資源簡介

2024-2025學(xué)年山東省濟南市市中區(qū)八年級（下）期末數(shù)學(xué)試卷
一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分，每小題只有一項符合題目要求。
1．已知，，是實數(shù)，若，，則　　
A． B． C． D．
2．若分式的值為0，則等于　　
A． B． C． D．
3．許多裝飾圖案中都蘊含著豐富的數(shù)學(xué)之美，下列圖案是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形的是　　
A． B．
C． D．
4．下列由左邊到右邊的變形，屬于因式分解的是　　
A． B．
C． D．
5．參加創(chuàng)客興趣小組的同學(xué)，給機器人設(shè)定了如圖所示的程序，機器人從點出發(fā)，沿直線前進1米后左轉(zhuǎn)，再沿直線前進1米，又向左轉(zhuǎn)照這樣走下去，機器人第一次回到出發(fā)地點時，一共走的路程是　　
A．10米 B．18米 C．20米 D．36米
6．若關(guān)于的分式方程無解，則的值是　　
A．3或2 B．1 C．1或3 D．1或2
7．下列說法中，錯誤的是　　
A．平行四邊形的兩組對邊分別相等
B．菱形的兩條對角線相等
C．正方形的四條邊都相等
D．矩形的四個角都相等
8．若關(guān)于的方程有實數(shù)根，則的取值范圍是　　
A． B． C．且 D．
9．如圖，△中，，，，，，則的值為　　
A．7 B．4 C．2 D．5
10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點的坐標(biāo)是，點是函數(shù)的圖象上的一個動點，過點作軸交函數(shù)的圖象于點，點在軸上（點在點的左側(cè)），且，連接，．有如下四個結(jié)論：
①四邊形一定是平行四邊形；
②四邊形可能是菱形；
③四邊形可能是矩形；
④四邊形可能是正方形．
所有正確結(jié)論的序號是　　
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
二、填空題：本題共5小題，每小題4分，共20分，填空題請直接填寫答案。
11．如圖，四邊形為平行四邊形，的角平分線交于點，若，，則的長為 　　 ．
12．如圖，將△沿方向平移得到△（其中點，，分別與點，，對應(yīng)）．若，則 　　 ．
13．如圖，已知直線與直線交于點，則關(guān)于的不等式的解集為 　　 ．
14．如圖，一張長、寬的矩形鐵皮，將其剪去兩個全等的正方形和兩個全等的矩形，剩余部分（陰影部分）可制成底面積是的有蓋的長方體鐵盒，則該鐵盒的體積為 　　．
15．囍，是中國傳統(tǒng)吉祥圖案，婚禮中，剪出大紅雙喜字貼于洞房中堂，指婚姻中男女雙方共同迎接喜慶的一天．如圖囍的剪法圖解③中，已經(jīng)折過2次后的紅紙左右寬，如果在最上層處扎一個小孔，則在取開展平的囍中會出現(xiàn)、、另外三個小孔，已知點距離左側(cè)邊緣為（即，則　　 ．
①向右對折紅紙
②再向右對折
③剪去陰影部分
④逆向展平成品
三、解答題：本題共10小題，共90分，解答時應(yīng)寫出文字說明，證明或演算步驟。
16．將下列各式因式分解：
（1）；
（2）．
17．解方程：
（1）；
（2）3x2+2x﹣2＝0．
18．解不等式組，并寫出它的所有非負(fù)整數(shù)解．
19．如圖，點在正方形的邊上，點在邊的延長線上，且．求證：．
20．先化簡，再求值：，試從0，1，2，3四個數(shù)中選取一個你喜歡的數(shù)代入求值．
21．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點，，，請解答下列問題：
（1）若經(jīng)過平移后得到△，已知點的坐標(biāo)為作出△并寫出其余兩個頂點的坐標(biāo)；
（2）將繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到△，作出△；
（3）若將△繞某一點旋轉(zhuǎn)可得到△，直接寫出旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)．
22．“雨過園亭綠暗時，櫻桃紅顆壓枝低”，櫻桃富含維生素，嶗山北宅素有“中國櫻桃之鄉(xiāng)”的美譽．在2023年櫻桃節(jié)某水果商城為了了解兩種櫻桃市場銷售情況，購進了一批數(shù)量相等的“櫻珠”和“櫻桃”供客戶對比品嘗，其中購買“櫻桃”用了630元，購買“櫻珠”用了1134元，已知每千克“櫻珠”進價比每千克“櫻桃”貴8元．
（1）求每千克“櫻珠”和“櫻桃”進價各是多少元？
（2）若該水果商城決定再次購買同種“櫻珠”和“櫻桃”共60千克，且再次購買的費用不超過1000元，且每種櫻桃進價保持不變．若“櫻珠”的銷售單價為30元，“櫻桃”的銷售單價為18元，則該水果商城應(yīng)如何進貨，使得第二批的“櫻珠”和“櫻桃”售完后獲得利潤最大？最大利潤是多少？
23．如圖，在中，的平分線交于點，交的延長線于，以、為鄰邊作．
（1）證明是菱形；
（2）若，連接、，求的度數(shù)；
（3）若，，，是的中點，求的長．
24．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線交軸于點，交軸于點，點為軸負(fù)半軸上一點，且，直線經(jīng)過，兩點．
（1）求直線的解析式；
（2）如圖1，將直線向上平移個單位長度得到直線，與直線交于點，與軸，軸分別交于點，點．點是直線上位于第四象限內(nèi)的一點，點，分別在直線，上．若點在點左側(cè)，且，連接，，，當(dāng)時，求點的坐標(biāo)以及的最小值；
（3）如圖2，將△繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到△，在旋轉(zhuǎn)過程中，直線與軸于交點，與直線交于點，在平面內(nèi)確定一點，使得四邊形為菱形，請直接寫出所有符合條件的點的坐標(biāo)．
25．【問題情景】如圖1，在△中，為△的中線，若，，求的取值范圍．中線倍長法：如圖2，延長至點，使得，連結(jié)，可證明△△，由全等得到，從而在△中，根據(jù)三角形三邊關(guān)系可以確定的范圍，進一步即可求得的范圍．
（1）在上述過程中，證明△△的依據(jù)是　　 ，的范圍為　　 ；
【思考探究】（2）如圖3，在△中，，為中點，、分別為、上的點，連結(jié)、、，，若，，求的長；
【拓展延伸】
（3）如圖4，為線段上一點，，分別以、為斜邊向上作等腰直角△和等腰直角△，為中點，連結(jié)，，．
①判斷：△的形狀，并說明理由；
②若將圖4中的等腰△繞點轉(zhuǎn)至圖5的位置，，不在同一條直線上），連結(jié)，為中點，且，在同側(cè)，連結(jié)，．若，，直接寫出：△和△的面積之差為　　 ．
參考答案
一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分，每小題只有一項符合題目要求。
1．已知，，是實數(shù)，若，，則　　
A． B． C． D．
解：，，
，，，．
故選：．
2．若分式的值為0，則等于　　
A． B． C． D．
解：若分式的值為0，
則且，
即，
故選：．
3．許多裝飾圖案中都蘊含著豐富的數(shù)學(xué)之美，下列圖案是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形的是　　
A． B．
C． D．
解：根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義逐項分析判斷如下：
、既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；
、既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；
、是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，故本選項符合題意；
、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；
故選：．
4．下列由左邊到右邊的變形，屬于因式分解的是　　
A． B．
C． D．
解：是乘法運算，則不符合題意，
中，等號右邊不是積的形式，則不符合題意，
符合因式分解的定義，則符合題意，
中不是整式，則不符合題意，
故選：．
5．參加創(chuàng)客興趣小組的同學(xué)，給機器人設(shè)定了如圖所示的程序，機器人從點出發(fā)，沿直線前進1米后左轉(zhuǎn)，再沿直線前進1米，又向左轉(zhuǎn)照這樣走下去，機器人第一次回到出發(fā)地點時，一共走的路程是　　
A．10米 B．18米 C．20米 D．36米
解：解：由題意，得
每一個外角是，
，
二十邊形米，
故選：．
6．若關(guān)于的分式方程無解，則的值是　　
A．3或2 B．1 C．1或3 D．1或2
解：原方程去分母可得：
，
，
，
根據(jù)題意，原分式方程無解，
①當(dāng)時，即時，整式方程無解，所以原分式方程無解，符合題意；
②當(dāng)原分式方程最簡公分母時，即，是原分式方程的增根，也符合題意，
此時，，
解得；
的值是1或2，
故選：．
7．下列說法中，錯誤的是　　
A．平行四邊形的兩組對邊分別相等
B．菱形的兩條對角線相等
C．正方形的四條邊都相等
D．矩形的四個角都相等
解：平行四邊形的兩組對邊分別相等，
選項正確，不符合題意；
菱形的兩條對角線互相垂直平分，不相等，
選項錯誤，符合題意；
正方形的四條邊都相等，
選項正確，不符合題意；
矩形的四個角都是直角，
矩形的四個角都相等，
選項正確，不符合題意，
故選：．
8．若關(guān)于的方程有實數(shù)根，則的取值范圍是　　
A． B． C．且 D．
解：當(dāng)，方程變形為，方程的解為；
當(dāng)，△，解得；
綜上所知當(dāng)時，方程有實數(shù)根．
故選：．
9．如圖，△中，，，，，，則的值為　　
A．7 B．4 C．2 D．5
解：延長交于點，
，
，
，
，
，
△△，
，，
，
，
是△的中位線，
，
故選：．
10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點的坐標(biāo)是，點是函數(shù)的圖象上的一個動點，過點作軸交函數(shù)的圖象于點，點在軸上（點在點的左側(cè)），且，連接，．有如下四個結(jié)論：
①四邊形一定是平行四邊形；
②四邊形可能是菱形；
③四邊形可能是矩形；
④四邊形可能是正方形．
所有正確結(jié)論的序號是　　
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
解：①如圖1，軸，
，
又，
四邊形是平行四邊形，
故①正確；
②設(shè)，則，，
，
當(dāng)時，四邊形是菱形，
，
，
解得：（不符合題意），，
存在的情況，
即四邊形可能是菱形，
故②正確；
③如圖2，點是函數(shù)的圖象上的一個動點，
存在點的橫坐標(biāo)為3，此時四邊形是矩形，
故③正確；
④當(dāng)時，，
此時，如圖2所示，
四邊形不為正方形，
故④錯誤，不符合題意；
本題正確的結(jié)論有：①②③．
故選：．
二、填空題：本題共5小題，每小題4分，共20分，填空題請直接填寫答案。
11．如圖，四邊形為平行四邊形，的角平分線交于點，若，，則的長為 　3　 ．
解：四邊形是平行四邊形，
，，，
，
平分，
，
，
，
．
故答案為：3．
12．如圖，將△沿方向平移得到△（其中點，，分別與點，，對應(yīng)）．若，則 　12　 ．
解：由題知，
因為灑基由△沿方向平移得到，
所以．
又因為，
所以．
故答案為：12．
13．如圖，已知直線與直線交于點，則關(guān)于的不等式的解集為 　　 ．
解：將點代入得，
，
由函數(shù)圖象可知，
當(dāng)時，一次函數(shù)的圖象不在一次函數(shù)圖象的上方，即，
所以關(guān)于的不等式的解集為：．
故答案為：．
14．如圖，一張長、寬的矩形鐵皮，將其剪去兩個全等的正方形和兩個全等的矩形，剩余部分（陰影部分）可制成底面積是的有蓋的長方體鐵盒，則該鐵盒的體積為 　48　．
解：設(shè)剪去的正方形的邊長為，則制成有蓋的長方體鐵盒的底面長為，寬為，
依題意得：，
整理得：，
解得：，（不合題意，舍去）．
該紙盒的體積為；
故答案為：48．
15．囍，是中國傳統(tǒng)吉祥圖案，婚禮中，剪出大紅雙喜字貼于洞房中堂，指婚姻中男女雙方共同迎接喜慶的一天．如圖囍的剪法圖解③中，已經(jīng)折過2次后的紅紙左右寬，如果在最上層處扎一個小孔，則在取開展平的囍中會出現(xiàn)、、另外三個小孔，已知點距離左側(cè)邊緣為（即，則　　 ．
①向右對折紅紙
②再向右對折
③剪去陰影部分
④逆向展平成品
解：已經(jīng)折過2次后的紅紙左右寬，
經(jīng)過兩次對折后，紙張被平均分成了4層，且這4層是完全重合的，
與關(guān)于第二次對折的折痕對稱，
與關(guān)于第二次對折的折痕對稱，
的長度剛好是折后紅紙寬度的2倍（從對稱關(guān)系角度理解，到折痕的距離與到折痕的距離相等，二者距離之和就是紙張寬度的2倍）．
則．
故答案為：．
三、解答題：本題共10小題，共90分，解答時應(yīng)寫出文字說明，證明或演算步驟。
16．將下列各式因式分解：
（1）；
（2）．
解：（1）
；
（2）
．
17．解方程：
（1）；
（2）3x2+2x﹣2＝0．
解：（1），
，
2x+1＝x﹣2，
2x﹣x＝﹣1﹣2，
x＝﹣3，
檢驗：當(dāng)x＝﹣3時，x﹣2≠0，
∴原方程的解為：x＝﹣3；
（2）3x2+2x﹣2＝0，
a＝3，b＝2，c＝﹣2，
Δ＝22﹣4×3×（﹣2）
＝4+24
＝28＞0，
∴方程有兩個不相等的實數(shù)根，
∴，
．
18．解不等式組，并寫出它的所有非負(fù)整數(shù)解．
解：，
解不等式①得，，
解不等式②得，，
所以不等式組的解集是，
所以不等式組的非負(fù)整數(shù)解是0．
19．如圖，點在正方形的邊上，點在邊的延長線上，且．求證：．
【解答】證明：四邊形是正方形，
，，
又，
，
，
在與中，
，
，
．
20．先化簡，再求值：，試從0，1，2，3四個數(shù)中選取一個你喜歡的數(shù)代入求值．
解：
，
當(dāng)時，
原式．
或者，當(dāng)時，
原式．
21．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點，，，請解答下列問題：
（1）若經(jīng)過平移后得到△，已知點的坐標(biāo)為作出△并寫出其余兩個頂點的坐標(biāo)；
（2）將繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到△，作出△；
（3）若將△繞某一點旋轉(zhuǎn)可得到△，直接寫出旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)．
解：（1）△如圖所示．
點，．
（2）△如圖所示．
（3）如圖，點即為所求的旋轉(zhuǎn)中心，
旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)為．
22．“雨過園亭綠暗時，櫻桃紅顆壓枝低”，櫻桃富含維生素，嶗山北宅素有“中國櫻桃之鄉(xiāng)”的美譽．在2023年櫻桃節(jié)某水果商城為了了解兩種櫻桃市場銷售情況，購進了一批數(shù)量相等的“櫻珠”和“櫻桃”供客戶對比品嘗，其中購買“櫻桃”用了630元，購買“櫻珠”用了1134元，已知每千克“櫻珠”進價比每千克“櫻桃”貴8元．
（1）求每千克“櫻珠”和“櫻桃”進價各是多少元？
（2）若該水果商城決定再次購買同種“櫻珠”和“櫻桃”共60千克，且再次購買的費用不超過1000元，且每種櫻桃進價保持不變．若“櫻珠”的銷售單價為30元，“櫻桃”的銷售單價為18元，則該水果商城應(yīng)如何進貨，使得第二批的“櫻珠”和“櫻桃”售完后獲得利潤最大？最大利潤是多少？
解：（1）設(shè)每千克“櫻珠”進價是元，則每千克“櫻桃”進價是元，
根據(jù)題意得：，
解得：，
經(jīng)檢驗，是原方程的解，且符合題意，
，
答：每千克“櫻珠”進價是18元，每千克“櫻桃”進價是10元；
（2）設(shè)購買千克“櫻珠”，則購買千克“櫻桃”，
根據(jù)題意得：，
解得：，
設(shè)總利潤為元，
根據(jù)題意得：，
，
最的增大而增大，
當(dāng)時，有最大值，，
此時，，
答：該該水果商城應(yīng)購買50千克“櫻珠”，10千克“櫻桃”，使得第二批的“櫻珠”和“櫻桃”售完后獲得利潤最大，最大利潤是680元．
23．如圖，在中，的平分線交于點，交的延長線于，以、為鄰邊作．
（1）證明是菱形；
（2）若，連接、，求的度數(shù)；
（3）若，，，是的中點，求的長．
解：（1）證明：
平分，
，
四邊形是平行四邊形，
，，
，，
，
，
又四邊形是平行四邊形，
四邊形為菱形；
（2）四邊形是平行四邊形，
，，，
，
，
由（1）知，四邊形是菱形，
，，
，，
，
，
是的平分線，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
是等邊三角形，
，
，
，
是等邊三角形，
；
（3）如圖2中，連接，，
，四邊形是平行四邊形，
四邊形是矩形，
又由（1）可知四邊形為菱形，
，
四邊形為正方形．
，
，
為中點，
，
，
在和中，
，
，
，
．
，
是等腰直角三角形．
，，
，
．
方法二：，四邊形是平行四邊形，
四邊形是矩形，
又由（1）可知四邊形為菱形，
，
四邊形為正方形．
，
，
過作于，
則是等腰直角三角形，
是等腰直角三角形，
，
，
，
．
24．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線交軸于點，交軸于點，點為軸負(fù)半軸上一點，且，直線經(jīng)過，兩點．
（1）求直線的解析式；
（2）如圖1，將直線向上平移個單位長度得到直線，與直線交于點，與軸，軸分別交于點，點．點是直線上位于第四象限內(nèi)的一點，點，分別在直線，上．若點在點左側(cè)，且，連接，，，當(dāng)時，求點的坐標(biāo)以及的最小值；
（3）如圖2，將△繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到△，在旋轉(zhuǎn)過程中，直線與軸于交點，與直線交于點，在平面內(nèi)確定一點，使得四邊形為菱形，請直接寫出所有符合條件的點的坐標(biāo)．
解：（1）直線交軸于點，
當(dāng)時，，
解得，即，
，
，
，
；
設(shè)直線的解析式為，
將，代入解析式，
得：，
解得：，
直線的解析式為；
（2）在中，
當(dāng)時，，即，
，
，
由（1）可得，
，
點是直線上位于第四象限內(nèi)的一點，
設(shè)，
，
，
即，
，
，
，
，
，
即；
，，
，
，
將直線向上平移個單位長度得到直線，直線的解析式為，
直線的解析式為，，，
，
當(dāng)時，，即，
當(dāng)時，，
解得，即，
，，，
，
如圖，作交于，
則四邊形為平行四邊形，，
，
，
，
△為等邊三角形，，
作交于，則，
，
將點沿方向平移單位長度得到點（即向左平移3個單位長度，向上平移個單位長度），
，
則，，
四邊形為平行四邊形，
，
作點關(guān)于直線的對稱點，連接交于，連接，
則，，
過點作軸于點，
，
，
，
，
，
，
，，
，
由軸對稱的性質(zhì)可得，
，
的最小值為，
，
的最小值為，
的最小值；
（3）如圖，四邊形第一次為菱形時，過點作軸于點，過點作軸于點，
此時△為等腰三角形，且，
，
，
由旋轉(zhuǎn)知，，
，
軸，
，，
，
，，
，
四邊形為菱形，
，
，，
，
，
由菱形中，，，
是平移來的，
點到點的平移方式是水平向右平移個單位長度，
點為點水平向右平移個單位長度，
點的坐標(biāo)為，
即；
如圖，四邊形第二次為菱形時，過點作軸于點，
此時△為等腰三角形，且，
，，
由旋轉(zhuǎn)知，即，
點與點重合，
，
，
，
，，
，，
，
；
同上平移方法可得點為點水平向右平移個單位長度，
點的坐標(biāo)為，
即；
綜上所述，或．
25．【問題情景】如圖1，在△中，為△的中線，若，，求的取值范圍．中線倍長法：如圖2，延長至點，使得，連結(jié)，可證明△△，由全等得到，從而在△中，根據(jù)三角形三邊關(guān)系可以確定的范圍，進一步即可求得的范圍．
（1）在上述過程中，證明△△的依據(jù)是　　 ，的范圍為　　 ；
【思考探究】（2）如圖3，在△中，，為中點，、分別為、上的點，連結(jié)、、，，若，，求的長；
【拓展延伸】
（3）如圖4，為線段上一點，，分別以、為斜邊向上作等腰直角△和等腰直角△，為中點，連結(jié)，，．
①判斷：△的形狀，并說明理由；
②若將圖4中的等腰△繞點轉(zhuǎn)至圖5的位置，，不在同一條直線上），連結(jié)，為中點，且，在同側(cè)，連結(jié)，．若，，直接寫出：△和△的面積之差為　　 ．
解：（1）為△的中線，
，
在△和△中，
，
△△，
，
在△中，，即：，
，
，
，
故答案為：，；
（2）延長至點，使得，連結(jié)，，如圖3，
為中點，
，
在△和△中，
，
△△，
，，
，
，
，
在△中，由勾股定理得：，
，，
垂直平分，
；
（3）①△為等腰直角三角形，理由如下：
延長至點，使得，連結(jié)，，如圖4，
等腰直角△和等腰直角△，
，，，，
，
為中點，
，
在△和△中，
，
△△，
，，
，
，
在△和△中，
，
△△，
，，
又，
，
△為等腰直角三角形；
②△和△的面積之差為4；理由如下：如圖5，延長至點，使得，連結(jié)，，，
為中點，同上“倍長中線”方法可得△△，
，，，
設(shè)，
，
，
，
△△，
，，
同理可得，
，
，，
分別過，作，，，為垂足，
，，
△△，
設(shè)，，，，
，，，
解得，
，
，
故答案為：4．

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