資源簡介

蘇科版八年級上學期第1章《三角形》檢測卷
（滿分：100分）
一．選擇題（共8小題，滿分16分，每小題2分）
1．（2分）王老漢要將一塊如圖所示的三角形土地平均分配給兩個兒子，則圖中他所作的線段AD應該是△ABC的（　　）
A．角平分線 B．中線
C．高線 D．以上都不是
2．（2分）下列命題不正確的是（　　）
A．等腰三角形的底角不能是鈍角
B．等腰三角形不能是直角三角形
C．若一個三角形有三條對稱軸，那么它一定是等邊三角形
D．兩個全等的且有一個銳角為30°的直角三角形可以拼成一個等邊三角形
3．（2分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分線l交BC于點D．若∠DAC＝37°，則∠B的度數是（　　）
A．37° B．30° C．28° D．26°
4．（2分）如圖為八個全等的正六邊形緊密排列在同一平面上的情形．根據圖中標示的各點位置，判斷△ACD與下列哪一個三角形全等？（　　）
A．△ACF B．△ADE C．△ABC D．△BCF
5．（2分）以下四個命題：
①有兩邊和其中一邊上的高線對應相等的兩個三角形全等；
②有兩邊和第三邊上的高線對應相等的兩個三角形全等；
③有兩角和其中一角的角平分線對應相等的兩個三角形全等；
④有兩角和第三個角的角平分線對應相等的兩個三角形全等．
其中真命題有（　　）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
6．（2分）用尺規作一個角的角平分線，下列作法中錯誤的是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2分）如圖，在等邊三角形ABC中，在AC邊上取兩點M、N，使∠MBN＝30°．若AM＝m，MN＝x，CN＝n，則以x，m，n為邊長的三角形的形狀為（　　）
A．銳角三角形 B．直角三角形
C．鈍角三角形 D．隨x，m，n的值而定
8．（2分）如圖，△ABC中，AB＝4，BC＝5，AC＝6，D、E分別是線段AB和線段BC上的動點，且BD＝DE，F是線段AC上一點，且EF＝FC，則DF的最小值為（　　）
A．3 B．2.5 C．2 D．4
二．填空題（共10小題，滿分30分，每小題3分）
9．（3分）等腰三角形的兩條邊長分別為3和6，則這個等腰三角形的周長是 　 　 ．
10．（3分）如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點D，若要直接根據“HL”判定△ABD≌△ACD，還需要添加的一個條件為 　 　 ．
11．（3分）如圖，已知AC與BF相交于點E，AB∥CF，點E為BF中點，若CF＝6，AD＝4，則BD＝　 　 ．
12．（3分）在等腰△ABC中，AB＝AC，一邊上的中線BD將這個三角形的周長分為15和12兩個部分，則該等腰三角形的底邊長為　 　 ．
13．（3分）如圖，點P在△ABC的內部，且PB＝3，M、N分別為點P關于直線AB、BC的對稱點，若MN＝6，則∠ABC＝　 　 °．
14．（3分）在△ABC和△A′B′C′中，AB＝A′B′，AC＝A′C′，高AD＝A′D′，則∠C和∠C′的關系是 　 　 ．
15．（3分）如圖，直線l經過等邊三角形ABC的頂點B，在l上取點D、E，使∠ADB＝∠CEB＝120°．若AD＝2cm，CE＝5cm，則DE＝　 　 cm．
16．（3分）如圖，在銳角△ABC中，∠DBC＝16°，DE和DF分別垂直平分AB、AC，則∠A的度數為 　 　 ．
17．（3分）如圖，∠MAB為銳角，AB＝a，使點C在射線AM上，點B到射線AM的距離為d，BC＝x，若△ABC的形狀、大小是唯一確定的，則x的取值范圍是 　 　 ．
18．（3分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分別為AB，AC上一點，將△BCD，△ADE沿CD，DE翻折，點A，B恰好重合于點P處，若△PCD中有一個角等于48°，則∠A＝　 　 ．
三．解答題（共6小題，滿分54分）
19．（8分）如圖，已知DE∥AB，∠DAE＝∠B，DE＝2，AE＝4，C為AE的中點．
求證：△ABC≌△EAD．
20．（8分）已知：如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，點E是AC的中點．
（1）求證：△BED是等腰三角形；
（2）當∠BCD＝ 　 　 °時，△BED是等邊三角形；
（3）當∠ADE+∠ABE＝45°時，若BD＝5，取BD中點F，求EF的長．
21．（9分）如圖1，△ABC與△DBC全等，且∠ACB＝∠DBC＝90°，BC＝6，AC＝4．如圖2，將△DBC沿射線BC方向平移得到△D1B1C1，連接AC1，BD1．
（1）求證：BD1＝AC1且BD1∥AC1；
（2）△DBC沿射線BC方向平移的距離等于 　 　 時，點A與點D1之間的距離最小．
22．（9分）如圖，A、B兩點分別在射線OM，ON上，點C在∠MON的內部，且AC＝BC，CD⊥OM，CE⊥ON，垂足分別為D，E，且AD＝BE．
（1）求證：OC平分∠MON；
（2）若AD＝3，BO＝4，求AO的長．
23．（10分）定義：若兩個三角形中，有兩組邊對應相等且其中一組等邊所對的角對應相等，但不是全等三角形，我們就稱這兩個三角形為“融通三角形”，相等的邊所對的相等的角稱為“融通角”．
（1）如圖1，在△ABC中，CA＝CB，D是AB上任意一點，則△ACD與△BCD　 　 “融通三角形”；（填“是”或“不是”）
（2）如圖2，△ABC與△DEF是“融通三角形”，其中∠A＝∠D，AC＝DF，BC＝EF，求證：∠B+∠E＝180°．
24．（10分）如圖，△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于點D，過點B作BE⊥AD，交AD延長線于點E，F為AB的中點，連接CF，交AD于點G，連接BG．
（1）線段BE與線段AD有何數量關系？并說明理由；
（2）判斷△BEG的形狀，并說明理由．
蘇科版八年級上學期第1章《三角形》檢測卷
一．選擇題（共8小題）
題號 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B B A B B D C B
一．選擇題（共8小題，滿分16分，每小題2分）
1．（2分）王老漢要將一塊如圖所示的三角形土地平均分配給兩個兒子，則圖中他所作的線段AD應該是△ABC的（　　）
A．角平分線 B．中線
C．高線 D．以上都不是
【思路點拔】根據三角形的中線把三角形分為面積相等的兩部分解答．
【解答】解：由三角形的面積公式可知，三角形的中線把三角形分為面積相等的兩部分，
∴他所作的線段AD應該是△ABC的中線，
故選：B．
2．（2分）下列命題不正確的是（　　）
A．等腰三角形的底角不能是鈍角
B．等腰三角形不能是直角三角形
C．若一個三角形有三條對稱軸，那么它一定是等邊三角形
D．兩個全等的且有一個銳角為30°的直角三角形可以拼成一個等邊三角形
【思路點拔】利用等腰三角形的性質和等邊三角形的判定的知識，對各選項逐項分析，即可得出結果．
【解答】解：本題可采用排除法；
A、利用等腰三角形的性質，等腰三角形的兩底角相等，若兩底角均為鈍角，不能構成三角形，故這種說法錯誤，故不選A；
B、舉反例：等腰直角三角形，故B不正確．
即答案選B．
3．（2分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分線l交BC于點D．若∠DAC＝37°，則∠B的度數是（　　）
A．37° B．30° C．28° D．26°
【思路點拔】根據線段垂直平分線的性質得出AD＝CD，結合等邊對等角即可得出∠B＝∠C＝∠DAC＝37°．
【解答】解：∵在△ABC中，AC的垂直平分線l交BC于點D，
∴AD＝CD，
∴∠C＝∠DAC＝37°．
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝37°，
所以∠B的度數為37°．
故選：A．
4．（2分）如圖為八個全等的正六邊形緊密排列在同一平面上的情形．根據圖中標示的各點位置，判斷△ACD與下列哪一個三角形全等？（　　）
A．△ACF B．△ADE C．△ABC D．△BCF
【思路點拔】分析題意，回憶全等三角形的判定定理，此題中已知八個正六邊形均全等，則可得到六邊形每一條邊均相等，所以可考慮運用SSS進行判定；觀察△ACD各邊的長度，分析各個選項找出與△ACD各邊均相等的三角形即可得到結論．
【解答】解：根據圖形可知△ACD和△ADE全等，
理由是：∵根據圖形可知AD＝AD，AE＝AC，DE＝DC，
∴△ACD≌△AED（SSS），
與△ACD全等的三角形是ADE．
故選：B．
5．（2分）以下四個命題：
①有兩邊和其中一邊上的高線對應相等的兩個三角形全等；
②有兩邊和第三邊上的高線對應相等的兩個三角形全等；
③有兩角和其中一角的角平分線對應相等的兩個三角形全等；
④有兩角和第三個角的角平分線對應相等的兩個三角形全等．
其中真命題有（　　）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【思路點拔】分析是否為真命題，需要分別分析各題設是否能推出結論，從而利用排除法得出答案．
【解答】解：①有兩邊和其中一邊上的高線對應相等的兩個三角形不一定全等，故①錯誤；
②有兩邊和第三邊上的高線對應相等的兩個三角形不一定全等，故②錯誤；
③有兩角和其中一角的角平分線對應相等的兩個三角形全等，故③正確；
④有兩角和第三個角的角平分線對應相等的兩個三角形全等，故④正確．
其中真命題有2個，
故選：B．
6．（2分）用尺規作一個角的角平分線，下列作法中錯誤的是（　　）
A． B．
C． D．
【思路點拔】根據各個選項中的作圖，可以判斷哪個選項符合題意．
【解答】解：由圖可知，選項A、B、C中的線都可以作為角平分線；
選項D中的圖作出的是平行四邊形，不能保證角中間的線是角平分線，
故選：D．
7．（2分）如圖，在等邊三角形ABC中，在AC邊上取兩點M、N，使∠MBN＝30°．若AM＝m，MN＝x，CN＝n，則以x，m，n為邊長的三角形的形狀為（　　）
A．銳角三角形 B．直角三角形
C．鈍角三角形 D．隨x，m，n的值而定
【思路點拔】將△ABM繞點B順時針旋轉60°得到△CBH．連接HN．想辦法證明∠HCN＝120°，HN＝MN＝x即可解決問題；
【解答】解：將△ABM繞點B順時針旋轉60°得到△CBH．連接HN．
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°，
∵∠MBN＝30°，
∴∠ABM+∠CBN＝30°，
∴∠NBH＝∠CBH+∠CBN＝30°，
∴∠NBM＝∠NBH，
∵BM＝BH，BN＝BN，
∴△NBM≌△NBH，
∴MN＝NH＝x，
∵∠BCH＝∠A＝60°，CH＝AM＝m，
∴∠NCH＝120°，
∴x，m，n為邊長的三角形△NCH是鈍角三角形，
故選：C．
8．（2分）如圖，△ABC中，AB＝4，BC＝5，AC＝6，D、E分別是線段AB和線段BC上的動點，且BD＝DE，F是線段AC上一點，且EF＝FC，則DF的最小值為（　　）
A．3 B．2.5 C．2 D．4
【思路點拔】根據題意，過點D作DG⊥BC于點G，FH⊥BC于點H，DM⊥FH于點M，利用三線合一求出BG＝GE，EH＝HC，GH＝2.5，得出四邊形為矩形即可求解．
【解答】解：如圖，過點D作DG⊥BC于點G，FH⊥BC于點H，DM⊥FH于點M，
∵BD＝DE，DG⊥BC，
∴BG＝GE（三線合一），
同理，EH＝HC，
∴GE+EHBC＝2.5，
即GH＝2.5，
∵DM⊥FH，DG⊥BC，
∴∠DGH＝∠DMH＝∠MHG＝90°，
∴四邊形DGHM為矩形，
∴DM＝GH＝2.5，
∵DF≥DM，
∴DF最小值為2.5．
故選：B．
二．填空題（共10小題，滿分30分，每小題3分）
9．（3分）等腰三角形的兩條邊長分別為3和6，則這個等腰三角形的周長是 　15　 ．
【思路點拔】分3是腰長與底邊長兩種情況討論求解即可．
【解答】解：①3是腰長時，三角形的三邊分別為3、3、6，
∵3+3＝6，
∴此時不能組成三角形；
②3是底邊長時，三角形的三邊分別為3、6、6，
此時能組成三角形，
所以，周長＝3+6+6＝15，
綜上所述，這個等腰三角形的周長是15．
故答案為：15．
10．（3分）如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點D，若要直接根據“HL”判定△ABD≌△ACD，還需要添加的一個條件為 　AB＝AC　 ．
【思路點拔】根據AD⊥BC得△ABD和△ACD均為直角三角形，再根據直角邊AD為公共邊得當斜邊相等時可根據“HL”判定△ABD≌△ACD，據此即可得出答案．
【解答】解：當添加條件AB＝AC時，可根據“HL”判定△ABD≌△ACD，理由如下：
∵AD⊥BC于點D，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∴△ABD和△ACD均為直角三角形，
在Rt△ABD和Rt△ACD中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL）．
故答案為：AB＝AC．
11．（3分）如圖，已知AC與BF相交于點E，AB∥CF，點E為BF中點，若CF＝6，AD＝4，則BD＝　2　 ．
【思路點拔】利用全等三角形的判定定理和性質定理可得結果．
【解答】解：∵AB∥CF，
∴∠A＝∠FCE，
∠B＝∠F，
∵點E為BF中點，
∴BE＝FE，
在△ABE與△CFE中，
，
∴△ABE≌△CFE（AAS），
∴AB＝CF＝6，
∵AD＝4，
∴BD＝2，
故答案為：2．
12．（3分）在等腰△ABC中，AB＝AC，一邊上的中線BD將這個三角形的周長分為15和12兩個部分，則該等腰三角形的底邊長為　7或11　 ．
【思路點拔】因為已知條件給出的15或12兩個部分，哪一部分是腰長與腰長一半的和不明確，所以分兩種情況討論．
【解答】解：根據題意，
①當15是腰長與腰長一半時，ACAC＝15，解得AC＝10，
所以底邊長＝1210＝7；
②當12是腰長與腰長一半時，ACAC＝12，解得AC＝8，
所以底邊長＝158＝11．
所以底邊長等于7或11．
故答案為：7或11．
13．（3分）如圖，點P在△ABC的內部，且PB＝3，M、N分別為點P關于直線AB、BC的對稱點，若MN＝6，則∠ABC＝　90　 °．
【思路點拔】證明M，B，N共線，利用軸對稱變換的性質求解即可．
【解答】解：如圖，連接BM，BN．
∵P，M關于AB對稱，P，N關于BC對稱，
∴PB＝BM＝BN＝3，
∵MN＝6，
∴M，B，N共線，
∴∠MBN＝180°，
∴∠ABC∠PBM∠PBN（∠PBM+∠PBN）＝90°，
故答案為：90．
14．（3分）在△ABC和△A′B′C′中，AB＝A′B′，AC＝A′C′，高AD＝A′D′，則∠C和∠C′的關系是 　相等或互補　 ．
【思路點拔】先根據題意畫出圖形，再利用全等三角形的性質解答，畫圖時要注意∠C'為銳角和鈍角兩種情況討論．
【解答】解：當∠C′為銳角時，如圖1所示：
∵AC＝A′C′，AD＝A′D′，AD⊥BC，A′D′⊥B′C′，
在Rt△ADC和Rt△A′D′C'中′，，
∴Rt△ADC≌Rt△A′D′C'（HL），
∴∠C＝∠C′＝60°；
當∠C'為鈍角時，如圖2所示，
∵AC＝A′C′，AD＝A′D′，AD⊥BC，A′D′⊥B′C′，
在Rt△ADC和Rt△A′D′C'中′，，
∴Rt△ACD≌Rt△A′C′D′（HL），
∴∠C＝∠A′C′D′，
∵∠A′C′D′+∠A'C'B'＝180°，
∴∠C+∠A'C'B'＝180°，
綜上所述，∠C和∠C的關系是相等或互補；
故答案為：相等或互補．
15．（3分）如圖，直線l經過等邊三角形ABC的頂點B，在l上取點D、E，使∠ADB＝∠CEB＝120°．若AD＝2cm，CE＝5cm，則DE＝　3　 cm．
【思路點拔】由△ABC是等邊三角形，易得∠ABC＝60°，AB＝BC，又由∠ADB＝∠CEB＝120°，易求得∠BAD＝∠CBE，然后利用AAS即可判定△ABD≌△BCE，繼而求得答案．
【解答】解：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC＝60°，AB＝BC，
∴∠ABD+∠CBE＝60°，
∵∠ADB＝∠CEB＝120°，
∴∠ABD+∠BAD＝60°，
∴∠BAD＝∠CBE，
在△ABD和△BCE中，
，
∴△ABD≌△BCE（AAS），
∴BD＝CE＝5cm，BE＝AD＝2cm，
∴DE＝BD﹣BE＝3cm．
故答案為：3．
16．（3分）如圖，在銳角△ABC中，∠DBC＝16°，DE和DF分別垂直平分AB、AC，則∠A的度數為 　74°　 ．
【思路點拔】由圓周角定理，即可求解．
【解答】解：連接DC，
∵DE和DF分別垂直平分AB、AC，
∴點D是△ABC的外心，DB＝CD，
∴∠A∠BDC，∠DBC＝∠DCB，
∵∠DBC＝16°，
∴∠BDC＝148°，
∴∠A148°＝74°．
故答案為：74°．
17．（3分）如圖，∠MAB為銳角，AB＝a，使點C在射線AM上，點B到射線AM的距離為d，BC＝x，若△ABC的形狀、大小是唯一確定的，則x的取值范圍是 　x＝d或x≥a　 ．
【思路點拔】先找出點D的位置，再畫出符合的所有情況即可．
【解答】解：過B作BD⊥AM于D，
∵點B到射線AM的距離為d，
∴BD＝d，
①如圖，
當C點和D點重合時，x＝d，此時△ABC是一個直角三角形；
②如圖，
當d＜x＜a時，此時C點的位置有兩個，即△ABC有兩個；
③如圖，
當x≥a時，此時△ABC是一個三角形；
所以x的范圍是x＝d或x≥a，
故答案為：x＝d或x≥a．
18．（3分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分別為AB，AC上一點，將△BCD，△ADE沿CD，DE翻折，點A，B恰好重合于點P處，若△PCD中有一個角等于48°，則∠A＝　42°或24°　 ．
【思路點拔】由折疊的性質得出AD＝PD＝BD，∠CPD＝∠B，∠PDC＝∠BDC，∠PCD＝∠DCB，由直角三角形斜邊上的中線性質得出CDAB＝AD＝BD，由等腰三角形的性質得出∠ACD＝∠A，∠DCB＝∠B，中分三種情況討論即可．
【解答】解：由折疊可得，AD＝PD＝BD，∠CPD＝∠B，∠PDC＝∠BDC，∠PCD＝∠DCB，
∴D是AB的中點
∴CDAB＝AD＝BD，
∴∠ACD＝∠A，∠DCB＝∠B，
當∠CPD＝48°時，∠B＝48°，
∴∠A＝90°﹣∠B＝42°；
當∠PCD＝48°時，∠DCB＝∠B＝48°，
∴∠A＝42°；
當∠PDC＝48°時，
∵∠PCD＝DCB＝48°，∠BDC＝∠A+∠ACD，
∴∠A∠BDC＝24°；
故答案為：42°或24°．
三．解答題（共6小題，滿分54分）
19．（8分）如圖，已知DE∥AB，∠DAE＝∠B，DE＝2，AE＝4，C為AE的中點．
求證：△ABC≌△EAD．
【思路點拔】根據中點的定義，再根據AAS證明△ABC≌△EAD解答即可．
【解答】證明：∵C為AE的中點，AE＝4，DE＝2，
∴ACAE＝2＝DE，
又∵DE∥AB，
∴∠BAC＝∠E，
在△ABC和△EAD中，，
∴△ABC≌△EAD（AAS）．
20．（8分）已知：如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，點E是AC的中點．
（1）求證：△BED是等腰三角形；
（2）當∠BCD＝ 　150　 °時，△BED是等邊三角形；
（3）當∠ADE+∠ABE＝45°時，若BD＝5，取BD中點F，求EF的長．
【思路點拔】（1）根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得BEAC，DEAC，從而得到BE＝DE．
（2）利用等邊對等角以及三角形外角的性質得出∠DEB＝∠DAB，即可得出∠DAB＝30°，然后根據四邊形內角和即可求得答案；
（3）利用等腰三角形的性質得EF⊥BD，再利用勾股定理可得答案．
【解答】（1）證明：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，點E是AC邊的中點，
∴BEAC，DEAC，
∴BE＝DE，
∴△BED是等腰三角形；
（2）解：∵AE＝ED，
∴∠DAE＝∠EDA，
∵AE＝BE，
∴∠EAB＝∠EBA，
∵∠DAE+∠EDA＝∠DEC，
∠EAB+∠EBA＝∠BEC，
∴∠DAB＝∠DEB，
∵△BED是等邊三角形，
∴∠DEB＝60°，
∴∠BAD＝30°，
∴∠BCD＝360°﹣90°﹣90°﹣30°＝150°．
故答案為：150；
（3）解：如圖，取BD中點F，連接EF，
∵∠ABC＝∠ADC＝90°，點E是AC的中點，
∴AE＝DE＝BEAC，
∴∠DAE＝∠ADE，∠EAB＝∠ABE，
∵∠DEC＝∠DAE+∠ADE＝2∠DAE，∠BEC＝∠EAB+∠EBA＝2∠EAB，
∴∠DEB＝∠DEC+∠BEC＝2∠DAE+∠BAE＝2（∠DAE+∠BAE）＝90°，
∵DE＝BE，點F為BD的中點，
∴EF⊥BD，EFBD＝2.5，
∴EF的長為2.5．
21．（9分）如圖1，△ABC與△DBC全等，且∠ACB＝∠DBC＝90°，BC＝6，AC＝4．如圖2，將△DBC沿射線BC方向平移得到△D1B1C1，連接AC1，BD1．
（1）求證：BD1＝AC1且BD1∥AC1；
（2）△DBC沿射線BC方向平移的距離等于 　6　 時，點A與點D1之間的距離最小．
【思路點拔】（1）根據全等三角形的性質，平移的性質證明△BB1D1≌C1CA，根據全等的性質即可得到結論；
（2）根據平移的距離即為BC的長即可求解．
【解答】（1）證明：由圖1可知，△ABC≌△DBC，
∴AC＝BD，
由平移的性質可知，BD＝B1D1，∠DBC＝∠D1B1C1，BB1＝CC1，
∴AC＝B1D1，
∵∠DBC＝∠ACB＝90°，
∴∠D1B1C1＝90°，
∴∠ACC1＝∠BB1D1＝90°，
在△BB1D1和△C1CA中，
，
∴△BB1D1≌C1CA（SAS），
∴∠AC1C＝∠B1BD1，BD1＝AC1，
∴BD1∥AC1，
∴BD1＝AC1且BD1∥AC1；
（2）解：當點C于點B重合，點A與點D1之間的距離最小，
∴△DBC沿射線BC方向平移的距離等于BC＝6，
故答案為：6．
22．（9分）如圖，A、B兩點分別在射線OM，ON上，點C在∠MON的內部，且AC＝BC，CD⊥OM，CE⊥ON，垂足分別為D，E，且AD＝BE．
（1）求證：OC平分∠MON；
（2）若AD＝3，BO＝4，求AO的長．
【思路點拔】（1）根據全等三角形的判定定理推出Rt△ADC≌Rt△BEC，根據全等三角形的性質得出CD＝CE，再得出答案即可；
（2）根據全等三角形的性質得出AD＝BE＝3，根據全等三角形的判定定理推出Rt△ODC≌Rt△OEC，根據全等三角形的性質得出OD＝OB，再求出答案即可．
【解答】（1）證明：∵CD⊥OM，CE⊥ON，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
在Rt△ADC和Rt△BEC中，
，
∴Rt△ADC≌Rt△BEC（HL），
∴CD＝CE，
∵CD⊥OM，CE⊥ON，
∴OC平分∠MON；
（2）解：∵Rt△ADC≌Rt△BEC，AD＝3，
∴BE＝AD＝3，
∵BO＝4，
∴OE＝OB+BE＝4+3＝7，
∵CD⊥OM，CE⊥ON，
∴∠CDO＝∠CEO＝90°，
在Rt△DOC和Rt△EOC中，
，
∴Rt△DOC≌Rt△EOC（HL），
∴OD＝OE＝7，
∵AD＝3，
∴OA＝OD+AD＝7+3＝10．
23．（10分）定義：若兩個三角形中，有兩組邊對應相等且其中一組等邊所對的角對應相等，但不是全等三角形，我們就稱這兩個三角形為“融通三角形”，相等的邊所對的相等的角稱為“融通角”．
（1）如圖1，在△ABC中，CA＝CB，D是AB上任意一點，則△ACD與△BCD　是　 “融通三角形”；（填“是”或“不是”）
（2）如圖2，△ABC與△DEF是“融通三角形”，其中∠A＝∠D，AC＝DF，BC＝EF，求證：∠B+∠E＝180°．
【思路點拔】（1）由題意得∠A＝∠B，DC＝DC，由融通三角形定義即可得出結論；
（2）在線段DE上取點G，使DG＝AB，連接FG，證明△ABC≌△DGF（SAS），得出∠B＝∠DGF，BC＝GF，即可證明．
【解答】（1）解：根據題意，∵CB＝CA，
∴∠B＝∠A，
∵DC＝DC且AD≠BD，
∴△ACD與△BCD不全等，
所以△ACD與△BCD是“融通三角形”，
故答案為：是；
（2）證明：如圖，在線段DE上取點G，使DG＝AB，連接FG，
∵AC＝DF，∠A＝∠D，
∴△ABC≌△DGF（SAS），
∴BC＝GF，∠B＝∠DGF，
∵BC＝EF，
∴GF＝EF，
∴∠E＝∠FGE，
∵∠DGF+∠FGE＝180°，
∴∠B+∠E＝180°．
24．（10分）如圖，△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于點D，過點B作BE⊥AD，交AD延長線于點E，F為AB的中點，連接CF，交AD于點G，連接BG．
（1）線段BE與線段AD有何數量關系？并說明理由；
（2）判斷△BEG的形狀，并說明理由．
【思路點拔】（1）延長BE、AC交于點H，先證明△BAE≌△HAE，得BE＝HEBH，再證明△BCH≌△ACD，得BH＝AD，則BEAD；
（2）先證明CF垂直平分AB，則AG＝BG，再證明∠CAB＝∠CBA＝45°，則∠GAB＝∠GBA＝22.5°，于是∠EGB＝∠GAB+∠GBA＝45°，可證明△BEG是等腰直角三角形．
【解答】解：（1）如圖，BEAD，
理由如下：延長BE、AC交于點H，
∵BE⊥AD，
∴∠AEB＝∠AEH＝90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠HAE，
在△BAE和△HAE中，
，
∴△BAE≌△HAE（ASA），
∴BE＝HEBH，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCH＝180°﹣∠ACB＝90°＝∠ACD，
∴∠CBH＝90°﹣∠H＝∠CAD，
在△BCH和△ACD中，
，
∴△BCH≌△ACD（ASA），
∴BH＝AD，
∴BEAD．
（2）△BEG是等腰直角三角形，
理由如下：∵AC＝BC，AF＝BF，
∴CF⊥AB，
∴AG＝BG，
∴∠GAB＝∠GBA，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°，
∴∠GAB∠CAB＝22.5°，
∴∠GAB＝∠GBA＝22.5°，
∴∠EGB＝∠GAB+∠GBA＝45°，
∵∠BEG＝90°，
∴∠EBG＝∠EGB＝45°，
∴EG＝EB，
∴△BEG是等腰直角三角形．

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