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參考答案
一、單項選擇題（共8題，共40分）
1. 【答案】B
【解析】 ，
所以 ．
故選：B．
2. 【答案】D
【解析】由于向量 ，，
所以 ．
故 ．
故選D．
3. 【答案】A
【解析】由 的圖象知， 的函數值先正，再負，再正，再負．
4. 【答案】B
5. 【答案】B
【解析】函數 ，若 為奇函數，
可得 ，則 ，
即為 恒成立，可得 ，
即 ，
函數的導數為 ，
可得 在 處的斜率為 ，
則 在 處的切線方程為 ．
6. 【答案】A
【解析】設 的坐標為 ，若 ，則有 ，解得 ．
即點 的坐標為 ，故選A．
7. 【答案】A
【解析】因為函數 的定義域是 ，
所以 ，
因為 是函數 的唯一一個極值點，
所以 是導函數 的唯一根，
所以 在 無變號零點，
即 在 上無變號零點，
令 ，因為 ，
所以 在 上單調遞減，在 上單調遞增，
所以 的最小值為 ，所以必須 ．
8. 【答案】B
【解析】因為點 是 平面內直線 上的動點，
所以可設點 ，
由空間兩點間的距離公式，得 ，
令 ，
當 時， 取最小值，為 ，
所以當 時， 的值最小，為 ，
即 ， 兩點間的距離最小為 ．
二、多項選擇題（共3題，共18分）
9. 【答案】B；C；D
【解析】因為函數 ，所以函數 的定義域為 ，故A錯誤．
當 時，．
當 變化時， 和 變化情況如下表：由上表可知，函數 的單調遞減區間是 ，單調遞增區間是 ，
極小值是 ，B，C正確．
由 ，得 ．
若函數 為 上的增函數，則 在 上恒成立，
即不等式 在 上恒成立，
也即 在 上恒成立．
令 ，則 ．
當 時，，
所以 在 上為減函數，
所以 ，所以 ．
所以 的取值范圍為 ．
10. 【答案】A；B；C
【解析】如圖所示，該幾何體可補形為正方體，以 為坐標原點，，， 所在直線分別為 軸， 軸， 軸建立空間直角坐標系．
由正方體的性質易得 ，故A正確．
該幾何體的外接球與正方體的外接球相同，其外接球半徑為 ，故外接球的表面積為 ，故B正確．
由題意可得 ，，，，，
所以 ，．
設平面 的法向量為 ．
由 得
令 ，得 ，，則 ．
當 為 的中點時，，
則 ，
所以 ，
又因為 ，
所以 ，故C正確．
設 ，
則 ，
故當 時， 取得最小值，
且最小值為 ，故D錯誤．
11. 【答案】C；D
【解析】設 ，則 ，
因為 時，，
所以 時，，
因此 在 上單調遞減，所以 ，，
即 ，．
三、填空題（共3題，共15分）
12. 【答案】
【解析】函數 的導數為 ，
令 ，解得 ，故函數的單調減區間是 ．
13. 【答案】
14. 【答案】①③
【解析】從圖中可得， 在 上為正，在區間 為負，所以 是函數 的一個極值點，①正確；當 時，，所以函數 在 處切線的斜率大于零，②錯；因為 在 上為正，所以 在 上單調遞增，所以 ，③正確；從圖中無法確定 在 上的正負，故④錯誤．
四、解答題（共5題，共77分）
15. 【答案】
(1) ．
(2) 由（）得 ，
所以
故 ．
16. 【答案】
(1) 當 時，，
則 ，
所以 ，，
所以曲線 在 處的切線方程為 ．
(2) ，
令 ，，
則 ，
解 ，
得 ，
與 的變化情況如下：所以函數 在區間 上的最小值為 ，
方法 ：
①當 時，．
所以 恒成立，
即 恒成立，
所以函數 在區間 上是增函數，無極值，不符合要求，
②當 時，
因為 ，，
所以存在 ，使得 ．所以函數 在區間 上存在極小值 ，符合要求，
③當 時，
因為 ，
所以函數 在區間 上無極值．
取 ，
則 ，
所以存在 ，使得 ．
易知， 為函數 在區間 上的極大值點．
所以函數 在區間 上有極大值，無極小值，不符合要求．
綜上，實數 的取值范圍是 ．
方法 ：
“ 在區間 上存在極小值”，當且僅當
解得 ．
證明如下：
當 時，
因為
所以存在 ，使得 ．所以函數 在區間 上存在極小值．
所以實數 的取值范圍是 ．
17. 【答案】
(1) 因為 ，
所以 ，且 ，則 ，
所以 在 處的切線方程為 ．
(2) 當 時，，即 ，
當 時，；
當 時，，即 ，
令 ，則 ，
因為 ，
所以 ，
當 時，， 在 上單調遞增；
當 時，， 在 上單調遞減，
所以 ，
所以 ，
所以實數 的最大值為 ．
(3) 若 ，當 時， 和 都單調遞增，
令 ，
所以 單調遞增．
①當 ，即 時，，，則 在 上單調遞增，
而 ，所以當 時，，所以 在 上單調遞減，
當 時，，所以 在 上單調遞增，
所以 在 處取極小值．
②當 ，即 時，，且 ， 單調遞增，
所以存在 ，使得 ，且 時，，
則 在 上單調遞增，而 ，
所以當 時，，所以 在 上單調遞減；
當 時，，所以 在 上單調遞增，
所以 在 處取極小值．
綜上，當 時， 在 處取極小值．
18. 【答案】
(1) 球的直徑 ，
所以球半徑 ，
所以 ．
(2) 以 為原點， 為 軸， 為 軸， 為 軸，建立空間直角坐標系，，，，，，
設 （），
所以 ，
因為 是以 為直徑的圓上一點，
所以 ，得 ，
所以 ．
設平面 的一個法向量 ，則 ，，
得 取 ，則 ，
設直線 與平面 所成角為 ，則 ，
所以線 與平面 所成角為 ．
(3) 設 ，
又 ，得 ，，
設點 到平面 的距離為 ，則 ．
19. 【答案】
(1) 當 時，，．
所以 ，．
所以曲線 在點 處的切線方程為：，
即 ．
(2) 的定義域為 ，
當 時，，
令 ，得 或 ．
與 的情況如下：所以 的單調增區間為 ，，單調減區間為 ，．
(3) 法 ：
“”是“ 時， 恒成立”的必要條件．
當 ， 時，．
設 ，
由（Ⅱ）知， 在 上滿足 ，
所以，當 ， 時，，
所以 的取值范圍是 ．
法 ：
因為 時， 恒成立，
所以 ．
令 ，．
所以 ，
分析解析式發現 ．
令 ，
所以 ．
所以 單調遞增．
與 的情況如下：所以 ，
所以 的取值范圍是 ．
法 ：
，
①當 時，因為 ，所以
取 ，得 ，不合題意；
②當 時，，
顯然 存在唯一負實數根 ，且在 上 ，在 上 ，
所以 在 上遞減，在 上遞增，所以 ，
由 得 ，
所以 ，
滿足 成立即可滿足題意，
設 ，則 ，
所以 在 時單調遞減，又 ，所以 ，
設 ，則 在 時成立
所以 在 單調遞增，
所以 時 恒成立．定西市臨洮縣第二中學2024-2025學年度第二學期期中考試
高二 數學
一、單項選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)
已知函數 ，則
A． B． C． D．
若向量 ，，則
A． B． C． D．
如果函數 的圖象如圖，那么導函數 的圖象可能是（ ）
A．B．C．D．
已知函數 的導函數為 ，且滿足 ，則
A． B． C． D．
已知函數 是奇函數，則曲線 在點 處的切線方程是
A． B． C． D．
在空間直角坐標系中，已知點 與點 ，若在 軸上有一點 滿足 ，則點 的坐標為
A． B． C． D．
已知函數 ，若 是函數 的唯一極值點，則實數 的取值范圍是
A． B． C． D．
已知空間直角坐標系 中有一點 ，點 是 平面內直線 上的動點，則 ， 兩點間的距離最小為
A． B． C． D．
二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分， 共18分. 在每小題給出的選項中有多項符合題目要求，全部選對的得6分，有選錯的得0分.
已知函數 ，則下列結論正確的是
A．當 時，函數 的單調遞減區間是
B．當 時，單調遞增區間是
C．當 時，極小值是
D．若 在 上是增函數，則 的取值范圍為
如圖，四邊形 是邊長為 的正方形，，，且 ， 為線段 上的動點，則下列結論中正確的是
A．
B．該幾何體外接球的表面積為
C．若 為 的中點，則
D． 的最小值為
已知定義在 上的函數 ， 是 的導函數，且恒有 成立，則
A． B． C． D．
三、填空題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.
函數 的單調減區間是 ．
如圖所示，在三棱柱 中，側棱垂直于底面 ，，，， 分別是棱 ， 的中點，則直線 和 所成的角是 ．
已知函數 的導函數 的圖象如圖所示，給出如下命題：
① 是函數 的一個極值點；② 函數 在 處切線的斜率小于零；
③ ；④ 當 時，．
其中正確的命題是 ．（寫出所有正確命題的序號）
四、解答題：本大題共5小題，共77分. 解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
15.（13分）如圖，在平行六面體 中，，，，，， 是 的中點，設 ，，．
(1) 用 ，， 表示 ；
(2) 求 的長．
16.（15分）已知函數 ．
(1) 當 時，求曲線 在 處的切線方程；
(2) 若 在區間 存在極小值，求 的取值范圍．
17.（15分）已知函數 ， 為自然對數的底數．
(1) 求 在 處的切線方程；
(2) 當 時，，求實數 的最大值；
(3) 證明：當 時， 在 處取極小值．
18.（17分）如圖，在四棱錐 中，底面 是矩形，，，．以 的中心 為球心， 為直徑的球面交 于點 ，交 于點 ．
(1) 求該球體的體積．
(2) 求直線 與平面 所成的角的大小．
(3) 求點 到平面 的距離．
19.（17分）已知函數 ．
(1) 當 時，求曲線 在 處的切線方程；
(2) 當 時，求函數 的單調區間；
(3) 當 時， 恒成立，求 的取值范圍．

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