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2024-2025學年黑龍江省哈爾濱市阿城區八年級（下）期中數學試卷
一、選擇題；（每小題3分，共計30分）
1．下列二次根式中，是最簡二次根式的為　　
A． B． C． D．
2．若式子在實數范圍內有意義， 則的取值范圍是　　
A ． B ． C ． D ．
3．下列四組線段、、，能組成直角三角形的是　　
A．，， B．，， C．，， D．，，
4．下列運算結果正確的是　　
A． B． C． D．
5．下列的值中，能判定四邊形是平行四邊形的是　　
A． B． C． D．
6．在平面直角坐標系中，點到原點的距離是　　
A．1 B．5 C． D．
7．如圖，以點為圓心，適當的長為半徑畫弧，交兩邊于點，，再分別以、為圓心，的長為半徑畫弧，兩弧交于點，連接，．若，則　　
A． B． C． D．
8．如圖，在菱形中，點、分別為、的中點，若，那么菱形的周長為　　
A．14 B．8 C．12 D．16
9．如圖，數學課上老師給出了以下四個條件：兩組對邊分別相等；一組對邊平行且相等；一組鄰邊相等；一個角是直角．有三位同學給出了不同的組合方式：①，，；②，，③，，．你認為能得到正方形的是　　
A．僅① B．僅③ C．①② D．②③
10．如圖，將一個圓柱形無蓋小燒杯放置在一個圓柱形無蓋大燒杯底部，杯底厚度忽略不計．已知大燒杯的底面半徑是小燒杯的底面半徑的2倍，現向小燒杯內勻速加水，當大燒杯內的水面高度與小燒杯頂部齊平時，就停止加水．在加水的過程中，小燒杯、大燒杯內水面的高度差隨加水時間變化的圖象可能是　　
A．
B．
C．
D．
二、填空題：（每小題3分，共30分）
11．化簡：　　．
12．菱形中，若對角線，，則菱形的面積為 　　 ．
13．在如圖所示的圖形中，所有四邊形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形、、的面積依次為5、6、20，則正方形的面積是 　　．
14．如圖，，點、、在直線上，四邊形為平行四邊形，若△的面積為3，則平行四邊形的面積是 　　 ．
15．我國古代偉大的數學家劉徽將勾股形（古人稱直角三角形為勾股形）分割成一個正方形和兩對全等的直角三角形，得到一個恒等式．后人借助這種分割方法所得的圖形證明了勾股定理，如圖所示的就用了這種分割方法，若，，則正方形的邊長等于 　　 ．
16．我們規定：對于任意的正數，的“※”運算為：※，計算8※18的結果為 　　 ．
17．如圖，點是矩形的對角線的延長線上一點，若，，則 　　 ．
18．如圖，在菱形中，，，動點、分別在線段、上，且，則的最小值為 　　 ．
19．在平行四邊形中，，，對角線，則平行四邊形的面積為 　　 ．
20．如圖，在平行四邊形中，、分別為邊、的中點，是對角線，，交的延長線于，連接，．下列結論：①；②四邊形是菱形；③；④若，，那么．其中所有正確結論的序號是 　　 ．
三、解答題（其中21～22題各7分，23～24題各8分；25～27題各10分，共計60分）
21．計算：
；
．
22．如圖方格紙中每個小正方形的邊長均為1，線段，的端點均在小正方形的頂點上．
（1）在圖中畫出一個以為一邊的正方形，且點、點均在小正方形頂點上；
（2）在圖中畫出一個以、為鄰邊的平行四邊形，且點在小正方形的頂點上，連接并直接寫出線段的長．
23．如圖，已知四邊形是正方形，點，分別在直線和上，點，是軸上兩點．
（1）若，求點的坐標；
（2）在（1）的條件下，求的值；
（3）思考，當正方形的邊長變化時，那么的值 　　 ．（用“改變”，“不變”填空）
24．如圖，點是對角線的交點，過點的直線分別交，于點，．
（1）求證：△△；
（2）當時，，分別連接，．求此時四邊形的周長．
25．數學小組在探究學習中，小組成員遇到這樣一個問題：
已知，求的值．經過思考他們是這樣解答的：
，，即，
，．
請你根據探究小組的解題方法和過程，解決以下問題：
（1） 　　 ；
（2）計算按規律排列的式子：；
（3）若，求的值．
26．在函數學習中，我們經歷了列表、描點、連線畫函數圖象，并結合圖象研究函數性質及其應用的過程．以下是我們研究函數的性質及其應用的部分過程，請補充完整下面的探究過程：
（1）下表是與的幾組對應值．
0 1 2 3
2 1 0 0 1 2
①， 　　 ；
②，為該函數圖象上不同的兩點，則 　　 ， 　　 ；
（2）在下面的平面直角坐標系中，描出以上表中各對對應值為坐標的點．并根據描出的點，畫出該函數的圖象，根據函數圖象：
①寫出該函數圖象的兩點性質；
　　 ；
　　 ；
②在同一個平面直角坐標系中畫出的圖象，當時，的值為：　　 ；
（3）點是軸正半軸上一點，點在軸左側、點在軸右側且均在的圖象上，連接、，若，四邊形（非平行四邊形）的面積為8，求點的坐標．
27．當一個三角形的一個內角是另一個內角的2倍時，我們稱為2倍角三角形，2倍角三角形會有一些性質．
特例感知：
（1）如圖1，在△中，于點，，，則 　　 ；（用，，填空）
數學思考：
（2）如圖2，在△中，于點，，求證：；
嘗試應用：
（3）如圖3，在中，對角線、相交于點，于點，，點為上一點，連接交于點，若，，，求的長．
參考答案
一、選擇題；（每小題3分，共計30分）
1．下列二次根式中，是最簡二次根式的為　　
A． B． C． D．
解：、，故不符合題意；
、，故不符合題意；
、是最簡二次根式，故符合題意；
、，故不符合題意；
故選：．
2．若式子在實數范圍內有意義， 則的取值范圍是　　
A ． B ． C ． D ．
解： 根據題意得，，
解得．
故選：．
3．下列四組線段、、，能組成直角三角形的是　　
A．，， B．，， C．，， D．，，
解：、，不能圍成直角三角形，不符合題意；
、，能圍成直角三角形，符合題意；
、，不能圍成直角三角形，不符合題意；
、，不能圍成直角三角形，不符合題意，
故選：．
4．下列運算結果正確的是　　
A． B． C． D．
解：．，所以選項不符合題意；
．，所以選項符合題意；
．，所以選項不符合題意；
．，所以選項不符合題意．
故選：．
5．下列的值中，能判定四邊形是平行四邊形的是　　
A． B． C． D．
解：根據平行四邊形的判定：兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形，所以只有符合條件．
故選：．
6．在平面直角坐標系中，點到原點的距離是　　
A．1 B．5 C． D．
解：在平面直角坐標系中，點到原點的距離是：
．
故選：．
7．如圖，以點為圓心，適當的長為半徑畫弧，交兩邊于點，，再分別以、為圓心，的長為半徑畫弧，兩弧交于點，連接，．若，則　　
A． B． C． D．
解：由作圖可知，
四邊形是菱形，
．
故選：．
8．如圖，在菱形中，點、分別為、的中點，若，那么菱形的周長為　　
A．14 B．8 C．12 D．16
解：點、分別為、的中點，
，
四邊形是菱形，
，
菱形的周長，
故選：．
9．如圖，數學課上老師給出了以下四個條件：兩組對邊分別相等；一組對邊平行且相等；一組鄰邊相等；一個角是直角．有三位同學給出了不同的組合方式：①，，；②，，③，，．你認為能得到正方形的是　　
A．僅① B．僅③ C．①② D．②③
解：①由得到兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，添加即一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，再添加即一個角是直角的菱形是正方形，故①正確；
②由得到一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，添加即有一個角是直角的平行四邊形是矩形，再添加即一組鄰邊相等的矩形是正方形，故②正確；
③由得到兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，添加得到一組對邊平行且相等的平行四邊形仍是平行四邊形，再添加即一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，不能得到四邊形是正方形，故③不正確；
故選：．
10．如圖，將一個圓柱形無蓋小燒杯放置在一個圓柱形無蓋大燒杯底部，杯底厚度忽略不計．已知大燒杯的底面半徑是小燒杯的底面半徑的2倍，現向小燒杯內勻速加水，當大燒杯內的水面高度與小燒杯頂部齊平時，就停止加水．在加水的過程中，小燒杯、大燒杯內水面的高度差隨加水時間變化的圖象可能是　　
A．
B．
C．
D．
解：大燒杯的底面半徑是小燒杯的底面半徑的2倍，
小燒杯的容積是大燒杯與小燒杯頂部齊平時下部容積的，
注滿小燒杯的所需時間是大燒杯下部注水時間的，
小燒杯、大燒杯內水面的高度差隨加水時間變化的圖象可能是選項．
故選：．
二、填空題：（每小題3分，共30分）
11．化簡：　　．
解：
，
故答案為：．
12．菱形中，若對角線，，則菱形的面積為 　　 ．
解：菱形中，若對角線，，
菱形的面積．
故答案為：．
13．在如圖所示的圖形中，所有四邊形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形、、的面積依次為5、6、20，則正方形的面積是 　9　．
解：由題意：，，
正方形、、的面積依次為5、6、20，
，
．
故答案為：9．
14．如圖，，點、、在直線上，四邊形為平行四邊形，若△的面積為3，則平行四邊形的面積是 　6　 ．
解：作于點，于點，
，
，
，
故答案為：6．
15．我國古代偉大的數學家劉徽將勾股形（古人稱直角三角形為勾股形）分割成一個正方形和兩對全等的直角三角形，得到一個恒等式．后人借助這種分割方法所得的圖形證明了勾股定理，如圖所示的就用了這種分割方法，若，，則正方形的邊長等于 　1　 ．
解：設正方形的邊長為，
則，
△△，△△，
，，
，
，
，
，
正方形的邊長等于1．
故答案為：1．
16．我們規定：對于任意的正數，的“※”運算為：※，計算8※18的結果為 　　 ．
解：原式
，
故答案為：．
17．如圖，點是矩形的對角線的延長線上一點，若，，則 　　 ．
解：四邊形是矩形，
，
，
，
，
，
，
故答案為：．
18．如圖，在菱形中，，，動點、分別在線段、上，且，則的最小值為 　　 ．
解：如圖所示，連接，過點作于，
四邊形是菱形，
，，，
△、△都是等邊三角形，
，，
，
又，
△△，
，，
，
即，
△是等邊三角形，
，
當最小時，最小，
當與重合時，此時最小，即最小，最小值為，
，
，
，
的最小值為，
故答案為：．
19．在平行四邊形中，，，對角線，則平行四邊形的面積為 　　 ．
解：如圖，過點作于點，
，
，
，，
，
．
故答案為：．
20．如圖，在平行四邊形中，、分別為邊、的中點，是對角線，，交的延長線于，連接，．下列結論：①；②四邊形是菱形；③；④若，，那么．其中所有正確結論的序號是 　①②③　 ．
解：①在平行四邊形中，、分別為邊、的中點，
四邊形為平行四邊形，
，故①正確．
②由①知四邊形為平行四邊形，
，為邊的中點，
，
四邊形是菱形，故②正確．
④，，，
四邊形為矩形，
，
，，
，，
，
，
，
，
要使，則，
而，，
，
不恒成立，
不成立，故④錯誤．
故④不正確．
③由④知，
，
為中點，
，
，
故③正確．
綜上可得：①②③正確．
故答案為：①②③．
三、解答題（其中21～22題各7分，23～24題各8分；25～27題各10分，共計60分）
21．計算：
；
．
解：（1）原式
；
（2）原式
．
22．如圖方格紙中每個小正方形的邊長均為1，線段，的端點均在小正方形的頂點上．
（1）在圖中畫出一個以為一邊的正方形，且點、點均在小正方形頂點上；
（2）在圖中畫出一個以、為鄰邊的平行四邊形，且點在小正方形的頂點上，連接并直接寫出線段的長．
解：（1）畫出一個以為一邊的正方形，如圖所示：
（2）畫出一個以、為鄰邊的平行四邊形，如圖所示：
．
23．如圖，已知四邊形是正方形，點，分別在直線和上，點，是軸上兩點．
（1）若，求點的坐標；
（2）在（1）的條件下，求的值；
（3）思考，當正方形的邊長變化時，那么的值 　不變　 ．（用“改變”，“不變”填空）
解：（1）由題意，設正方形的邊長為，
，
．
．
又直線過，
．
．
．
（2）由題意，，，
．
又點在直線上，
．
．
（3）的值不會發生變化，
理由：正方形邊長為，
，
在直線中，當時，，
，．
，，
將代入，
．
．
故答案為：不變．
24．如圖，點是對角線的交點，過點的直線分別交，于點，．
（1）求證：△△；
（2）當時，，分別連接，．求此時四邊形的周長．
【解答】（1）證明：四邊形是平行四邊形，
，
，
點是對角線的交點，
，
在△和△中，
，
△△．
（2）解：連接，，
由（1）得△△，
，
，
四邊形是平行四邊形，
，
四邊形是菱形，
，
，
四邊形的周長為．
25．數學小組在探究學習中，小組成員遇到這樣一個問題：
已知，求的值．經過思考他們是這樣解答的：
，，即，
，．
請你根據探究小組的解題方法和過程，解決以下問題：
（1） 　　 ；
（2）計算按規律排列的式子：；
（3）若，求的值．
解：（1）由題意，．
故答案為：．
（2）由題意，原式
．
（3）由題意，，
，
，
，
．
26．在函數學習中，我們經歷了列表、描點、連線畫函數圖象，并結合圖象研究函數性質及其應用的過程．以下是我們研究函數的性質及其應用的部分過程，請補充完整下面的探究過程：
（1）下表是與的幾組對應值．
0 1 2 3
2 1 0 0 1 2
①， 　　 ；
②，為該函數圖象上不同的兩點，則 　　 ， 　　 ；
（2）在下面的平面直角坐標系中，描出以上表中各對對應值為坐標的點．并根據描出的點，畫出該函數的圖象，根據函數圖象：
①寫出該函數圖象的兩點性質；
　　 ；
　　 ；
②在同一個平面直角坐標系中畫出的圖象，當時，的值為：　　 ；
（3）點是軸正半軸上一點，點在軸左側、點在軸右側且均在的圖象上，連接、，若，四邊形（非平行四邊形）的面積為8，求點的坐標．
解：（1）由題意，，
當時，．
故答案為：．
（2）由題意，，為該函數的圖象上不同的兩點，
．
或．
．
如圖所示，
，，
．
．
故答案為：；90．
①如圖所示，
該函數圖象的具有的性質有；當時，隨的增大而減小，當時，隨的增大而增大；圖象關于軸對稱．
故答案為：當時，隨的增大而減小，當時，隨的增大而增大；圖象關于軸對稱．
②由題意知，當時，，則，
．
當時，，則，
．
綜上，的值為：或2．
故答案為：或2．
（3）由題意設，，，，，，
，，
四邊形的面積為8，，
，
，
，
，，，
，
整理得：，
，
，
，
，解得：（舍去負值），
，
點的坐標為．
27．當一個三角形的一個內角是另一個內角的2倍時，我們稱為2倍角三角形，2倍角三角形會有一些性質．
特例感知：
（1）如圖1，在△中，于點，，，則 　　 ；（用，，填空）
數學思考：
（2）如圖2，在△中，于點，，求證：；
嘗試應用：
（3）如圖3，在中，對角線、相交于點，于點，，點為上一點，連接交于點，若，，，求的長．
【解答】（1）解：如圖1，
在上截取，連接，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案為：；
（2）證明：如圖2，
在上截取，連接，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：如圖3，
在上截取，連接，
設，，設，
四邊形是平行四邊形，
，，，
，，，
，
由（2）知，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
．

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