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2025年四川省宜賓市中考數學試卷
一、選擇題：本題共12小題，每小題4分，共48分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.的相反數是( )
A. B. C. D.
2.下列立體圖形是圓柱的是( )
A. B. C. D.
3.一組數據：，，，，的平均數為，則的值是( )
A. B. C. D.
4.滿足不等式組的解是( )
A. B. C. D.
5.下列計算正確的是( )
A. B.
C. D.
6.某校舉辦“科學與藝術”主題知識競賽，共有道題，對每一道題，答對得分，答錯或不答扣分若小明同學想要在這次競賽中得分不低于分，則他至少要答對的題數是( )
A. 道 B. 道 C. 道 D. 道
7.如圖，是的弦，半徑于點若，，則的長是( )
A.
B.
C.
D.
8.我國古代數學著作九章算術中記載了這樣一道題：“今有牛五、羊二，直金十兩；牛二、羊五、直金八兩，問牛、羊各直金幾何？”意思是：假設頭牛、只羊，共值金兩；頭牛、只羊，共值金兩，那么每頭牛、每只羊各值金多少兩？若設每頭牛和每只羊分別值金兩和兩，列出方程組應為( )
A. B. C. D.
9.如圖，是坐標原點，反比例函數與直線交于點，點在的圖象上，直線與軸交于點，連結，若，則的長為( )
A.
B.
C.
D.
10.如圖，一張銳角三角形紙片，點、分別在邊、上，，沿將剪成面積相等的兩部分，則的值為( )
A. B. C. D.
11.如圖，在中，，，過點作直線，點是直線上一動點，連結，過點作，連結使當最短時，則的長度為( )
A. B.
C. D.
12.如圖，是坐標原點，已知二次函數的圖象與軸交于、兩點，與軸交于點，頂點為，對稱軸為，其中，，且以下結論：；；是鈍角三角形；若方程的兩根為、，則，其中正確結論有( )
A. 個 B. 個 C. 個 D. 個
二、填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分。
13.分解因式：______．
14.分式方程的解為______．
15.如圖，已知是的圓周角，，則______
16.如圖，在矩形中，點、分別在邊、上，且，把沿翻折，點恰好落在矩形對角線上處若、、三點共線，則的值為______．
17.已知、、、、是五個正整數，去掉其中任意一個數，剩余四個數相加有五種情況，和卻只有四個不同的值，分別是、、、，則______．
18.如圖，在中，，，將射線繞點順時針旋轉到，在射線上取一點，連結，使得面積為，連結，則的最大值是______．
三、解答題：本題共7小題，共78分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
19.本小題分
計算：；
計算：．
20.本小題分
某中學開學之初，為了解七年級新生對學校開展社團活動的喜愛情況，隨機抽取了部分學生進行問卷調查社團活動的項目有：籃球、乒乓球、舞蹈、象棋、演講與口才、手工與剪紙每人必選且只能選一項根據調查結果，制成了如下的統計圖．
請結合圖中信息解答下列問題：
本次共調查了______名學生，其中喜愛舞蹈的學生人數是______，并補全條形統計圖；
若七年級新生共有人，估計有______人喜歡乒乓球運動；
新生中有甲、乙、丙、丁四位同學，籃球基礎較好，且喜歡籃球運動學校籃球隊在這四人中選人加入籃球隊，請用列表或畫樹狀圖的方法，求同時選中甲乙兩人的概率．
21.本小題分
如圖，點是平行四邊形邊的中點，連結并延長交的延長線于點，求證：≌，并求的長．
22.本小題分
如圖，扇形為某運動場內的投擲區，所在圓的圓心為，、、、在同一直線上直線與所在相切于點，此時測得；從點處沿方向前進米到達處直線與所在相切于點，此時測得參考數據：，，．
求圓心角的度數；
求的弧長結果精確到米．
23.本小題分
如圖，過原點的直線與反比例函數的圖象交于、兩點一次函數的圖象過點與反比例函數交于另一點，與軸交于點，其中，．
求一次函數的表達式，并求的面積；
連結，在直線上是否存在點，使以、、為頂點的三角形與相似若存在，求出點坐標；若不存在，請說明理由．
24.本小題分
如圖，已知是的直徑，是上一點過作直線與的延長線交于點過點作于點，連結、，且．
求證：直線是的切線；
若，，求與的長度；
在的條件下，若為上的一動點，且在直線上方，連結、、當四邊形面積最大時，求的長度．
25.本小題分
如圖，是坐標原點，已知拋物線與軸交于、兩點，與軸交于點，其中，．
求、的值；
點為拋物線上第一象限內一點，連結，與直線交于點，若：：，求點的坐標；
若為拋物線的頂點，平移拋物線使得新頂點為，若又在原拋物線上，新拋物線與直線交于點，連結、，探究新拋物線與軸是否存在兩個不同的交點若存在，求出這兩個交點之間的距離；若不存在，請說明理由．
參考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.原式
；
原式
．
20.本次共調查了名學生．
喜愛舞蹈的學生人數是人．
補全條形統計圖如圖所示．
故答案為：；人．
人．
估計有人喜歡乒乓球運動．
故答案為：．
列表如下：
甲 乙 丙 丁
甲 甲，乙 甲，丙 甲，丁
乙 乙，甲 乙，丙 乙，丁
丙 丙，甲 丙，乙 丙，丁
丁 丁，甲 丁，乙 丁，丙
共有種等可能的結果，其中同時選中甲乙兩人的結果有：甲，乙，乙，甲，共種，
同時選中甲乙兩人的概率為．
21.證明：四邊形是平行四邊形，
，，
，
是的中點，
，
在和中，
，
≌，
，
．
22.直線與所在相切于點，
，
，
；
直線與所在相切于點，
，
，
，
設，，
，
，
，
在中，，
，
，
解得：，
，
的弧長為：，
答：的弧長為．
23.把代入到中得：，
解得，
反比例函數解析式為，
在中，當時，，
，
把，代入到中得：，
解得，
一次函數的表達式為，
在中，當時，，
，
，
；
直線經過原點，
由反比例函數的對稱性可得點的坐標為，，
，，
，，，
，，
，
，
，
與不垂直，
與相似，
只存在∽和∽這兩種情況，
當∽時，則，，
，，
此時點為的中點，
點的坐標為，
當∽時，則，
，
，，
設，
，
解得，
，
點的坐標為；
綜上所述，點的坐標為或．
24.證明：連接，則，
，
，
，
是的直徑，，
，
是的半徑；
直線是的切線；
解：，，
，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
，
解得舍去或；
過點作于點，則，
當四邊形面積最大時，面積最大，點到的距最大，點是的中點，
，
，
，
，
，
，
，，，
，
，
，
，
．
25.依題意，分別把，代入，
得，
解得；
由得，，
則，，
令，則，
，，
故B，，
分別過點、作，，如圖所示：
，，
，
，
∽，
，
：：，
：：，
，
設點的縱坐標為，則點的縱坐標為，
設的解析式為，
，，
，
解得，
的解析式為，
把代入，
得，
，
，
設的解析式為，
把，分別代入，
得，
解得，
的解析式為，
依題意，把代入，
得，
則，
即點，
點為拋物線上第一象限內一點，且，
，
整理得，
，
此時的，
故，是符合題意的，
當時，則，，此時，
當時，則，此時，
綜上：或；
存在，過程如下：
由得，
整理，
為拋物線的頂點，
，
平移拋物線使得新頂點為，又在原拋物線上，新拋物線與直線交于點，
連結、，過點作，，如圖所示：
平移后的拋物線的解析式為，
把代入，
得，
點在上，
，
，
，
，
，，，
，，
則，
即，
是等腰三角形，
，
，
則，
，
令，
，
即，
，
，
即，
，
，
，或，
舍去或，
，
平移后的拋物線解析式為，
令，則，
，
即，
，，
則，
新拋物線與軸存在兩個不同的交點，這兩個交點之間的距離為．
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