資源簡介

2024-2025學年上海市婁山中學八年級（下）期中數學試卷
一、選擇題：（本大題共6題，每題3分，滿分18分）
1．下列函數中，一次函數是　　
A． B． C． D．
2．下列方程中，是二項方程的為　　
A． B． C． D．
3．下列方程中，有實數解的是　　
A． B． C． D．
4．某災區恢復生產，計劃在一定時間內種60畝蔬菜，實際播種時每天比原計劃多種3畝，因此提前一天完成任務，問實際種了幾天？現設實際種了天，則可列方程　　
A． B． C． D．
5．已知平行四邊形的一條邊長為14，下列各組數中，能分別作它的兩條對角線長的是　　
A．10與16 B．12與16 C．20與22 D．10與18
6．如圖，在平面直角坐標系中，直線的圖象與軸、軸交于點，，直線經過點，且與軸交于的中點，以，，為頂點的△在第一象限內，將△向左平移個單位，若△的各邊始終與直線或直線有交點，則的取值范圍是　　
A． B． C． D．
二、填空題：（本大題共12題，每題2分，滿分24分）
7．一次函數在軸上的截距是　　 ．
8．已知一次函數，隨的增大而減小，那么的取值范圍是　　 ．
9．一次函數與的圖象的交點坐標為 　　 ．
10．將二元二次方程化為二個一次方程為　　 ．
11．用換元法解分式方程時，如果設，則原方程可化為關于的整式方程是　　 ．
12．“通過等價變換，化陌生為熟悉，化未知為已知”是數學學習中解決問題的基本思維方法，如：解方程，就可以利用該思維方式，設，將原方程轉化為：這個熟悉的關于的一元二次方程，解出，再求，這種方法又叫“換元法”，請你用這種思維方式和換元法解方程：．方程的解為 　　 ．
13．關于的方程的解是　　 ．
14．如果一個多邊形的每個內角都等于，那么關于這個多邊形是　 　邊形．
15．在中，若，則為　　 度．
16．如圖，正方形的邊長為4，點為上一點，，點為正方形邊上一點，且，則的長等于 　　 ．
17．如圖，在平面直角坐標系中，一次函數與軸和軸分別交于點和點，以為邊在直線右側作正方形，連接，過點作軸，垂足為點，交于點，連接，則三角形的周長為　　 ．
18．如圖，在平面直角坐標系中，直線分別與軸、軸交于點、，且點的坐標為，四邊形是正方形．點是線段上的一個動點（點、除外），點在軸的上方，以、、、為頂點的四邊形是菱形，則點的坐標為　　 ．
三、解答題（本大題共7題，滿分0分）
19．（1）解方程：；
（2）解方程組：；
（3）解方程：．
20．已知一次函數，當時，．
（1）求一次函數的解析式；
（2）將該函數的圖象向上平移6個單位，求平移后的圖象與軸交點的坐標．
21．團隊接到抗疫任務，乘坐巴士從甲地出發趕往乙地執行任務，甲乙兩地距離為340千米．他們出發后不久，專家也接到命令須趕往當地進行支援，他乘坐轎車前往．設團隊走的路程為（千米），專家走的路程為（千米），他們前進的時間（從出發開始計時）為（小時），、與之間的部分函數圖象如圖所示．
（1）在專家出發時，團隊已經行進了 　　千米；專家的速度是每小時 　　千米．
（2）當時，求關于的函數解析式；
（3）如果5個小時后，專家保持之前的速度繼續前進，團隊提高速度去追趕，提速后的速度是每小時70千米，請問團隊能否在專家到達乙地之前追上他？如果能夠追上，求出此時他們離乙地的距離；如果不能，請說明理由．
22．今年新型“和諧號”高速列車正式投入滬寧線運行，已知上海到南京全程約300公里，如果新型“和諧號”高速列車行駛的平均速度比原來的“和諧號”動車行駛的平均速度每分鐘快2公里，那么從上海到南京比原來“和諧號”動車少用40分鐘，問新型“和諧號”高速列車從上海到達南京大約需要多少分鐘？
23．在中，，分別是，上的點，且，連接，，．
（1）求證：四邊形是平行四邊形；
（2）若平分，，，，求的長．
24．已知一次函數的圖象與軸、軸分別交于點、．以為邊在第一象限內作等腰直角三角形，且，，作的垂直平分線，交直線與點，交軸于點．
（1）求點的坐標；
（2）在的垂直平分線上有一點，且點與點位于直線的同側，使得，求點的坐標；
（3）在（2）的條件下，連接、，判斷△的形狀，并給予證明；
25．如圖1，在△中，點為邊上的點與，不重合），，且，聯結，聯結交于點．
（1）求證：平分；
（2）如圖2，若，且，設線段為，三角形的面積為，求關于的函數解析式；
（3）如圖3，若，當△是等腰三角形時，求的值．
參考答案
一、選擇題：（本大題共6題，每題3分，滿分18分）
1．下列函數中，一次函數是　　
A． B． C． D．
解：、是反比例函數，故本選項錯誤；
、是二次函數，故本選項錯誤；
、是一次函數，故本選項正確；
、是反比例函數，故本選項錯誤．
故選：．
2．下列方程中，是二項方程的為　　
A． B． C． D．
【答案】
解：．不是二項方程，方程右邊不等于0，
不符合題意；
．不是二項方程，方程左邊沒有常數項，
不符合題意；
．是二項方程，
符合題意；
．不是二項方程，方程左邊只有一項，
不符合題意；
故選：．
3．下列方程中，有實數解的是　　
A． B． C． D．
解：、，，方程沒有實數解；
、兩邊平方得，解得，經檢驗為原方程的解；
、，則沒有實數解；
、去分母得，經檢驗原方程無解．
故選：．
4．某災區恢復生產，計劃在一定時間內種60畝蔬菜，實際播種時每天比原計劃多種3畝，因此提前一天完成任務，問實際種了幾天？現設實際種了天，則可列方程　　
A． B． C． D．
【答案】
解：設實際種了天，由題意得：
，
故選：．
5．已知平行四邊形的一條邊長為14，下列各組數中，能分別作它的兩條對角線長的是　　
A．10與16 B．12與16 C．20與22 D．10與18
【答案】
【解答】解；如圖，四邊形是平行四邊形，、交于點，，則，
、當，時，則，，
，即此時不能構成三角形，不符合題意；
、當，時，則，，
，即此時不能構成三角形，不符合題意；
、當，時，則，，
，即此時能構成三角形，符合題意；
、當，時，則，，
，即此時不能構成三角形，不符合題意；
故選：．
6．如圖，在平面直角坐標系中，直線的圖象與軸、軸交于點，，直線經過點，且與軸交于的中點，以，，為頂點的△在第一象限內，將△向左平移個單位，若△的各邊始終與直線或直線有交點，則的取值范圍是　　
A． B． C． D．
【答案】
解：由題知，
將代入得，，
所以點的坐標為．
將代入得，，
所以點的坐標為．
因為點為的中點，
所以點的坐標為．
將點和點的坐標代入得，
，
解得，
所以直線的函數解析式為．
根據所給平移方式可知，
當點在直線上時，取得最小值；當點在直線上時，取得最大值．
將代入得，
，
解得，
所以的最小值為：；
將代入得，
，
解得，
所以的最大值為：，
所以的取值范圍是：．
故選：．
二、填空題：（本大題共12題，每題2分，滿分24分）
7．一次函數在軸上的截距是　　 ．
解：由，知：當，，
即一次函數與軸交點為，
一次函數在軸上的截距為：．
故答案為：．
8．已知一次函數，隨的增大而減小，那么的取值范圍是　　 ．
解：一次函數，隨的增大而減小，
，
解得，．
故答案為：．
9．一次函數與的圖象的交點坐標為 　　 ．
解：聯立方程組得：，
解得．
一次函數與的圖象的交點坐標為，
故答案為：．
10．將二元二次方程化為二個一次方程為　和　 ．
【答案】和．
解：，
，
或，
故答案為：和．
11．用換元法解分式方程時，如果設，則原方程可化為關于的整式方程是　　 ．
解：設，
原方程變為，
方程兩邊都乘得．
故原方程可化為關于的整式方程是．
12．“通過等價變換，化陌生為熟悉，化未知為已知”是數學學習中解決問題的基本思維方法，如：解方程，就可以利用該思維方式，設，將原方程轉化為：這個熟悉的關于的一元二次方程，解出，再求，這種方法又叫“換元法”，請你用這種思維方式和換元法解方程：．方程的解為 　，　 ．
解：，
設，則原方程化為：
，
，
解得：，，
當時，，
算術平方根具有非負性，所以此方程無解；
當時，，
方程兩邊平方，得，
解得：，，
經檢驗，都是原方程的解．
故答案為：，．
13．關于的方程的解是　　 ．
【答案】．
解：，
去括號，得，
移項，得，
系數化為1，得，
故答案為：．
14．如果一個多邊形的每個內角都等于，那么關于這個多邊形是　九　邊形．
解：由題意可得：，
解得．
故多邊形是九邊形．
故答案為：九．
15．在中，若，則為　45　 度．
【答案】45．
解：四邊形是平行四邊形，，
，，
，
，
，
．
故答案為：45．
16．如圖，正方形的邊長為4，點為上一點，，點為正方形邊上一點，且，則的長等于 　1或5　 ．
解：①當點在邊上時，
在△和△中，，
△△，
；
②當點在邊上時，
在△和△中，，
△△，
；
，
在△中，根據勾股定理可得：，
故答案為：1或5．
17．如圖，在平面直角坐標系中，一次函數與軸和軸分別交于點和點，以為邊在直線右側作正方形，連接，過點作軸，垂足為點，交于點，連接，則三角形的周長為　16　 ．
【答案】16．
解：在中，由添加可知，，
，，
過點作平行于，交于，
軸，
軸，
，
；
，
，
四邊形是正方形，
，，
，
，
在△和△中，
，
△△，
，，
由條件可知四邊形為矩形，
矩形為正方形，
，
，
，
四邊形是正方形，
，，
在△和△中，
，
△△，
，
，
△周長．
故答案為：16．
18．如圖，在平面直角坐標系中，直線分別與軸、軸交于點、，且點的坐標為，四邊形是正方形．點是線段上的一個動點（點、除外），點在軸的上方，以、、、為頂點的四邊形是菱形，則點的坐標為　或　 ．
【答案】或．
解：由條件可得：
，解得：，
直線得解析式為，
當時，，
點的坐標為，
如圖，當四邊形為菱形時，
垂直平分，
點，的縱坐標均為，且點，關于軸對稱，
由條件可得：
，解得：，
點的坐標為，
此時點的坐標為；
如圖，當四邊形為菱形時，延長交軸于點，此時，軸，
設點的坐標為，則，
軸，
軸，
點的坐標為，即
在△中，，
解得：，
點的坐標為．
綜上所述，點的坐標為或．
故答案為：或．
三、解答題（本大題共7題，滿分0分）
19．（1）解方程：；
（2）解方程組：；
（3）解方程：．
【答案】（1）；
（2）或；
（3）或．
解：（1）將方程的兩邊平方可得：，
，
，
或，
或（舍去，算術平方根的非負性）；
（2）
由①得：③，
由②得：④，
把④代入③中得：，
或，
解得或，
當時，，
當時，，
或．
（3）設，則原方程可化為，
，
，
或，
或，
或，
或，
解方程得或，
解方程，△，
可得原方程無解，
經檢驗，和都是原方程的解，
原方程的解為或．
20．已知一次函數，當時，．
（1）求一次函數的解析式；
（2）將該函數的圖象向上平移6個單位，求平移后的圖象與軸交點的坐標．
解：（1）由已知得：，
解得：
一次函數的解析式為：；
（2）將直線向上平移6個單位后得到的直線是：
當時，，
平移后的圖象與軸交點的坐標是．
21．團隊接到抗疫任務，乘坐巴士從甲地出發趕往乙地執行任務，甲乙兩地距離為340千米．他們出發后不久，專家也接到命令須趕往當地進行支援，他乘坐轎車前往．設團隊走的路程為（千米），專家走的路程為（千米），他們前進的時間（從出發開始計時）為（小時），、與之間的部分函數圖象如圖所示．
（1）在專家出發時，團隊已經行進了 　20　千米；專家的速度是每小時 　　千米．
（2）當時，求關于的函數解析式；
（3）如果5個小時后，專家保持之前的速度繼續前進，團隊提高速度去追趕，提速后的速度是每小時70千米，請問團隊能否在專家到達乙地之前追上他？如果能夠追上，求出此時他們離乙地的距離；如果不能，請說明理由．
【答案】（1）20，50；
（2）；
（3）團隊能在專家到達乙地之前追上他，此時他們離乙地的距離是15千米．
解：（1）由圖象可知：專家出發時，團隊已經行進了20千米，專家的速度是（千米小時），
故答案為：20，50；
（2）由圖象可知，專家出發后2小時追上團隊，此時離甲地（千米），
設當時，關于的函數解析式是，將代入得：
，
解得，
當時，關于的函數解析式是；
（3）由題意得，團隊的速度是（千米小時），
當時，，，
所以團隊追上專家所需的時間為（小時），
當時，，
（千米），
答：團隊能在專家到達乙地之前追上他，此時他們離乙地的距離是15千米．
22．今年新型“和諧號”高速列車正式投入滬寧線運行，已知上海到南京全程約300公里，如果新型“和諧號”高速列車行駛的平均速度比原來的“和諧號”動車行駛的平均速度每分鐘快2公里，那么從上海到南京比原來“和諧號”動車少用40分鐘，問新型“和諧號”高速列車從上海到達南京大約需要多少分鐘？
解：設新型“和諧號”高速列車從上海到達南京大約需要分鐘，
或（舍去）．
經檢驗是方程的解．
答：新型“和諧號”高速列車從上海到達南京大約需要60分鐘．
23．在中，，分別是，上的點，且，連接，，．
（1）求證：四邊形是平行四邊形；
（2）若平分，，，，求的長．
【解答】（1）證明：四邊形是平行四邊形，
，，
在△和△中，
△△，
，
，，
，
即，
，，
四邊形是平行四邊形；
（2）解：
，
，
平分，
，
，
，
四邊形是平行四邊形，
，，
，
，，
，
，
，
，
．
24．已知一次函數的圖象與軸、軸分別交于點、．以為邊在第一象限內作等腰直角三角形，且，，作的垂直平分線，交直線與點，交軸于點．
（1）求點的坐標；
（2）在的垂直平分線上有一點，且點與點位于直線的同側，使得，求點的坐標；
（3）在（2）的條件下，連接、，判斷△的形狀，并給予證明；
解：（1）過點作軸的垂線，交軸于點，
；，
，
△△，
，，
，，
；
（2）如圖，在的垂直平分線上有一點，垂直平分線與軸的交點為，
垂直平分線與一次函數的交點，
，
，
，
而，
設，則，
解的，則，
（3）聯結，，
由于點，，
則，，，
可得：，
△是等腰直角三角形．
25．如圖1，在△中，點為邊上的點與，不重合），，且，聯結，聯結交于點．
（1）求證：平分；
（2）如圖2，若，且，設線段為，三角形的面積為，求關于的函數解析式；
（3）如圖3，若，當△是等腰三角形時，求的值．
【解答】（1）證明：，
，
，
，
，
又，
△△，
，
，
平分；
（2）作，如圖：
同（1）法可知：△△，
，，
，，
，
，即：；
（3），，且，，
，
，
，
同（1）法可知：，
當△為等腰三角形時，分兩種情況：
①當時，則：，
，
，
，
，
；
②當時，則：，
，
，，
，作于點，
在△ 中，，
，
，
在△中，，
，
，
，
；
綜上：或．

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