資源簡介

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北師大九年級數學上冊第一章特殊平行四邊形培優題
一．選擇題（共6小題）
1．如圖，在矩形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，過點O的直線分別交AD，BC邊于點E，F，若AB＝2，AC＝4，則圖中陰影部分的面積為（　?。?br/>A． B．2 C． D．4
2．如圖是一個銘絲琺瑯方勝式盒蓋的紋樣，由兩個全等的菱形疊壓組成，寓意優勝，優美和同心，若兩個菱形的對角線分別為8cm和6cm，重疊部分是一個面積為6cm2的菱形，則這個圖案的總面積為（　?。?br/>A．42cm2 B．48cm2 C．54cm2 D．60cm2
3．如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，P是邊BC上的動點．作PE⊥AB于點E，PF⊥AC于點F，若M是EF的中點，則在點P運動過程中，PM的最小值為（　?。?br/>A． B． C． D．
4．如圖，在矩形ABCD中，AD＝3，AB＝4，M為線段BD上一動點，MP⊥CD于點P，MQ⊥BC于點Q，則PQ的最小值為（　?。?br/>A．2.4 B．2.5 C．3 D．5
5．如圖，正方形ABCD和正方形CEFG中，點D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中點，那么CH的長是（　?。?br/>A．2.5 B． C． D．2
6．如圖，正方形ABCD中，點E、F、H分別是AB、BC、CD的中點，CE、DF交于G，連接AG、HG．下列結論：①CE⊥DF，②AG＝AD，③∠CHG＝∠DAG，④HGAD，其中錯誤的有（　?。?br/>A．0個 B．1個 C．2個 D．3個
二．填空題（共4小題）
7．如圖，點P是正方形ABCD內一點，連接AP、BP、DP，若AP＝1，PD，∠APB＝135°，則正方形ABCD的面積為　 　 ．
8．如圖，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝2，動點E、F分別在線段AB、BC上，且BE＝CF，則EF的最小值為 　 　 ．
9．如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD于點O，過點A作AH⊥BC于點H，已知BD＝8，S菱形ABCD＝24，則AH＝　 　 ．
10．如圖，∠MON＝90°，矩形ABCD的頂點A、B分別在邊OM、ON上，當B在邊ON上運動時，A隨之在OM上運動，矩形ABCD的形狀保持不變，其中AB＝6，BC＝2．運動過程中點D到點O的最大距離是 　 　 ．
三．解答題（共19小題）
11．如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D是邊BC的中點，AE∥DC，AD∥CE．求證：四邊形ADCE是矩形．
12．如圖，已知在 ABCD中，點E、F分別是邊AD、CD的中點，過點E、F的直線交BA的延長線于點G，聯結AC．
（1）求證：四邊形ACFG是平行四邊形；
（2）聯結CE，如果CE＝AE，求證：四邊形ACFG是矩形．
13．如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝AD，E，F是對角線BD上的點，且BE＝DF，連接AE，CF，AF，CE．求證：四邊形AFCE是菱形．
14．如圖，四邊形AOBE是平行四邊形，對角線AB，OE交于點F，FO＝FA，延長AO到點C，使CO＝AO，延長BO到點D，使DO＝BO，連接AD，DC和BC．
（1）求證：四邊形ABCD是菱形；
（2）若OE＝13，AC＝24，求AD與BC間的距離．
15．如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，直線GH經過點O，分別與BA、DC的延長線交于點G、H，與AD、CB交于點E、F．
（1）求證：△AOG≌△COH；
（2）連接AH、CG，若GH＝GD，當點C位于DH的什么位置時，四邊形AHCG是矩形？請說明理由．
16．如圖，△ABC中，點O是AC邊上的一個動點，過點O作直線MN∥BC，設MN交∠BCA的平分線于點E，交∠BCA的外角平分線CF于點F，請問點O在AC邊上什么位置時，四邊形AECF是矩形，并說明理由．
17．如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，E是AD的中點，點F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．
（1）求證：四邊形OEFG是矩形；
（2）若AD＝10，EF＝4，求OE和BG的長．
18．如圖，在矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，點P從點D出發向點A運動，運動到點A即停止；同時點Q從點B出發向點C運動，運動到點C即停止．點P、Q的速度都是1cm/s，連接PQ，AQ，CP，設點P、Q運動的時間為t（s）．
（1）當t為何值時，四邊形ABQP是矩形？
（2）當t為何值時，四邊形AQCP是菱形？求出此時菱形AQCP的面積．
19．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝24cm，BC＝26cm，點P從A點出發，以1cm/s的速度向點D運動；點Q從點C同時出發，以3cm/s的速度向點B運動．
（1）從運動開始，經過多少時間點P、Q、C、D為邊得四邊形是平行四邊形？
（2）從運動開始，經過多少時間點A、B、Q、P為邊得四邊形是矩形？
20．如圖，在正方形ABCD中，點E、F分別在邊AB、BC上，且AE＝BF，AF與DE相交于點G．
（1）求證：△ADE≌△BAF；
（2）求∠DGF的度數．
21．如圖，在菱形ABCD中，過點B作BE⊥CD于點E，點F在邊AB上，AF＝CE，連接BD，DF．
（1）求證：四邊形BFDE是矩形；
（2）若，DE＝1，求菱形ABCD的面積．
22．如圖， ABCD的對角線AC、BD相交于點O，E，F在AC上，且AE＝CF．
（1）求證：△ABE≌△CDF；
（2）請你添加一個條件 　 　 ，則四邊形EBFD是矩形．并證明．
23．如圖，已知四邊形ABCD為正方形，AB＝4，點E為對角線AC上一動點，連接DE、過點E作EF⊥DE．交BC點F，以DE、EF為鄰邊作矩形DEFG，連接CG．
（1）求證：矩形DEFG是正方形；
（2）探究：CE+CG的值是否為定值？若是，請求出這個定值；若不是，請說明理由．
24．已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足為點D，AN是△ABC外角∠CAM的平分線，CE⊥AN，垂足為點E，連接DE交AC于點F．
（1）求證：四邊形ADCE為矩形；
（2）當△ABC滿足什么條件時，四邊形ADCE是一個正方形？并給出證明．
（3）在（2）的條件下，若AB＝AC＝2，求正方形ADCE周長．
25．如圖，在正方形ABCD中，點E、F分別為邊BC、CD上兩點，∠EAF＝45°，過點A作∠GAB＝∠FAD，且點G為邊CB延長線上一點．
①△GAB≌△FAD嗎？說明理由．
②若線段DF＝4，BE＝8，求線段EF的長度．
③若DF＝4，CF＝8．求線段EF的長度．
26．如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝40cm，∠A＝60°，點D從點C出發沿CA方向以4cm/秒的速度向點A勻速運動，同時點E從點A出發沿AB方向以2cm/秒的速度向點B勻速運動，當其中一個點到達終點時，另一個點也隨之停止運動．設點D、E運動的時間是t秒（0＜t≤10）．過點D作DF⊥BC于點F，連接DE，EF．
（1）四邊形AEFD能構成菱形嗎？如果能，求出相應的t值；如果不能，請說明理由；
（2）當t為何值時，△DEF為直角三角形？請說明理由．
27．在四邊形ABCD中，AD∥BC，BC⊥CD，AD＝6cm，BC＝10cm，點E從A出發以1cm/s的速度向D運動，點F從點B出發，以2cm/s的速度向點C運動，當其中一點到達終點，而另一點也隨之停止，設運動時間為t，
（1）t取何值時，四邊形EFCD為矩形？
（2）M是BC上一點，且BM＝4，t取何值時，以A、M、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形？
28．如圖，在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝16cm，點P從點D出發向點A運動，運動到點A停止，同時，點Q從點B出發向點C運動，運動到點C即停止，點P、Q的速度都是1cm/s．連接PQ、AQ、CP．設點P、Q運動的時間為t s．
（1）當t為何值時，四邊形ABQP是矩形；
（2）當t為何值時，四邊形AQCP是菱形；
（3）分別求出（2）中菱形AQCP的周長和面積．
29．如圖1，在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠BAD的平分線交BC于點E，交直線DC于點F，下面是兩位同學的對話．
（1）請你選擇一位同學的說法，并進行證明；
（2）如圖2，若∠BAD＝60°，四邊形CEGF是菱形，分別連結DB，DG，求∠BDG的度數．
北師大九年級數學上冊第一章特殊平行四邊形培優題
參考答案與試題解析
一．選擇題（共6小題）
題號 1 2 3 4 5 6
答案 B A C A B A
一．選擇題（共6小題）
1．如圖，在矩形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，過點O的直線分別交AD，BC邊于點E，F，若AB＝2，AC＝4，則圖中陰影部分的面積為（　?。?br/>A． B．2 C． D．4
【分析】首先證△BOF≌△DOE，由此可得出S陰影S矩形ABCD則可求出答案．
【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，AB＝2，AD＝4，
∴∠BAD＝90°，OD＝OB，AD∥BC，
∴∠ODE＝∠OBF，
在△EOD和△FOB中，
，
∴△EOD≌△FOB（ASA）；
∴S△BOF＝S△DOE；
∴S陰影＝S△BOF+S△COF＝S△BOCS矩形ABCD＝ ，
故選：B．
【點評】本題主要考查了矩形的性質、全等三角形的判定和性質以及矩形面積的求法，熟練掌握相關知識是解決問題的關鍵．
2．如圖是一個銘絲琺瑯方勝式盒蓋的紋樣，由兩個全等的菱形疊壓組成，寓意優勝，優美和同心，若兩個菱形的對角線分別為8cm和6cm，重疊部分是一個面積為6cm2的菱形，則這個圖案的總面積為（　?。?br/>A．42cm2 B．48cm2 C．54cm2 D．60cm2
【分析】這個圖形的總面積＝兩個菱形的面積﹣重疊部分的面積．
【解答】解：這個圖形的總面積＝兩個菱形的面積﹣重疊部分的面積＝26×8﹣6＝42．
故選：A．
【點評】本題考查圖形的拼剪，全等圖形，解題的關鍵是理解題意，正確計算．
3．如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，P是邊BC上的動點．作PE⊥AB于點E，PF⊥AC于點F，若M是EF的中點，則在點P運動過程中，PM的最小值為（　?。?br/>A． B． C． D．
【分析】證四邊形AFPE是矩形，得EF＝AP，再由垂線段最短和三角形面積求出AP的長，即可解決問題．
【解答】解：如圖，連接AP，
∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，
∴BC5，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴∠AEP＝∠AFP＝90°，
∴四邊形AFPE是矩形，
∴EF＝AP，
∵M是EF的中點，
∴PMEFAP，
根據垂線段最短可知，當AP⊥BC時，AP最短，
則PM也最短，
此時，S△ABCBC APAB AC，
∴AP，
即AP最短時，AP，
∴PM的最小值AP，
故選：C．
【點評】此題主要考查了矩形的判定與性質、勾股定理、垂線段最短以及直角三角形斜邊上的中線性質等知識，熟練掌握矩形的判定與性質是解題的關鍵．
4．如圖，在矩形ABCD中，AD＝3，AB＝4，M為線段BD上一動點，MP⊥CD于點P，MQ⊥BC于點Q，則PQ的最小值為（　　）
A．2.4 B．2.5 C．3 D．5
【分析】連接MC，首先根據勾股定理解得BD的值，證明四邊形MPCQ是矩形，可得PQ＝CM，當時CM⊥BD，CM最小，則PQ最小，然后由面積法求出CM的長，即可獲得答案．
【解答】解：四邊形ABCD為矩形，AD＝3，AB＝4，如圖，連接MC，
∴∠BCD＝90°，BC＝AD＝3，AB＝CD＝4，
在直角三角形BCD中，由勾股定理得：，
∵MP⊥CD，MQ⊥BC，
∴∠MPC＝∠MQC＝∠PCQ＝90°，
則四邊形MPCQ是矩形，
∴PQ＝CM，
當時CM⊥BD，CM最小，則PQ最小，
此時，
即，
解得CM＝2.4，
∴PQ的最小值為2.4．
故選：A．
【點評】本題主要考查了矩形的判定與性質，垂線段最短，三角形的面積，勾股定理，掌握矩形的判定與性質是解題的關鍵．
5．如圖，正方形ABCD和正方形CEFG中，點D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中點，那么CH的長是（　?。?br/>A．2.5 B． C． D．2
【分析】連接AC、CF，如圖，根據正方形的性質得∠ACD＝45°，∠FCG＝45°，AC，CF＝3，則∠ACF＝90°，再利用勾股定理計算出AF＝2，然后根據直角三角形斜邊上的中線求CH的長．
【解答】解：連接AC、CF，如圖，
∵四邊形ABCD和四邊形CEFG都是正方形，
∴∠ACD＝45°，∠FCG＝45°，ACBC，CFCE＝3，
∴∠ACF＝45°+45°＝90°，
在Rt△ACF中，AF2，
∵H是AF的中點，
∴CHAF．
故選：B．
【點評】本題考查了正方形的性質：正方形的四條邊都相等，四個角都是直角；正方形的兩條對角線相等，互相垂直平分，并且每條對角線平分一組對角；正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質．兩條對角線將正方形分成四個全等的等腰直角三角形．也考查了直角三角形斜邊上的中線性質．
6．如圖，正方形ABCD中，點E、F、H分別是AB、BC、CD的中點，CE、DF交于G，連接AG、HG．下列結論：①CE⊥DF，②AG＝AD，③∠CHG＝∠DAG，④HGAD，其中錯誤的有（　　）
A．0個 B．1個 C．2個 D．3個
【分析】①由正方形性質得AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠DCB＝∠ADC＝90°，AB∥CD，進而得AE＝BE＝BF＝CF＝CH＝DH，由此可依據“SAS”判定△BCE和△CDF全等，則∠BCE＝∠CDF，進而可證明∠CGD＝90°，據此可對結論結論①進行判斷；
②連接AH，證明四邊形AECH是平行四邊形得AH∥CE，進而得AH⊥DF，再根據直角三角形斜邊中線性質得HG＝HD＝HCCD，則∠AHG＝∠AHD，由此可依據“SAS”判定△AHG和△AHD全等，再根據全等三角形的判定即可對結論②進行判斷；
③根據△AHG和△AHD全等得∠DAG＝2∠DAH，證明∠DAH＝∠HDG得∠DAG＝2∠DAH＝2∠HDG，再根據三角形外角性質及HG＝HD得∠CHG＝2∠HGD，由此可對結論③進行判斷；
④由HG＝HD＝HCCD，AD＝CD即可對結論④進行判斷，綜上所述即可得出答案．
【解答】解：①∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠DCB＝∠ADC＝90°，AB∥CD，
∵點E、F、H分別是AB、BC、CD的中點，
∴AE＝BE＝BF＝CF＝CH＝DH，
在△BCE和△CDF中，
，
∴△BCE≌△CDF（SAS），
∴∠BCE＝∠CDF，
∵∠BCE+∠DCG＝∠BCD＝90°，
∴∠CDF+∠DCG＝90°，
在△CDG中，∠CGD＝180°﹣（∠CDF+∠DCG）＝90°，
即CE⊥DF，
故結論①正確；
②連接AH，如圖所示：
∵AB∥CD，AE＝CH，
∴四邊形AECH是平行四邊形，
∴AH∥CE，
∵CE⊥DF，
∴AH⊥DF，
∴∠CGD＝90°，點H是CD的中點，
∴GH是Rt△CDG的斜邊CD上的中線，
∴HG＝HD＝HCCD，
又∵AH⊥DF，
∴∠AHG＝∠AHD，
在△AHG和△AHD中，
，
∴△AHG≌△AHD（SAS），
∴AG＝AD，
故結論②正確；
③∵△AHG≌△AHD，
∴∠GAH＝∠DAH，
∴∠DAG＝2∠DAH，
∵AH⊥DF，∠ADC＝90°，
∴∠DAH+∠ADG＝90°，∠ADG+∠HDG＝90°，
∴∠DAH＝∠HDG，
∴∠DAG＝2∠DAH＝2∠HDG，
∵∠CHG是△HDG的外角，
∴∠CHG＝∠HDG+∠HGD，
∵HG＝HD，
∴∠HDG＝∠HGD，
∴∠CHG＝2∠HGD，
∴∠CHG＝∠DAG，
故結論③正確；
④∵HG＝HD＝HCCD，AD＝CD，
∴HGAD，
故結論④正確，
綜上所述：正確的結論是①②③④，錯誤的結論有0個．
故選：A．
【點評】此題主要考查了正方形的性質，全等三角形的判定和性質，理解正方形的性質，熟練掌握全等三角形的判定和性質是解決問題的關鍵．
二．填空題（共4小題）
7．如圖，點P是正方形ABCD內一點，連接AP、BP、DP，若AP＝1，PD，∠APB＝135°，則正方形ABCD的面積為　13　 ．
【分析】將△APB繞點A逆時針旋轉90°得到△AHD，連接PH，過點A作AE⊥DH交DH的延長線于E，由旋轉的性質可求PB＝DH，AP＝AH＝1，∠APB＝∠AHD＝135°，可求PH的長，在Rt△DPH中，由勾股定理可求DH的長，在Rt△ADE中，由勾股定理可求AD2，即可求解．
【解答】解：如圖，將△APB繞點A逆時針旋轉90°得到△AHD，連接PH，過點A作AE⊥DH交DH的延長線于E，
∴△APB≌△AHD，∠PAH＝90°，
∴PB＝DH，AP＝AH＝1，∠APB＝∠AHD＝135°，
∴PHAP，∠APH＝∠AHP＝45°，
∴∠PHD＝90°，
∴DH2，
∵∠AHD＝135°，
∴∠AHE＝45°，
∵AE⊥DH，
∴∠AHE＝∠HAE＝45°，
∴AE＝EH，AHAE，
∴AE＝EH，
∴DE，
∵AD2＝AE2+DE2＝13，
∴正方形的面積為13，
故答案為：13．
【點評】本題考查了正方形的性質，旋轉的性質，勾股定理，等腰直角三角形的性質等知識，添加恰當輔助線構造直角三角形是解題的關鍵．
8．如圖，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝2，動點E、F分別在線段AB、BC上，且BE＝CF，則EF的最小值為 　　 ．
【分析】連接BD，過點D作DG⊥AB于G，先證明△ABD、△BCD都是等邊三角形，得到CD＝BD，∠CDB＝60°，進而證明△BDE≌△CDF得到DE＝DF，進一步證明△EDF是等邊三角形，得到EF＝DE，則當E與G重合時，此時DE最小，即EF最小，最小值為DG，利用勾股定理求出DG即可得到答案．
【解答】解：如圖所示，連接BD，過點D作DG⊥AB于G，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB＝AD＝BC＝CD＝2，AD∥BC，∠C＝∠A＝60°，
∴△ABD、△BCD都是等邊三角形，
∴CD＝BD，∠ABD＝∠CDB＝60°，
∴∠DBA＝∠CDB＝60°＝∠C，
又∵BE＝CF，
∴△BDE≌△CDF（SAS），
∴DE＝DF，∠BDE＝∠CDF，
∴∠BDE+∠BDF＝∠CDF+∠BDF，
即∠EDF＝∠CDB＝60°，
∴△EDF是等邊三角形，
∴EF＝DE，
∴當DE最小時，EF最小，
∴當E與G重合時，此時DE最小，即EF最小，最小值為DG，
∵DG⊥AB，
∴AGAD＝1，
∴DGAG，
∴EF的最小值為，
故答案為：．
【點評】本題考查了菱形的性質、全等三角形的判定與性質、等邊三角形的判定與性質、含30°角的直角三角形的性質、勾股定理以及最小值等知識，熟練掌握菱形的性質和等邊三角形的判定與性質，證明三角形全等是解題的關鍵．
9．如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD于點O，過點A作AH⊥BC于點H，已知BD＝8，S菱形ABCD＝24，則AH＝　　 ．
【分析】由菱形面積＝對角線積的一半可求AC，再由菱形的性質得出CO的長，由勾股定理求出BC，然后由菱形的面積即可得出結果．
【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，
∴BO＝DO＝4，AO＝CO，AC⊥BD，
∴BD＝2BO＝8，
∵S菱形ABCDAC×BD＝24，
即：AC×8＝24，
∴AC＝6，
∴COAC6＝3，
在Rt△BOC中，由勾股定理得：BC5，
∵S菱形ABCD＝BC×AH＝24，
即：5×AH＝24，
∴AH．
故答案為：．
【點評】本題考查了菱形的性質、勾股定理、菱形面積公式等知識；熟練掌握菱形的性質，由勾股定理求出BC是解題的關鍵．
10．如圖，∠MON＝90°，矩形ABCD的頂點A、B分別在邊OM、ON上，當B在邊ON上運動時，A隨之在OM上運動，矩形ABCD的形狀保持不變，其中AB＝6，BC＝2．運動過程中點D到點O的最大距離是 　3　 ．
【分析】取AB的中點E，連接OD、OE、DE，根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得OEAB，利用勾股定理列式求出DE，然后根據三角形任意兩邊之和大于第三邊可得OD過點E時最大．
【解答】解：如圖：取線段AB的中點E，連接OE，DE，OD，
∵AB＝6，點E是AB的中點，∠AOB＝90°，
∴AE＝BE＝3＝OE，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝2，∠DAB＝90°，
∴DE，
∵OD≤OE+DE，
∴當點D，點E，點O共線時，OD的長度最大．
∴點D到點O的最大距離＝OE+DE＝3，
故答案為：3．
【點評】本題考查了矩形的性質，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，勾股定理，三角形三邊關系，確定出OD過AB的中點時值最大是解題的關鍵．
三．解答題（共19小題）
11．如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D是邊BC的中點，AE∥DC，AD∥CE．求證：四邊形ADCE是矩形．
【分析】先證明四邊形ADCE是平行四邊形，再由等腰三角形的性質得AD⊥BC，則∠ADC＝90°，然后由矩形的判定即可得出結論．
【解答】證明：∵AE∥DC，AD∥CE，
∴四邊形ADCE是平行四邊形，
∵AB＝AC，點D是邊BC的中點，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴平行四邊形ADCE是矩形．
【點評】本題考查了矩形的判定、平行四邊形的判定與性質以及等腰三角形的性質，熟練掌握矩形的判定是解題的關鍵．
12．如圖，已知在 ABCD中，點E、F分別是邊AD、CD的中點，過點E、F的直線交BA的延長線于點G，聯結AC．
（1）求證：四邊形ACFG是平行四邊形；
（2）聯結CE，如果CE＝AE，求證：四邊形ACFG是矩形．
【分析】（1）利用全等三角形的性質證明AG＝DF＝CF可得結論；
（2）證明∠ACF＝90°可得結論．
【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴BG∥CD，
∴∠C＝∠EFD，
∵E是AD的中點，
∴AE＝DE，
∵∠AEG＝∠DEF，
∴△AEG≌△DEF（ASA），
∴AG＝DF，
∵F是CD的中點，
∴CF＝DF，
∴AG＝CF，
∵AG∥CF，
∴四邊形ACFG是平行四邊形；
（2）∵△AEG≌△DEF，
∴AE＝DE，
∵AE＝EC，
∴CE＝AE＝DE，
∴∠ACF＝90°，
∵四邊形ACFG是平行四邊形，
∴四邊形ACFG是矩形．
【點評】本題考查矩形的判定，平行四邊形的判定和性質，解題的關鍵是掌握相關知識解決問題．
13．如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝AD，E，F是對角線BD上的點，且BE＝DF，連接AE，CF，AF，CE．求證：四邊形AFCE是菱形．
【分析】連接AC，交BD于點O，證明平行四邊形ABCD是菱形，得AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO，再證明EO＝FO，則四邊形AECF是平行四邊形，然后由菱形的判定即可得出結論．
【解答】證明：如圖，設AC交BD于點O，
∵AB＝AD，四邊形ABCD是平行四邊形，
∴平行四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO，
∵BE＝DF，
∴OB﹣BE＝OD﹣DF，
即EO＝FO，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
又∵AC⊥BD，
∴平行四邊形AFCE是菱形．
【點評】本題考查了菱形的判定與性質以及平行四邊形的判定與性質等知識，熟練掌握菱形的判定與性質是解題的關鍵．
14．如圖，四邊形AOBE是平行四邊形，對角線AB，OE交于點F，FO＝FA，延長AO到點C，使CO＝AO，延長BO到點D，使DO＝BO，連接AD，DC和BC．
（1）求證：四邊形ABCD是菱形；
（2）若OE＝13，AC＝24，求AD與BC間的距離．
【分析】（1）先由對角線互相平分的四邊形ABCD是平行四邊形，再由矩形的性質得出BD⊥AC，即可得出結論；
（2）由矩形的性質得出AB＝OE＝13，由菱形的性質得出，由勾股定理求出OB＝5，則BD＝10，設AD與BC間的距離為d，然后由菱形的面積公式即可得出結果．
【解答】（1）證明：∵CO＝AO，DO＝BO，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∵四邊形AOBE是平行四邊形，
∴AF＝FB，OF＝FE，
∵FO＝FA
∴AB＝OE，
∴四邊形AOBE是矩形，
∴BD⊥AC，
∴四邊形ABCD是菱形；
（2）解：∵四邊形AEBO是矩形，OE＝13，
∴AB＝OE＝13，
∵四邊形ABCD是菱形，AC＝24，
∴OB＝OD，∠AOB＝90°，，BC＝AB＝13，
∴，
∴BD＝2OB＝2×5＝10，
設AD與BC間的距離為d，
∵，
∴．
【點評】本題考查了平行四邊形的判定、菱形的判定與性質、矩形的判定與性質、勾股定理等知識；熟練掌握菱形的判定與性質是解題的關鍵．
15．如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，直線GH經過點O，分別與BA、DC的延長線交于點G、H，與AD、CB交于點E、F．
（1）求證：△AOG≌△COH；
（2）連接AH、CG，若GH＝GD，當點C位于DH的什么位置時，四邊形AHCG是矩形？請說明理由．
【分析】（1）由平行四邊形的性質證出AO＝OC，AB∥CD．由全等三角形的判定可得出結論；
（2）由全等三角形的性質得出AG＝CH，證明四邊形AHCG是平行四邊形，由等腰三角形的性質證出∠GCH＝90°，則可得出結論．
【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AO＝OC，AB∥CD．
∴∠G＝∠H．
在△AOG與△COH中，
，
∴△AOG≌△COH（AAS）；
（2）解：當C為DH的中點時，四邊形AHCG是矩形．
理由：∵△BOG≌△DOH，
∴BG＝DH，
∵AB＝CD，
∴AG＝CH，
又∵AG∥CH，
∴四邊形AHCG是平行四邊形，
∵GH＝GD，C為DH的中點，
∴GC⊥CD，
∴∠GCH＝90°，
∴四邊形AHCG是矩形．
【點評】本題考查了矩形的判定，全等三角形的判定和性質，等腰三角形的性質，平行四邊形的判定和性質，證得△BOG≌△DOH是解題的關鍵．
16．如圖，△ABC中，點O是AC邊上的一個動點，過點O作直線MN∥BC，設MN交∠BCA的平分線于點E，交∠BCA的外角平分線CF于點F，請問點O在AC邊上什么位置時，四邊形AECF是矩形，并說明理由．
【分析】首先證明EO＝CO，然后同理再證明FO＝CO，再利用證明四邊形是矩形，則要證明一個角為直角的平行四邊形，通過題干條件證明之．
【解答】解：當點O移動到AC中點時，四邊形AECF為矩形
理由如下：
∵CE平分∠ACB，
∴∠1＝∠2，
又∵MN∥BC，
∴∠1＝∠3，
∴∠3＝∠2，
∴EO＝CO，
同理，FO＝CO，
∴EO＝FO．
當點O運動到AC的中點時，四邊形AECF是“平行四邊形”，當∠ECF＝90度時，平行四邊形AECF是矩形，
∵EO＝FO，點O是AC的中點．
∴四邊形AECF是平行四邊形，
∵CF平分∠BCA的外角，
∴∠4＝∠5，
又∵∠1＝∠2，
∴∠2+∠4180°＝90°．
即∠ECF＝90度，
∴平行四邊形AECF是矩形．
【點評】本題考查了矩形的判定以及平行四邊形的判定，本題中根據矩形判定得出∠ECF＝90度是解題的關鍵．
17．如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，E是AD的中點，點F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．
（1）求證：四邊形OEFG是矩形；
（2）若AD＝10，EF＝4，求OE和BG的長．
【分析】（1）先證明EO是△DAB的中位線，再結合已知條件OG∥EF，得到四邊形OEFG是平行四邊形，再由條件EF⊥AB，得到四邊形OEFG是矩形；
（2）先求出AE＝5，由勾股定理進而得到AF＝3，再由中位線定理得到OEABAD＝5，得到FG＝5，最后BG＝AB﹣AF﹣FG＝2．
【解答】（1）證明：由四邊形ABCD為菱形可知：點O為BD的中點，
∵點E為AD中點，
∴OE為△ABD的中位線，
∴OE∥FG，
∵OG∥EF，
∴四邊形OEFG為平行四邊形
∵EF⊥AB，
∴平行四邊形OEFG為矩形．
（2）解：由條件可知：AE，
∵∠EFA＝90°，EF＝4，
∴在Rt△AEF中，AF3．
∵四邊形ABCD為菱形，
∴AB＝AD＝10，
∴OEAB＝5，
∵四邊形OEFG為矩形，
∴FG＝OE＝5，
∴BG＝10﹣3﹣5＝2．
故答案為：OE＝5，BG＝2．
【點評】本題考查了矩形的性質和判定，菱形的性質、勾股定理等知識點，解題的關鍵是掌握特殊四邊形的性質和判定屬于中考?？碱}型，需要重點掌握．
18．如圖，在矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，點P從點D出發向點A運動，運動到點A即停止；同時點Q從點B出發向點C運動，運動到點C即停止．點P、Q的速度都是1cm/s，連接PQ，AQ，CP，設點P、Q運動的時間為t（s）．
（1）當t為何值時，四邊形ABQP是矩形？
（2）當t為何值時，四邊形AQCP是菱形？求出此時菱形AQCP的面積．
【分析】（1）根據題意，得到當AP＝BQ時，四邊形ABQP是矩形，列出方程進行求解即可；
（2）根據題意，得到當四邊形AQCP是菱形時，AP＝AQ，列出方程求出t的值，根據菱形的面積公式求出面積即可．
【解答】解：（1）由題意，得：BQ＝t，DP＝t，
∵四邊形ABCD是矩形，AB＝4，BC＝8，
∴CD＝AB＝4，AD＝BC＝8，
∴AP＝8﹣t，
當四邊形ABQP是矩形時，BQ＝AP，
∴t＝8﹣t，
解得：t＝4，
∴當t＝4s時，四邊形ABQP是矩形；
（2）∵AB＝4，BQ＝t，∠B＝90°，
∴，
當四邊形AQCP是菱形時，AP＝AQ，
∴，
解得：t＝3，
當t＝3時，BQ＝3，
∴CQ＝BC﹣BQ＝5，
菱形AQCP的面積為CQ AB＝5×4＝20cm2．
【點評】本題考查矩形的判定，菱形的判定和性質．掌握相關判定方法和性質，是解題的關鍵．
19．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝24cm，BC＝26cm，點P從A點出發，以1cm/s的速度向點D運動；點Q從點C同時出發，以3cm/s的速度向點B運動．
（1）從運動開始，經過多少時間點P、Q、C、D為邊得四邊形是平行四邊形？
（2）從運動開始，經過多少時間點A、B、Q、P為邊得四邊形是矩形？
【分析】（1）根據對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形列出方程，解方程即可；
（2）由AD∥BC，∠B＝90°，可得當AP＝BQ時，四邊形ABQP是矩形，即可得方程：t＝26﹣2t，解此方程即可求得答案．
【解答】解：（1）當PD＝CQ時，四邊形PQCD為平行四邊形，
即24﹣t＝3t，
解得，t＝6，
即當t＝6s時，四邊形PQCD為平行四邊形；
（2）根據題意得：AP＝tcm，CQ＝3tcm，
∵AB＝8cm，AD＝24cm，BC＝26cm，
∴DP＝AD﹣AP＝24﹣t（cm），BQ＝26﹣3t（cm），
∵AD∥BC，∠B＝90°，
∴當AP＝BQ時，四邊形ABQP是矩形，
∴t＝26﹣3t，
解得：t＝6.5，
即當t＝6.5s時，四邊形ABQP是矩形；
【點評】此題考查了直角梯形的性質、平行四邊形的判定、矩形的判定形的判定．熟練掌握平行四邊形和矩形的判定，根據題意得出方程是解決問題的關鍵．
20．如圖，在正方形ABCD中，點E、F分別在邊AB、BC上，且AE＝BF，AF與DE相交于點G．
（1）求證：△ADE≌△BAF；
（2）求∠DGF的度數．
【分析】（1）根據正方形性質得AD＝BA，∠DAE＝∠ABF＝90°，由此可依據“SAS”判定△ADE和△BAF全等；
（2）根據全等三角形性質得∠ADE＝∠BAF，再根據∠DAG+∠BAE＝90°得∠DAG+ADE＝90°，由此可得出∠AGD＝90°，據此即可得出∠DGF的度數．
【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD＝BA，∠DAE＝∠ABF＝90°，
在△ADE和△BAF中，
，
∴△ADE≌△BAF（SAS）；
（2）∵△ADE≌△BAF，
∴∠ADE＝∠BAF，
∵∠DAE＝∠DAG+∠BAE＝90°，
∴∠DAG+ADE＝90°，
在△AGD中，∠AGD＝180°﹣（∠DAG+ADE）＝90°，
即AF⊥DE，
∴∠DGF＝90°．
【點評】此題主要考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，熟練掌握正方形的性質，全等三角形的判定與性質是解決問題的關鍵．
21．如圖，在菱形ABCD中，過點B作BE⊥CD于點E，點F在邊AB上，AF＝CE，連接BD，DF．
（1）求證：四邊形BFDE是矩形；
（2）若，DE＝1，求菱形ABCD的面積．
【分析】（1）由平行四邊形的性質得到AB∥CD，AB＝CD，推出四邊形DFBE是平行四邊形，根據矩形的判定定理即可得到結論；
（2）根據勾股定理和菱形的性質即可得到結論．
【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵AF＝CE，
∴FB＝ED，
∴四邊形DFBE是平行四邊形，
∵BE⊥CD，
∴∠BED＝90°，
∴四邊形DFBE是矩形；
（2）解：∵∠BEC＝90°，
∴BE2+CE2＝BC2，
∵CD＝BC，
∴3+（CD﹣1）2＝CD2，
∴CD＝2，
∴菱形ABCD的面積＝CD BE＝22．
【點評】本題考查了菱形的性質，矩形的判定，勾股定理，熟練掌握各知識點是解題的關鍵．
22．如圖， ABCD的對角線AC、BD相交于點O，E，F在AC上，且AE＝CF．
（1）求證：△ABE≌△CDF；
（2）請你添加一個條件 　BE⊥DE　 ，則四邊形EBFD是矩形．并證明．
【分析】（1）根據平行四邊形的性質得到AB＝CD，AB∥CD，得到∠BAE＝∠DCF，根據全等三角形的判定定理得到結論；
（2）由（1）知△ABE≌△CDF，得到BE＝DF，∠AEB＝∠CFD，求得∠BEO＝∠DFO，根據平行線的判定定理得到BE∥DF，得到四邊形EBFD是平行四邊形，根據矩形的判定定理得到結論．
【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠BAE＝∠DCF，
在△ABE與△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）解：添加一個條件BE⊥DE，
證明：由（1）知△ABE≌△CDF，
∴BE＝DF，∠AEB＝∠CFD，
∴∠BEO＝∠DFO，
∴BE∥DF，
∴四邊形EBFD是平行四邊形，
∵BE⊥DE，
∴∠BEF＝90°，
∴四邊形EBFD是矩形，
故答案為：BE⊥DE．
【點評】本題考查平行四邊形的判定與性質，矩形的判定．熟練掌握平行四邊形的判定與性質，矩形的判定是解題的關鍵．
23．如圖，已知四邊形ABCD為正方形，AB＝4，點E為對角線AC上一動點，連接DE、過點E作EF⊥DE．交BC點F，以DE、EF為鄰邊作矩形DEFG，連接CG．
（1）求證：矩形DEFG是正方形；
（2）探究：CE+CG的值是否為定值？若是，請求出這個定值；若不是，請說明理由．
【分析】（1）過E作EM⊥BC于M點，過E作EN⊥CD于N點，即可得到EN＝EM，然后判斷∠DEN＝∠FEM，得到△DEN≌△FEM，則有DE＝EF即可；
（2）同（1）的方法證出△ADE≌△CDG得到CG＝AE，得出CE+CG＝CE+AE＝AC＝8即可．
【解答】解：（1）如圖所示，過E作EM⊥BC于M點，過E作EN⊥CD于N點，
∵正方形ABCD，
∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°，
∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，且NE＝NC，
∴四邊形EMCN為正方形，
∵四邊形DEFG是矩形，
∴EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°，
∴∠DEN＝∠MEF，
又∠DNE＝∠FME＝90°，
在△DEN和△FEM中，，
∴△DEN≌△FEM（ASA），
∴ED＝EF，
∴矩形DEFG為正方形，
（2）CE+CG的值為定值，理由如下：
∵矩形DEFG為正方形，
∴DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90°，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°，
∴∠ADE＝∠CDG，
在△ADE和△CDG中，，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴AE＝CG，
∴AC＝AE+CEAB48，
∴CE+CG＝8是定值．
【點評】此題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質，矩形的性質與判定，三角形的全等的性質和判定，勾股定理的綜合運用，解本題的關鍵是作出輔助線，構造三角形全等，利用全等三角形的對應邊相等得出結論．
24．已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足為點D，AN是△ABC外角∠CAM的平分線，CE⊥AN，垂足為點E，連接DE交AC于點F．
（1）求證：四邊形ADCE為矩形；
（2）當△ABC滿足什么條件時，四邊形ADCE是一個正方形？并給出證明．
（3）在（2）的條件下，若AB＝AC＝2，求正方形ADCE周長．
【分析】（1）根據等腰三角形的性質，可得∠CAD∠BAC，根據等式的性質，可得∠CAD+∠CAE（∠BAC+∠CAM）＝90°，根據垂線的定義，可得∠ADC＝∠CEA，根據矩形的判定，可得答案；
（2）根據等腰直角三角形的性質，可得AD與CD的關系，根據正方形的判定，可得答案；
（3）根據勾股定理，可得AD的長，根據正方形周長公式，可得答案．
【解答】（1）證明：∵AB＝AC，AD⊥BC，垂足為點D，
∴∠CAD∠BAC．
∵AN是△ABC外角∠CAM的平分線，
∴∠CAE∠CAM．
∵∠BAC與∠CAM是鄰補角，
∴∠BAC+∠CAM＝180°，
∴∠CAD+∠CAE（∠BAC+∠CAM）＝90°．
∵AD⊥BC，CE⊥AN，
∴∠ADC＝∠CEA＝90°，
∴四邊形ADCE為矩形；
（2）∠BAC＝90°且AB＝AC時，四邊形ADCE是一個正方形，
證明：∵∠BAC＝90°且AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠CAD∠BAC＝45°，∠ADC＝90°，
∴∠ACD＝∠CAD＝45°，
∴AD＝CD．
∵四邊形ADCE為矩形，
∴四邊形ADCE為正方形；
（3）解：由勾股定理，得
AB，AD＝CD，
即AD＝2，
AD＝2，
正方形ADCE周長4AD＝4×2＝8．
【點評】本題考查了的正方形的判定與性質，（1）利用了等腰三角形的性質，矩形的判定；（2）利用了正方形的判定；（3）利用了勾股定理，正方形的周長．
25．如圖，在正方形ABCD中，點E、F分別為邊BC、CD上兩點，∠EAF＝45°，過點A作∠GAB＝∠FAD，且點G為邊CB延長線上一點．
①△GAB≌△FAD嗎？說明理由．
②若線段DF＝4，BE＝8，求線段EF的長度．
③若DF＝4，CF＝8．求線段EF的長度．
【分析】①由正方形的性質可知AB＝AD，∠ABG＝∠D，然后依據ASA證明兩個三角形全等即可；
②依據SAS證明△AGE≌△AFE，從而可得到EF＝GE，然后再由GB＝DF可得到EF＝BE+DF；
③設EF＝x，則EC＝16﹣x，然后在Rt△EFC中，依據勾股定理列方程求解即可．
【解答】解：①全等．
證明：∵四邊形ABCD為正方形
∴AB＝AD，∠ABG＝∠D，
在△ABG和△ADF中，∠GAB＝∠FAD，AB＝AD，∠ABG＝∠D
∴△GAB≌△FAD．
②解：∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°
∴∠DAF+∠BAE＝45°
∵△GAB≌△FAD
∴∠GAB＝∠FAD，AG＝AF
∴∠GAB+∠BAE＝45°
∴∠GAE＝45°
∴∠GAE＝∠EAF
在△GAE和△FAE中
∵AG＝AF，∠GAE＝∠EAF，AE＝AE
∴△GAE≌△FAE（SAS）
∴EF＝GE．
∵△GAB≌△FAD
∴GB＝DF
∴EF＝GE＝GB+BE＝FD+BE＝8+4＝12．
③設EF＝x，則BE＝GE﹣BG＝x﹣4．
∵EC＝BC﹣BE，
∴EC＝12﹣（x﹣4）＝16﹣x．
在Rt△EFC中，依據勾股定理可知：EF2＝FC2+EC2，即（16﹣x）2+82＝x2，
解得：x＝10．
∴EF＝10．
【點評】本題主要考查的是正方形的性質，解答本題主要應用了全等三角形的性質和判定、正方形的性質、勾股定理，熟練掌握相關知識是解題的關鍵．
26．如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝40cm，∠A＝60°，點D從點C出發沿CA方向以4cm/秒的速度向點A勻速運動，同時點E從點A出發沿AB方向以2cm/秒的速度向點B勻速運動，當其中一個點到達終點時，另一個點也隨之停止運動．設點D、E運動的時間是t秒（0＜t≤10）．過點D作DF⊥BC于點F，連接DE，EF．
（1）四邊形AEFD能構成菱形嗎？如果能，求出相應的t值；如果不能，請說明理由；
（2）當t為何值時，△DEF為直角三角形？請說明理由．
【分析】（1）能，首先證明四邊形AEFD為平行四邊形．當AE＝AD時，四邊形AEFD為菱形，即40﹣4t＝2t，解方程即可解決問題．
（2）分三種情形討論即可．
【解答】（1）證明：能．
理由如下：在△DFC中，∠DFC＝90°，∠C＝30°，DC＝4t，
∴DF＝2t，
又∵AE＝2t，
∴AE＝DF，
∵AB⊥BC，DF⊥BC，
∴AE∥DF，
又∵AE＝DF，
∴四邊形AEFD為平行四邊形，
當AE＝AD時，四邊形AEFD為菱形，
即40﹣4t＝2t，解得t．
∴當t秒時，四邊形AEFD為菱形．
（2）①當∠DEF＝90°時，由（1）知四邊形AEFD為平行四邊形，
∴EF∥AD，
∴∠ADE＝∠DEF＝90°，
∵∠A＝60°，
∴∠AED＝30°，
∴ADAE＝t，
又AD＝40﹣4t，即40﹣4t＝t，解得t＝8；
②當∠EDF＝90°時，四邊形EBFD為矩形，在Rt△AED中∠A＝60°，則∠ADE＝30°，
∴AD＝2AE，即40﹣4t＝4t，解得t＝5．
③若∠EFD＝90°，則E與B重合，D與A重合，此種情況不存在．
綜上所述，當t＝8或5秒時，△DEF為直角三角形．
【點評】本題考查平行四邊形的判定和性質、菱形的判定、直角三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會用分類討論的思想思考問題，學會構建方程解決問題，屬于中考?？碱}型．
27．在四邊形ABCD中，AD∥BC，BC⊥CD，AD＝6cm，BC＝10cm，點E從A出發以1cm/s的速度向D運動，點F從點B出發，以2cm/s的速度向點C運動，當其中一點到達終點，而另一點也隨之停止，設運動時間為t，
（1）t取何值時，四邊形EFCD為矩形？
（2）M是BC上一點，且BM＝4，t取何值時，以A、M、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形？
【分析】（1）當DE＝CF時，四邊形EFCD為矩形，列出方程即可解決問題；
（2）分兩種情形列出方程即可解決問題；
【解答】解：（1）當DE＝CF時，四邊形EFCD為矩形，
則有6﹣t＝10﹣2t，解得t＝4，
答：t＝4s時，四邊形EFCD為矩形．
（2）①當點F在線段BM上，AE＝FM時，以A、M、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形，
則有t＝4﹣2t，解得t，
②當F在線段CM上，AE＝FM時，以A、M、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形，
則有t＝2t﹣4，解得t＝4，
綜上所述，t＝4或s時，以A、M、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形．
【點評】本題考查矩形判定和性質、平行四邊形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會構建方程解決問題，學會用分類討論的思想思考問題．
28．如圖，在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝16cm，點P從點D出發向點A運動，運動到點A停止，同時，點Q從點B出發向點C運動，運動到點C即停止，點P、Q的速度都是1cm/s．連接PQ、AQ、CP．設點P、Q運動的時間為t s．
（1）當t為何值時，四邊形ABQP是矩形；
（2）當t為何值時，四邊形AQCP是菱形；
（3）分別求出（2）中菱形AQCP的周長和面積．
【分析】（1）當四邊形ABQP是矩形時，BQ＝AP，據此求得t的值；
（2）當四邊形AQCP是菱形時，AQ＝CQ，列方程求得運動的時間t；
（3）菱形的四條邊相等，則菱形的周長＝4×10，根據菱形的面積求出面積即可．
【解答】解：（1）∵在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝16cm，
∴BC＝AD＝16cm，AB＝CD＝8cm，
由已知可得，BQ＝DP＝tcm，AP＝CQ＝（16﹣t）cm，
在矩形ABCD中，∠B＝90°，AD∥BC，
當BQ＝AP時，四邊形ABQP為矩形，
∴t＝16﹣t，得t＝8，
故當t＝8s時，四邊形ABQP為矩形；
（2）∵AP＝CQ，AP∥CQ，
∴四邊形AQCP為平行四邊形，
∴當AQ＝CQ時，四邊形AQCP為菱形
即16﹣t時，四邊形AQCP為菱形，解得t＝6，
故當t＝6s時，四邊形AQCP為菱形；
（3）當t＝6s時，AQ＝CQ＝CP＝AP＝16﹣6＝10cm，
則周長為4×10cm＝40cm；
面積為10cm×8cm＝80cm2．
【點評】本題考查了菱形、矩形的判定與性質．解決此題注意結合方程的思想解題．
29．如圖1，在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠BAD的平分線交BC于點E，交直線DC于點F，下面是兩位同學的對話．
（1）請你選擇一位同學的說法，并進行證明；
（2）如圖2，若∠BAD＝60°，四邊形CEGF是菱形，分別連結DB，DG，求∠BDG的度數．
【分析】（1）選小波，證明∠DAE＝∠CEF得出AD∥BC，進而可證四邊形ABCD為平行四邊形；選小杭，證明∠DAE＝∠BEA，得出AD∥BC，進而可證四邊形ABCD為平行四邊形；
（2）分別連接GB，GC，由菱形和平行四邊形的性質證明△ECG是等邊三角形得EG＝CG，∠GCE＝∠CEG＝∠EGC＝60°，根據SAS證明△BEG≌△DCG，結合全等三角形的性質得出△BDG是等邊三角形，即可求得∠BDG的度數．
【解答】（1）解：選小波，
證明：∵CE＝CF，
∴∠CEF＝∠F（等邊對等角），
∵AB∥CD，
∴∠BAE＝∠F，
∵∠BAD的平分線交BC于點E，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠DAE＝∠CEF，
∴AD∥BC，
∴四邊形ABCD為平行四邊形；
選小杭，
證明：∵AB＝BE，
∴∠BAE＝∠BEA（等邊對等角），
∵∠BAD的平分線交BC于點E，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠DAE＝∠BEA，
∴AD∥BC，
∴四邊形ABCD為平行四邊形；
（2）證明：如圖，分別連接GB，GC，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB＝CD，∠BAD＝∠BCD＝60°，AD∥BC，
∴∠ECF＝120°，∠ABC＝180﹣∠BAD＝120°，
∵AB＝BE，
∴DC＝BE，∠BAE＝∠BEA＝30°，
∵四邊形CEGF是菱形，
∴CE＝CF＝EG，CF∥EG，
∴∠CEF＝∠BEA＝∠CFE＝30°，∠CEG＝∠BCD＝60°，
∴△ECG為等邊三角形，
∴∠EGC＝∠ECG＝60°，
∴∠DCG＝∠BCD+∠ECG＝120°，
∵∠CEG＝60°，四邊形CEGF是菱形，
∴，
∴∠BEG＝180°﹣∠AEB﹣∠GEF＝120°，
∴∠BEG＝∠DCG，
在△BEG和△DCG中，
，
∴△BEG≌△DCG（SAS），
∴BG＝DG，∠BGE＝∠DGC，
∴∠BGD＝∠BGE+∠DGE＝∠DGC+∠DGE＝∠EGC＝60°，
∴△BDG是等邊三角形，
∴∠BDG＝60°．
【點評】本題考查了平行四邊形的判定方法、全等三角形的判定與性質、等邊三角形的判定與性質、菱形的性質等知識點，應用時要認真領會它們之間的聯系與區別，同時要根據條件合理、靈活地選擇方法．
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