方程：（25x＋500－250）÷x＝10＋（25x＋25x＋500－250）÷3x；解方程，求出x的值；進而求出家到學校的距離，再根據時間＝路程÷速度，用小江走250米的路程÷小江的速度，求出250米小江用的時間；再用媽媽速度×小江走250米用的時間，求出追到小江后媽媽走的路程；再用學校到媽媽單位的路程－250米，再減去追到小江后媽媽走的路程，即可解答。
【詳解】解：設小江的速度為x米，則媽媽的速度為2.5x米；
媽媽掉頭的速度為：
2.5x×（1＋20%）
＝2.5x×1.2
＝3x（米）
（25x＋500－250）÷x＝10＋（25x＋25x＋500－250）÷3x
（25x＋250）÷x×3x＝10×3x＋（50x＋250）÷3x×3x
25x×3＋250×3＝30x＋50x＋250
75x＋750＝80x＋250
80x－75x＝750－250
5x＝500
x＝500÷5
x＝100
學校到家的距離：
25×100＋500
＝2500＋500
＝3000（米）
學校到媽媽單位的距離：3000×2＝6000（米）
小江250米用的時間：250÷100＝2.5（分）
媽媽距離單位：
6000－250－2.5×100×2.5
＝6000－250－250×2.5
＝6000－250－625
＝5750－625
＝5125（米）
答：媽媽離單位還有5125米。
【點睛】明確媽媽追上小江所用的時間與小江從家到距離學校250米所用的時間相等，是解答本題的關鍵。
31．12小時；28小時
【分析】假設一次停10小時，另一次停30小時，則停車費為：（10＋10）×5＋（24－10）×4＋（30－24）×3＝174（元），小于176元，所以判斷兩次停車都會超過10小時；假設兩次停車都是在10—24小時內，那么停車費為：5×（10＋10）＋4×（40－10－10）＝180（元），180＞176，所以兩次停車，一次停車時間在10—24小時內，另一次停車時間超過24小時；設一次停車x小時，10＜x＜24小時，則另一次停車（40－x）小時；根據停車收費標準，不超過10是小時的部分每小時5元，超過10小時沒超過24小時的部分每小時4元，超過24小時部分每小時3元，列方程：5×10＋4×（x－10）＋5×10＋4×14＋3×（40－x－24）＝176，據此即可解答。
【詳解】假設有一次停10小時，另一次停30小時。
（10＋10）×5＋（24－10）×4＋（30－24）×3
＝100＋14×4＋6×3
＝100＋56＋18
＝174（元）
174＜176
所以兩次停車都會超過10小時。
假設兩次停車都是在10—24小時內。
5×（10＋10）＋4×（40－10－10）
＝100＋80
＝180（元）
180＞176，所以兩次停車，一次停車時間在10—24小時內，另一次停車時間超過24小時。
解：設一次停車x小時（10＜x＜24），則另一次停車（40－x）小時。
5×10＋4×（x－10）＋5×10＋4×14＋3×（40－x－24）＝176
50＋4x－40＋50＋56＋3×（16－x）＝176
10＋4x＋50＋56＋3×16－3x＝176
60＋56＋4x＋48－3x＝176
116＋48＋x＝176
164＋x＝176
x＝176－164
x＝12
40－12＝28（小時）
答：兩次停車時間分別是12小時和28小時。
【點睛】判斷出兩次停車時間在哪個時間段是解答本題的關鍵。
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