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北師大版（2024）七年級下期末復習試卷
一．選擇題（共10小題）
1．下列幾種著名的數學曲線中，不是軸對稱圖形的是（　　）
A．蝴蝶曲線 B．笛卡爾心形線
C．科赫曲線 D．費馬螺線
2．一種病毒的直徑約為0.00000252米，0.00000252米用科學記數法表示是（　　）
A．0.252×10﹣6 B．2.52×10﹣6
C．2.52×10﹣7 D．2.52×10﹣3
3．下列計算正確的是（　　）
A．（a3）2＝a5 B．a6÷a2＝a3
C．（a﹣b）（a+2b）＝a2﹣2b2 D．a3 a3＝a6
4．下列事件中，是必然事件的是（　　）
A．任意擲一枚質地均勻的骰子，擲出的點數為偶數
B．車輛隨機到達一個路口，遇到紅燈
C．三角形的三條中線交于一點
D．兩直線被第三條直線所截，同位角相等
5．如圖，下列條件中，能判定AB∥CD的是（　　）
A．∠1＝∠4 B．∠2＝∠3
C．∠1＝∠5 D．∠4+∠ADC＝180°
6．如圖，在△ABC和△DEF中，點B，C，E，F在同一條直線上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，∠A＝95°，∠DEF＝25°，則∠F的度數為（　　）
A．25° B．60° C．70° D．95°
7．如圖，有一塊含有30°角的直角三角板的兩個頂點放在直尺的對邊上．如果∠2＝36°，那么∠1的度數是（　　）
A．36° B．54° C．24° D．30°
8．如圖是長方體水槽軸截面示意圖，其底部放有一個實心銅球（銅的密度大于水），現向水槽中勻速注水，下列四個圖象中能大致反映水槽中水的深度（y）與注水時間（x）關系的是（　　）
A． B．
C． D．
9．如圖，在△ABC中，以頂點A為圓心，以適當長為半徑畫弧，分別交AC，AB于點M，N，再分別以點M，N為圓心，以大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點P，作射線AP交邊BC于點D，作DE⊥AB于點E，若DE＝2，AB＝8，△ABC的面積為13，則AC的長為（　　）
A．4 B．5 C．6 D．8
10．為測量校園內的旗桿AC的高度，嘉嘉設計的方案是：如圖，在距旗桿底端A水平距離為1.5m的B處，使用測角儀測得∠ABC＝75°，由于75°角不方便計算，淇淇提出了一種解決問題的方案：在AB的延長線上取一點M，將一根木棒MN豎直立在地面上的點M處，MN＝1.5m，此時測得∠NBM＝15°，故淇淇得出結論△ABC≌△MNB，進而推得BM＝AC，則下列選項中淇淇證明全等用到的依據可能是（　　）
A．SAS B．AAS C．HL D．SSS
二．填空題（共9小題）
11．計算（﹣0.25）2024×（﹣4）2025的結果是　 　 ．
12．一個不透明口袋中裝有8個白球和若干個黑球，這些球除顏色外其余均相同，在不允許將球倒出來的前提下，為估計口袋中黑球的個數，采用了如下的方法：從口袋中隨機摸出1個球記下顏色后放回搖勻，不斷重復上述過程多次，發現摸到黑球的頻率穩定在0.6，根據上述數據，可估計口袋中大約有　 　 個黑球．
13．等腰三角形的一邊長為9cm，另一邊長為4cm，則它的第三邊長為　 　 cm．
14．如圖，將長方形ABCD沿GH折疊，點C落在點Q處，點D落在AB邊上點E處，若∠AGE＝36°，則∠GHC等于 　 　 °．
15．若3x﹣m與（2x﹣5）2的乘積中不含x的二次項，則m的值為　 　 ．
16．若a2﹣2ka+9是一個完全平方式，則k＝　 　 ．
17．甲，乙兩車分別從A，B兩地沿直路同向勻速行駛，兩車相距y（單位：m）與行駛時間x（單位：s）（0≤x≤60）的部分對應值如表，則y與x的對應關系可用關系式表示為 　 　 ．
時間x/s 5 10 15 20
兩車相距y/m 275 250 225 200
18．七巧板是我國古代勞動人民的發明之一，被譽為“東方模板”，它是由五塊等腰直角三角形、一塊正方形和一塊平行四邊形共七塊板組成的．如圖所示是一沄用七巧板拼成的正方形，如果在此正方形中隨機取一點，那么此點取自黑色部分的概率為 　 　 ．
19．如圖，在△ABC紙片中，∠BAC＝45°，BC＝5，且S△ABC＝15，P為BC上一點，將紙片沿AP剪開，并將△ABP、△ACP分別沿AB、AC向外翻折至△ABD、△ACE，連接DE，則△ADE面積的最小值為　 　 ．
三．解答題（共9小題）
20．（1）；
（2）（2a2b）3 （﹣ab）÷（﹣3a3b2）2；
（3）先化簡，再求值：4（x﹣1）2﹣（2x﹣3）（2x+3）+（x2+4x）÷2x，其中．
21．如圖，已知：∠D＝∠B，AD∥BC，AE＝CF．
（1）求證：△ADF≌△CBE．
（2）若AC＝20，CE＝17，求EF的長．
22．如圖，在邊長為單位1的正方形網格中有△ABC，點A，B，C均在格點上．
（1）在圖中作出△ABC關于直線l對稱的△A1B1C1（A1和A對應，B1和B對應，C1和C對應）；
（2）求△ABC的面積；
（3）在直線l上作點P，使PB+PC的值最小．
23．科學家實驗發現，聲音在不同氣溫下傳播的速度不同，聲音在空氣中的傳播速度隨氣溫的變化而有規律的變化．石室聯中科學社團通過查閱資料發現，聲音在空氣中傳播的速度和氣溫的變化存在如下的關系：
氣溫t（℃） 0 1 2 3 4 5
聲音在空氣中的傳播速度v（m/s） 331 331.6 332.2 332.8 333.4 334
（1）在這個變化過程中，　 　 是自變量，　 　 是因變量；
（2）聲音在空氣中的傳播速度v（m/s）與氣溫t（℃）的關系式可以表示為 　 　 ；
（3）某日的氣溫為20℃，小樂看到煙花燃放4s后才聽到聲響，那么小樂與燃放煙花所在地大約相距多遠？
24．如圖，△ABC中，D是BC延長線上一點，滿足CD＝AB，過點C作CE∥AB且CE＝BC，連接DE并延長，分別交AC、AB于點F、G．
（1）求證：△ABC≌△DCE；
（2）若∠B＝50°，∠D＝22°，求∠AFG的度數．
25．如圖，已知AB∥CD，E、F分別在AB、CD上，點G在AB、CD之間，連接GE、GF．
（1）當∠BEG＝40°，EP平分∠BEG，FP平分∠DFG時：
①如圖1，若EG⊥FG，則∠DFG的度數為　 　 ，則∠P的度數為　 　 ；
②如圖2，在CD的下方有一點Q，EG平分∠BEQ，FD平分∠GFQ，求∠Q+∠G的度數；
（2）如圖3，在AB的上方有一點O，若FO平分∠GFC．線段GE的延長線平分∠OEA，則當∠EOF+∠EGF＝100°時，請直接寫出∠OEA與∠OFC的數量關系．
26．甲、乙兩人相約一同登山，甲、乙兩人距地面的高度y（m）與登山時間x（min）之間的函數圖象如圖所示，根據圖象所提供的信息解答下列問題：
（1）圖中t＝　 　 min．
（2）若乙提速后，乙登山的上升速度是甲登山的上升速度3倍，
①則甲登山的上升速度是 　 　 m/min；
②請求出甲登山過程中，距地面的高度y（m）與登山時間x（min）之間的函數關系式；
③當甲、乙兩人距地面高度差為50m時，請直接寫出滿足條件的x值．
27．【定義理解】對于兩個正數a，b（a≠1），定義一種新的運算，記作η（a，b），即：如果ac＝b，那么η（a，b）＝c．例如：∵33＝27，∴η（3，27）＝3
【問題初探】
根據你對定義的理解，請填空：η（2，4）＝　 　 ；η（2，16）＝　 　 ；η（2，64）＝　 　 ．
【歸納猜想】
先觀察η（2，4），η（2，16）與η（2，64）的結果之間的關系．再觀察的三個數4，16，64之間的關系．試著歸納：η（a，m）+η（a，n）＝　 　 ；
【初步應用】
如圖，大正方形ABCD的邊長為m，小正方形CGFE的邊長為n，若η（a，m）+η（a，n）＝η（a，p），η（2，m+n）＝4，η（2，p）＝5．求圖中陰影部分的面積．
28．（1）問題提出：如圖1，點E為等腰△ABC內一點，AB＝AC，若另有一個以AD、AE為腰的等腰△AED且∠BAC＝∠EAD，求證：△ABE≌△ACD．
（2）嘗試應用：如圖2，點D為等腰Rt△ABC外一點，AB＝AC，BD⊥CD，過點A的直線分別交DB的延長線和CD的延長線于點N、M，BD與AC交于K，若∠M＝60°，∠BAC＝90°，求證：MC+NB＝2AM．
（3）問題拓展：如圖3，△ABC中，AB＝AC，點D，E分別在邊AC，BC上，∠BDA＝∠BEA＝60°，AE，BD交于點H，等邊△ABF的邊AF與BC相交于G點．若CE＝6，AH＝4，請直接寫出BE的長度．中小學教育資源及組卷應用平臺
北師大版（2024）七年級下期末復習試卷
一．選擇題（共10小題）
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B D C B B C D B B
一．選擇題（共10小題）
1．下列幾種著名的數學曲線中，不是軸對稱圖形的是（　　）
A．蝴蝶曲線 B．笛卡爾心形線
C．科赫曲線 D．費馬螺線
【思路點拔】根據軸對稱圖形的概念對各選項分析判斷即可得解．如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形．
【解答】解：選項A、B、C均能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形；
選項D不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形；
故選：D．
【點評】本題考查了軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．
2．一種病毒的直徑約為0.00000252米，0.00000252米用科學記數法表示是（　　）
A．0.252×10﹣6 B．2.52×10﹣6
C．2.52×10﹣7 D．2.52×10﹣3
【思路點拔】絕對值小于1的正數也可以利用科學記數法表示，一般形式為a×10﹣n，與較大數的科學記數法不同的是其所使用的是負指數冪，指數由原數左邊起第一個不為零的數字前面的0的個數所決定．由此可得，此題的a＝2.52，10的指數為﹣6．
【解答】解：0.00000252＝2.52×10﹣6．
故選：B．
【點評】本題考查用科學記數法表示較小的數，一般形式為a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n為由原數左邊起第一個不為零的數字前面的0的個數所決定．
3．下列計算正確的是（　　）
A．（a3）2＝a5 B．a6÷a2＝a3
C．（a﹣b）（a+2b）＝a2﹣2b2 D．a3 a3＝a6
【思路點拔】直接利用同底數冪的乘除運算法則、冪的乘方運算法則、多項式乘多項式分別判斷得出答案．
【解答】解：A．（a3）2＝a6，故此選項不合題意；
B．a6÷a2＝a4，故此選項不合題意；
C．（a﹣b）（a+2b）＝a2+ab﹣2b2，故此選項不合題意；
D．a3 a3＝a6，故此選項符合題意．
故選：D．
【點評】此題主要考查了整式的混合運算，正確掌握相關運算法則是解題關鍵．
4．下列事件中，是必然事件的是（　　）
A．任意擲一枚質地均勻的骰子，擲出的點數為偶數
B．車輛隨機到達一個路口，遇到紅燈
C．三角形的三條中線交于一點
D．兩直線被第三條直線所截，同位角相等
【思路點拔】根據隨機事件的定義進行解答即可．
【解答】解：A、任意擲一枚質地均勻的骰子，擲出的點數為偶數，是隨機事件，不符合題意；
B、車輛隨機到達一個路口，遇到紅燈，是隨機事件，不符合題意；
C、三角形的三條中線交于一點，是必然事件，符合題意；
D、兩直線被第三條直線所截，同位角相等，是隨機事件，不符合題意．
故選：C．
【點評】此題主要考查了隨機事件和必然事件，解答此題的關鍵是理解隨機事件和必然事件的定義．
5．如圖，下列條件中，能判定AB∥CD的是（　　）
A．∠1＝∠4 B．∠2＝∠3
C．∠1＝∠5 D．∠4+∠ADC＝180°
【思路點拔】根據平行線的判定定理對各選項進行逐一分析即可．
【解答】解：A、∠1＝∠4不能判定AB∥CD，不符合題意；
B、∵∠2＝∠3，∴AB∥CD，符合題意；
C、∵∠1＝∠5，∴AD∥BC，不能判定AB∥CD，不符合題意；
D、∵∠4+∠ADC＝180°，∴AD∥BC，不能判定AB∥CD，不符合題意．
故選：B．
【點評】本題考查的是平行線的判定，熟知平行線的判定定理是解答此題的關鍵．
6．如圖，在△ABC和△DEF中，點B，C，E，F在同一條直線上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，∠A＝95°，∠DEF＝25°，則∠F的度數為（　　）
A．25° B．60° C．70° D．95°
【思路點拔】根據BE＝CF，可以得到BC＝EF，利用全等三角形的判定證圖中的兩個三角形全等，再根據全等三角形的性質可以得到∠F的度數．
【解答】解：∵BE＝CF，
∴BE+EC＝EC+CF，
∴BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS）；
∴∠D＝∠A＝95°，
∴∠F＝180°﹣∠D﹣∠DEF＝60°，
故選：B．
【點評】本題考查全等三角形的判定與性質，解答本題的關鍵是明確題意，利用全等三角形的判定和性質解答．
7．如圖，有一塊含有30°角的直角三角板的兩個頂點放在直尺的對邊上．如果∠2＝36°，那么∠1的度數是（　　）
A．36° B．54° C．24° D．30°
【思路點拔】依據∠ABC＝60°，∠2＝36°，即可得到∠EBC＝24°，再根據BE∥CD，即可得出∠1＝∠EBC＝24°．
【解答】解：如圖，∵∠ABC＝60°，∠2＝36°，
∴∠EBC＝24°，
∵BE∥CD，
∴∠1＝∠EBC＝24°，
故選：C．
【點評】本題主要考查了平行線的性質，解題時注意：兩直線平行，內錯角相等．
8．如圖是長方體水槽軸截面示意圖，其底部放有一個實心銅球（銅的密度大于水），現向水槽中勻速注水，下列四個圖象中能大致反映水槽中水的深度（y）與注水時間（x）關系的是（　　）
A． B．
C． D．
【思路點拔】根據題意可分兩段進行分析：當水的深度未超過球頂時；當水的深度超過球頂時．分別分析出水槽中裝水部分的寬度變化情況，進而判斷出水的深度變化快慢，以此得出答案．
【解答】解：根據題意可分兩段進行分析如下：
①當水的深度未超過球頂時，
水槽中能裝水的部分的寬度由下到上由寬逐漸變窄，再變寬，
所以在勻速注水過程中，水的深度變化先從上升較慢變為較快，再變為較慢；
②當水的深度超過球頂時，
水槽中能裝水的部分寬度不再變化，
所以在勻速注水過程中，水的深度的上升速度不會發生變化．
綜上，水的深度先上升較慢，再變快，然后變慢，最后勻速上升．
故選：D．
【點評】本題主要考查函數的圖象，理解題意是關鍵．
9．如圖，在△ABC中，以頂點A為圓心，以適當長為半徑畫弧，分別交AC，AB于點M，N，再分別以點M，N為圓心，以大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點P，作射線AP交邊BC于點D，作DE⊥AB于點E，若DE＝2，AB＝8，△ABC的面積為13，則AC的長為（　　）
A．4 B．5 C．6 D．8
【思路點拔】過D作DF⊥AC交AC的延長線于F，根據角平分線的性質得到DE＝FD＝2，根據三角形的面積公式即可得到結論．
【解答】解：過D作DF⊥AC交AC的延長線于F，
由作圖知AD平分∠BAC，
∵DE⊥AB，
∴DE＝FD＝2，
∵△ABC的面積為13，
∴S△ABD+S△ACDAB DEAC DF2×82AC＝13，
解得，AC＝5，
故選：B．
【點評】本題考查了作圖﹣基本作圖，角平分線的性質，三角形的面積公式，熟練掌握角平分線的性質是解題的關鍵．
10．為測量校園內的旗桿AC的高度，嘉嘉設計的方案是：如圖，在距旗桿底端A水平距離為1.5m的B處，使用測角儀測得∠ABC＝75°，由于75°角不方便計算，淇淇提出了一種解決問題的方案：在AB的延長線上取一點M，將一根木棒MN豎直立在地面上的點M處，MN＝1.5m，此時測得∠NBM＝15°，故淇淇得出結論△ABC≌△MNB，進而推得BM＝AC，則下列選項中淇淇證明全等用到的依據可能是（　　）
A．SAS B．AAS C．HL D．SSS
【思路點拔】由全等三角形的判定定理AAS或ASA均可證得圖中兩個三角形全等，從而可得答案．
【解答】解：由題意可得：測量校園內的旗桿AC的高度，MN＝AB＝1.5，∠CAB＝∠BMN＝90°，
∵∠ABC＝75°，
∴∠ACB＝90°﹣75°＝15°＝∠MBN，
∴△ABC≌△MNB，
∴AC＝BM，
∴依據可能是AAS，所以答案B符合題意．
故選：B．
【點評】本題主要考查了全等三角形的判定，正確進行計算是解題關鍵．
二．填空題（共9小題）
11．計算（﹣0.25）2024×（﹣4）2025的結果是　﹣4　 ．
【思路點拔】逆用積的乘方公式和同底數冪乘法公式解答即可．
【解答】解：（﹣0.25）2024×（﹣4）2025＝（﹣0.25）2024×（﹣4）2024×（﹣4）
＝[﹣4×（﹣0.25）]2024×（﹣4）
＝﹣4．
故答案為：﹣4．
【點評】本題考查了冪的乘方與積的乘方，同底數冪的乘法，掌握相應的運算法則是關鍵是關鍵．
12．一個不透明口袋中裝有8個白球和若干個黑球，這些球除顏色外其余均相同，在不允許將球倒出來的前提下，為估計口袋中黑球的個數，采用了如下的方法：從口袋中隨機摸出1個球記下顏色后放回搖勻，不斷重復上述過程多次，發現摸到黑球的頻率穩定在0.6，根據上述數據，可估計口袋中大約有　12　 個黑球．
【思路點拔】用白球個數除以白球頻率的估計值求得球的總個數，再乘以黑球的頻率即可．
【解答】解：由題意知，袋中球的總個數約為8÷（1﹣0.6）＝20（個），
則口袋中黑球的個數約為20×0.6＝12（個），
故答案為：12．
【點評】本題主要考查利用頻率估計概率，大量重復實驗時，事件發生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據這個頻率穩定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率．
13．等腰三角形的一邊長為9cm，另一邊長為4cm，則它的第三邊長為　9　 cm．
【思路點拔】分為兩種情況：①當腰為4cm時，三邊為4cm，4cm，9cm，②當腰為9cm時，三邊為4cm，9cm，9cm，再根據三角形三邊關系定理確定答案即可．
【解答】解：①當腰為4cm時，三邊為4cm，4cm，9cm，
∵4+4＜9，
∴不符合三角形的三邊關系定理，此種情況舍去；
②當腰為9cm時，三邊為4cm，9cm，9cm，
此時符合三角形的三邊關系定理，
所以三角形的第三邊為9cm，
故答案為：9．
【點評】本題考查了等腰三角形的性質和三角形的三邊關系定理，能夠進行分類討論是解決問題的關鍵．
14．如圖，將長方形ABCD沿GH折疊，點C落在點Q處，點D落在AB邊上點E處，若∠AGE＝36°，則∠GHC等于 　108　 °．
【思路點拔】由折疊可得∠DGH∠DGE＝72°，再根據平行線的性質即可得到∠GHC＝180°﹣∠DGH＝108°．
【解答】解：∵∠AGE＝36°，
∴∠DGE＝180°﹣∠AGE＝144°，
由折疊可得，∠DGH∠DGE＝72°，
∵AD∥BC，
∴∠GHC＝180°﹣∠DGH＝108°．
故答案為：108．
【點評】本題主要考查了平行線的性質，解題時注意：兩直線平行，同旁內角互補．
15．若3x﹣m與（2x﹣5）2的乘積中不含x的二次項，則m的值為　﹣15　 ．
【思路點拔】由題意列式為（3x﹣m）（2x﹣5）2，利用完全平方公式，多項式乘多項式法則計算后根據題意得到關于m的方程，解方程即可．
【解答】解：（3x﹣m）（2x﹣5）2
＝（3x﹣m）（4x2﹣20x+25）
＝12x3﹣60x2+75x﹣4mx2+20mx﹣25m
＝12x3﹣（4m+60）x2+（20m+75）x﹣25m，
∵3x﹣m與（2x﹣5）2的乘積中不含x的二次項，
∴4m+60＝0，
解得：m＝﹣15，
故答案為：﹣15．
【點評】本題考查完全平方公式，熟練掌握相關運算法則是解題的關鍵．
16．若a2﹣2ka+9是一個完全平方式，則k＝　±3　 ．
【思路點拔】根據完全平方式得出﹣2ka＝±2 a 3，再求出答案即可．
【解答】解：∵多項式a2﹣2ka+9是一個完全平方式，
∴﹣2ka＝±2 a 3，
解得：k＝±3．
故答案為：±3．
【點評】本題考查了完全平方式，能熟記完全平方式是解此題的關鍵，注意：完全平方式有：a2+2ab+b2和a2﹣2ab+b2．
17．甲，乙兩車分別從A，B兩地沿直路同向勻速行駛，兩車相距y（單位：m）與行駛時間x（單位：s）（0≤x≤60）的部分對應值如表，則y與x的對應關系可用關系式表示為 　y＝﹣5x+300（0≤x≤60）　 ．
時間x/s 5 10 15 20
兩車相距y/m 275 250 225 200
【思路點拔】根據變量的變化規律求出函數關系式即可．
【解答】解：由表格可知，時間增加1s，兩車之間的距離縮短5m，
則y＝275﹣5（x﹣5）＝﹣5x+300，
∴y與x的對應關系式為y＝﹣5x+300（0≤x≤60）．
故答案為：y＝﹣5x+300（0≤x≤60）．
【點評】本題考查函數關系式，找到變量的變化規律并求出函數關系式是解題的關鍵．
18．七巧板是我國古代勞動人民的發明之一，被譽為“東方模板”，它是由五塊等腰直角三角形、一塊正方形和一塊平行四邊形共七塊板組成的．如圖所示是一沄用七巧板拼成的正方形，如果在此正方形中隨機取一點，那么此點取自黑色部分的概率為 　　 ．
【思路點拔】首先設設正方形的面積，再表示出陰影部分面積，然后可得概率．
【解答】解：設“東方模板”的面積為4，則陰影部分三角形面積為1，平行四邊形面積為，
則點取自黑色部分的概率為：，
故答案為：．
【點評】此題主要考查了概率，關鍵是表示圖形的面積和陰影部分面積．
19．如圖，在△ABC紙片中，∠BAC＝45°，BC＝5，且S△ABC＝15，P為BC上一點，將紙片沿AP剪開，并將△ABP、△ACP分別沿AB、AC向外翻折至△ABD、△ACE，連接DE，則△ADE面積的最小值為　18　 ．
【思路點拔】根據將△ABP、△ACP分別沿AB、AC向外翻折至△ABD、△ACE，可得△ADE是等腰直角三角形，要使△ADE面積最小，即是使AD（AE）的長度最小，也就是AP長度最小，此時AP為△ABC的邊BC上的高，根據BC＝5，且S△ABC＝15，可得AP最小為6，即可得△ADE面積的最小值為AD AE＝18．
【解答】解：∵將△ABP、△ACP分別沿AB、AC向外翻折至△ABD、△ACE，
∴AD＝AP，∠DAB＝∠PAB，AE＝AP，∠EAC＝∠PAC，
∴AD＝AP＝AE，∠DAB+∠EAC＝∠PAB+∠PAC＝∠BAC＝45°，
∴∠DAE＝90°，
∴△ADE是等腰直角三角形，
要使△ADE面積最小，即是使AD（AE）的長度最小，也就是AP長度最小，此時AP為△ABC的邊BC上的高，
∵BC＝5，且S△ABC＝15
∴AP最小為6，即AD（AE）的最小值為6，
∴△ADE面積的最小值為AD AE18，
故答案為：18．
【點評】本題考查三角形中的翻折變換，解題的關鍵是掌握翻折的性質，得到△ADE是等腰直角三角形．
三．解答題（共9小題）
20．（1）；
（2）（2a2b）3 （﹣ab）÷（﹣3a3b2）2；
（3）先化簡，再求值：4（x﹣1）2﹣（2x﹣3）（2x+3）+（x2+4x）÷2x，其中．
【思路點拔】（1）先計算零指數冪、乘方和負整數指數冪，再計算加減即可；
（2）先計算單項式乘方，再計算乘法，最后計算除法即可；
（3）先根據整式的混合運算順序和運算法則化簡原式，再將x的值代入計算即可．
【解答】解：（1）原式＝1﹣9+4
＝﹣4；
（2）原式＝（8a6b3） （﹣ab）÷（9a6b4）
＝﹣8a7b4÷（9a6b4）
a；
（3）原式＝4（x2﹣2x+1）﹣（4x2﹣9）2
＝4x2﹣8x+4﹣4x2+92
x+15，
當x時，
原式15
＝﹣5+15
＝10．
【點評】本題主要考查實數混合運算和整式的化簡求值，解題的關鍵是掌握整式的混合運算順序和運算法則．
21．如圖，已知：∠D＝∠B，AD∥BC，AE＝CF．
（1）求證：△ADF≌△CBE．
（2）若AC＝20，CE＝17，求EF的長．
【思路點拔】（1）由AD∥BC，得∠A＝∠C，由AE＝CF，推導出AF＝CE，而∠D＝∠B，即可根據“AAS”證明△ADF≌△CBE；
（2）由AC＝20，AF＝CE＝17，求得CF＝AC﹣AF＝3，則EF＝CE﹣CF＝14．
【解答】（1）證明：∵AD∥BC，
∴∠A＝∠C，
∵AE＝CF，
∴AE+EF＝CF+EF，
∴AF＝CE，
在△ADF和△CBE中，
，
∴△ADF≌△CBE（AAS）．
（2）解：由（1）得AF＝CE，
∵AC＝20，CE＝17，
∴AF＝17，
∴CF＝AC﹣AF＝20﹣17＝3，
∴EF＝CE﹣CF＝17﹣3＝14，
∴EF的長為14．
【點評】此題重點考查平行線的性質、全等三角形的判定與性質等知識，推導出∠A＝∠C，AF＝CE，進而證明△ADF≌△CBE是解題的關鍵．
22．如圖，在邊長為單位1的正方形網格中有△ABC，點A，B，C均在格點上．
（1）在圖中作出△ABC關于直線l對稱的△A1B1C1（A1和A對應，B1和B對應，C1和C對應）；
（2）求△ABC的面積；
（3）在直線l上作點P，使PB+PC的值最小．
【思路點拔】（1）根據軸對稱的性質作圖即可．
（2）利用割補法求三角形的面積即可．
（3）連接BC1，交直線l于點P，則點P即為所求．
【解答】解：（1）如圖，△A1B1C1即為所求．
（2）△ABC的面積為6﹣2﹣1＝3．
（3）如圖，連接BC1，交直線l于點P，連接PC，
此時PB+PC＝PB+PC1＝BC1，為最小值，
則點P即為所求．
【點評】本題考查作圖﹣軸對稱變換、軸對稱﹣最短路線問題，熟練掌握軸對稱的性質是解答本題的關鍵．
23．科學家實驗發現，聲音在不同氣溫下傳播的速度不同，聲音在空氣中的傳播速度隨氣溫的變化而有規律的變化．石室聯中科學社團通過查閱資料發現，聲音在空氣中傳播的速度和氣溫的變化存在如下的關系：
氣溫t（℃） 0 1 2 3 4 5
聲音在空氣中的傳播速度v（m/s） 331 331.6 332.2 332.8 333.4 334
（1）在這個變化過程中，　氣溫　 是自變量，　聲音在空氣中的傳播速度　 是因變量；
（2）聲音在空氣中的傳播速度v（m/s）與氣溫t（℃）的關系式可以表示為 　v＝0.6t+331　 ；
（3）某日的氣溫為20℃，小樂看到煙花燃放4s后才聽到聲響，那么小樂與燃放煙花所在地大約相距多遠？
【思路點拔】（1）結合題意運用函數的定義進行求解；
（2）根據表格中數據信息，氣溫每上升1°C聲音在空氣中的傳播速度增大0.6m/s進行求解；
（3）先運用第（2）小題結果求得氣溫為20℃時聲音在空氣中的傳播速度，再根據路程＝速度×時間進行求解．
【解答】解：（1）由題意得，在這個變化過程中，氣溫是自變量，聲音在空氣中的傳播速度是因變量，
故答案為：氣溫，聲音在空氣中的傳播速度；
（2）由題意得，氣溫每上升1°C聲音在空氣中的傳播速度增大0.6m/s，
∴聲音在空氣中的傳播速度v/（m/s）與氣溫t（℃）的關系式可以表示為v＝0.6t+331，
故答案為：v＝0.6t+331；
（3）（0.6×20+331）×4
＝（12+331）×4
＝343×4
＝1372（m），
答：小樂與燃放煙花所在地大約相距1372m遠．
【點評】此題考查了運用函數概念解決實際問題的能力，關鍵是能準確理解并運用該知識和實際問題間的數量關系．
24．如圖，△ABC中，D是BC延長線上一點，滿足CD＝AB，過點C作CE∥AB且CE＝BC，連接DE并延長，分別交AC、AB于點F、G．
（1）求證：△ABC≌△DCE；
（2）若∠B＝50°，∠D＝22°，求∠AFG的度數．
【思路點拔】（1）根據CE∥AB可得∠B＝∠DCE，由SAS定理可得結論；
（2）利用全等三角形的性質定理可得∠ECD＝∠B＝50°，∠A＝∠D＝22°，由平行線的性質定理易得∠ACE＝∠A＝22°，由三角形的內角和定理和外角的性質可得結果．
【解答】（1）證明：∵CE∥AB，
∴∠B＝∠DCE，
在△ABC與△DCE中，
，
∴△ABC≌△DCE（SAS）；
（2）解：∵△ABC≌△DCE，∠B＝50°，∠D＝22°，
∴∠ECD＝∠B＝50°，∠A＝∠D＝22°，
∵CE∥AB，
∴∠ACE＝∠A＝22°，
∵∠CED＝180°﹣∠D﹣∠ECD＝180°﹣22°﹣50°＝108°，
∴∠AFG＝∠DFC＝∠CED﹣∠ACE＝108°﹣22°＝86°．
【點評】本題主要考查了全等三角形的判定定理及性質定理，平行線的性質定理，外角的性質等，熟記定理是解答此題的關鍵．
25．如圖，已知AB∥CD，E、F分別在AB、CD上，點G在AB、CD之間，連接GE、GF．
（1）當∠BEG＝40°，EP平分∠BEG，FP平分∠DFG時：
①如圖1，若EG⊥FG，則∠DFG的度數為　50°　 ，則∠P的度數為　45°　 ；
②如圖2，在CD的下方有一點Q，EG平分∠BEQ，FD平分∠GFQ，求∠Q+∠G的度數；
（2）如圖3，在AB的上方有一點O，若FO平分∠GFC．線段GE的延長線平分∠OEA，則當∠EOF+∠EGF＝100°時，請直接寫出∠OEA與∠OFC的數量關系．
【思路點拔】（1）①如圖，分別過點G、P作GN∥AB，PM∥AB，根據平行線的性質、角平分線的定義求解即可；②如圖，過點Q作QR∥CD，根據平行線的性質、角平分線的定義求解即可；
（2）如圖，過點O作OT∥AB，則OT∥CD，設∠OFC＝∠OFG＝β，∠OEH＝∠HEA＝α可得∠EOF＝β﹣2α，進而說明∠G＝α+180°﹣2β，根據平行線的性質求得α+β＝80°，進而根據∠OEA＝2α，∠OFC＝β得到∠OEA+2∠OFC＝160°．
【解答】解：（1）①如圖，分別過點G、P作GN∥AB，PM∥AB，
∴∠BEG＝∠EGN＝40°，
∵AB∥CD，
∴NG∥CD，
∴∠NGF＝∠GFD，
∴∠EGF＝∠BEG+∠GFD，
同理可得：∠EPF＝∠BEP+∠PFD，
∵EG⊥FG，
∴∠EGF＝90°，
∴∠NGF＝90°﹣40°＝50°＝∠GFD，
由條件可知，
∴．
故答案為：50°，45°；
②如圖，過點Q作QR∥CD，
由條件可知∠GEQ＝∠BEG＝40°，∠GFD＝∠QFD，
設∠GFD＝∠QFD＝α，
∵QR∥CD，AB∥CD，
∴AB∥CD∥QR，
∴∠EQR＝180°﹣∠QEB＝180°﹣2∠QEG＝100°，
由條件可知∠DFQ+∠FQR＝180°，
∴a+∠FQR＝180°，
∴a+∠FQE＝80°，
∴∠FQE＝80°﹣α，
由（1）可知∠G＝∠BEG+∠GFD＝40°+α，
∴∠FQE+∠G＝80°﹣α+40°+α＝120°．
（2）如圖，在AB的上方有一點O，FO平分∠GFC，線段GE的延長線平分∠OEA，
設H為線段GE的延長線上一點，則∠OFC＝∠OFG，∠OEH＝∠HEA，
設∠OFC＝∠OFG＝β，∠OEH＝∠HEA＝α，
如圖，過點O作OT∥AB，則OT∥CD，
∴∠TOF＝∠OFC＝β，∠TOE＝∠OEA＝∠OEH+∠AEH＝2α，
∴∠EOF＝∠TOF﹣∠TOE＝β﹣2α，
由（1）可知：∠G＝∠BEG+∠GFD＝α+180°﹣2β，
由條件可知β﹣2α+α+180°﹣2β＝100°，即α+β＝80°，
∴2α+2β＝160°，
∵∠OEA＝2α，∠OFC＝β，
∴∠OEA+2∠OFC＝160°．
【點評】本題主要考查了平行線的性質以及角平分線的定義，掌握平行線的性質是解題的關鍵．
26．甲、乙兩人相約一同登山，甲、乙兩人距地面的高度y（m）與登山時間x（min）之間的函數圖象如圖所示，根據圖象所提供的信息解答下列問題：
（1）圖中t＝　2　 min．
（2）若乙提速后，乙登山的上升速度是甲登山的上升速度3倍，
①則甲登山的上升速度是 　10　 m/min；
②請求出甲登山過程中，距地面的高度y（m）與登山時間x（min）之間的函數關系式；
③當甲、乙兩人距地面高度差為50m時，請直接寫出滿足條件的x值．
【思路點拔】（1）根據題意和函數圖象可以求得t的值；
（2）①根據乙提速后，乙登山的上升速度是甲登山的上升速度3倍，可以求得甲的速度；
②根據題意和函數圖象中的數據可以求得甲登山過程中，距地面的高度y（m）與登山時間x（min）之間的函數關系式；
③根據函數圖象可以求得AB段乙的函數解析式，從而可以求得x的值．
【解答】解：（1）在OA段，乙每分鐘走的路程為15÷1＝15米/分，
則t＝30÷15＝2，
故答案為：2；
（2）①乙提速后的速度為：（300﹣30）÷（11﹣2）＝30米/分，
∴甲的速度為：30÷3＝10m/min，
故答案為：10；
②甲登山用的時間為：（300﹣100）÷10＝20（分鐘），
設甲登山過程中，距地面的高度y（m）與登山時間x（min）之間的函數關系式y＝kx+b，
，得，
即甲登山過程中，距地面的高度y（m）與登山時間x（min）之間的函數關系式是：
y＝10x+100；
③設乙在AB段對應的函數解析式為y＝mx+n，
，得，
∴y＝30x﹣30，
∴|30x﹣30﹣（10x+100）|＝50（2＜x≤11），
解得，x＝4或 x＝9，
當11＜x≤20時，300﹣（10x+100）＝50，
解得x＝15，
綜上所述，當x的值是4，9，15，甲乙兩人距地面高度差為50．
【點評】本題考查一次函數的應用，解答本題的關鍵是明確題意，列出相應的函數關系式，利用函數的思想解答．
27．【定義理解】對于兩個正數a，b（a≠1），定義一種新的運算，記作η（a，b），即：如果ac＝b，那么η（a，b）＝c．例如：∵33＝27，∴η（3，27）＝3
【問題初探】
根據你對定義的理解，請填空：η（2，4）＝　2　 ；η（2，16）＝　4　 ；η（2，64）＝　6　 ．
【歸納猜想】
先觀察η（2，4），η（2，16）與η（2，64）的結果之間的關系．再觀察的三個數4，16，64之間的關系．試著歸納：η（a，m）+η（a，n）＝　η（a，m）+η（a，n）＝η（a，mn）　 ；
【初步應用】
如圖，大正方形ABCD的邊長為m，小正方形CGFE的邊長為n，若η（a，m）+η（a，n）＝η（a，p），η（2，m+n）＝4，η（2，p）＝5．求圖中陰影部分的面積．
【思路點拔】（1）由22＝4，24＝16，26＝64，可得η（2，4）＝2，η（2，16）＝4，η（2，64）＝6；
（2）觀察可知，4×16＝64，η（2，4）+η（2，16）＝η（2，64），即可得η（a，m）+η（a，n）＝η（a，mn）；
（3）求出p＝25＝32＝mn，m+n＝24＝16，而S正方形ABCD＝m2，S梯形CDFE（m+n） n，S△ABDm2，S△BCFmn，故S陰影＝S正方形ABCD+S梯形CDFE﹣S△ABD﹣S△BCFm2n2（m+n）2﹣mn＝96．
【解答】解：（1）∵22＝4，24＝16，26＝64，
∴η（2，4）＝2，η（2，16）＝4，η（2，64）＝6，
故答案為：2，4，6；
（2）觀察可知，4×16＝64，η（2，4）+η（2，16）＝η（2，64），
∴η（a，m）+η（a，n）＝η（a，mn）；
故答案為：η（a，m）+η（a，n）＝η（a，mn）；
（3）∵η（a，m）+η（a，n）＝η（a，p），
∴p＝mn，
∵η（2，p）＝5，
∴p＝25＝32＝mn，
∵η（2，m+n）＝4，
∴m+n＝24＝16，
∵S正方形ABCD＝m2，S梯形CDFE（m+n） n，S△ABDm2，S△BCFmn，
∴S陰影＝S正方形ABCD+S梯形CDFE﹣S△ABD﹣S△BCF
＝m2（m+n） nm2mn
＝m2mnn2m2mn
m2n2
（m+n）2﹣mn
162﹣32
＝96；
∴圖中陰影部分的面積為96．
【點評】本題考查有理數乘方，涉及新定義，正方形性質，完全平方公式的應用等知識，解題的關鍵是讀懂題意，理解新定義．
28．（1）問題提出：如圖1，點E為等腰△ABC內一點，AB＝AC，若另有一個以AD、AE為腰的等腰△AED且∠BAC＝∠EAD，求證：△ABE≌△ACD．
（2）嘗試應用：如圖2，點D為等腰Rt△ABC外一點，AB＝AC，BD⊥CD，過點A的直線分別交DB的延長線和CD的延長線于點N、M，BD與AC交于K，若∠M＝60°，∠BAC＝90°，求證：MC+NB＝2AM．
（3）問題拓展：如圖3，△ABC中，AB＝AC，點D，E分別在邊AC，BC上，∠BDA＝∠BEA＝60°，AE，BD交于點H，等邊△ABF的邊AF與BC相交于G點．若CE＝6，AH＝4，請直接寫出BE的長度．
【思路點拔】（1）首先證明∠BAE＝∠CAD，即可解決問題；
（2）延長MC至G，使CG＝BN，連接AG，證明△ABN≌△ACG（SAS），得∠BAN＝∠CAG，然后證明∠MAG＝90°，利用含30度角的直角三角形的性質即可解決問題；
（3）過A作AM⊥BC于M，連接EF，證明△ACE≌△AFE（SAS），得CE＝EF＝6，∠AEC＝∠AEF，證明△BEH≌△BEF（ASA），得EH＝EF＝6，利用含30度角的直角三角形的性質即可解決問題．
【解答】（1）證明：∵△AED是以AD、AE為腰的等腰三角形，
∴AE＝AD，
∵∠BAC＝∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAD，
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（SAS）；
（2）證明：延長MC至G，使CG＝BN，連接AG，如圖2，
∵∠BAK＝90°＝∠CDK，∠AKB＝∠DKC，
∴∠ABK＝∠DCK，
∴∠ABN＝∠ACG，
在△ABN和△ACG中，
，
∴△ABN≌△ACG（SAS），
∴∠BAN＝∠CAG，
∵∠CAG+∠BAG＝90°，
∴∠BAN+∠BAG＝90°，
∴∠NAG＝90°，
∴∠MAG＝90°，
∵∠M＝60°，
∴∠G＝90°﹣60°＝30°，
∴MG＝2AM，
∵MG＝MC+CG＝MC+NB，
∴MC+NB＝2AM；
（3）解：BE的長度為16，理由如下：
如圖3，過A作AM⊥BC于M，連接EF．
∵△ABF為等邊三角形，
∴BF＝AF＝AB＝AC，∠AFB＝∠ABF＝60°＝∠BDA＝∠BEA，
∵∠AHD＝∠BHE，
∴∠DBE＝∠CAE，
∵∠AGE＝∠BGF，
∴∠4＝∠1，
∵∠AEB＝60°＝∠C+∠2，∠ABF＝60°＝∠ABC+∠4，
∴∠C+∠CAE＝∠ABC+∠FBE，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC，
∴∠2＝∠4，
∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4，
在△ACE和△AFE中，
，
∴△ACE≌△AFE（SAS），
∴CE＝EF＝6，∠AEC＝∠AEF，
∵∠AEB＝60°，
∴∠AEC＝∠AEF＝120°，
∴∠BEF＝∠AEF﹣∠AEB＝60°＝∠AEB，
∵∠3＝∠4，BE＝BE，
∴△BEH≌△BEF（ASA），
∴EH＝EF＝6，
∴AE＝AH+EH＝4+6＝10，
∵AM⊥BC，∠AEM＝60°，
∴∠MAE＝30°，
∴EMAE＝5，
∴CM＝EM+CE＝6+5＝11，
∵AB＝AC，AM⊥BC，
∴BM＝CM＝11，
∴BE＝BM+EM＝11+5＝16．
【點評】本題是三角形綜合題，考查全等三角形的判定與性質，等腰三角形的性質，含30度角的直角三角形的性質，解決本題的關鍵是得到△ABN≌△ACG．

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