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青海省海南藏族自治州高級中學2024-2025學年高二下學期6月月考數學試卷
學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________
一、單選題
1．已知函數，且，則（ ）
A． B．0 C．1 D．2
2．如圖，一套俄羅斯套娃由8個大小各不相同套娃組成，將這8個套娃放置在一個上下兩層的展示架上，上層放置3個，下層放置5個，且要求每層的套娃左邊都比右邊的大，則不同的放置方法共有（ ）
A．種 B．種 C．種 D．種
3．若隨機變量服從兩點分布，其中，則（ ）
A． B． C． D．
4．已知隨機變量的分布列為，則（ ）
A． B． C． D．
5．某飛碟運動員每次射擊中靶的概率為，連續射擊3次，至少擊中兩次的概率為（ ）
A． B． C． D．
6．某單位計劃從4名男職工和3名女職工中選2人在周末時間值班，則在周六值班的是男職工的條件下，周日值班是女職工的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．設，則（ ）
A．31 B．32 C．242 D．243
8．李明上學有時坐公交車，有時騎自行車，他各記錄了50次坐公交車和騎自行車所花的時間，經數據分析得到，假設坐公交車用時X和騎自行車用時Y都服從正態分布，．X和Y的分布密度曲線如圖所示．則下列結果正確的是（ ）
A． B．
C． D．
二、多選題
9．已知隨機變量的分布列如下表：
0 1
若，則（ ）
A． B．
C． D．
10．關于的展開式，下列說法錯誤的是（ ）
A．各項二項式系數之和為32 B．各項系數之和為1
C．存在常數項 D．的項的系數為80
11．已知函數的導函數的圖象如圖所示，則下列說法正確的是（ ）
A．函數恰有3個極值點
B．函數的單調遞增區間為
C．函數的單調遞減區間為
D．是函數的極小值點
三、填空題
12．在點處的切線方程為 ．
13．已知隨機變量.若，則 .
14．若事件，互斥，，，，則 ．
四、解答題
15．由0，1，2，3，4這五個數字．
(1)能組成多少個無重復數字的五位數？
(2)能組成多少個無重復數字的五位偶數？
(3)組成無重復數字的五位數中比21034大的數有多少個？
16．已知函數．
(1)求的單調區間；
(2)若在區間上的最大值為，求它在該區間上的最小值．
17．甲、乙兩個不透明的箱子中各裝有9個大小和質地完全相同的球．其中甲箱中有4個白球，5個黑球乙箱中有7個白球，2個黑球．
(1)若采用不放回抽取的方式，且規定：取出一個白球得2分，取出一個黑球得1分．現從甲箱中任取2個球．設取出的2個球的得分的和為．求隨機變量的分布列；
(2)現從甲箱中任取2個球放入乙箱中，然后再從乙箱中任取一個球，求從乙箱中取出的這個球是黑球的概率．
18．某公司生產的某種產品按照質量標準分為一等品、二等品、三等品共3個等級，采購商小李從該公司生產的該種產品中隨機抽取100件，根據產品的等級分類得到如下數據：
等級 一等品 二等品 三等品
數量/件 40 30 30
(1)根據產品等級，按分層隨機抽樣的方法從這100件產品中抽取10件，再從這10件產品中隨機抽取3件，記這3件產品中一等品的數量為X，求X的分布列及數學期望；
(2)若將頻率視為概率，從采購的產品中有放回地隨機抽取3件產品，求恰好有1件三等品的概率；
(3)該公司提供該產品的兩種銷售方案供采購商小李選擇，
方案一：產品不分類，售價均為21.5元/件.
方案二：分類賣出，分類后的產品售價如下：
等級 一等品 二等品 三等品
售價/（元/件） 24 22 18
從采購商小李的角度考慮，你覺得應該選擇哪種銷售方案 請說明理由.
19．已知函數．
(1)當時，求函數的極值；
(2)當時，討論函數的單調性；
(3)若函數恒成立，求實數a的取值范圍．
青海省海南藏族自治州高級中學2024-2025學年高二下學期6月月考數學試卷參考答案
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A A D C B C C AD BC
題號 11
答案 CD
1．C
【詳解】∵，∴，解得：.
故選：C.
2．A
【詳解】依題意，只需從8枚套娃中任選3枚放上層，有種，因為每層套娃左邊都比右邊的大，
則上下排法均只有1種，所以不同的擺放方法有種.
故選：A.
3．A
【詳解】由題意可知，，
則，
故，
故選：A
4．D
【詳解】由分布列的性質可得，解得，
所以，
故.
故選：D.
5．C
【詳解】至少擊中兩次包括擊中2次和擊中3次,
所以至少擊中兩次的概率為,
故選:C.
6．B
【詳解】設事件A為周六值班的是男職工，事件B為周日值班的是女職工，
由題意可知，事件AB表示周六值班的是男職工，周日值班的是女職工，二者同時發生，
一共有種符合條件的情況，總情況數有，所以，
由條件概率的計算公式可知.
故選：B.
7．C
【詳解】因為，
令，可得,
令，可得.
所以.
故選：C
8．C
【詳解】對于A中，隨機變量服從正態分布，且，
可得隨機變量的方差為，即，所以A錯誤；
對于B中，根據給定的正態分布密度曲線圖像，可得隨機變量，
所以，所以B錯誤；
對于C中，根據正態分布密度曲線圖像，可得時，隨機變量對應的曲線與圍成的面積小于時隨機變量對應的曲線與圍成的面積，
所以，所以C正確；
對于D中，根據正態分布密度曲線圖像，可得，，
即，所以D錯誤.
故選：C.
9．AD
【詳解】依題意得，解得，故A正確，B錯誤；
而，
則，故C錯誤；
而，
則，故D正確.
故選:AD.
10．BC
【詳解】對于A,二項式系數和為，故A正確，
對于B,令，則各項系數和為，故B錯誤，
對于C, 的通項為，由于不可能為0，故不存在常數項，故C錯誤，
對于D,令，則，故的項的系數為，D正確，
故選：BC
11．CD
【詳解】根據導數正負得到，上單調遞減，在上單調遞增，
所以是函數的極小值點，故A，B錯誤，C，D正確.
故選：CD.
12．
【詳解】由，得，
所以切線的斜率為，
所以切線方程為，
即，
故答案為：
13．/
【詳解】因為隨機變量，且，
因此，.
故答案為：.
14．/
【詳解】由于事件，互斥，
,故，
故，
，
故答案為：
15．(1)96
(2)60
(3)65
【詳解】（1）先排數字0，0只能占除最高位外的其余四個數位，有種排法，
再排四個非0數字有種，由分步乘法計數原理得，
所以能組成96個無重復數字的五位數；
（2）當個位數字為0時，則可以組成個無重復數字的五位偶數，
當個位數字為2或4時，則可以組成個無重復數字的五位偶數，
即可以組成個無重復數字的五位偶數；
（3）計算比21034大的五位數的個數分兩類：
萬位比2大的五位數個數是，
萬位是2的五位數中，千位比1大的有個，千位是1，百位比0大的有個，千位是1，百位是0，十位比3大的有1個，
由分類加法計數原理得，
所以組成無重復數字的五位數中比21034大的數有65個.
16．(1)單調遞減區間為，單調遞增區間
(2)
【詳解】（1）函數的定義域為，
又
令，解得 ，令，則或，
所以的單調遞減區間為，單調遞增區間.
（2）由（1）可知在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，
又，，
則，解得，
所以，又，，
所以在區間上的最小值為.
17．(1)答案見解析
(2)
【詳解】（1）解：由題意，隨機變量的可能取值為，
可得，
所以的分布列為
2 3 4
（2）解：設事件為“從乙箱中取出的這個球是黑球”，
事件為“從甲箱中取出的2個球都是白球”，事件為“從甲箱中取出1個白球1個黑球”，事件為“從甲箱中取出2個球都是黑球”，
則，，彼此互斥，且，
可得，
且，
所以
18．(1)分布列見解析，（件）
(2)
(3)應該選擇方案一，理由見解析
【詳解】（1）由題可得，抽取的10件產品中，一等品有4件，非一等品有6件，
所以的可能取值為0，1，2，3.
，，
，，
則的分布列為：
0 1 2 3
（件）
（2）從采購的產品中有放回地隨機抽取3件產品，記抽到三等品的數量為，則，
所以.
（3）由題意得，方案二的產品的平均售價為：
（元/件），
因為，
所以從采購商小李的角度考慮，應該選擇方案一.
19．(1)極小值；極大值
(2)答案見解析
(3)
【詳解】（1）當時，，.
所以.
由或；
由.
所以函數在和上單調遞增，在上單調遞減.
所以當時，函數取得極大值，且；
當時，函數取得極小值，且.
（2）當時，，.
所以.
當時，由或；由.
所以函數在和上單調遞增，在上單調遞減.
當時，在上恒成立，所以函數在上單調遞增.
當時，由或；由.
所以函數在和上單調遞增，在上單調遞減.
（3）若，當時，，故不合題意；
若，則，所以，
由；由.
所以在上單調遞增，在上單調遞減.
所以函數的最大值為：.
所以恒成立；
若，則，.
由；由.
所以函數的最大值為：.
由，所以.
綜上可知.
故的取值范圍是.

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