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2024-2025學年廣西來賓市興賓區八年級（下）期中數學試卷
一、選擇題：本大題共12小題，每小題3分，共36分。在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求。
1．下列各組數，屬于勾股數的是　　
A．1，，2 B．6，8，10 C．0.3，0.4，0.5 D．2，3，4
2．下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是　　
A．
B．
C．
D．
3．如圖，公路，互相垂直，的中點與點被湖隔開．測得長為，則的長為　　
A． B． C． D．
4．如圖，在△中，點，點，點分別是，，的中點，若△的周長是12，則△的周長是　　
A．12 B．6 C．10 D．8
5．若這個正多邊形的內角和是外角和的5倍，則它的邊數是　　
A．5 B．6 C．10 D．12
6．如圖，的對角線與相交于點，下列結論一定正確的是　　
A． B． C． D．
7．如圖，已知，垂足為點，，要根據“”證明△△，還需要添加的一個條件是　　
A． B． C． D．
8．如圖，在中，，點在的延長線上，，若平分，則的長為　　
A．6 B．3 C．2 D．5
9．《九章算術》中有這樣一個問題（如圖）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，問折者高幾何？意思是：一根竹子原高一丈丈尺），中部一處折斷，竹梢觸地面處離竹根3尺，問折斷處離地面幾尺？設折斷處離地面的高度為尺，則可列方程為　　
A． B．
C． D．
10．如圖，在中，，為邊上一動點，于，于，動點從點出發，沿著勻速向終點運動，則線段的值大小變化情況是　　
A．一直增大 B．不變 C．先減小后增大 D．先增大后減小
11．如圖，已知△中，，平分，且．若，則點到邊的距離為　　
A．2 B．3 C．6 D．9
12．如圖，菱形的面積為24，點是的中點，點是上的動點．若△的面積為4，則圖中陰影部分的面積為　　
A．6 B．8 C．12 D．10
二、填空題：本大題共4小題，每小題3分，共12分。
13．在△中，，，，則　　 ．
14．如圖，在△中，，，，則　　 ．
15．如圖，在正方形的外側，作等邊三角形，、相交于點，則的度數為 　　度．
16．如圖，將一張長方形紙片沿折疊，使、兩點重合，點落在點處．已知，．則線段的長是　　 ．
三、解答題：本大題共7小題，共72分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
17．如圖，在正方形網格圖中，若每個小正方形的邊長是1，△與△關于點對稱．
（1）畫出△；
（2）連接，，判斷四邊形的形狀，并說明理由．
18．如圖，在△中，，點，點分別是，的中點，延長到點，使，連接，，，，與的交點為點．
（1）判斷與有什么數量關系，并說明理由．
（2）當，，求的長．
19．如圖，在平行四邊形中，點在邊上，，連接，點為的中點，的延長線交邊于點，連接．
（1）求證：四邊形是菱形；
（2）若平行四邊形的周長為22，，，求的長．
20．如圖，點是內一點，把繞點順時針方向旋轉得到，若，，．
（1）判斷的形狀，并說明理由；
（2）求的度數．
21．【探究發現】我國三國時期的數學家趙爽利用四個全等的直角三角形拼成如圖1所示圖形，其中四邊形和四邊形都是正方形，巧妙地用面積法得出了直角三角形三邊長，，之間的一個重要結論：．
【深入思考】
如圖2，在△中，，，，，以為直角邊在的右側作等腰直角△，其中，，過點作，垂足為點．
（1）求證：，．
（2）請你用兩種不同的方法表示梯形的面積，并證明：．
22．如圖，在中，對角線、相交于點，．
（1）求證：．
（2）點在邊上，滿足，若，，求及的長．
23．【問題呈現】小明在數學興趣小組活動時遇到一個幾何問題：如圖①，在等邊△中，，點、分別在邊、上，且，試探究線段長度的最小值．
【問題分析】小明通過構造平行四邊形，將雙動點問題轉化為單動點問題，再通過定角發現這個動點的運動路徑，進而解決上述幾何問題．
【問題解決】如圖②，過點、分別作、的平行線，并交于點，作射線．
在【問題呈現】的條件下，完成下列問題：
（1）證明：；
（2）的大小為 　　度，線段長度的最小值為 　　．
【方法應用】某種簡易房屋在整體運輸前需用鋼絲繩進行加固處理，如圖③．小明收集了該房屋的相關數據，并畫出了示意圖，如圖④，△是等腰三角形，四邊形是矩形，米，．是一條兩端點位置和長度均可調節的鋼絲繩，點在上，點在上．在調整鋼絲繩端點位置時，其長度也隨之改變，但需始終保持．鋼絲繩長度的最小值為 　　米．
參考答案
一、選擇題：本大題共12小題，每小題3分，共36分。在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求。
1．
2．
3．C
4．B
5. D
6．．
7．．
8．．
9．．
10．．
11．．
12．．
二、填空題：本大題共4小題，每小題3分，共12分。
13．4．
14．5．
15．3．
三、解答題：本大題共7小題，共72分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
17．解：（1）如圖，△即為所求．
（2）四邊形是平行四邊形．
理由：△與△關于點對稱，
，，
四邊形是平行四邊形．
18．解：（1），理由如下：
，分別是，的中點，
是△的中位線，
，，
，
，，
四邊形是平行四邊形．
；
（2），，，
，．
由（1）知四邊形是平行四邊形，是的中點，
，．
，
，
，
．
19．（1）證明：四邊形是平行四邊形，
，
，
是的中點，
，
在和中，
，
，
，
，
四邊形是平行四邊形，
，
四邊形是菱形；
（2）解：，
，
，
，
，
是等邊三角形，
，
，，
，
，
四邊形是平行四邊形，
，
，
，
，
．
20．解：（1）根據圖形的旋轉不變性，
，
，
又因為，
所以和均為等邊三角形，
于是，
，
又因為，
所以；
故為直角三角形．
（2）因為為直角三角形，
所以，
又因為為等邊三角形，
所以，
故，
即．
21．（1）證明：，
，
，
，
，
，
又，，
△△．
，；
（2）用兩種不同的方法表示梯形的面積，并證明：，如下：
證明：由題意得，第一種方法：
，
第二種方法：
，
，
，
．
22．（1）證明：四邊形是平行四邊形，，
四邊形是矩形，
；
（2）解：，，
，
四邊形是矩形，
，．
，
．
過點作于點，則，
，
，
．
23．（1）證明：，，
四邊形是平行四邊形，
，
又，
．
（2）解：，
，
，
．
四邊形是平行四邊形，
，
當最小時，也有最小值，
此時．
最小值是．
故答案為：30，．
【方法應用】解：如圖過、作、的平行線，則四邊形是平行四邊形，
，，
，
當時，最小，
，
，
，
在△中，，
．
故答案為：．

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