資源簡介

廣東省江門市蓬江區2025年中考一模數學試題
1．（2025·蓬江模擬）下列實數中，為無理數的是（　　）．
A．0 B．3 C． D．
2．（2025·蓬江模擬）小美和小好同學做“石頭、剪刀、布”的游戲，兩人同時出相同的手勢，這個事件是（　　）
A．隨機事件 B．不可能事件 C．必然事件 D．確定性事件
3．（2025·蓬江模擬）某市今年參加初中學業水平考試的學生大約有76300人，76300用科學記數法可以表示為（　　）．
A． B． C． D．
4．（2025·蓬江模擬）如兩個寬度相同的長方體組成的幾何體，它的左視圖是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025·蓬江模擬）下列運算正確的是（　　）．
A． B． C． D．
6．（2025·蓬江模擬）不等式的解集為（　　）．
A． B． C． D．
7．（2025·蓬江模擬）若關于x的一元二次方程無實數根，則c的取值范圍為（　　）．
A． B． C． D．無法判斷
8．（2025·蓬江模擬）方程的解是（　　）．
A． B． C． D．
9．（2025·蓬江模擬）如圖，在菱形中，，，分別以點B和點D為圓心，線段長的一半為半徑作圓弧，交、、、于點E、F、G、H，則圖中陰影部分的面積為（　　）．
A． B． C． D．
10．（2025·蓬江模擬）如圖，平行四邊形的對角線與相交于點O，，在的延長線上取一點E，使，連接交于點F，且，則的長為（　　）．
A．5 B．5.5 C．6 D．7
11．（2025·蓬江模擬）比較大小：3　 　．
12．（2025·蓬江模擬）數據1，3，4，5，5的中位數是　 　．
13．（2025·蓬江模擬）計算的結果為　 　．
14．（2025·蓬江模擬）一本書靜止在斜面上，其受力分析如題圖，重力G的方向豎直向下，支持力的方向與斜面垂直，摩擦力的方向與斜面平行，若摩擦力與重力G方向的夾角的度數為，則斜面的坡角的度數為　 　．
15．（2025·蓬江模擬）如圖，將一張矩形紙片上下對折，使之完全重合，打開后，得到折痕，連接，再將矩形紙片折疊，使點B落在上的點Q處，折痕為，若點P恰好為線段最靠近點B的一個四等分點，，則的長為　 　．
16．（2025·蓬江模擬）計算：．
17．（2025·蓬江模擬）先化簡，再求值：，其中，．
18．（2025·蓬江模擬）感知數學魅力，探索數學未來，某校為籌備數學文化節活動，計劃開設A魔方、B數學華容道、C益智鎖扣、D迷疊杯，共四類活動項目．為了解學生報名情況，現隨機抽取了九年級部分學生進行調查，并根據統計結果繪制了如下兩幅不完整的統計圖．
（1）補全條形統計圖；
（2）在扇形統計圖中，m的值為__________；
（3）學生小何和小林各自從以上四類活動項目中任選一類參加活動，請利用畫樹狀圖或列表的方法，求他們選擇相同項目的概率．
19．（2025·蓬江模擬）如圖，是的直徑，點A在上，．
（1）實踐與操作：用尺規作圖法作平分，交于點E，交于點D，連接（保留作圖痕跡，不寫作法）；
（2）應用與計算，在（1）條件下，求與的面積之比．
20．（2025·蓬江模擬）某種型號油電混合動力汽車，從A地到B地燃油行駛純燃油費用為40元，從A地到B地用電行駛純用電費用為10元，已知每行駛1千米，純燃油費用比純用電費用多元．
（1）求每行駛1千米純用電的費用．
（2）若要使從A地到B地油電混合行駛所需的油、電費用合計不超過16元，則至少用電行駛多少千米？
21．（2025·蓬江模擬）如圖1是某住宅單元樓的人臉識別系統（整個頭部需在攝像頭視角范圍內才能被識別），其示意圖如圖2，攝像頭P的仰角、俯角都調整為，攝像頭高度，識別的最遠水平距離．
（1）小張站在離攝像頭水平距離點M處，恰好能被識別（頭的頂部恰好在仰角線處），請問小張的身高約為多少厘米？
（2）身高的小軍，頭部高度為，當他直立站在離攝像頭最遠處時，請通過計算說明這時的小軍能被攝像頭識別嗎？（參考數據：，，）
22．（2025·蓬江模擬）如圖，二次函數（常數）與x軸從左到右的交點為A、B，過線段的中點D作軸，交反比例函數于點C，且．
（1）求反比例函數的解析式．
（2）當時，求的長，并求直線與拋物線的對稱軸之間的距離．
（3）把拋物線在直線右側部分的圖象（含與直線的交點）記為E，用t表示圖象E最低點的坐標．
23．（2025·蓬江模擬）已知在平面直角坐標系中，直線分別交x軸和y軸于點，．
（1）如圖1，已知經過點O和點B，圓心點M在第二象限，且的直徑為，求證：直線與相切．
（2）如圖2，已知直線分別交x軸和y軸于點C、D，N是直線上的一個動點，以N為圓心，為半徑畫圓，當點N與點C重合時，直線與相切．
①求直線的解析式．
②設與直線相交于P、Q兩點，連接、，請問是否存在這樣的點N，使得是等腰直角三角形？若存在，求出點N的坐標，若不存在，請說明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知識點】無理數的概念；求算術平方根
【解析】【解答】解：A、0是有理數，
∴此選項不符合題意；
B、3是有理數，
∴此選項不符合題意；
C、-3是有理數，
∴此選項不符合題意；
D、是無理數，
∴此選項符合題意.
故答案為：D．
【分析】根據無理數的定義"無限不循環小數及開方開不盡的數是無理數"并結合各選項即可判斷求解．
2．【答案】A
【知識點】事件的分類
【解析】【解答】解：兩人同時出相同的手勢，這個事件是隨機事件，
故答案為：A．
【分析】根據事件發生的可能性大小判斷即可．
3．【答案】B
【知識點】科學記數法表示大于10的數
【解析】【解答】解：，
故答案為：B．
【分析】科學記數法是指，任何一個絕對值大于或等于1的數可以寫成a×10n的形式，其中，n=整數位數-1.根據科學記數法的意義并結合各選項即可求解.
4．【答案】C
【知識點】簡單組合體的三視圖
【解析】【解答】解：觀察幾何體可得：
A．它的左視圖的兩個長方形的長應該相等，
∴此選項不符合題意；
B．它的左視圖應該是上下兩層，
∴此選項不符合題意；
C．該圖形是幾何體的左視圖，
∴此選項符合題意；
D．它的左視圖應該是上下兩層，
∴此選項不符合題意．
故答案為：C．
【分析】根據左視圖是從左邊看得到的圖形并結合各選項即可判斷求解．
5．【答案】D
【知識點】同底數冪的乘法；同底數冪的除法；合并同類項法則及應用；積的乘方運算
【解析】【解答】A、因為與不是同類項，不能合并同類項，
∴此選項不符合題意；
B、因為≠-m2n2，
∴此選項不符合題意；
C、因為≠m9，
∴此選項不符合題意；
D、因為，
∴此選項符合題意．
故答案為：D．
【分析】A、根據同類項定義"同類項是指所含字母相同，且相同的字母的指數也相同的項"可知3m和n不是同類項， 不能合并同類項；
B、根據積的乘方法則“把積中的每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘”可求解；
C、根據同底數冪的乘法法則“同底數冪相乘，底數不變，指數相加”可求解；
D、根據同底數冪的除法法則“同底數冪相除，底數不變，指數相減”可求解.
6．【答案】C
【知識點】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：
，
∴；
故答案為：C．
【分析】根據不等式的解題步驟"移項，合并同類項，系數化為1"可求解．
7．【答案】A
【知識點】一元二次方程根的判別式及應用
【解析】【解答】解：關于x的一元二次方程無實數根，
解得．
故答案為：A．
【分析】根據題意并結合一元二次方程根的判別式"①當b2-4ac＞0時，方程有兩個不相等的實數根；②當b2-4ac=0時，方程有兩個相等的實數根；③當b2-4ac＜0時，方程沒有實數根"可得關于c的不等式，解不等式即可判斷求解．
8．【答案】B
【知識點】解分式方程
【解析】【解答】解：∵，
∴去分母得，
∴，
解得，
經檢驗：是原分式方程的解，
故答案為：B.
【分析】由題意，方程兩邊同時乘以最簡公分母x(x+2)把分式方程化為整式方程， 解整式方程求得x的值，然后檢驗即可求解．
9．【答案】A
【知識點】勾股定理；菱形的性質；扇形面積的計算
【解析】【解答】解：連接交于點，
在菱形中，，
則，，，
∴，，
則，，
∴，
陰影部分的面積
，
故答案為：A．
【分析】連接交于點，根據菱形的性質“菱形的對角線互相垂直平分，每一條對角線平分每一組對角”可得，，，用勾股定理求得求得BO的值，由菱形的性質得BD=2OB，AC=2OA，再根據陰影部分的面積的構成即可求解．
10．【答案】C
【知識點】平行四邊形的性質；三角形的中位線定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性質-對應邊
【解析】【解答】解：取的中點，連接，
四邊形是平行四邊形，
，，，則，，
，，
，
，即
，
，
故選：C．
【分析】取的中點，連接，根據平行與三角形一邊的直線(或兩邊的延長線)和其他兩邊相交，所構成的三角形與原三角形相似可得，由相似三角形的對應邊的比相等可得比例式，由比例式求出的值，然后根據三角形中位線定理“三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半”得求解．
11．【答案】
【知識點】有理數的大小比較-直接比較法；求算術平方根
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案為：．
【分析】由題意，先求得，然后根據有理數大小的比較法則可求解．
12．【答案】4
【知識點】中位數
【解析】【解答】解：數據1，3，4，5，5的中位數為4．
故答案為：4．
【分析】將一組數據按照由小到大（或由大到小）的順序排列，如果數據的個數是奇數，則處于中間位置的數就是這組數據的中位數；如果數據的個數是偶數，則中間兩個數據的平均數就是這組數據的中位數．根據中位數的定義并結合題意即可求解．
13．【答案】1
【知識點】同分母分式的加、減法
【解析】【解答】解：原式==1．
故答案為：1．
【分析】根據同分母分式加減法的運算法則“同分母分式加減法，分母不變，分子相加”進行計算，即可求解．
14．【答案】
【知識點】平行線的性質；三角形的外角性質
【解析】【解答】解：將下圖中的點進行命名：
根據題意得：，
∴，
∵摩擦力的方向與斜面平行，
∴，
∴，即：，
解得：，
故答案為：．
【分析】由題意，根據三角形外角的性質“三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角之和”可求解．
15．【答案】
【知識點】勾股定理；矩形的性質；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性質-對應邊
【解析】【解答】解：∵矩形，
∴，
∴，
∵折疊，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵點P恰好為線段最靠近點B的一個四等分點，設，
∴，
∴，
∴（負值舍去）；
在中，；
故答案為：．
【分析】設，得到，根據有兩個角對應相等的兩個三角形相似可得，由相似三角形的對應邊的比相等可得比例式求出的長，在中，用勾股定理可求解．
16．【答案】解：原式．
【知識點】特殊角的三角函數的混合運算
【解析】【分析】由特殊角的三角函數值可得cos30°=，根據負整數指數冪的意義“任何一個不為0的數的負整數指數冪等于這個數的正整數指數冪的倒數.”可得（）-1=2，由算術平方根的意義可得，然后根據實數的運算法則計算即可求解.
17．【答案】解：原式
，
當，時，原式．
【知識點】利用整式的混合運算化簡求值
【解析】【分析】用平方差公式和多項式除以單項式法則去括號，然后根據合并同類項法則“把同類項的系數相加，字母和字母的指數不變”可將代數式化簡，再把、值代入化簡后的代數式計算即可求解．
18．【答案】（1）解：（人），
（人）；
補全條形圖如圖：
（2）40
（3）解；由題意，列表如下：
， ， ， ，
， ， ， ，
， ， ， ，
， ， ， ，
共16種等可能得結果，其中他們選擇相同項目的情況有4種，
∴．
【知識點】扇形統計圖；條形統計圖；用列表法或樹狀圖法求概率
【解析】【解答】
解：（2）
；
∴；
故答案為：40；
【分析】
（1）根據樣本容量=頻數×百分比求出調查的人數，根據樣本容量=各小組頻數之和求出類人數，補全條形圖即可；
（2）根據百分比=頻數÷樣本容量可求出的值；
（3）列出表格，根據表格中的信息可知共16種等可能得結果，其中他們選擇相同項目的情況有4種，然后用概率公式計算即可求解．
（1）解：（人），
（人）；
補全條形圖如圖：
（2）；
∴；
故答案為：40；
（3）由題意，列表如下：
， ， ， ，
， ， ， ，
， ， ， ，
， ， ， ，
共16種等可能得結果，其中他們選擇相同項目的情況有4種，
∴．
19．【答案】（1）解：由題意，作圖如下：
（2）解：連接，
∵為直徑，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴為等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知識點】圓周角定理；尺規作圖-作角的平分線；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性質-對應面積
【解析】【分析】
（1）根據尺規作角平分線的方法作圖即可；
（2）由圓周角定理“直徑所對的圓周角是直角”可得∠BAC=∠BDC=90°，根據30度角所對的直角邊等于斜邊的一半可得，易得為等腰直角三角形，求出的長，根據有兩個角對應相等的兩個三角形相似可證，由相似三角形的面積比等于相似比的平方可求解.
（1）解：由題意，作圖如下：
（2）連接，
∵為直徑，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴為等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴．
20．【答案】（1）解：設每行駛1千米純用電的費用為x元，則每行駛1千米純燃油費用為元，
根據題意得：，
解得，
經檢驗，原方程的解是，且符合題意，
答：每行駛1千米純用電的費用為元．
（2）解：由（1）知，每行駛1千米純燃油費用為元， A地到B地的路程為千米，
設需要用電行駛y千米，
根據題意得：，
解得，
答：至少用電行駛80千米．
【知識點】一元一次不等式的應用；分式方程的實際應用-行程問題
【解析】【分析】
（1）設每行駛1千米純用電的費用為x元，則每行駛1千米純燃油費用為元，根據' 純燃油費用40元行駛的路程= 純用電費用10元行駛的路程”列分式方程，解分式方程并檢驗即可求解；
（2）設需要用電行駛y千米，根據“從A地到B地油電混合行駛所需的油、電費用合計不超過16元”列不等式，解不等式即可求解．
（1）解：設每行駛1千米純用電的費用為x元，則每行駛1千米純燃油費用為元，
根據題意得：，
解得，
經檢驗，原方程的解是，且符合題意，
答：每行駛1千米純用電的費用為元．
（2）解：由（1）知，每行駛1千米純燃油費用為元， A地到B地的路程為千米，
設需要用電行駛y千米，
根據題意得：，
解得，
答：至少用電行駛80千米．
21．【答案】（1）解：過作的垂線分別交仰角線，俯角線于點，，交水平線于點，
由題意知，
∴四邊形是矩形，
∴，，
在中，，
∴，
∴，
∴小張的身高約是184.3厘米；
（2）解：過作的垂線分別交仰角線，俯角線于點，，交水平線于點，
同上，可知四邊形是矩形，
∴，，
在中，，
∴，同理，
∴，，
小軍頭部以下的高度為，且小軍身高，
∴小軍能被攝像頭識別．
【知識點】解直角三角形的實際應用﹣仰角俯角問題
【解析】【分析】
（1）過作的垂線分別交仰角線，俯角線于點，，交水平線于點，在中，根據銳角三角函數tan∠EPF=求出的值，然后根據線段的和差ME=MF+EF可求解；
（2）過作的垂線分別交仰角線，俯角線于點，，交水平線于點，同上，
在中，根據銳角三角函數tan∠CPH=求出的值，同理可求得的值，然后根據線段的和差GQ=QH-GH、CQ=QH+CH分別求出、CQ的值，再計算小軍頭部以下的高度并比較大小即可判斷求解．
（1）解：過作的垂線分別交仰角線，俯角線于點，，交水平線于點，
由題意知，
∴四邊形是矩形，
∴，，
在中，，
∴，
∴，
∴小張的身高約是184.3厘米；
（2）過作的垂線分別交仰角線，俯角線于點，，交水平線于點，
同上，可知四邊形是矩形，
∴，，
在中，，
∴，同理，
∴，，
小軍頭部以下的高度為，且小軍身高，
∴小軍能被攝像頭識別．
22．【答案】（1）解：∵過線段的中點D作軸，
∴
∵，
∴
∴
∵點C在反比例函數于
∴，
∴反比例函數的解析式為；
（2）解：∵，且，
∴，
∵二次函數（常數）與x軸從左到右的交點為A、B，
∴，
∴，二次函數的對稱軸為直線，
∵過線段的中點D作軸，
∴，
∴，
∴，
則直線與拋物線的對稱軸之間的距離為1；
（3）解：∵，
∴當時，，
∴，
∵二次函數（常數）與x軸從左到右的交點為A、B，且，
∴，
此時二次函數的對稱軸為直線，
∵過線段的中點D作軸，
∴，
∴，
∵把拋物線在直線右側部分的圖象（含與直線的交點）記為E，且，
當時，即，故，
把代入，
得，
∴．
當時，即，
把代入，
得，
∴．
綜上：當時，；當時，；
【知識點】待定系數法求反比例函數解析式；二次函數的對稱性及應用
【解析】【分析】
（1）先結合點D是線段的中點，得，結合可得，然后根據k的幾何意義即可求解；
（2）把代入二次函數的解析式可求得A、B兩點的坐標，根據同一坐標軸上兩點間的距離等于兩坐標之差的絕對值求出AB的值，結合二次函數的對稱軸求出OD的值，則直線與拋物線的對稱軸之間的距離可求解；
（3）由題意，用含t的代數式表示出A、B兩點的坐標，根據二次函數的對稱軸為直線x=用含t的代數式表示出來，再結合把拋物線在直線右側部分的圖象（含與直線的交點）記為E，且，則當時，解之可得t的范圍；將代入可將點E的坐標用含t的代數式表示出來，當時，同理可求解．
（1）解：∵過線段的中點D作軸，
∴
∵，
∴
∴
∵點C在反比例函數于
∴，
∴反比例函數的解析式為；
（2）解：∵，且，
∴，
∵二次函數（常數）與x軸從左到右的交點為A、B，
∴，
∴，二次函數的對稱軸為直線，
∵過線段的中點D作軸，
∴，
∴，
∴，
則直線與拋物線的對稱軸之間的距離為1；
（3）解：∵，
∴當時，，
∴，
∵二次函數（常數）與x軸從左到右的交點為A、B，且，
∴，
此時二次函數的對稱軸為直線，
∵過線段的中點D作軸，
∴，
∴，
∵把拋物線在直線右側部分的圖象（含與直線的交點）記為E，且，
當時，即，故，
把代入，
得，
∴．
當時，即，
把代入，
得，
∴．
綜上：當時，；當時，；
23．【答案】（1）證明：∵，，
∴，則為等腰直角三角形，
∴，
連接，，
∵經過點O和點B，圓心點M在第二象限，且的直徑為，
∴，則，
∴為等腰直角三角形，
∴，則，
∴直線與相切；
（2）解：①當點N與點C重合時，直線與相切，令切點為，連接，則，
由（1）可知，為等腰直角三角形，
∴，則為等腰直角三角形，
∴，，
則，
∴點的坐標為，
將其代入直線得，解得：，
∴直線的解析式為；
②存在點的坐標為或時，使得是等腰直角三角形．理由如下：
設直線的解析式為，
代入，，得，
解得：
直線的解析式為，
當點在直線，交點下方時，
∵是等腰直角三角形，且，
∴，
∴，即軸，
設點的橫坐標為，則，，
∴，
解得：，此時點的坐標為；
當點在直線，交點下方時，
同理可得，此時點的坐標為；
綜上，存在點的坐標為或時，使得是等腰直角三角形．
【知識點】待定系數法求一次函數解析式；等腰三角形的判定與性質；切線的判定；一次函數中的動態幾何問題
【解析】【分析】（1）由題意可知為等腰直角三角形，則，連接，，可知，則，得為等腰直角三角形，
則，，即可證得結論；
（2）①當點N與點C重合時，直線與相切，令切點為，連接，則，由（1）可知，為等腰直角三角形，同時可知為等腰直角三角形，用勾股定理求得AC的值，則，得點的坐標為，然后用待定系數法即可求解；
②由題意，用待定系數法求得直線的解析式，當點在直線，交點下方時，
由是等腰直角三角形，且，可知，即軸，設點的橫坐標為，則，，列出關于t的方程，解方程可得點N的坐標；當點在直線，交點下方時，同理可求解．
（1）證明：∵，，
∴，則為等腰直角三角形，
∴，
連接，，
∵經過點O和點B，圓心點M在第二象限，且的直徑為，
∴，則，
∴為等腰直角三角形，
∴，則，
∴直線與相切；
（2）①當點N與點C重合時，直線與相切，令切點為，連接，則，
由（1）可知，為等腰直角三角形，
∴，則為等腰直角三角形，
∴，，
則，
∴點的坐標為，
將其代入直線得，解得：，
∴直線的解析式為；
②存在點的坐標為或時，使得是等腰直角三角形．理由如下：
設直線的解析式為，
代入，，得，解得：
直線的解析式為，
當點在直線，交點下方時，
∵是等腰直角三角形，且，
∴，
∴，即軸，
設點的橫坐標為，則，，
∴，
解得：，此時點的坐標為；
當點在直線，交點下方時，
同理可得，此時點的坐標為；
綜上，存在點的坐標為或時，使得是等腰直角三角形．
1 / 1廣東省江門市蓬江區2025年中考一模數學試題
1．（2025·蓬江模擬）下列實數中，為無理數的是（　　）．
A．0 B．3 C． D．
【答案】D
【知識點】無理數的概念；求算術平方根
【解析】【解答】解：A、0是有理數，
∴此選項不符合題意；
B、3是有理數，
∴此選項不符合題意；
C、-3是有理數，
∴此選項不符合題意；
D、是無理數，
∴此選項符合題意.
故答案為：D．
【分析】根據無理數的定義"無限不循環小數及開方開不盡的數是無理數"并結合各選項即可判斷求解．
2．（2025·蓬江模擬）小美和小好同學做“石頭、剪刀、布”的游戲，兩人同時出相同的手勢，這個事件是（　　）
A．隨機事件 B．不可能事件 C．必然事件 D．確定性事件
【答案】A
【知識點】事件的分類
【解析】【解答】解：兩人同時出相同的手勢，這個事件是隨機事件，
故答案為：A．
【分析】根據事件發生的可能性大小判斷即可．
3．（2025·蓬江模擬）某市今年參加初中學業水平考試的學生大約有76300人，76300用科學記數法可以表示為（　　）．
A． B． C． D．
【答案】B
【知識點】科學記數法表示大于10的數
【解析】【解答】解：，
故答案為：B．
【分析】科學記數法是指，任何一個絕對值大于或等于1的數可以寫成a×10n的形式，其中，n=整數位數-1.根據科學記數法的意義并結合各選項即可求解.
4．（2025·蓬江模擬）如兩個寬度相同的長方體組成的幾何體，它的左視圖是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知識點】簡單組合體的三視圖
【解析】【解答】解：觀察幾何體可得：
A．它的左視圖的兩個長方形的長應該相等，
∴此選項不符合題意；
B．它的左視圖應該是上下兩層，
∴此選項不符合題意；
C．該圖形是幾何體的左視圖，
∴此選項符合題意；
D．它的左視圖應該是上下兩層，
∴此選項不符合題意．
故答案為：C．
【分析】根據左視圖是從左邊看得到的圖形并結合各選項即可判斷求解．
5．（2025·蓬江模擬）下列運算正確的是（　　）．
A． B． C． D．
【答案】D
【知識點】同底數冪的乘法；同底數冪的除法；合并同類項法則及應用；積的乘方運算
【解析】【解答】A、因為與不是同類項，不能合并同類項，
∴此選項不符合題意；
B、因為≠-m2n2，
∴此選項不符合題意；
C、因為≠m9，
∴此選項不符合題意；
D、因為，
∴此選項符合題意．
故答案為：D．
【分析】A、根據同類項定義"同類項是指所含字母相同，且相同的字母的指數也相同的項"可知3m和n不是同類項， 不能合并同類項；
B、根據積的乘方法則“把積中的每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘”可求解；
C、根據同底數冪的乘法法則“同底數冪相乘，底數不變，指數相加”可求解；
D、根據同底數冪的除法法則“同底數冪相除，底數不變，指數相減”可求解.
6．（2025·蓬江模擬）不等式的解集為（　　）．
A． B． C． D．
【答案】C
【知識點】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：
，
∴；
故答案為：C．
【分析】根據不等式的解題步驟"移項，合并同類項，系數化為1"可求解．
7．（2025·蓬江模擬）若關于x的一元二次方程無實數根，則c的取值范圍為（　　）．
A． B． C． D．無法判斷
【答案】A
【知識點】一元二次方程根的判別式及應用
【解析】【解答】解：關于x的一元二次方程無實數根，
解得．
故答案為：A．
【分析】根據題意并結合一元二次方程根的判別式"①當b2-4ac＞0時，方程有兩個不相等的實數根；②當b2-4ac=0時，方程有兩個相等的實數根；③當b2-4ac＜0時，方程沒有實數根"可得關于c的不等式，解不等式即可判斷求解．
8．（2025·蓬江模擬）方程的解是（　　）．
A． B． C． D．
【答案】B
【知識點】解分式方程
【解析】【解答】解：∵，
∴去分母得，
∴，
解得，
經檢驗：是原分式方程的解，
故答案為：B.
【分析】由題意，方程兩邊同時乘以最簡公分母x(x+2)把分式方程化為整式方程， 解整式方程求得x的值，然后檢驗即可求解．
9．（2025·蓬江模擬）如圖，在菱形中，，，分別以點B和點D為圓心，線段長的一半為半徑作圓弧，交、、、于點E、F、G、H，則圖中陰影部分的面積為（　　）．
A． B． C． D．
【答案】A
【知識點】勾股定理；菱形的性質；扇形面積的計算
【解析】【解答】解：連接交于點，
在菱形中，，
則，，，
∴，，
則，，
∴，
陰影部分的面積
，
故答案為：A．
【分析】連接交于點，根據菱形的性質“菱形的對角線互相垂直平分，每一條對角線平分每一組對角”可得，，，用勾股定理求得求得BO的值，由菱形的性質得BD=2OB，AC=2OA，再根據陰影部分的面積的構成即可求解．
10．（2025·蓬江模擬）如圖，平行四邊形的對角線與相交于點O，，在的延長線上取一點E，使，連接交于點F，且，則的長為（　　）．
A．5 B．5.5 C．6 D．7
【答案】C
【知識點】平行四邊形的性質；三角形的中位線定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性質-對應邊
【解析】【解答】解：取的中點，連接，
四邊形是平行四邊形，
，，，則，，
，，
，
，即
，
，
故選：C．
【分析】取的中點，連接，根據平行與三角形一邊的直線(或兩邊的延長線)和其他兩邊相交，所構成的三角形與原三角形相似可得，由相似三角形的對應邊的比相等可得比例式，由比例式求出的值，然后根據三角形中位線定理“三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半”得求解．
11．（2025·蓬江模擬）比較大小：3　 　．
【答案】
【知識點】有理數的大小比較-直接比較法；求算術平方根
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案為：．
【分析】由題意，先求得，然后根據有理數大小的比較法則可求解．
12．（2025·蓬江模擬）數據1，3，4，5，5的中位數是　 　．
【答案】4
【知識點】中位數
【解析】【解答】解：數據1，3，4，5，5的中位數為4．
故答案為：4．
【分析】將一組數據按照由小到大（或由大到小）的順序排列，如果數據的個數是奇數，則處于中間位置的數就是這組數據的中位數；如果數據的個數是偶數，則中間兩個數據的平均數就是這組數據的中位數．根據中位數的定義并結合題意即可求解．
13．（2025·蓬江模擬）計算的結果為　 　．
【答案】1
【知識點】同分母分式的加、減法
【解析】【解答】解：原式==1．
故答案為：1．
【分析】根據同分母分式加減法的運算法則“同分母分式加減法，分母不變，分子相加”進行計算，即可求解．
14．（2025·蓬江模擬）一本書靜止在斜面上，其受力分析如題圖，重力G的方向豎直向下，支持力的方向與斜面垂直，摩擦力的方向與斜面平行，若摩擦力與重力G方向的夾角的度數為，則斜面的坡角的度數為　 　．
【答案】
【知識點】平行線的性質；三角形的外角性質
【解析】【解答】解：將下圖中的點進行命名：
根據題意得：，
∴，
∵摩擦力的方向與斜面平行，
∴，
∴，即：，
解得：，
故答案為：．
【分析】由題意，根據三角形外角的性質“三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角之和”可求解．
15．（2025·蓬江模擬）如圖，將一張矩形紙片上下對折，使之完全重合，打開后，得到折痕，連接，再將矩形紙片折疊，使點B落在上的點Q處，折痕為，若點P恰好為線段最靠近點B的一個四等分點，，則的長為　 　．
【答案】
【知識點】勾股定理；矩形的性質；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性質-對應邊
【解析】【解答】解：∵矩形，
∴，
∴，
∵折疊，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵點P恰好為線段最靠近點B的一個四等分點，設，
∴，
∴，
∴（負值舍去）；
在中，；
故答案為：．
【分析】設，得到，根據有兩個角對應相等的兩個三角形相似可得，由相似三角形的對應邊的比相等可得比例式求出的長，在中，用勾股定理可求解．
16．（2025·蓬江模擬）計算：．
【答案】解：原式．
【知識點】特殊角的三角函數的混合運算
【解析】【分析】由特殊角的三角函數值可得cos30°=，根據負整數指數冪的意義“任何一個不為0的數的負整數指數冪等于這個數的正整數指數冪的倒數.”可得（）-1=2，由算術平方根的意義可得，然后根據實數的運算法則計算即可求解.
17．（2025·蓬江模擬）先化簡，再求值：，其中，．
【答案】解：原式
，
當，時，原式．
【知識點】利用整式的混合運算化簡求值
【解析】【分析】用平方差公式和多項式除以單項式法則去括號，然后根據合并同類項法則“把同類項的系數相加，字母和字母的指數不變”可將代數式化簡，再把、值代入化簡后的代數式計算即可求解．
18．（2025·蓬江模擬）感知數學魅力，探索數學未來，某校為籌備數學文化節活動，計劃開設A魔方、B數學華容道、C益智鎖扣、D迷疊杯，共四類活動項目．為了解學生報名情況，現隨機抽取了九年級部分學生進行調查，并根據統計結果繪制了如下兩幅不完整的統計圖．
（1）補全條形統計圖；
（2）在扇形統計圖中，m的值為__________；
（3）學生小何和小林各自從以上四類活動項目中任選一類參加活動，請利用畫樹狀圖或列表的方法，求他們選擇相同項目的概率．
【答案】（1）解：（人），
（人）；
補全條形圖如圖：
（2）40
（3）解；由題意，列表如下：
， ， ， ，
， ， ， ，
， ， ， ，
， ， ， ，
共16種等可能得結果，其中他們選擇相同項目的情況有4種，
∴．
【知識點】扇形統計圖；條形統計圖；用列表法或樹狀圖法求概率
【解析】【解答】
解：（2）
；
∴；
故答案為：40；
【分析】
（1）根據樣本容量=頻數×百分比求出調查的人數，根據樣本容量=各小組頻數之和求出類人數，補全條形圖即可；
（2）根據百分比=頻數÷樣本容量可求出的值；
（3）列出表格，根據表格中的信息可知共16種等可能得結果，其中他們選擇相同項目的情況有4種，然后用概率公式計算即可求解．
（1）解：（人），
（人）；
補全條形圖如圖：
（2）；
∴；
故答案為：40；
（3）由題意，列表如下：
， ， ， ，
， ， ， ，
， ， ， ，
， ， ， ，
共16種等可能得結果，其中他們選擇相同項目的情況有4種，
∴．
19．（2025·蓬江模擬）如圖，是的直徑，點A在上，．
（1）實踐與操作：用尺規作圖法作平分，交于點E，交于點D，連接（保留作圖痕跡，不寫作法）；
（2）應用與計算，在（1）條件下，求與的面積之比．
【答案】（1）解：由題意，作圖如下：
（2）解：連接，
∵為直徑，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴為等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知識點】圓周角定理；尺規作圖-作角的平分線；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性質-對應面積
【解析】【分析】
（1）根據尺規作角平分線的方法作圖即可；
（2）由圓周角定理“直徑所對的圓周角是直角”可得∠BAC=∠BDC=90°，根據30度角所對的直角邊等于斜邊的一半可得，易得為等腰直角三角形，求出的長，根據有兩個角對應相等的兩個三角形相似可證，由相似三角形的面積比等于相似比的平方可求解.
（1）解：由題意，作圖如下：
（2）連接，
∵為直徑，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴為等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴．
20．（2025·蓬江模擬）某種型號油電混合動力汽車，從A地到B地燃油行駛純燃油費用為40元，從A地到B地用電行駛純用電費用為10元，已知每行駛1千米，純燃油費用比純用電費用多元．
（1）求每行駛1千米純用電的費用．
（2）若要使從A地到B地油電混合行駛所需的油、電費用合計不超過16元，則至少用電行駛多少千米？
【答案】（1）解：設每行駛1千米純用電的費用為x元，則每行駛1千米純燃油費用為元，
根據題意得：，
解得，
經檢驗，原方程的解是，且符合題意，
答：每行駛1千米純用電的費用為元．
（2）解：由（1）知，每行駛1千米純燃油費用為元， A地到B地的路程為千米，
設需要用電行駛y千米，
根據題意得：，
解得，
答：至少用電行駛80千米．
【知識點】一元一次不等式的應用；分式方程的實際應用-行程問題
【解析】【分析】
（1）設每行駛1千米純用電的費用為x元，則每行駛1千米純燃油費用為元，根據' 純燃油費用40元行駛的路程= 純用電費用10元行駛的路程”列分式方程，解分式方程并檢驗即可求解；
（2）設需要用電行駛y千米，根據“從A地到B地油電混合行駛所需的油、電費用合計不超過16元”列不等式，解不等式即可求解．
（1）解：設每行駛1千米純用電的費用為x元，則每行駛1千米純燃油費用為元，
根據題意得：，
解得，
經檢驗，原方程的解是，且符合題意，
答：每行駛1千米純用電的費用為元．
（2）解：由（1）知，每行駛1千米純燃油費用為元， A地到B地的路程為千米，
設需要用電行駛y千米，
根據題意得：，
解得，
答：至少用電行駛80千米．
21．（2025·蓬江模擬）如圖1是某住宅單元樓的人臉識別系統（整個頭部需在攝像頭視角范圍內才能被識別），其示意圖如圖2，攝像頭P的仰角、俯角都調整為，攝像頭高度，識別的最遠水平距離．
（1）小張站在離攝像頭水平距離點M處，恰好能被識別（頭的頂部恰好在仰角線處），請問小張的身高約為多少厘米？
（2）身高的小軍，頭部高度為，當他直立站在離攝像頭最遠處時，請通過計算說明這時的小軍能被攝像頭識別嗎？（參考數據：，，）
【答案】（1）解：過作的垂線分別交仰角線，俯角線于點，，交水平線于點，
由題意知，
∴四邊形是矩形，
∴，，
在中，，
∴，
∴，
∴小張的身高約是184.3厘米；
（2）解：過作的垂線分別交仰角線，俯角線于點，，交水平線于點，
同上，可知四邊形是矩形，
∴，，
在中，，
∴，同理，
∴，，
小軍頭部以下的高度為，且小軍身高，
∴小軍能被攝像頭識別．
【知識點】解直角三角形的實際應用﹣仰角俯角問題
【解析】【分析】
（1）過作的垂線分別交仰角線，俯角線于點，，交水平線于點，在中，根據銳角三角函數tan∠EPF=求出的值，然后根據線段的和差ME=MF+EF可求解；
（2）過作的垂線分別交仰角線，俯角線于點，，交水平線于點，同上，
在中，根據銳角三角函數tan∠CPH=求出的值，同理可求得的值，然后根據線段的和差GQ=QH-GH、CQ=QH+CH分別求出、CQ的值，再計算小軍頭部以下的高度并比較大小即可判斷求解．
（1）解：過作的垂線分別交仰角線，俯角線于點，，交水平線于點，
由題意知，
∴四邊形是矩形，
∴，，
在中，，
∴，
∴，
∴小張的身高約是184.3厘米；
（2）過作的垂線分別交仰角線，俯角線于點，，交水平線于點，
同上，可知四邊形是矩形，
∴，，
在中，，
∴，同理，
∴，，
小軍頭部以下的高度為，且小軍身高，
∴小軍能被攝像頭識別．
22．（2025·蓬江模擬）如圖，二次函數（常數）與x軸從左到右的交點為A、B，過線段的中點D作軸，交反比例函數于點C，且．
（1）求反比例函數的解析式．
（2）當時，求的長，并求直線與拋物線的對稱軸之間的距離．
（3）把拋物線在直線右側部分的圖象（含與直線的交點）記為E，用t表示圖象E最低點的坐標．
【答案】（1）解：∵過線段的中點D作軸，
∴
∵，
∴
∴
∵點C在反比例函數于
∴，
∴反比例函數的解析式為；
（2）解：∵，且，
∴，
∵二次函數（常數）與x軸從左到右的交點為A、B，
∴，
∴，二次函數的對稱軸為直線，
∵過線段的中點D作軸，
∴，
∴，
∴，
則直線與拋物線的對稱軸之間的距離為1；
（3）解：∵，
∴當時，，
∴，
∵二次函數（常數）與x軸從左到右的交點為A、B，且，
∴，
此時二次函數的對稱軸為直線，
∵過線段的中點D作軸，
∴，
∴，
∵把拋物線在直線右側部分的圖象（含與直線的交點）記為E，且，
當時，即，故，
把代入，
得，
∴．
當時，即，
把代入，
得，
∴．
綜上：當時，；當時，；
【知識點】待定系數法求反比例函數解析式；二次函數的對稱性及應用
【解析】【分析】
（1）先結合點D是線段的中點，得，結合可得，然后根據k的幾何意義即可求解；
（2）把代入二次函數的解析式可求得A、B兩點的坐標，根據同一坐標軸上兩點間的距離等于兩坐標之差的絕對值求出AB的值，結合二次函數的對稱軸求出OD的值，則直線與拋物線的對稱軸之間的距離可求解；
（3）由題意，用含t的代數式表示出A、B兩點的坐標，根據二次函數的對稱軸為直線x=用含t的代數式表示出來，再結合把拋物線在直線右側部分的圖象（含與直線的交點）記為E，且，則當時，解之可得t的范圍；將代入可將點E的坐標用含t的代數式表示出來，當時，同理可求解．
（1）解：∵過線段的中點D作軸，
∴
∵，
∴
∴
∵點C在反比例函數于
∴，
∴反比例函數的解析式為；
（2）解：∵，且，
∴，
∵二次函數（常數）與x軸從左到右的交點為A、B，
∴，
∴，二次函數的對稱軸為直線，
∵過線段的中點D作軸，
∴，
∴，
∴，
則直線與拋物線的對稱軸之間的距離為1；
（3）解：∵，
∴當時，，
∴，
∵二次函數（常數）與x軸從左到右的交點為A、B，且，
∴，
此時二次函數的對稱軸為直線，
∵過線段的中點D作軸，
∴，
∴，
∵把拋物線在直線右側部分的圖象（含與直線的交點）記為E，且，
當時，即，故，
把代入，
得，
∴．
當時，即，
把代入，
得，
∴．
綜上：當時，；當時，；
23．（2025·蓬江模擬）已知在平面直角坐標系中，直線分別交x軸和y軸于點，．
（1）如圖1，已知經過點O和點B，圓心點M在第二象限，且的直徑為，求證：直線與相切．
（2）如圖2，已知直線分別交x軸和y軸于點C、D，N是直線上的一個動點，以N為圓心，為半徑畫圓，當點N與點C重合時，直線與相切．
①求直線的解析式．
②設與直線相交于P、Q兩點，連接、，請問是否存在這樣的點N，使得是等腰直角三角形？若存在，求出點N的坐標，若不存在，請說明理由．
【答案】（1）證明：∵，，
∴，則為等腰直角三角形，
∴，
連接，，
∵經過點O和點B，圓心點M在第二象限，且的直徑為，
∴，則，
∴為等腰直角三角形，
∴，則，
∴直線與相切；
（2）解：①當點N與點C重合時，直線與相切，令切點為，連接，則，
由（1）可知，為等腰直角三角形，
∴，則為等腰直角三角形，
∴，，
則，
∴點的坐標為，
將其代入直線得，解得：，
∴直線的解析式為；
②存在點的坐標為或時，使得是等腰直角三角形．理由如下：
設直線的解析式為，
代入，，得，
解得：
直線的解析式為，
當點在直線，交點下方時，
∵是等腰直角三角形，且，
∴，
∴，即軸，
設點的橫坐標為，則，，
∴，
解得：，此時點的坐標為；
當點在直線，交點下方時，
同理可得，此時點的坐標為；
綜上，存在點的坐標為或時，使得是等腰直角三角形．
【知識點】待定系數法求一次函數解析式；等腰三角形的判定與性質；切線的判定；一次函數中的動態幾何問題
【解析】【分析】（1）由題意可知為等腰直角三角形，則，連接，，可知，則，得為等腰直角三角形，
則，，即可證得結論；
（2）①當點N與點C重合時，直線與相切，令切點為，連接，則，由（1）可知，為等腰直角三角形，同時可知為等腰直角三角形，用勾股定理求得AC的值，則，得點的坐標為，然后用待定系數法即可求解；
②由題意，用待定系數法求得直線的解析式，當點在直線，交點下方時，
由是等腰直角三角形，且，可知，即軸，設點的橫坐標為，則，，列出關于t的方程，解方程可得點N的坐標；當點在直線，交點下方時，同理可求解．
（1）證明：∵，，
∴，則為等腰直角三角形，
∴，
連接，，
∵經過點O和點B，圓心點M在第二象限，且的直徑為，
∴，則，
∴為等腰直角三角形，
∴，則，
∴直線與相切；
（2）①當點N與點C重合時，直線與相切，令切點為，連接，則，
由（1）可知，為等腰直角三角形，
∴，則為等腰直角三角形，
∴，，
則，
∴點的坐標為，
將其代入直線得，解得：，
∴直線的解析式為；
②存在點的坐標為或時，使得是等腰直角三角形．理由如下：
設直線的解析式為，
代入，，得，解得：
直線的解析式為，
當點在直線，交點下方時，
∵是等腰直角三角形，且，
∴，
∴，即軸，
設點的橫坐標為，則，，
∴，
解得：，此時點的坐標為；
當點在直線，交點下方時，
同理可得，此時點的坐標為；
綜上，存在點的坐標為或時，使得是等腰直角三角形．
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