資源簡介

2024-2025學年江西省景德鎮市八年級（下）期中數學試卷
一、選擇題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）
1．等腰三角形的頂角為，則它的底角度數為　　
A． B． C．或 D．或
2．下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是　　
A． B． C． D．
3．下列不等式變形正確的是　　
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
4．在直角坐標系中，點繞原點逆時針旋轉，得到的點的坐標是　　
A． B． C． D．
5．如果不等式組恰有4個整數解，則的取值范圍是　　
A． B． C． D．
6．如圖，已知中，，，將繞點逆時針旋轉得到△，以下結論：①，②，③，④，正確的有　　
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）
7．不等式的解集為　　 ．
8．用反證法證明某一命題的結論“”時，應假設 　　．
9．若點坐標為，將點向右平移3個單位長度后落在軸上，則　　 ．
10．如圖，在中，，，，將繞點按順時針旋轉一定角度得到，當點的對應點恰好落在邊上時，則的長為　 　．
11．如圖，平面直角坐標系中，經過點的直線與直線相交于點，則不等式的解集為　　 ．
12．已知中，如果過頂點的一條直線把這個三角形分割成兩個三角形，其中一個為等腰三角形，另一個為直角三角形，則稱這條直線為的關于點的二分割線．如圖1，中，顯然直線是的關于點的二分割線．在圖2的中，，若直線是的關于點的二分割線，則的度數是　 　　．
三、（本大題共5小題，每小題6分，共30分）
13．（1）用不等式表示“的4倍與5的差大于7”；
（2）若關于的不等式可化為，求的取值范圍．
14．解不等式組，并把解集在數軸上表示出來．
15．如圖，在△中，，，．將△沿著點到點的方向平移到△的位置，與交于點，．
（1）求平移的距離；
（2）求陰影部分的面積．
16．如圖，在中，，，垂直平分線段分別交，于點，，請僅用無刻度的直尺，分別按下列要求作圖．（保留作圖痕跡，不寫作法）
（1）在圖（1）中，作的平分線；
（2）如圖（2），點是的中點，作的平分線．
17．如圖，一次函數l1：y＝2x﹣2的圖象與一次函數l2：y＝kx+b的圖象交于點C（m，2），一次函數l2：y＝kx+b的圖象與x軸交于點A，且經過點B（3，1）．
（1）求點C的坐標和一次函數l2：y＝kx+b的解析式；
（2）根據圖象，直接寫出kx+b＞2x﹣2的解集．
四、（本大題3小題，每小題8分，共24分）
18．在中，是的中點，，，垂足分別是，．
（1）若，求證：是的角平分線．
（2）若是的角平分線，求證：．
19．已知關于、的方程組的解是非負數．
（1）求的取值范圍；
（2）化簡：．
20．如圖，在四邊形中，點是邊上一點，且，．
（1）求證：；
（2）若，時，求△的面積．
五、（本大題共2小題，每小題9分，共18分）
21．某公交公司有，型兩種客車，它們的載客量和租金如表：
載客量（人輛） 45 30
租金（元輛） 400 300
希望中學根據實際情況，計劃租用，型客車共9輛，同時送八年級師生到基地校參加社會實踐活動，設租用型客車輛，根據要求回答下列問題：
（1）用含的式子填寫下表：
車輛數（輛 載客量 租金（元
①　　 ②　　
（2）若要保證租車費用不超過3400元，求的最大值；
（3）在（2）的條件下，若八年級師生共有360人，寫出最省錢的租車方案．
22．對于任意實數，，定義一種關于的運算：．例如：．
（1）若，求的取值范圍；
（2）若關于的不等式組的解集為滿足，求的值；
（3）若，求的取值范圍．
六、（本大題共12分）
23．問題初探：數學課外興趣小組活動時，數學馬老師提出了如下問題：在△中，，，求邊上的中線的取值范圍．小明在組內經過合作交流，得到了如下的解決方法（如圖：延長到，使得；再連接，把，，集中在△中：利用上述方法求出的取值范圍是．
（1）問題：請利用圖1說明與的位置關系；
感悟：數學馬老師給學生們總結解這類問題時，條件中若出現“中點”“中線”等條件，可以考慮倍長中線，或通過引平行線構造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結論集中到同一個三角形中．
（2）類比分析：如圖2，在四邊形中，，點是的中點，若是的平分線，試判斷，，之間的等量關系；
（3）問題解決：如圖3，，與交于點，且點是的中點，點在線段上，且，若，，求的值．
參考答案
一、選擇題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）
1．等腰三角形的頂角為，則它的底角度數為　　
A． B． C．或 D．或
解：等腰三角形的頂角為，
它的底角度數為，
故選：．
2．下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是　　
A． B． C． D．
解：是軸對稱圖形，但它不是中心對稱圖形，不符合題意，
不是軸對稱圖形，但它是中心對稱圖形，不符合題意，
是軸對稱圖形，但它不是中心對稱圖形，不符合題意，
是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，符合題意，
故選：．
3．下列不等式變形正確的是　　
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
解：、，
兩邊減去得：，故本選項不符合題意；
、，
（當時，，故本選項不符合題意；
、，，
，故本選項符合題意；
、，
當時，；
當時，；故本選項不符合題意；
故選：．
4．在直角坐標系中，點繞原點逆時針旋轉，得到的點的坐標是　　
A． B． C． D．
解：過點作軸，過點作軸，垂足分別為、，
點的坐標為，
，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
點的坐標為．
故選：．
5．如果不等式組恰有4個整數解，則的取值范圍是　　
A． B． C． D．
解：不等式組的解集為，
不等式組恰有4個整數解，
這4個整數解為，，0，1，
．
故選：．
6．如圖，已知中，，，將繞點逆時針旋轉得到△，以下結論：①，②，③，④，正確的有　　
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
解：①繞點逆時針旋轉得到△，
．故①正確；
②繞點逆時針旋轉，
．
，
．
，
．
．故②正確；
③在中，
，，
．
．
與不垂直．故③不正確；
④在中，
，，
．
．故④正確．
①②④這三個結論正確．
故選：．
二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）
7．不等式的解集為　　 ．
解：原不等式移項得：，
解得：．
故答案為：．
8．用反證法證明某一命題的結論“”時，應假設 　　．
解：用反證法證明“”時，應先假設．
故答案為：．
9．若點坐標為，將點向右平移3個單位長度后落在軸上，則　5　 ．
解：由題意可得：，
解得．
故答案為：5．
10．如圖，在中，，，，將繞點按順時針旋轉一定角度得到，當點的對應點恰好落在邊上時，則的長為　2　．
解：繞點按順時針旋轉一定角度得到，點的對應點恰好落在邊上，
，
，
為等邊三角形，
，
．
故答案為2．
11．如圖，平面直角坐標系中，經過點的直線與直線相交于點，則不等式的解集為　　 ．
解：由條件可知不等式的解集為．
故答案為：．
12．已知中，如果過頂點的一條直線把這個三角形分割成兩個三角形，其中一個為等腰三角形，另一個為直角三角形，則稱這條直線為的關于點的二分割線．如圖1，中，顯然直線是的關于點的二分割線．在圖2的中，，若直線是的關于點的二分割線，則的度數是　 　，，　．
解：如圖1中，當，時，滿足條件．
如圖2中，當，時，可得，
．
如圖3中，當，時，，
，
綜上所述，滿足條件的的值為，，．
三、（本大題共5小題，每小題6分，共30分）
13．（1）用不等式表示“的4倍與5的差大于7”；
（2）若關于的不等式可化為，求的取值范圍．
解：（1）用不等式表示“的4倍與5的差大于7為：．
（2）關于的不等式可化為，
，
解得：．
14．解不等式組，并把解集在數軸上表示出來．
解：，
解不等式①得，
解不等式②得，
不等式組的解集為．
在數軸上表示為：
．
15．如圖，在△中，，，．將△沿著點到點的方向平移到△的位置，與交于點，．
（1）求平移的距離；
（2）求陰影部分的面積．
解：（1）由題意可得：，，，
，
，，
，
平移的距離為；
（2），，
，，
，
，
，即，
．
16．如圖，在中，，，垂直平分線段分別交，于點，，請僅用無刻度的直尺，分別按下列要求作圖．（保留作圖痕跡，不寫作法）
（1）在圖（1）中，作的平分線；
（2）如圖（2），點是的中點，作的平分線．
解：（1）如圖（1），即為所求，
；
，，，
，
垂直平分，
，
，
，
，
平分；
（2）如圖（2），即為所求，
連接、相交于一點，連接交于，交于，連接交于，即為所求，
、分別為、的中點，
、是的中線，
等腰三角形的頂角的角平分線、底邊的中線、底邊的高線三條線相互重合，三角形的三條中線、三條角平分線均相交于一點，
即為的平分線．
17．如圖，一次函數l1：y＝2x﹣2的圖象與一次函數l2：y＝kx+b的圖象交于點C（m，2），一次函數l2：y＝kx+b的圖象與x軸交于點A，且經過點B（3，1）．
（1）求點C的坐標和一次函數l2：y＝kx+b的解析式；
（2）根據圖象，直接寫出kx+b＞2x﹣2的解集．
解：（1）由條件可知2m﹣2＝2，
解得：m＝2，
∴C（2，2），
∵一次函數y＝2x﹣2的圖象與一次函數y＝kx+b的圖象交于點C（m，2），y＝kx+b的圖象經過點B（3，1），
∴，
解得：，
∴一次函數l2：y＝kx+b的解析式為y＝﹣x+4．
（2）由圖象可知：kx+b＞2x﹣2的解集為：x＜2．
四、（本大題3小題，每小題8分，共24分）
18．在中，是的中點，，，垂足分別是，．
（1）若，求證：是的角平分線．
（2）若是的角平分線，求證：．
【解答】證明：（1），，
是直角三角形．
在與中，
，
，
，
又，，
是的角平分線；
（2）是的角平分線，于，于，
，
是邊的中線，
，
在和中，
，
，
．
19．已知關于、的方程組的解是非負數．
（1）求的取值范圍；
（2）化簡：．
解：（1），
，
關于，的方程組的解是非負數，
，
解得：；
（2）由（1）可知：，
，，
．
20．如圖，在四邊形中，點是邊上一點，且，．
（1）求證：；
（2）若，時，求△的面積．
【解答】（1）證明：，
，即，
，
在△和△中，
，
△△，
，
；
（2）解：，，如圖，過點作于，
由（1）知，
，
△是等邊三角形，
，
，
，
在直角三角形中，由勾股定理得：，
．
五、（本大題共2小題，每小題9分，共18分）
21．某公交公司有，型兩種客車，它們的載客量和租金如表：
載客量（人輛） 45 30
租金（元輛） 400 300
希望中學根據實際情況，計劃租用，型客車共9輛，同時送八年級師生到基地校參加社會實踐活動，設租用型客車輛，根據要求回答下列問題：
（1）用含的式子填寫下表：
車輛數（輛 載客量 租金（元
①　　 ②　　
（2）若要保證租車費用不超過3400元，求的最大值；
（3）在（2）的條件下，若八年級師生共有360人，寫出最省錢的租車方案．
解：（1）型車輛，每輛載客30人，每輛租金300元，租用型客車輛，
型車載客為人，租金是元；
故答案為：，；
（2）型車租金為元，型車租金元，租車費用不超過3400元，
，
整理得，，
解得，
的最大值為7．
（3）型車載客量為人，型車載客量為人，八年級師生共有360人，
，
整理得，，
解得，
由（2）可知：，
為整數，
或，
當時，，
當時，，
，
最省錢的租車方案為：型車6輛，型車3輛．
22．對于任意實數，，定義一種關于的運算：．例如：．
（1）若，求的取值范圍；
（2）若關于的不等式組的解集為滿足，求的值；
（3）若，求的取值范圍．
解：（1）根據題意得，，
解得；
（2）根據題意得，，
解得，
關于的不等式組的解集為滿足，
，，
，，
；
（3），
，
，
，
，
解得．
六、（本大題共12分）
23．問題初探：數學課外興趣小組活動時，數學馬老師提出了如下問題：在△中，，，求邊上的中線的取值范圍．小明在組內經過合作交流，得到了如下的解決方法（如圖：延長到，使得；再連接，把，，集中在△中：利用上述方法求出的取值范圍是．
（1）問題：請利用圖1說明與的位置關系；
感悟：數學馬老師給學生們總結解這類問題時，條件中若出現“中點”“中線”等條件，可以考慮倍長中線，或通過引平行線構造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結論集中到同一個三角形中．
（2）類比分析：如圖2，在四邊形中，，點是的中點，若是的平分線，試判斷，，之間的等量關系；
（3）問題解決：如圖3，，與交于點，且點是的中點，點在線段上，且，若，，求的值．
解：（1）延長到，使得，如圖1，
是邊上的中線，
，
在△和△中，
，
△△，
，
；
（2）；理由如下：
在四邊形中，，如圖2，延長，交于點，
，
在△和△中，
，
△△，
，
是的平分線，
，
，
，
，
；
（3）如圖3，延長交的延長線于點，
是的中點，
，
，
，
在△和△中，
，
△△，
，
，
，
，
，
，，
．
作交的延長線于點，如圖4，
，
，
，
在直角三角形中，由勾股定理得：，
，
，
在直角三角形中，由勾股定理得：．

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