資源簡介

2025年數學模擬預測卷（二）
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．設集合，，則（ ）
A． B． C． D．
2．已知，則（ ）
A．1 B． C． D．
3．已知向量，，則向量在向量上的投影向量為（ ）
A． B． C． D．
4． “”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
5．定義“真指數”（為自然對數的底數），則（ ）
A． B． C． D．
6．在△ABC中，角所對的邊分別為．已知成等差數列，成等比數列，則（ ）
A． B． C． D．
7．已知軸截面是正三角形的圓錐，其內接圓柱的下底面在圓錐底面內，上底面圓在圓錐的側面上，若圓柱與圓錐的側面積之比為，則此圓柱與圓錐的體積之比為（ ）
A． B．或 C．或 D．或
8．過拋物線：的焦點且斜率為的直線與交于，兩點，線段，的中點分別為，，為坐標原點，直線，與拋物線的另一個交點分別為，，記點，到軸距離分別為，，則（ ）
A． B．
C．軸 D．若，則
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9．已知函數，則（ ）
A．的最大值是 B．在上單調遞增
C． D．在上有兩個零點
10．如圖，在邊長為的正方體中，分別是棱的中點，是底面內的動點（包含邊界），則下列結論正確的是（ ）
A．若平面，則點的軌跡長度為
B．存在滿足
C．存在滿足
D．若是棱的中點，則三棱錐的外接球的表面積是
11．已知，是橢圓的左、右焦點，，是上位于第二象限內一點，為坐標原點，.為上一點，且，點為的中點，與交于點，且，則（ ）
A．點在以為直徑的圓上 B．橢圓的離心率為
C．橢圓的方程為 D．
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12．隨機變量，若，則的展開式中的系數為 ．
13．甲、乙、丙三人練習傳球，每次傳球時，持球者會等可能地傳給另外兩人中的任意一位，若第一次由甲開始傳球，則經過四次傳球后，球回到甲手中的概率為
14．設,為常數，，若對任意的，函數在區間上恰有4個零點，則的取值范圍是 ．
四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）
15．（13分）已知函數.
（1）設，求曲線的斜率為2的切線方程；
（2）若是的極小值點，求實數b的取值范圍.
16．（15分）在平面四邊形中，，，將沿翻折至，其中為動點.
(1)設，
（ⅰ）證明：平面；
（ⅱ）求三棱錐的體積；
(2)求直線與平面所成角的正弦值的最大值.
17．（15分）已知雙曲線（）的左，右焦點分別為，且，圓與的漸近線相切．
(1)求雙曲線的標準方程；
(2)若上兩點滿足（），且四邊形的面積為，求的值．
18．（17分）某運動員為了解自己的運動技能水平，記錄了自己1000次訓練情況并將成績（滿分100分）統計如下表所示.
成績區間
頻數 100 200 300 240 160
(1)求上表中成績的平均值及上四分位數（同一區間中的數據用該區間的中點值為代表）；
(2)該運動員用分層隨機抽樣的方式從的訓練成績中隨機抽取了6次成績，再從這6次成績中隨機選2次，設成績落在區間的次數為X，求X的分布列及數學期望；
(3)對這1000次訓練記錄分析后，發現某項動作可以優化.優化成功后，原低于80分的成績可以提高10分，原高于80分的無影響，優化失敗則原成績會降低10分，已知該運動員優化動作成功的概率為．在一次資格賽中，入圍的成績標準是80分.用樣本估計總體的方法，求使得入圍的可能性變大時的取值范圍.
19．（17分）已知定義域為的函數滿足：,
記（表示從中任取兩個作乘積再求所有乘積的和，如）.
(1)求，的值；
(2)為互不相同的自然數，求；
(3)求的值.
參考答案與解析
1.D 因為， ，所以.故選D.
2.A ∵，.故選A．
3.B 因為，，所以，，，所以向量在向量上的投影向量為.故選B.
4.B 因為，所以，，所以，，因為，所以，，所以，，所以 “”是“”的必要不充分條件.故選B.
5.C 對于A，取，，即左邊等于；右邊，故A錯誤；
對于B，取，，即左邊等于；右邊等于，故B錯誤；
對于C，由于恒成立，所以在上恒成立，所以，當且僅當即時，等號成立，故C正確；
對于D，取，，即左邊等于；右邊等于，故D錯誤.故選C.
6.D 因為在△ABC中，成等差數列，所以，又，所以，設所成等比數列的公比為，則，.在△ABC中由正弦定理可得，
整理可得，，又，即，
整理可得，所以解得，故，于是，所以.故選D.
7.C
設圓柱的底面半徑為r，高為x，圓錐底面半徑為R，
由圓錐的軸截面是正三角形，可得圓錐的高為.
如圖，由，可得，所以.
因為，即，
解得或．又，
當時，；當時，．
故選C．
8.C 設，,直線的方程.因為線段的中點分別為,所以，根據中位線性質，則，，由拋物線的定義可得，，同理，，故A,B錯誤；
設直線的方程為：，與拋物線方程聯立，則，
故，同理可得.聯立直線AB與拋物線方程,得，故，故，
則，故軸,故C正確；

由,則，則，再由，故，則或（舍去），故，
故，則，故D錯誤.故選C.
9.AC 由于，且，所以的最大值是，故A正確；
因為，所以在上不是單調遞增的，故B錯誤；
由于，
故 ，
故C正確；
若，則，即，可得，，解得，，所以在上恰有個零點，故D錯誤.
故選AC.
10.ABD
如圖：
取中點，中點，連接,則，又，
所以，所以共面，又，所以，相交，
因為，，，，
所以，，所以四邊形為平行四邊形，
所以，平面，平面，所以平面.
因為，，，，
所以，，所以四邊形為平行四邊形，
所以，平面，平面，所以平面.
又平面，相交，所以平面平面.
因為平面，所以點軌跡為線段，且.故A正確.
對于B：設點C關于平面對稱的點為，
，
當且僅當點為線段與平面的交點時,等號成立，所以B正確.
對于C：如圖：
因為，且，，
所以不存在點滿足，故C錯誤；
對于D：如圖：
連接，取其中點，連接.因為點是棱的中點，則.所以為外接圓圓心.過點作平面的垂線，則三棱錐外接球的球心一定在該垂線上.
設三棱錐外接球的半徑為，連接，設，則，
連接，所以，
所以，解得，所以，
所以三棱錐外接球的表面積為，故D正確.故選ABD.
11.ACD 如圖所示，因為，所以點在以為直徑的圓上，故A正確；由圓的性質可知，.設，則.
因為點A為的中點，為的中點，所以為的中位線，則，且，所以.
又，則為等腰直角三角形，所以.
因為為的中位線，則，即，解得，所以，.
在中，，則，整理得.
又，則，所以，故B錯誤；
由，得，所以，，故橢圓的方程為，故C正確；
由上可知，，.因為，所以，則，所以，故D正確.故選ACD.

12.-5 因為隨機變量，正態曲線關于直線對稱，
由，可得，即，解得．
所以的展開式中的系數為.
13. 設事件“第次球在甲手中”，“第次球在乙手中”，“第次球在丙手中”，那么由題意可知，又，
所以，構造等比數列.
因為第一次由甲傳球，可認為第次傳球在甲，即，
所以是以為首項，公比為的等比數列，
故，則.
14. 由，則，又，
當，，此時無零點；
當，，此時無零點；
當，，如圖，此時，而，
要使在區間上恰有4個根，則，則.
15.【解】
（1）當時，，其中，
則，令，
化簡得，解得（負值舍去），
又此時，則切線方程過點，結合切線方程斜率為2，
則切線方程為，即.
（2）由題可得定義域為，，
因為是的極小值點，則，
則，
若，令；令，
則在上單調遞增，在上單調遞減，得是的極大值點，不滿足題意；
若，令，令，
則在上單調遞增，在上單調遞減，
得是的極大值點，不滿足題意；
若，則，在上單調遞減，無極值，不滿足題意；
若，令，令，
則在上單調遞增，在上單調遞減，得是的極小值點；綜上，是的極小值點時，.
16.【解】（1）（ⅰ）在中，，，所以.
因為，，所以，
所以.
又因為，平面，，
所以平面.
（ⅱ）.
（2）如圖，以為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，設二面角的平面角為，則，，，.
所以.易知，平面的法向量為.
設直線與平面所成角為，則
.
設，
設，
所以，（當且僅當，即時,等號成立），即.
直線與平面所成角的正弦值的最大值為.
17.【解】（1）由題意得，解得.
∵雙曲線的漸近線方程為，
∴，解得，所以，故雙曲線方程為.
（2）由同向可知，直線,與E均有兩個交點.
設直線方程，它與E的另一個交點記為C.
由雙曲線的對稱性可知，，故△面積等于△面積，
∴四邊形的面積等于△面積.
設，
聯立，得，
，
△面積，
整理得，解得或，
經檢驗時，，故均在軸上方或下方，
不妨令，此時，
解得，或.
作出圖象如下.
此時反向，故舍去；
同理可得也不滿足要求，
當時，可驗證得同向，符合題意，
若，由，解得或.
由于，所以，，
故，
若，同理可得.
綜上，.
18.【解】
（1）依題意，，
，
上四分位數落在區間，且等于.
（2）由樣本數據可知，訓練成績在[50,60)∪[70,80),之內的頻數之比為2:1，
由分層隨機抽樣的方法得，從訓練成績在中隨機抽取了6次成績，
在[50,60)∪[70,80)之內的抽取4次，在之內的抽取了2次，
∴可取的值有：0，1，2，
，，，
則分布列為：
0 1 2
.
（3）（方法一）設事件分別表示動作優化前成績落在區間，，，
則互斥，所以動作優化前，
在一次資格賽中，入圍的概率，
設事件B為“動作優化成功”，則，
動作優化后，在一次資格賽中，入圍事件為：，且事件相互互斥，
所以在一次資格賽中入圍的概率
，
故，
由解得，又因為,所以的取值范圍是.
（方法二）因為入圍的成績標準是80分，所以進行某項動作優化前，該運動員在資格賽中入圍的概率為：，
進行某項動作優化后，影響該運動員入圍可能性變化的是落在區間或的成績，
當且僅當動作優化成功，落在這兩個區間的成績才能符合入圍標準，
所以進行優化后，該運動員在資格賽中入圍的概率，
由，得，又因為,所以的取值范圍是.
19.【解】（1）由定義可得，
因為，所以，
由定義可得.
因為，所以.
（2）不妨設，由定義得
， ①
而
又因為， ②
此時②式和①式出現同樣結構，我們按照定義繼續遞推下去直至得到
，
所以當為偶數時，，
所以當為奇數時，.
（3）由（2）可知，或，
所以根據定義可知，
其中表示前2025項中的個數，
即，
記，則
，
且.
.
由于，由（2）知，
，
由（2）知，從而，的個數為4，
又由于，從而時，的個數為8，
所以.
因此.

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