資源簡介

麓山國際2025屆高三上學期考前演練卷
數 學
考試時間：120分鐘 滿分：150分
2025.05
注意事項：
1．答題前，考生務必將自己的準考證號、姓名、考場號、填寫在答題卡上。
2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。
3．考試結束，監考員將試題卷，答題卡一并收回。
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1. 復數的共軛復數在復平面內對應的點位（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
2. 已知函數的定義域，值域，則滿足條件的有（ ）
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
3．一組數據由小到大排列為，已知該組數據的分位數是9.5，則的值是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
4．若，且，則的最小值為（ ）
A．2 B． C．3 D．
5．已知首項為負數的等比數列的前項和為，若，，則（ ）
A． B． C． D．
6．已知三點在單位圓上運動，且，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
7．已知函數，若，，，則（ ）
A． B． C． D．
8．如圖，四邊形為矩形，，．是等邊三角形，是等腰直角三角形，．將和分別沿虛線和翻折，且保持平面平面．當平面時，平面與平面的距離等于（ ）
A． B． C． D．
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。
9. 已知，函數，則下列結論一定正確的是（ ）
A. 的圖象關于軸對稱
B. 的最小正周期為
C. 的最大值為
D. 在上的最小值為
10．已知離散型隨機變量的分布列為.定義隨機變量為自然對數的底數，的分布列如下：
隨機變量的數學期望稱為隨機變量的生成函數，記為.是函數在處的導數，則（ ）
A．
B．若服從兩點分布，，則
C．若，則
D．若實數為常數，則
11．已知兩點在曲線上，為坐標原點，則（ ）
A．關于原點對稱
B．若圓與有公共點，則
C．存在軸上方的兩點，使得
D．若點在第一象限，則存在唯一直線，使得點到軸和到直線的距離之積為定值
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12．函數的最小正周期為 ．
13．定義：表示點到曲線上任意一點的距離的最小值．已知是圓上的動點，圓，則的取值范圍為 ．
14．已知函數，若存在實數、、，使得，且、、成等差數列，則 ．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
15．(13分)三角形ABC的內角的對邊分別為
（1）求；
（2）若的面積為，求的周長.
16. (15分)如圖，在四棱錐中，底面為矩形，為的中點，，.
（1）證明：平面平面；
（2）若，直線與平面所成角的正切值等于2，求平面與平面夾角的余弦值.
17．(15分)已知圓心為C的圓經過點和，且圓心C在直線上．
(1)求圓心為C的圓的一般方程；
(2)已知，Q為圓C上的點，求的最大值和最小值．
18.(17分)已知函數，.
（1）討論零點的個數；
（2）若，求實數的取值范圍.
19. (17分)將所有正整數按照如下規律形成數陣：
第1行 1 2 3 …… 7 8 9
第2行 10 11 12 …… 97 98 99
第3行 100 101 102 …… 997 998 999
第4行 1000 1001 1002 …… 9997 9998 9999
…………
（1）將數列與數列的公共項按照從小到大的順序排列得到數列，試確定在該數陣中的位置；
（2）將數陣中所有相鄰兩位數字（從左到右）出現12的所有正整數去掉并保持順序不變，得到一個新數陣，記新數陣第行中正整數的個數為.
（i）求，，；
（ii）求.麓山國際2025屆高三上學期考前演練卷
數學參考答案與評分標準
2025.05
單選：1-4BCCB 5-8 CADC 多選：AC AD ACD
12．/ 13．
【13】記為坐標原點，圓的圓心為原點，圓的半徑為，

由圓的幾何性質可知，，
且，即，即，
當且僅當點時，取最小值，當且僅當點時，取最大值，
故.
故答案為：.
14．/
【詳解】因為，
函數的圖象是保留函數在上的圖象，并去除函數在上的圖象，
再將函數在上的圖象關于軸翻折，可得到函數的圖象，
作出函數的圖象如下圖所示：
當時，方程的解分別為、、、，
因為，所以，、、為、、、中的三個數，
因為、、成等差數列，且，
所以，、、對應的數為、、或、、，
根據對稱性，不妨取、、為對應的、、，
因為，所以，因為，所以，
因為，所以，
令，則，
因為函數為減函數，且，
所以，方程的解為，即，解得，，故.
15.（1）
由得，
因為,
所以，
即，
所以，
所以.
（2）因為三角形面積為，
所以，所以，
由余弦定理知，即，
所以，
故，
所以三角形的周長為.
16.（1）
設為的中點，連接，
因為為的中點，所以，
又，所以，
所以與必相交．
因為，所以，
又，且，平面，
所以平面，又因為平面，所以，
又，平面，所以平面，
又平面，所以平面平面`．
（2）設，分別為的中點，因為，所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，因為平面，
所以，又，
所以，以為坐標原點，$OA，OG，OP$所在直線分別為軸，軸，軸，
建立空間直角坐標系．
由（1）知平面，所以即為直線與平面所成的角，
所以，設，則，
所以．
因為平面，所以平面的法向量為．
設平面的法向量為，
又，
所以，取，
所以平面與平面夾角的余弦值為
.
17（1）∵圓心C在直線上，不妨設，半徑，
則，
∴圓心C坐標為，則圓C的方程為；
其一般方程為.
（2）由（1）知圓C的方程為，
∴，∴P在圓C外，
∴的最大值為，最小值為．
18. （1）
時，，
令，則，
所以，時，在上單調遞減，
時，在 上單調遞增，
又時，時，，時，，
時，，
所以，①當時，無零點，
②或時，有1個零點，
③當時，有2個零點.
（2）當時，由得，
所以，等價于對恒成立．
即對恒成立，
令，則，
當，當，
在內單調遞減，在內單調遞增，
，又
對恒成立
所以，時成立，
當時，，顯然成立．
當時，
等價于或，
即或
對于，取，得，與矛盾，故不成立，
對于，即，對恒成立，
令，則，
在內單調遞減，
，所以，，
綜上，實數的取值范圍是.
19. （1）設，因為，
，
所以，
所以，當且僅當為偶數時，可以取得正整數，
所以，當且僅當為偶數時，數列有公共項，
所以，，故，
所以，是數陣第4行，第3097個數．
（2）（i）當時，顯然．
當時，第2行2位數有90個，其中只有12去掉．
故．
當時，第3行3位數有900個，其中有兩種情況去掉：
百位和十位分別為12，此時有10個；十位和個位分別為12，此時有9個．
故．
（ii）當時，將第行個符合條件的位正整數分為兩類：
①個位數字不等于2時，個位數字有9種取法，前面位數有種取法，這時位正整數中有個；
②個位數字等于2時，前面位數有種取法，
但這個位正整數中十位數字等于1的個正整數要去掉．
故個位數字等于2且十位數字不等于1的位正整數有－個．
綜上，由加法原理知．
設，
所以，，即，
解得，
所以，是首項為，公比為的等比數列；
是首項為，公比為的等比數列；
所以，，
，
所以，當時，，
經檢驗，當時，也成立
當時，也成立．
綜上，．

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