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2024年中科大少創班科學營第二階段數學試題
2024年4月20日上午
9:00一10：00播放學習視頻10：00一11：30測試
解答題（共5題，每小題20分，計100分）
1.在n維數組空間R”中，可以定義距離d2(x,)三
(1)對n=2的情形，證明d2是R”上的距離.
2)定義距離d=∑-，de=,maxn{一l},證明：d,山，d。是等價距離.
i=1
2.設有限集A={1,2,·,q},定義集合X=A”.在集合X上定義兩個元素x=(x1,·,xn)
和y=(y1,·,n)的漢明距離d(x,)=#{i∈A|x卡}
(1)證明：已知正整數r≤n,則集合{y∈X|d(x,)≤r}的元素個數為∑(q-1)'C
(②證明恒等式：q=上q一1C,只允許使用第()間的結論。
(3)設X的子集C有M個元素，滿足條件：()C中任意兩個元素的距離不小于r;()C是
滿足條件的最大子集，證明不等式M≥∑g-1)C
3.證明以下結論：
(1)單點集{xo}是閉集
(2)任意個開集的并仍是開集.
(3)有限個開集的交仍是開集，
(4)在有理數集Q上定義p進距離，則Z二Q不是閉集·
4.回答下列問題：
(1)寫出柯西序列的定義：
(2)已知{xn}和{yn}是距離空間R上的柯西序列，求證：{xnn}也是R上的柯西序列.
(3)設{xn}是漢明空間上的柯西序列，求證：N∈Z,使得n>N,xn=xw
5.在有理數集Q上，定義p進距離d(x,）=x-p·
(1)證明：不同的p進距離互不等價.
(2)證明：在p進距離下1im(1+p)P”=1.
n-++00
2024年中科大少創班科學營第二階段數學解析
1.(1).n=2時，即為點(x1,y1)和點(x2,y2)之間的連線就是兩點之間最短的
路徑，路徑與x=x1,y=y2兩條直線圍成一個直角三角形，其中直角邊長分別為
x1-x2和y1-y2,所以路徑長V(1-2)2+(1-2)7
(2)因為max4-川≤∑k-川≤n:axk-川
n只與維數有關，所以d.與d1等價
m-川s∑-wFs之omax-%Pn·ma-
n只與維數有關，所以d2與d等價，進而與d1等價
2.(1)假設元素不同的維數有r個，當x確定時，每個不同的維度里y可以
有q-1種選擇
那么y可以先從n個維數里選擇r個維度，有C個選擇，然后每個維度里有q-
1種選擇，一共r個維度，即（一1）種選擇，所以一共C(-1)種選擇
因為元素不同的維數可以為0,1,2，r,所以一共0C(一1)種選擇
(2)d(x,y)所有情況下的取值無外乎0,1,2，…，n,所以當r=n時，可以說囊
括了Y的所有可取值，這個可取值除了可以按照題(1)用oC(一1)描述
外，還可以如此描述：Y的每個維度有q種選擇，一共n個維度，故一共種
情形，所以有=oC(-1)
(3)C中任意兩個元素距離大于等于，C是極大的，那么任何一個不屬于C
的x,其到C中任意元素的距離小于r,而任何屬于C的x,其到C的距離為0，
所以對于X中任何一個元素，其到C的距離均小于r,假設C中某元素為c到
該元素距離小于r的集合稱為B(c),所有C中元素c的B(c)構成集合
∈-1()，那么X中任意一個元素必然屬于其中一個B,(c),即屬于
e
-1(),所以X的元素數量小于等于∈-1()的元素數量，
-1()的元素數量等于C的元素數量M乘以B-(c)的元素數量，后者等于
dC(-1),所以得解。
3.(1)
即證{xx≠x}為開集，容易驗證
任意非x點，總存在鄰域dx1,,鄰域內處處在xx≠內，
所以{xx≠x}為開集，所以原集合為閉集

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