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六安一中2025屆高三綜合模擬試卷
數學試卷（二）
時間：120分鐘 滿分:150分
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
2．已知向量，，若，則（ ）
A． B． C． D．無法確定，與有關
3．記為等比數列的前n項和.若，，則（ ）
A． B． C． D．
4．如圖，是水平放置的用斜二測畫法畫出的直觀圖，則的周長為（ ）
A． B． C． D．
5．已知，，則（ ）
A．2 B． C． D．3
6．已知函數，則（ ）
A．當時，是偶函數，且在區間上單調遞增
B．當時，是奇函數，且在區間上單調遞減
C．當時，是偶函數，且在區間上單調遞減
D．當時，是奇函數，且在區間上單調遞增
7．有3臺車床加工同一型號的零件，第臺加工的次品率分別為，加工出來的零件混放在一起．已知第臺車床加工的零件數的比為，現任取一個零件，記事件“零件為第i臺車床加工” ，事件“零件為次品”，則（ ）
A．0.2 B．0.05 C． D．
8．已知函數和函數的圖象分別為曲線，，直線與，分別交于，兩點，為曲線上的點.如果為正三角形，則實數的值為（ ）
A． B． C． D．
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9．有一散點圖如圖所示，在5個數據中去掉后，下列說法中正確的是（ ）
A．殘差平方和變小
B．相關系數變小
C．決定系數變小
D．解釋變量與響應變量的相關性變強
10．瑞士著名數學家歐拉在1765年提出：三角形的外心，重心，垂心位于同一直線上，這條直線被后人稱為三角形的“歐拉線”.若的三個頂點坐標分別為，，其“歐拉線”為，圓，則（ ）
A．過作圓的切線，切點為，則的最小值為4
B．若直線被圓截得的弦長為2，則
C．若圓上有且只有兩個點到的距離都為1，則
D．存在，使圓上有三個點到的距離都為1
11．已知函數，則下列結論正確的是（）
A．當時，若有三個零點，則的取值范圍是（0，1）
B．當且時，
C．，
D．若存在極值點，且，其中，則
三 填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12．在空間直角坐標系中，若，，，四點共面，則 ．
13．已知函數則的解集是 ．
14．已知面積為1，邊上的中線為，且，則邊的最小值為 ．
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15．（本小題滿分13分）
在△ABC中，記角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知tanB
（1）若，求tanC的值；
（2）已知中線AM交BC于M，角平分線AN交BC于N，且求△ABC的面積．
16．（本小題滿分15分）
某次測驗滿分為100分，A組和B組各有10人參加，成績如下表：
A 76 78 83 84 85 90 92 95 98 99
B 63 72 73 75 80 81 84 85 92 99
對于該次測驗，分數時為及格，分數分時為良好，成績分時為優秀.
（1）從兩組中任取1名學生，求該名學生成績為良好的概率；
（2）從A組中隨機抽取1名學生，再從B組中隨機抽取1名學生.用隨機變量X表示這兩人的成績為優秀的人數，求X的分布列和數學期望；
（3）從A、B兩組中均隨機抽取3人，A組成績為76，83，92.已知B組抽出的3人中有2人的成績為99，92，直接寫出B組3人成績方差比A組3人成績方差小的概率.
17．（本小題滿分15分）
一吊燈下沿圓環直徑為米，通過拉鏈、、、（、、是圓上三等份點）懸掛在處，圓環呈水平狀態并距天花板2米，如圖所示.
（1）為使拉鏈總長最短，應多長？
（2）為美觀與安全，在圓環上設置，，……，（）各等分點，仍按上面方法連接．若還要求拉鏈總長度最短，對比（1）時C點位置，此時C點將會上移還是會下移 請說明理由.
18．（本小題滿分17分）
已知數列為等差數列或等比數列，前項和為，且滿足，.
（1）當數列為等差數列時，求的通項公式及；
（2）當在單調遞增時，設，求的值；
（3）當數列為等比數列且為擺動數列時，設，求的最大值和最小值.
19．（本小題滿分17分）
如圖，雙曲線：的虛軸長為2，離心率為，斜率為的直線過軸上一點.
（1）求雙曲線的標準方程；
（2）若雙曲線上存在關于直線對稱的不同兩點B，，直線與直線及軸的交點分別為P，.
（i）當時，求的取值范圍；
（ii）當時，求的最小值.
試卷第1頁，共3頁
六安一中2025屆高三綜合模擬試卷
數學試卷（二） 參考答案
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 10 11 11
答案 C C B A D D D B AD BC ABD
1．C【詳解】易知不等式的解集為，不等式的解集也為，所以“”是“”的充分必要條件.故選：C
2．C【詳解】由題，則，所以.故選：C
3．B【詳解】設等比數列的公比為，因為，則，解得，所以.故選：B.
4．A【詳解】作出，如下圖所示：由題意可知，，，由勾股定理可得，故的周長為.故選：A.
5．D【詳解】因為，所以，即，因為，所以，故，所以，故選：D
6．D 【詳解】對AB：當時，，其定義域為，，故為偶函數；又，當時，令，因為在單調遞增，在單調遞增，故在單調遞增，故在單調遞減，故AB都錯誤；對CD：當時，，其定義域為，，故為奇函數；又，當時，均為減函數，故為上的減函數，故為上的增函數，故C錯誤，D正確.故選：D.
7．D【詳解】根據題意可得：；；由全概率公式可得：；；；故.故選：D.
8．B【詳解】由題可知,當時,,則,即,由曲線,可得,所以為,又為正三角形,所以,所以,解得,故選:B
9．AD
【分析】利用散點圖分析數據，判斷相關系數，相關指數，殘差的平方和的變化情況．
【詳解】解：從散點圖可分析出，若去掉點，則解釋變量與響應變量的線性相關性變強，且是正相關，所以相關系數變大，決定系數變大，殘差平方和變小.故選：AD
10．BC【詳解】由題意，的三個頂點坐標分別為，，在圓中，，半徑；，A項，過作圓的切線，切點為，如圖所示，∴,；在中，由勾股定理得，；∴；∴當時，取最小值，，故A錯誤；B項，重心坐標即,所在直線，即；線段的中點,∴的垂直平分線為：，同理可得，的垂直平分線為：，，解得：，∴外心；由幾何知識得，垂心與外心在一條直線上，∴過和，，即，直線被圓截得的弦長為2，恰好為圓的直徑，∴直線過圓心，∴，即，B正確；C項，圓上有且只有兩個點到的距離都為1，∴圓心到直線即的距離小于直徑.∴，解得：，故C正確；D項，由幾何知識得，圓上不可能有三個點到直線的距離均為半徑1，故D錯誤；故選：BC.
11．ABD【詳解】對于A，當時，，由，可得或，由，可得，故函數在和上單調遞增；在上單調遞減．則函數在處取得極大值，在處取得極小值，若有三個零點，則，解得，故A正確；對于B，當且時，，因為，所以，由A函數在上單調遞減，故，故B正確；對于C，因為，故C錯誤；對于D，由求導得，，依題意，，可得①由，可得，由于，化簡得②將①代入②式，可化簡得：，即，因，故得，即D正確．故選：ABD．
12．-1【詳解】依題意，得，，．若四點共面，則，即，所以，所以．故答案為：-1
13．.【詳解】當時，，，；當時，，，；且當時，，所以為奇函數，易知為上的遞減函數，則，所以原不等式的解集為.
14．【詳解】設，易知為的重心，又，由重心為中線三等分點可得：，同時，設，，則，則，所以，由余弦定理可得：，令，求其最小值即可，上式化簡可得：，也即當且僅當時取得等號，所以，故答案為：
15．
【詳解】（1）因為，所以，
解得或sin,當時，，，
所以，；當時，因為，
所以，又，所以．
（2）∵，∴，，
∴，即，∴，
由角平分線定理可知，，又，所以，
由，可得，∴，，所以．
16．
【詳解】（1）由題意知，A組中良好的學生有5人，再從B組中良好的學生有7人，
從兩組中任取1名學生，求該名學生成績為良好的概率為.
因此，學生成績為良好的概率為.
（2）根據題意得，A組中優秀的學生有5人，再從B組中優秀的學生有2人
X的可能取值為0，1，2.
則，，
所以X的分布列為：
X 0 1 2
P
因此，X的數學期望.
（3）A組成績為成績分別為76，83，92，平均值為，方差為，
B組抽出的3人中有2人的成績為99，92， ，平均值為，
所以，
即，代入檢驗，可知最小為84，最大，
故B組3人成績方差比A組3人成績方差小的概率為.
17．（1）設離天花板米（），拉鏈總長度為米，由題意、、、四點構成一個正三棱錐，、、為該三棱錐的三條棱側，三棱錐的高
.于是有，對其求導，得.
當時，，解得時，，
時，，時，即米時，取最小值米.
（2）由（1）可知，當在圓環上設置個點時，拉鏈的總長為：，求導得，當時，.解之得，因為只有一個極值，所以時，拉鏈長最短.下面比較與的大小（其中），即，亦即得，所以點的位置將下移.
18．（1），. （2） （3）最大值為1，最小值為.
【詳解】
（1）假設等差數列的公差為，由題意得，所以，所以，.
（2）當數列為等差數列時，由（1）知，顯然在不單調；當數列為等比數列時，假設公比為，，解得或，當時，，易知在單調遞增；當時，，易知在不單調，所以，所以，.
（3）當數列為等比數列時，由（2）知或，又為擺動數列，所以，，所以，當為奇數時，單調遞減，，當時取得最大值1，當為偶數時，單調遞增，，當時取得最小值，所以的最大值為1，最小值為.
19．（1） （2）（i） （ii）
【詳解】（1）由題知，解得，雙曲線E的標準方程為；
（2）令，設直線為：，與聯立得，當時，設，則由韋達定理，及題意可得：則，，.
（i）當時，，，由，得，又因為，即，所以；
（ii）由題知，.因為，所以，又，，則，，又，；則，則，當取得，此時滿足題意.綜上，的最小值為.

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