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相似模型
模型1：A型、8型
已知∠1＝∠2
結(jié)論：△ADE∽△ABC
模型淺析
如圖，在相似三角形的判定中，我們通過做平行線，從而得出A型或8型相似．
模型題源
【例1】如圖，在ABC中，中線AF、BD、CE相交于點O，求證：．
【例2】如圖，點E、F分別在菱形ABCD的邊AB、AD上，且AE＝DF，BF交DE于點G，延長BF交CD的延長線于H，若＝2，求的值．
練習(xí)：
1．如圖，D、E分別是△ABC的邊AB、BC上的點，且DE//AC，AE、CD相交于點O，若S△DOE：S△COA＝1：25．則S△BDE與S△CDE的比是____________．
2．如圖所示，在ABCD中，G是BC延長線上的一點，AG與BD交于點E，與DC交于點F，此圖中的相似三角形共有___________對．
3．如圖，在△ABC中，中線BD、CE相交于點O，連接AO并延長，交BC于點F，求證：F是BC的中點．
4．在△ABC中，AD是角平分線，求證：．
5．如圖，△ABC為等腰直角三角形，D是直角邊BC的中點，E在AB上，且AE：EB＝2:1，求證：CE⊥AD．
模型2 子母型
已知： ∠1=∠2 結(jié)論：△ACD ∽△ABC
模型淺析
上圖中，不僅要熟悉模型，還要熟記模型的結(jié)論，有時候題目中會給出三角形邊的乘積關(guān)系或者比例關(guān)系，我們要能快速判斷題中的相似三角形，模型中由△ACD ∽△ABC進(jìn)而可以得到：AC2=
模型題源
【例1】如圖，D是△ABC的邊BC上一點，AB=4，AD=2，∠DAC=∠B，如果△ABD的面積為15．那么△ACD的面積為 ．
【例2】如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90o，AD⊥BC于D．
（1）圖中有多少對相似三角形？
（2）求證：AB2=，AC2=，AD2=
（3）求證：=
練習(xí)：
1．如圖所示，能判定△ABC∽△DAC的有 ．
①∠B=∠DAC
②∠BAC=∠ADC
③AC2=
④AD2=
2．已知△AMN是等邊三角形，∠BAC=120o．求證：
（1）AB2==；
（2）AC2=；
（3）MN2= ．
3．如圖，AB是半圓O的直徑，C是半圓上一點，過C作CD⊥AB于D，AC=，AD:DB=4:1．求CD的長．
4．如圖①，Rt△ABC中，∠ACB=90o，CD⊥AB，我們可以利用△ABC∽△ACD證明AC2=，這個結(jié)論我們稱之為射影定理，結(jié)論運(yùn)用：如圖②，正方形ABCD的邊長為6，點O是對角線AC、BD的交點，點E在CD上，過點C作CF⊥BE，垂足為F，連接OF．
（1）試?yán)蒙溆岸ɡ碜C明△BOF∽△BED；
（2）若DE=2CE，求OF的長．
模型3 一線三等角型
已知，如圖①②③中：∠B=∠ACE=∠D
結(jié)論：△ABC∽△CDE
模型淺析
如圖①，∵∠ACE＋∠DCE=∠B＋∠A，又∵∠B=∠ACE，∴∠DCE=∠A．
∴△ABC∽△CDE．圖②③同理可證△ABC∽△CDE．
在一線三等角的模型中，難點在于當(dāng)已知三個相等的角的時候，容易忽略隱含的其他相等的角，此模型中三垂直相似應(yīng)用較多，當(dāng)看見該模型的時候，應(yīng)立刻能看出相應(yīng)的相似三角形．
模型題源
【例1】如圖，在等邊△ABC中，P為BC上一點，D為AC上一點，且∠APD=60o，BP=1，CD=．則△ABC的邊長為 ．
【例2】如圖，∠A=∠B=90o，AB=7，AD=2，BC=3，在邊AB上取一點P，使得△PAD與△PBC相似，則這樣的P點共有 個．
練習(xí)：
1．如圖，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，點D是BC邊上一動點（不與B、C點重合），∠ADE＝45°．
（1）求證：△ABD∽△DCE；
（2）設(shè)，，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；
（3）當(dāng)△ADE是等腰三角形時，求AE的長．
2．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝10，點D是邊BC上一動點（不與B、C重合），∠ADE＝∠B＝a，DE交AC于點E，且．下列結(jié)論：
①△ADE∽△ACD；
②當(dāng)BD＝6時，△ABD與△DCE全等；
③△DCE為直角三角形時，BD等于8或；
④
其中正確的結(jié)論是 ．
3．如圖，已知矩形ABCD的一條邊AD＝8，將矩形ABCD折疊，使得頂點B落在CD邊上的P點處，折疊與邊BC交于O，連接AP、OP、OA．
（1）求證：△OCP∽△PDA；
（2）若△OCP與△PDA的面積比為1∶4，求邊AB的長．
模型4 倒數(shù)型
條件：AF∥DE∥BC
結(jié)論：
仔細(xì)觀察，會發(fā)現(xiàn)模型中含有兩個A型相似模型，它的結(jié)論是由兩個A型相似的結(jié)論相加而得到的，該模型的練習(xí)有助于提高綜合能力水平．
模型題源
如圖，AF∥BC，AC、BF相交于E，過E作ED∥AF交AB于D．
求證：．
練習(xí)
如圖，在△ABC中，CD⊥AB于點D，正方形EFGH的四個頂點都在△ABC的邊上.
求證：
2．正方形ABCD中，以AB為邊作等邊三角形ABE，連接DE交AC于F，交AB于G，連接BF．求證：
(1) AF+BF=EF；
(2)
模型5 相似和旋轉(zhuǎn)
如圖①，已知DE∥BC，將△ADE繞點A旋轉(zhuǎn)一定的角度，連接BD、CE，得到如圖②．
結(jié)論：△ABD∽△ACE．
該模型難度較大，常出現(xiàn)在壓軸題中，以直角三角形為背景出題，對學(xué)生的綜合能力要求較高，考察知識點有相似、旋轉(zhuǎn)、勾股定理、三角函數(shù)等，是優(yōu)等生必須掌握的—種題型．
模型題源
如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝60°，點P在△ABC內(nèi)，且，PB＝5，PC＝2．
求．
練習(xí)
1．如圖，△ABC和△CEF均為等腰直角三角形，E在△ABC內(nèi)，∠CA E＋∠ CBE＝90°，連接BF．
（1）求證：△CAE∽△CBF；
（2）若BE＝1，AE＝2，求CE的長．
2．已知，在△ABC中，∠BAC＝60°．
（1）如圖①．若AB＝AC，點P在△ABC內(nèi)，且∠APC＝150°，PA＝3，PC＝4，把△APC繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)，使點C旋轉(zhuǎn)到點B處，得到△ADB，連接DP．①依題意補(bǔ)全圖1； ②直接寫出PB的長；
（2）如圖②，若AB＝AC，點P在△ABC外，且PA＝3，PB＝5，PC＝4，求∠APC的度數(shù)；
（3）如圖③，若AB＝2AC，點P在△ABC內(nèi)，且PA＝，PB＝5，∠APC＝120°，請直接寫出PC的長．

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