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漳縣第一中學(xué)2024-2025學(xué)年度第二學(xué)期期中考試
高一 數(shù)學(xué)
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
設(shè)復(fù)數(shù) 滿足 ，則
A． B． C． D．
的一個必要不充分條件是 ．
A． B． C． D．
如圖，平行四邊形 中，，，，點 在 邊上，且 ，則 等于
A． B． C． D．
已知向量 和 的夾角為 ，，，則 等于
A． B． C． D．
已知 ，，則 的值為
A． B． C． D．
已知 ，若 ，則
A． B． C． D．
在東方設(shè)計中，存在著一個名為“白銀比例”的理念，這個比例為 ，它在東方文化中的重要程度不亞于西方文化中的“黃金分割比例”，傳達出一種獨特的東方審美觀．折扇紙面可看作是從一個扇形紙面中剪下小扇形紙面制作而成（如圖）．設(shè)制作折扇時剪下小扇形紙面面積為 ，折扇紙面面積為 ，當(dāng)時 ，扇面較為美觀．那么按“白銀比例”制作折扇時，原扇形半徑與剪下小扇形半徑之比為
A． B． C． D．
正三角形 的邊長為 ， 為 的中點，， 是 上一點，，則 的面積為
A． B． C． D．
二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，有選錯的得0分.
對于任意的平面向量 ，，，下列說法錯誤的是
A．若 且 ，則
B．
C．若 ，且 ，則
D．
設(shè)復(fù)數(shù) （， 為虛數(shù)單位），，且 ，則
A． B． C． D．
已知函數(shù) （）的圖象關(guān)于直線 對稱，則
A．函數(shù) 為奇函數(shù)
B．函數(shù) 在 上單調(diào)遞增
C．若 ，則 的最小值為
D．函數(shù) 的圖象向右平移 個單位長度得到函數(shù) 的圖象
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
已知向量 與 的夾角為 ，且 ，那么 的值為 ．
若 為鈍角， 為銳角，且 ，，則 ．
如圖所示，位于 處的信息中心獲悉：在其正東方向 海里的 處有一艘漁船遇險，在原地等待營救．信息中心立即把消息告知在其南偏西 ，相距 海里的 處的乙船，現(xiàn)乙船朝北偏東 的方向即沿直線 前往 處救援，則 ．
解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
（13分）已知平面向量 ，，，，且 與 的夾角為 ．
(1) 求 ；
(2) 求 ；
(3) 若 與 （）垂直，求 的值．
（15分）已知復(fù)數(shù) ，，．
(1) 當(dāng) 時，求 的值；
(2) 若 是純虛數(shù)，求 的值；
(3) 若 在復(fù)平面上對應(yīng)的點在第二象限，求 的取值范圍．
（15分）如圖，在 中，，．點 在邊 上，且 ．
(1) ，，求 ；
(2) ， 恰為 邊上的高，求角 ；
(3) ，求 的取值范圍．
（17分）已知函數(shù) ．
(1) 求 的值；
(2) 求 的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
(3) 將函數(shù) 的圖象向右平移 個單位，得到函數(shù) 的圖象，若函數(shù) 在 上有且僅有兩個零點，求 的取值范圍．
（17分）已知 ，，函數(shù) ．
(1) 求函數(shù) 在區(qū)間 上的最大值和最小值；
(2) 若 ，，求 的值；
(3) 若函數(shù) 在區(qū)間 上是單調(diào)遞增函數(shù)，求正數(shù) 的取值范圍．參考答案
一、單項選擇題（共8題，共40分）
1. 【答案】D
【解析】由題知 ，
于是 ，
所以 ．
2. 【答案】B
3. 【答案】D
【解析】
，
所以
4. 【答案】B
5. 【答案】B
6. 【答案】D
【解析】因為 ，
所以 ，
所以
7. 【答案】C
8. 【答案】D
【解析】 ，
由 ，， 三點共線得 ，
即 ，
即 ，
故 ．
故選D．
二、多項選擇題（共3題，共18分）
9. 【答案】A；C；D
10. 【答案】A；C；D
11. 【答案】A；C
【解析】因為直線 是 （）的對稱軸，
所以 （），則 （）．
當(dāng) 時，，則 ．
對于選項A，，因為 ，所以 為奇函數(shù)，故A正確；
對于選項B，（），即 （），當(dāng) 時， 在 當(dāng)單調(diào)遞增，故B錯誤；
對于選項C，若 ，則 最小為半個周期，即 ，故C正確；
對于選項D，函數(shù) 的圖象向右平移 個單位長度，即 ，故D錯誤．
三、填空題（共3題，共15分）
12. 【答案】
13. 【答案】
【解析】由已知得 ，，
因此
又 ，，
所以 ，，
故 ．
14. 【答案】
【解析】在 中， 海里， 海里，，由余弦定理可得 ，所以 海里，由正弦定理可得 ，因為 ，可知 為銳角，所以 ，所以 ．
四、解答題（共5題，共77分）
15. 【答案】
(1) ；
(2) ；
(3) ．
16. 【答案】
(1) 由題意 ．
(2) 由題意 為純虛數(shù)，則 ，
所以 ．
(3) ，對應(yīng)點 ，
它是第二象限角，則
解得 ，
故 的范圍是 ．
17. 【答案】
(1) ，
，
．
(2) 得 ，
，
代入 ，展開，得 ，故 ．
(3) 得 ，
平方：，
解得 ．
18. 【答案】
(1) 因為函數(shù) ，
所以 ，故 ．
(2) 由函數(shù)的解析式為 可得，它的最小正周期為 ．
令 ，求得 ，
可得它的單調(diào)遞增區(qū)間為 ．
(3) 將函數(shù) 的圖象向右平移 個單位，
得到函數(shù) 的圖象，
若函數(shù) 在 上有且僅有兩個零點，
則在 上有且僅有兩個實數(shù)，滿足 ，即 ．
在 上，，
所以 ，求得 ．
19. 【答案】
(1) 因為 ，，所以
因為 ，所以 ，所以 ，
所以函數(shù) 在區(qū)間 上的最大值 ，最小值 ．
(2) 若 ，則 ，所以 ，
因為 ，所以 ，所以
(3) 因為 ，
令 ，，
可得 ，令 ，可得 ，
因為 在區(qū)間 上是單調(diào)遞增函數(shù)，
所以 ，解可得 ．

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