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長(zhǎng)沙市周南中學(xué) 2025 屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)試題
命題人:長(zhǎng)沙市周南高三數(shù)學(xué)備課組
注意事項(xiàng):
1. 答題前,考生務(wù)必將自己的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名、考場(chǎng)號(hào)、填寫在答題卡上.
2. 回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑. 如需改動(dòng), 用橡皮擦干凈后, 再選涂其它答案標(biāo)號(hào). 回答非選擇題時(shí), 將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效.
3. 考試結(jié)束后, 監(jiān)考員將試卷和答題卡一并收回.
一、選擇題:本題共 8 小題,每小題 5 分,共 40 分. 在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中, 只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 已知集合 ,則 ( )
A. B. C. D.
2. 若復(fù)數(shù) 滿足 ,則 ( )
A. 1 B. -1 C. D. 2
3. 已知向量 與 的夾角為 ,若 ,則實(shí)數(shù) ( )
A. 2 B. 1 C. D.
4. 設(shè) ,則( )
A. B. C. D.
5. 已知 的面積為 的內(nèi)角平分線交邊 于點(diǎn) ,則 的值為( )
A. B. C. D.
6. 已知兩個(gè)不同的平面 和兩條不同的直線 滿足 ,則 “ 是 “ ” 的( )
A. 充要條件 B. 充分不必要條件
C. 必要不充分條件 D. 既不充分也不必要條件
7. 在信道內(nèi)傳輸 0、1 信號(hào), 信號(hào)的傳輸相互獨(dú)立. 由于隨機(jī)因素的干擾, 發(fā)送信號(hào) 0 或 1 有可能被錯(cuò)誤地接收為 1 或 0 . 已知發(fā)送 0 時(shí), 接收為 0 和 1 的概率分別為 0.8 和 0.2; 發(fā)送 1 時(shí), 接收為 0 和 1 的概率分別為 0.1 和 0.9 . 若接收信號(hào)為 1 的概率為 0.76 , 則發(fā)送信號(hào)為 1 的概率為( )
A. 0.2 B. 0.5 C. 0.8 D. 0.9
8. 已知 分別為橢圓 的左、右焦點(diǎn),過點(diǎn) 向
圓 引切線交橢圓于點(diǎn) (在 軸上方),若 的面積為 , 則橢圓的離心率 ( )
B. C. D.
二、選擇題:本題共 3 小題,每小題 6 分,共 18 分. 在每小題給出的選項(xiàng)中,有 多項(xiàng)符合題目要求. 全部選對(duì)的得 6 分, 部分選對(duì)的得部分分, 有選錯(cuò)的得 0 分. 9. 下列結(jié)論正確的是( )
A. 已知數(shù)據(jù)53,56,69,70,72,79,65,80,45,41,則這組數(shù)據(jù)的下四分位數(shù)為 53 ;
B. 已知隨機(jī)變量 服從二項(xiàng)分布 ,若 , ,則 ；
C. 若 3 名男同學(xué)和 2 名女同學(xué)排成一排合影留念,要求其中的 2 名女同學(xué)相鄰,則有 48 種不同的排法;
D.一個(gè)樣本 (數(shù)據(jù)不全為 5 ) 的平均數(shù)為 5 , 若在樣本中添加一個(gè)數(shù)據(jù): 5 , 則該樣本的平均數(shù)不變,方差變小。
10. 已知 ,則下列說法中正確的是( )
A. 當(dāng) 時(shí),函數(shù) 的極大值點(diǎn)為 1 ;
B. 當(dāng) 時(shí),過點(diǎn)(-1,0)可作一條直線與曲線 相切;
C. 對(duì) ,點(diǎn) 是 的對(duì)稱中心;
D. 若直線 與 有三個(gè)交點(diǎn) ,則 。
11. 已知雙曲線 的左右焦點(diǎn)分別為 ,過其右焦點(diǎn) 的直線 與它的右支交于 、 兩點(diǎn), 與 軸相交于點(diǎn) 的內(nèi)切圓與邊 相切于點(diǎn) ,設(shè) ,則下列說法正確的是 ( )
A. 若 ,則 ；
B. 記 ,則 的面積 ;
C. 若 ,過點(diǎn)(2,0)且斜率為 的直線 與 有 2 個(gè)交點(diǎn),則 ；
D. 若 ,則 的內(nèi)切圓與 的內(nèi)切圓的面積之和的最小值為 .
三、填空題:本題共 3 小題,每小題 5 分,共 15 分.
12. 已知角 終邊上一點(diǎn) ,則 _____；
13. 的展開式中含 的項(xiàng)的系數(shù)為_____；
14. 已知 是平面內(nèi)的任意一個(gè)向量,向量 、 滿足 ,且 ,則 的最小值為_____.
四、解答題:本題共 5 小題,共 77 分. 解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步 驟.
15. 已知數(shù)列 的首項(xiàng) 的前 項(xiàng)和為 且滿足 。
(1)證明: 數(shù)列 是等差數(shù)列;
(2)若 ,求數(shù)列 的前 項(xiàng)和 .
16. 在平面四邊形 中, , ,將 沿 翻折至 ,其中 為動(dòng)點(diǎn).
(1)若 ,證明: 平面 ；
(2)求直線 與平面 所成角的正弦值的最大值.
17. 已知函數(shù) .
(1)若曲線 在 處的切線與 垂直,求實(shí)數(shù) 的值；
(2)當(dāng) , 在區(qū)間 上不單調(diào),求實(shí)數(shù) 的取值范圍；
(3)若 ,對(duì)任意 且 ,不等式 成立,求實(shí)數(shù) 的最小值。
18. 已知拋物線 的焦點(diǎn)為 ,過點(diǎn) 的直線 交拋物線 于 兩點(diǎn),過點(diǎn) 的直線 交拋物線 于 、 兩點(diǎn),且 。
( 1 )求證: 為定值,并求出該定值；
(2)如圖,點(diǎn) 、 在 軸的同側(cè), ,直線 與直線 的交點(diǎn)為 ,記 的面積分別為 ,求 的取值范圍.
19.“你好！我是 DeepSeek,很高興見到你！我可以幫你寫代碼,讀文件,寫作各種創(chuàng)意內(nèi)容, 請(qǐng)把你的任務(wù)交給我吧”, DeepSeek 從橫空出世到與我們?nèi)粘Ｏ喟?成為我們解決問題的“好參謀, 好助手”, AI 大模型正在改變著我們的工作和生活的方式. 為了解不同學(xué)歷人群對(duì) DeepSeek 的使用情況, 隨機(jī)調(diào)查了 200 人, 得到如下數(shù)據(jù):
單位:人
學(xué)歷 使用情況 合計(jì)
經(jīng)常使用 不經(jīng)常使用
本科及以上 65 35 100
本科以下 50 50 100
合計(jì) 115 85 200
(1)依據(jù)小概率值 的獨(dú)立性檢驗(yàn),能否認(rèn)為 DeepSeek 的使用情況與學(xué)歷有關(guān)？
(2)某公司組織”AI 模型”知識(shí)應(yīng)用競(jìng)賽,將參與活動(dòng)的員工分成了 X、Y、Z 三組進(jìn)行,其規(guī)則: 競(jìng)賽發(fā)起權(quán)在哪一組, 該組都可向另外兩組發(fā)起競(jìng)賽, 則下一次競(jìng)賽發(fā)起權(quán)移交給被挑戰(zhàn)的那組。首先由 組先發(fā)起競(jìng)賽, 組挑戰(zhàn) 組、 組的概率均為 ,若 組挑戰(zhàn) 組, 則下次競(jìng)賽發(fā)起權(quán)在 組,若 組挑戰(zhàn) 組,則下次競(jìng)賽發(fā)起權(quán)在 組；若競(jìng)賽發(fā)起權(quán)在 組,則挑戰(zhàn) 組、 組的概率分別為 和 ; 若競(jìng)賽發(fā)起權(quán)在 組,則挑戰(zhàn) 組、 組的概率分別為 和 。
① 經(jīng)過 3 次挑戰(zhàn)賽后,求競(jìng)賽發(fā)起權(quán)在 組的次數(shù) 的分布列與數(shù)學(xué)期望；
②定義:已知數(shù)列 ,若對(duì)于任意給定的正數(shù) (不論它多么小),總存在正整數(shù) , 使得當(dāng) 時(shí), ( 是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)),則稱數(shù)列 為“聚點(diǎn)數(shù)列”, 稱為數(shù)列 的聚點(diǎn). 經(jīng)過 次競(jìng)賽后,競(jìng)賽發(fā)起權(quán)在 組的概率為 ,證明數(shù)列 為“聚點(diǎn)數(shù)列”,并求出聚點(diǎn) 的值.
附: .
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828長(zhǎng)沙市周南中學(xué) 2025 屆高考模擬考試（二）
數(shù) 學(xué) 試 題
命題人：長(zhǎng)沙市周南高三數(shù)學(xué)備課組
注意事項(xiàng)：
答題前，考生務(wù)必將自己的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名、考場(chǎng)號(hào)、填寫在答題卡上．
2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效．
3．考試結(jié)束后，監(jiān)考員將試卷和答題卡一并收回．
一、選擇題：本題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．【答案】C
【解析】由題意得 ，選 C。
2．【答案】A
【解析】法一：由題意知： ，所以 ，即 選 A；
法二：因 ，故 ，即 ，選 A
3．【答案】D
【解析】因?yàn)? ，所以 ，所以 ，故 ，故選 D．
4．【答案】D
【解析】因 ，而當(dāng) 時(shí)， ，所以 ，則 ；所以 ，故選：D
5．【答案】A【解析】
因?yàn)? 的面積為 ，所以 ，得 ．
由余弦定理 ，
得 ．因?yàn)? 平分 ，所以 ．故選 A．
6．【答案】B
【解析】當(dāng) ，則 ，又 ，則 ，即充分性成立；若 ，則 或 ，則 ，異面，相交均有可能，即必要性不成立，所以＂＂是＂＂的充分非必要條件，故選 B．
7．【答案】C
【解析】根據(jù)題意，設(shè)事件 為＂發(fā)送信號(hào) 0 ＂，事件 為＂發(fā)送信號(hào) 1 ＂，事件 為＂接收信號(hào)為 0 ＂，事件 為＂接收信號(hào)為 1 ＂，則 ， ．設(shè)發(fā)送信號(hào)為 1 的概率為 ，則接收信號(hào)為 1 的概率為
，解得 ，即發(fā)送信號(hào)為 1 的概率為 0.8 ，選 C。
8．【解析】如圖，
設(shè)圓 與 軸切于點(diǎn) A ，與 切于點(diǎn) ，設(shè)橢圓與 軸正半軸交于點(diǎn) ，下面證明 重合，設(shè) ，
，而
與 重合，即點(diǎn) 是短軸的端點(diǎn)，
，則 ，所以 ，故選：C．
二、選擇題：本題共 3 小題，每小題 6 分，共 18 分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得 6 分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得 0 分．
9．【答案】ACD
【解析】對(duì)于 A：下四分位數(shù)指的是 分位數(shù)，即數(shù)據(jù)由小到大的第 3 個(gè)數(shù)據(jù)，為 正確；
對(duì)于 B：由 ，可得 ，解得 ，所以 B 錯(cuò)誤；
對(duì)于 C：先排 2 名女同學(xué)并當(dāng)成一個(gè)整體，與其余 3 名男同學(xué)排列，共 種， C 正確；
對(duì)于 D，一個(gè)樣本（數(shù)據(jù)不全為 5）的平均數(shù)為 5 ，設(shè)這個(gè)樣本中有 個(gè)數(shù)據(jù)，則 ，若添加一個(gè)新數(shù)據(jù) 5 組成一個(gè)新樣本，則新樣本的平均數(shù) ,根據(jù)方差公式，設(shè)原方差 ，則新方差為 ，可知方差變小，故 D 正確。
10．【答案】BCD
【解析】A：當(dāng) 時(shí)，則 ，得 ，
令 或 ，所以函數(shù) 在 上單調(diào)遞減，在 上單調(diào)遞增，所以 是 的極大值點(diǎn)，故 A 錯(cuò)誤；
B：由 A 知，當(dāng) 時(shí)， ，設(shè)過點(diǎn) 的切線方程為 ，設(shè)切點(diǎn)為 ，則 ，得 ，整理得 ，即 ，解得 ，此時(shí)切點(diǎn)為 ，所以過點(diǎn) 只能作一條直線與曲線 相切，故 B 正確；
C：因 由 左移一個(gè)單位，又 為奇函數(shù)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以 關(guān)于 對(duì)稱，而 ，所以對(duì) ，點(diǎn) 是 的對(duì)稱中心，故 C 正確，
D：由直線 與 有三個(gè)交點(diǎn) ，則 ，即 有三個(gè)實(shí)數(shù)根 ，則 ,所以 ，所以 ，所以 ，故 D 正確．故選：BCD
11．【答案】AD
【解析】因?yàn)? 的內(nèi)切圓與邊 相切于點(diǎn) ，如圖， 為另外兩個(gè)切點(diǎn)，
由切線長(zhǎng)定理可知 ，因?yàn)?A 在 軸上，所以 ，所以
,
，雙曲線 E 的方程為： ，
若 ，則 ，所以 ，故 A 正確；
對(duì)于 B，因?yàn)? 的面積 ，故 B 錯(cuò)誤；
對(duì)于 C，若 ，則 ，雙曲線的方程為 ，
直 線 的 方 程 為 ，聯(lián) 立 ，消 得 ，則 ，解得 且 ，故 C 錯(cuò)誤；
對(duì)于 D，若 ，則 ，雙曲線的方程為 ，
如圖，設(shè)兩內(nèi)切圓圓心分別為 ，半徑分別為 ，設(shè) 與圓 分別相切于點(diǎn) ，由切線長(zhǎng)定理得
,
而 ，兩式相加得 ，所以 是雙曲線的右頂點(diǎn) ，
軸，所以 的橫坐標(biāo)為 ，
同理可求得 的橫坐標(biāo)為 ，則 ，
設(shè)直線 的傾斜角為 ，則 ，
在 中有
,
設(shè) ，
顯然，當(dāng) ，即 ，即 取得最小值 8 ，記 的內(nèi)切圓面積為 的內(nèi)切圓面積為 ，故 的內(nèi)切圓與 的內(nèi)切圓的面積之和的最小值為 ，故 D 正確．故選：BD．
三、填空題：本題共 3 小題，每小題 5 分，共 15 分．
12．【答案】
【解析】依題意可得 ，則 。
13．【答案】 -480
【解析】因
,
所以含 的項(xiàng)為 。
14．【答案】
【解析】在如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系 中，設(shè) ，
不妨設(shè) ，由題意可得
,
將 繞點(diǎn) 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 得到 ，則 ，
其中點(diǎn) ，故 ，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn) A 與點(diǎn) 重合時(shí)，此時(shí)，點(diǎn) 也與點(diǎn) 重合，等號(hào)成立，故 的最小值為 ．
故答案為： ．
四、解答題：本題共 5 小題，共 77 分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
15．【解析】（1）證明：因?yàn)? ，所以 分又 ，所以數(shù)列 是以 1 為首項(xiàng)，以 為公差的等差數(shù)列． 5 分
（2）由（1）可得 ，所以 ， 6 分
當(dāng) 時(shí) ，
所以 ， 7 分
當(dāng) 時(shí) 也成立，所以 ，所以 ， 8 分
因 ，
，
（2）得 ，
（3） 分
則 ，
（3）－（4）得
所以 。
16．【解析】（1）在 中， ，所以 ．
因?yàn)? ，所以 ，
所以 ．．．．．．．．．．．． 3 分
又因?yàn)? 平面 ，
所以 平面 分
（2）如圖，建立以 為原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)二面角 的平面角為 ，則 分
所以 ．平面 的法向量為 ．
設(shè)直線 與平面 所成角為 ，則
.
設(shè) ，
設(shè) ，
所以 ，（當(dāng)且僅當(dāng) ，即 時(shí)取等號(hào)），即 ．
直線 與平面 所成角的正弦值的最大值為 分
17．【解析】（1）因?yàn)? ，所以 分因?yàn)榍€ 在 處的切線的與直線 ，則 解得 ；
（2）因?yàn)? ，所以 ，可得 ，
可得 在 上單調(diào)遞減，在 上單調(diào)遞增，
要使得 在區(qū)間 上不單調(diào)，則 ，
（3）因?yàn)? ，所以 ，所以函數(shù) 在 上單調(diào)遞增，
因?yàn)? ，不妨設(shè) ，則
因?yàn)? ，所以 ，
即 恒成立，
設(shè) ，
若 ，則 是 上的常函數(shù)，顯然不成立， 分
若 ，則 是 上的減函數(shù)，
所以 在 上恒成立，即 在 上恒成立，
又函數(shù) 在 上是增函數(shù)，所以 （當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)等號(hào)成立）．
18．【答案】（1）由已知可知直線 的斜率均存在且不等于 0 并過點(diǎn) ，
設(shè) 的方程為 ，則 的斜率為 ，設(shè) 與 相交于 ，
由 得 ，則 分 ,
同理可得 ，
所以 ；
（2）設(shè) ，
因?yàn)? ，
所以直線 ，即 。
同理：直線 。
聯(lián)立 ，解得 。
設(shè)直線 的方程為： ，
聯(lián)立 。
因?yàn)? ，解得 ，
因?yàn)? ，
所以
，化簡(jiǎn)得： 。
所以 。
因?yàn)? ，
，
所以
。
19．【解析】（1）零假設(shè)為 ：DeepSeek 的使用情況與學(xué)歷無關(guān)，
根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，可得 ，
依據(jù)小概率值 的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充分證據(jù)推斷 不成立，
因此可以認(rèn)為 成立，即認(rèn)為 DeepSeek 的使用情況與學(xué)歷無關(guān)；
（2）（1）依題意可知， M 可取 ，
則 ，
，
，7 分
0 1 2
所以次數(shù) M 的數(shù)學(xué)期望 ．
（2）第 n 次挑戰(zhàn)后挑戰(zhàn)權(quán)在 組的概率分別是 時(shí)，則
.
（2）＋（3）得： ，由（1）得 ，
，
，其中 ，
是以 為首項(xiàng)， 為公比的等比數(shù)列，
，
由聚點(diǎn)數(shù)列的定義： ，
由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知：當(dāng) 時(shí)，
所以對(duì)于任意給定的正數(shù) （不論它多么小），總存在正整數(shù) ，使得當(dāng) 時(shí)， ，所以數(shù)列 為＂聚點(diǎn)數(shù)列＂； ．

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