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2024年浙江省金華市東陽市中考二模數學試題
1．（2024九下·東陽模擬）中國是最早采用正負數表示相反意義的量，并進行負數運算的國家．若零上記作，則零下記作（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知識點】用正數、負數表示相反意義的量
【解析】【解答】解：若零上記作，則零下記作．
故選：D．
【分析】、在一對具有相反意義的量中，先規定其中一個為正，則另一個就用負表示．
2．（2024九下·東陽模擬）以“跑進電影·穿越歷史”為主題的2023橫店馬拉松賽事總規模達25000人，數25000用科學記數法表示為（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知識點】科學記數法表示大于10的數
【解析】【解答】解：．
故選：C．
【分析】用科學記數法表示較大的數時，一般形式為，其中，為整數且比位數少1，據此判斷即可．
3．（2024九下·東陽模擬）化簡（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知識點】積的乘方運算
【解析】【解答】解：
故選：B
【分析】 積的乘方，等于把積的每一個因式分別乘方， 根據法則得出結果即可。
4．（2024九下·東陽模擬）小明同學上學途中要經過一個有交通信號燈的路口，該路口交通信號燈紅燈時間為30秒，綠燈時間為25秒，黃燈時間為5秒，則小明過該路口時恰好遇到綠燈的概率為（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知識點】概率公式；概率的簡單應用
【解析】【解答】解：∵該路口交通信號燈紅燈時間為30秒，綠燈時間為25秒，黃燈時間為5秒，共60秒，
∴小明過該路口時恰好遇到綠燈的概率為，
故答案為：A.
【分析】先求出所有等可能的情況數，再求出符合條件的情況數，最后利用概率公式求解即可。
5．（2024九下·東陽模擬）若點在第二象限，則點在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【知識點】點的坐標與象限的關系
【解析】【解答】解：∵點在第二象限，
∴，，
∴在第四象限，
故選：D．
【分析】本題考查了平面直角坐標系－點的坐標特征：第一象限（+，+），第二象限（-，+），第三象限（-，-），第二象限（+，-），根據第二象限的點的坐標特征得出，，進而判斷所在的象限即可．
6．（2024九下·東陽模擬）如圖，是斜靠在墻上的長梯，與地面夾角為，當梯頂下滑到時，梯腳滑到，此時與地面的夾角為，若，，則
A．2 B． C． D．
【答案】B
【知識點】解直角三角形的實際應用﹣仰角俯角問題；解直角三角形—三邊關系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如圖：
由題意得：，
在中，，
設，則，
，
，，
，，
由題意得： ，
在中，，
，
解得：，
，，，
，
故選：B．
【分析】
本題考查了解直角三角形的應用．在下滑的過程中梯子的總長度不變，根據題意，在中，根據銳角三角函數的定義可設，則，從而利用勾股定理可得，再利用線段的和差關系可得，，然后根據題意可得：，從而在中，利用勾股定理列出關于的方程，繼而求出，，再根據代入計算即可。
7．（2024九下·東陽模擬）如圖，已知，添加下列條件，不能判定的是　　
A． B．平分 C．為的中點 D．
【答案】B
【知識點】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：，，
而，
當添加時，，則，所以，所以A選項不符合題意；
當添加平分時，，兩邊不夾角，不能判斷，所以B項符合題意；
當添加為的中點時，，，則，所以，所以C選項不符合題意；
當添加時，所以，所以D選項不符合題意．
故選：B．
【分析】本題考查了全等三角形的判定：全等三角形的5種判定方法是：SSS；ASA；AAS；SAS及HL.
先由得到，加上為公共邊，則根據全等三角形的判定方法可分別對各選項進行判斷．
8．（2024九下·東陽模擬）如圖所示是某幾何體的三視圖，根據圖中數據計算，這個幾何體側面展開圖的圓心角的度數為（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知識點】圓錐的計算；由三視圖判斷幾何體
【解析】【解答】解：由三視圖可得該幾何體是圓錐，且圓錐的底面直徑是4，高是
母線長為∶，
∴圓錐的底面周長為：，
∵圓錐的側面圖扇形的弧長等于圓錐的底面周長，
∴圓錐的側面展開扇形的弧長為，半徑為6，
∴，
∴解得：．
故選：D．
【分析】
本題考查了由三視圖還原幾何體，以及扇形的弧長公式。由三視圖可得該幾何體是圓錐，展開圖是扇形，且圓錐的底面直徑是4，母線長為，母線長是幾何展開圖扇形的半徑，圓錐的側面圖扇形的弧長等于圓錐的底面周長，根據扇形的弧長公式計算出n即可．
9．（2024九下·東陽模擬）如圖，直線及反比例函數的圖象與兩坐標軸之間的陰影部分（不包括邊界）有5個整點（橫、縱坐標都為整數），則的取值可能是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【知識點】反比例函數與一次函數的交點問題；反比例函數圖象上點的坐標特征
【解析】【解答】解：如圖所示：
直線一定過點，，
如果k=2，反比例函數圖象經過（1，2）；（2，1）；(3，)陰影部分（不包括邊界）只有一個整數點，故選項A錯誤。
如果k=3，反比例函數圖象經過（1，3）；（2，1.5）；(3，1)陰影部分（不包括邊界）只有三個整數點，故選項B錯誤。
如果k=4，反比例函數圖象經過（1，4）；（2，2）；(3，)；(4，1)陰影部分（不包括邊界）有五個整數點，故選項C正確。
如果k=5，反比例函數圖象經過（1，5）；（2，2.5）；(3，)（4，），（5，1）陰影部分（不包括邊界）只有七個整數點，故選項C錯誤
故選：C．
【分析】直線一定過點，，根據題意一次函數反比例函數與兩坐標軸之間的陰影部分（不位括邊界）有5個整點（橫、縱坐標都為整數），設反比例函數K值分別是2，3，4，5，當x=1、2、3、4求出相應的y值，分析各種情況陰影部分（不包括邊界）的整數點，即可找到符合題意的K值。
10．（2024九下·東陽模擬）如圖，把4個形狀大小均相同的矩形擺放成正方形，連接并延長交于點，連接．若，則的值是　　
A． B． C． D．
【答案】D
【知識點】正方形的性質；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性質-對應邊
【解析】【解答】解：如圖：設DH=a，DG=AB=4a，
四邊形是矩形，
，
，
，，
，
，
設BE=AD=b
，
，
，
，
∴b=2a，
，，，，
，
，
，
故選：D．
【分析】本題考查相似三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，矩形、正方形的性質，設DH=a，DG=AB=4a，BE=AD=b。先證明，推出BK=DH，再證明，推出，得到，求出b=2a，由勾股定理求出EH和IC，即可得到.
11．（2024九下·東陽模擬）多項式去括號的結果是　 　．
【答案】
【知識點】去括號法則及應用
【解析】【解答】解：．
故答案為：．
【分析】去括號法則：
（1）括號前是“”，把括號和它前面的“”去掉后，原括號里各項的符號都不改變.
（2）括號前是“”，把括號和它前面的“”去掉后，原括號里各項的符號都要改變成與原來相反的符號．
12．（2024九下·東陽模擬）分解因式：＝　 　．
【答案】
【知識點】因式分解﹣綜合運用提公因式與公式法
【解析】【解答】解：．
故答案為：．
【分析】本題考查了分解因式。先提取公因式2，再對余下的多項式利用完全平方公式繼續分解即可．
13．（2024九下·東陽模擬）若一組數據3，4，x，6，7的眾數是3，則這組數據的中位數為　 　．
【答案】4
【知識點】中位數；眾數
【解析】【解答】∵ 一組數據3，4，x，6，7的眾數是3，
∴x=3，
∴這組數據從小到大排列為：3，3，4，6，7，
∴這組數據的中位數為：4，
故答案為：4.
【分析】先利用眾數的定義求出x的值，再將數據從小到大排列，再利用中位數的定義分析求解即可.
14．（2024九下·東陽模擬）如圖，小正方形邊長為，連接小正方形的三個頂點，可得. 則邊上的高長度為　 　.
【答案】
【知識點】三角形的面積；勾股定理；幾何圖形的面積計算-割補法
【解析】【解答】解：∵三角形的面積等于正方形的面積減去三個直角三角形的面積，
∴==6，
∵AC＝==，
∴AC邊上的高h===，
故答案為：．
【分析】先根據大正方形的面積減去三個直角三角形的面積計算出三角形ABC的面積，再根據勾股定理求得AC的長，再根據三角形的面積公式即可求得AC邊上的高．
15．（2024九下·東陽模擬）已知二次函數 (t為常數)，點、是其圖象上兩點，若，則的取值范圍為　 　．
【答案】
【知識點】二次函數y=ax²+bx+c的性質；二次函數與一元二次方程的綜合應用；二次函數的對稱性及應用
【解析】【解答】解：∵，
∴，
-2＜0，拋物線開口向下，對稱軸
∴
∴
故答案為：．
【分析】先把拋物線化成一般形式，找出對稱軸，根據二次函數的性質判斷x的取值范圍，再根據一元二次方程的根與系數的關系確定 的取值范圍。
16．（2024九下·東陽模擬）如圖，在扇形中，點為圓心，點在上，過點作于點，交弦于點，且，連接．
（1）設，則　 　．（用的代數式表示）
（2）已知的長為，若為等腰三角形，則扇形的半徑長為　 　．
【答案】；或．
【知識點】三角形的外角性質；垂徑定理；弧長的計算；三角形全等的判定-SSS；等腰三角形的性質-三線合一
【解析】【解答】解：（1）連接，交于，則，
在和中，
，
，
，，
∵∠OCD+∠AOC=90°
∴∠OAB+∠AOC=90°
，
∵OA=OB，
∴∠AOB=∠COB
，
故答案為：；
（2）由（1）可知，設，則，
，
當，
，
，
，
∠BEO=∠BAO+∠AOE=4x
在三角形BOE中
∠ABO+∠BOE+∠BEO=180°
，
，
，
，
．
當時，
∠BOE=∠BEO=3X，
∵∠BAO+∠AOE=∠BEO
∴∠BAO=2X=∠ABO
在三角形BOE中
∠ABO+∠BOE+∠BEO=180°
∴2x+3x+3x=180°
x=22.5°
.
故答案為：或．
【分析】
本題考查了弧長的計算，等腰三角形的性質，三角形全等的判定和性質，垂徑定理。作出輔助線構建全等三角形是解題的關鍵．
（1）連接，交于，則OA=OB=OC，先證明，得到，，，等腰三角形三線合一得到求得，則；
（2）由（1）可知，設，則，，分兩種情況；
①BE=OE，分別求出∠BOE=3X，∠ABO=3x，∠BEO=4X，根據三角形內角和等于180°求出∠AOB=72°，再根據弧長=，求出半徑R.
②BE=OB，分別求出∠BOE=3X，∠ABO=2x，∠BEO=3X，根據三角形內角和等于180°求出∠AOB=90°，再根據弧長=，求出半徑R.
17．（2024九下·東陽模擬）計算：．
【答案】解：
.
【知識點】求特殊角的三角函數值；實數的混合運算（含開方）
【解析】【分析】根據特殊角的三角形函數值和實數的混合運算進行計算即可.
18．（2024九下·東陽模擬）解不等式組：．
【答案】解：，由①得，，
由②得，，
∴原不等式組的解集是：．
【知識點】解一元一次不等式組
【解析】【分析】分別求出各不等式的解集，再根據“同大取大，同小取小。大大小小沒有解，大小小大取中間 ”求出其公共解集即可．
19．（2024九下·東陽模擬）為了解學生手機使用情況，某學校開展了“手機伴我健康行”主題活動，他們隨機抽取部分學生進行“使用手機的目的”和“每周使用手機的時間”的問卷調查，并繪制成如圖①，圖②所示的統計圖，已知“查資料”的人數是48人．解答下列問題：
（1）在扇形統計圖中，求表示“玩游戲”的扇形圓心角度數，并補全條形統計圖．
（2）該校共有學生2100人，估計每周使用手機時間在2h以上(不含2h)的人數．
【答案】（1）解：“玩游戲”的扇形圓心角度數：
隨機抽取的學生數為：（人，
用手機時間在3小時以上的人數為：（人，
補全條形統計圖如下：
（2）解：（人，
答：估計每周使用手機時間在2小時以上的人數是1470人．
【知識點】扇形統計圖；條形統計圖；用樣本所占百分比估計總體數量
【解析】【分析】此題考查了條形統計圖，扇形統計圖，以及用樣本估計總體．（1）由扇形統計圖其他的百分比求出“玩游戲”的百分比，乘以即可得到“玩游戲”的扇形圓心角度數。然后求出總人數，再求出3小時以上的人數，補全條形統計圖即可；
（2）由每周使用手機時間在2小時以上（不含2小時）所占的比乘以2100即可得到結果．
20．（2024九下·東陽模擬）如圖，點E是矩形的邊上一點，且．
（1）尺規作圖：作的平分線，交的延長線于點F(保留作圖痕跡，不寫作法)．
（2）連接，試判斷四邊形的形狀，并說明理由．
【答案】（1）如圖所示，線段AF就是所求作的角平分線；
（2）解：
四邊形是菱形．理由如下：
四邊形是矩形，
，
平分
，（等角對等邊）
，
，
四邊形是平行四邊形，（對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形）
，
四邊形是菱形．（鄰邊相等的平行四邊形為菱形）
【知識點】平行四邊形的判定；菱形的判定；矩形的性質；尺規作圖-作角的平分線
【解析】【分析】（1）以A為圓心以任意長度為半徑畫弧交AE、AD于M、N；分別以M、N為圓心以大于MN為半徑畫弧，兩弧相交于P，連接AP并延長相交于BC的延長線于F.據此完成作圖。
（2）根據矩形的性質得出，結合角平分線的定義先證明AEFD是平行四邊形，結合平行四邊形的鄰邊相等即可證明AEFD是菱形。
21．（2024九下·東陽模擬）已知二次函數，是常數，．
（1）當二次函數的圖象過點時，求該拋物線的對稱軸．
（2）若，點，在該二次函數圖象上，求證：．
【答案】（1）解：由題意，二次函數的圖象過點，
．
．
拋物線的對稱軸是直線
（2）證明：由題意，點，在該二次函數圖象上，
∴3a+b＞0 ①．
又
-a-b＞0 ②，
①+②得，
．
【知識點】二次函數圖象上點的坐標特征；二次函數y=ax²+bx+c的性質；二次函數的對稱性及應用
【解析】【分析】（1）依據題意，由二次函數的圖象過點，從而，進而可得，再根據對稱軸即可求出該拋物線的對稱軸。
（2）依據題意，由點，在該二次函數圖象上，從而可得，又，從而，進而可得，得證a＞0.
22．（2024九下·東陽模擬）小聰家購買了一輛新能源汽車，該汽車的基本配置為：電池容量為，支持快速充電功能，快速充電功率為．圖①為汽車儀表盤的一部分，有關充電小常識如表②所示．
表②
新能源汽車小常識： 1.新能源汽車充電有個簡單的公式： 充電量() =充電功率() ×充電時間 2.電動汽車電池剩余20%電量時，提示充電狀態，此時電量燈顯示為黃色 已知該新能源汽車在滿電量狀態下行駛過程中儀表盤行駛里程y(千米)與顯示電量的部分數據如下表：(不考慮續航縮水問題)
已知該新能源汽車在滿電量狀態下行駛過程中儀表盤行駛里程y(千米)與顯示電量的部分數據如下表：(不考慮續航縮水問題)
汽車行駛過程
已行駛里程y(千米) 0 200 300 350
顯示電量 100 60 40 30
（1）在直角坐標系中，通過描點判斷y與x之間的函數關系，并求出該函數表達式．
（2）請問該汽車在滿電狀態行駛多少公里時，電量燈開始變成黃色？
（3）已知小聰爸爸駕駛該新能源汽車在滿電量的狀態下出發，前往600千米處的目的地，行駛240千米后，在途中的服務區充電，一次性充電若干時長后繼續行駛，到達目的地時儀表盤顯示電量為，求該汽車在服務區充電的時長．
【答案】（1）解：在坐標系中描點作圖如下：判斷該函數為一次函數，設函數解析式為，
將點，代入解析式得：
，解得，
一次函數解析式為：．
（2）解：當時，
答：該汽車在滿電狀態行駛400公里時，電量燈開始變成黃色．
（3）解：由題意可得行駛里程表顯示：，解得，
每千米的耗電量（100-52）÷240=0.2
600千米的耗電量600×0.2=120
充電電量為：120+10-100=30，
根據題意，電池容量為，支持快速充電功能，快速充電功率為，即小時充電
的電量需要充電時間為：分鐘，即充電時間為分鐘．
答：到達目的地時儀表盤顯示電量為，該汽車在服務區充電分鐘．
【知識點】一次函數的實際應用
【解析】【分析】（1）根據表格數據，描點畫出函數圖象并利用待定系數法求出一次函數解析式即可；
（2）將代入（1）中解析式求出值即可；
（3）根據題意先求出每行駛1千米需要的電量，再求出行駛600千米需要的電量。由于儀表盤顯示剩余10%的電量，可求出需要充電的電量是30%。再根據“ 電池容量為，支持快速充電功能，快速充電功率為． ”可知快充充滿需要的時間是即可充滿100%據此即可求出充30%電量需要的時間。
23．（2024九下·東陽模擬）根據以下操作，完成任務．
如何折出正多邊形？
操 作 1 如圖①，先對折正方形，得到的垂直平分線，再攤開、鋪平，把點D，C折到的垂直平分線上．折疊后的點D，點C重合，記為點O．得到．
操 作 2 將操作1中折出的剪下，如圖②，將對折，記折痕為，再攤開、鋪平，把點A，B折到上．折疊后的點A，點B重合，記為點G……
問題解決
任 務 1 判斷的形狀，并說明理由
任 務 2 某數學學科小組在操作2的基礎上繼續折疊，提供了以下三種方案： 方案①：將紙片沿向上折疊，使得點H落在點P處． 方案②：將對折，使得角兩邊與重合，折痕交于點P． 方案③：將紙片向左上方折疊，使得點E與點H重合，折疊后的點F落在點P處． 以上方案中折出的四邊形為正方形的是 ．(填寫序號)
任 務3 求操作1中的正方形與操作2中所折出的正方形的面積之比．
【答案】解：
任務1：根據折疊的方法可知：OH垂直平分AB，AD=AO=BO=BC. ∵ABCD是正方形，∴AB=AD=BC
∴AB=AO=BO， 所以是等邊三角形，
任務2：
方案中折出的四邊形為正方形的是①②③；
任務3：過點E作，垂足為M.如圖：
∵，，∠AEM=30°
設AM=x，AE=2x，EM=MH=x
AH=AE+MH=x+，
AB=2AH=2(1+)x
正方形ABCD的面積=
正方形EHPF的面積==6X
∴正方形與正方形的面積之比為：
【知識點】含30°角的直角三角形；菱形的判定與性質；正方形的判定與性質；翻折變換（折疊問題）
【解析】【解答】
任務2：連接，因為是等邊三角形，所在直線是AB的垂直平分線，
∵∠A=∠B，AH=BH，
∴△AEH≌△BFH
EH=FH，、是關于的對稱，
∴，，即是的垂直平分線，，
方案①，將紙片沿向上折疊，使得點落在點處，
∴，
∴四邊形是菱形，
又∵，
∴菱形是正方形；
方案②，將∠對折，使得角兩邊與重合，折痕交于點．
∵∠A=60°，∠EHA=∠EHP=45° ∠GOE=30°
∴∠AEH=180°-60°-45°=75°
又折疊可知∠GEH=75°
∴∠OEG=180°-75°-75°=30°
∠OEP=∠OEG=15°
∠HPE=∠GOE+∠OEP=45°
∴EP=EH=HF，∠PEH=180°-∠EHG-∠EPG=180°-45°-45°=90°
EP∥HF，EP=EH=HF
∴四邊形是是正方形；
方案③：將紙片向左上方折疊，使得點E與點H重合，折疊后的點F落在點P處．如圖：∠EHF=90°
由折疊方法可知：，，
∴，
∴四邊形是平行四邊形，
∵
∴四邊形是正方形；
綜上所述：方案中折出的四邊形為正方形的是①②③；
故答案為：①②③。
【分析】
本題考查了正方形與折疊問題，等腰三角形的性質與判定，軸對稱的性質，勾股定理，熟練掌握折疊的性質是解題的關鍵．
任務1：根據ABCD是正方形和折疊的性質得出AB=AO=BO，故是等邊三角形；
任務2：連接，可證是的垂直平分線，
方案①，由折疊的方法和對稱性質可得：先證EHFP是菱形 且∠EHF=90°繼而證得EHFP是正方形；
方案②，證明EP∥HF，EP=EH=HF得到EHFP是正方形；
方案③，先證四邊形是平行四邊形，由于鄰邊相等且互相垂直，故EHFP是正方形
故按以上方案折疊方法折出四邊形是正方形有①②③；
任務3：由折疊性質知，，∠AEM=30°，設AM=x，用含有x的式子表示出AE、EM、MH、EH、AB，而正方形ABCD的面積，正方形EHFP的面積，繼而可以求出兩個正方形的面積之比。
24．（2024九下·東陽模擬）如圖，內接于，點在直徑的延長線上，且，連結，．
（1）求證：是的切線．
（2）若的半徑為，．
①當時，求．
②求證：．
【答案】（1）證明：連接、，
∵是直徑，
∴，
設∠OAB=∠OBA=∠ACD=x
∵∠BAC=∠BAO+∠FAO=∠2∠ ACD=2x
即x+∠FAO=2x
∴∠FAO=x
AE∥BC
∴∠ACB=∠CAE
∠ACB+∠ACD=∠CAE+∠FAO
∴∠BCD=∠OAE=90°
即：，
∵是半徑，.
∴是的切線．
（2）解：①∵，，∴．AO=AE=R
∴
∴
∵，
∴
∴在中，
∴
∵，
∴．
②由（1）得AE是圓的切線
∴∠ABE=∠EAD=∠ACD，
∠E=∠ E
∴，即
∵在中，
在中，，
∵AE∥BC
∴，即
∵，
∴，即：
∴，即，
∴，
∴
∴
【知識點】切線的判定；解直角三角形；圓與三角形的綜合；圓周角定理的推論；轉化思想
【解析】【解析】考查了圓與三角形綜合，涉及了切線性質和判斷、圓周角定理，相似三角形的判定與性質、解三角形等知識點，（1）連接、，根據題意和已知條件先證∠OAF=∠ACD，再證∠ACB+∠ACD=∠CAE+∠FAO=90°即，∵是半徑，∴是的切線．
（2）①因為AE∥BC，所以∠E=∠DBC=45°，∠OAE=∠BCD=90°，解直角三角形求出DE=
CD=，得到，結合已知條件 ，求出n=2-.
②證得，因為∠ABD=∠ACD，求得，又因為AE∥BC，，解直角三角形得到，結合已知條件繼而得到，，，把DE，BE代入得證。
1 / 12024年浙江省金華市東陽市中考二模數學試題
1．（2024九下·東陽模擬）中國是最早采用正負數表示相反意義的量，并進行負數運算的國家．若零上記作，則零下記作（　　）
A． B． C． D．
2．（2024九下·東陽模擬）以“跑進電影·穿越歷史”為主題的2023橫店馬拉松賽事總規模達25000人，數25000用科學記數法表示為（　　）
A． B． C． D．
3．（2024九下·東陽模擬）化簡（　　）
A． B． C． D．
4．（2024九下·東陽模擬）小明同學上學途中要經過一個有交通信號燈的路口，該路口交通信號燈紅燈時間為30秒，綠燈時間為25秒，黃燈時間為5秒，則小明過該路口時恰好遇到綠燈的概率為（　　）
A． B． C． D．
5．（2024九下·東陽模擬）若點在第二象限，則點在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．（2024九下·東陽模擬）如圖，是斜靠在墻上的長梯，與地面夾角為，當梯頂下滑到時，梯腳滑到，此時與地面的夾角為，若，，則
A．2 B． C． D．
7．（2024九下·東陽模擬）如圖，已知，添加下列條件，不能判定的是　　
A． B．平分 C．為的中點 D．
8．（2024九下·東陽模擬）如圖所示是某幾何體的三視圖，根據圖中數據計算，這個幾何體側面展開圖的圓心角的度數為（　　）
A． B． C． D．
9．（2024九下·東陽模擬）如圖，直線及反比例函數的圖象與兩坐標軸之間的陰影部分（不包括邊界）有5個整點（橫、縱坐標都為整數），則的取值可能是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
10．（2024九下·東陽模擬）如圖，把4個形狀大小均相同的矩形擺放成正方形，連接并延長交于點，連接．若，則的值是　　
A． B． C． D．
11．（2024九下·東陽模擬）多項式去括號的結果是　 　．
12．（2024九下·東陽模擬）分解因式：＝　 　．
13．（2024九下·東陽模擬）若一組數據3，4，x，6，7的眾數是3，則這組數據的中位數為　 　．
14．（2024九下·東陽模擬）如圖，小正方形邊長為，連接小正方形的三個頂點，可得. 則邊上的高長度為　 　.
15．（2024九下·東陽模擬）已知二次函數 (t為常數)，點、是其圖象上兩點，若，則的取值范圍為　 　．
16．（2024九下·東陽模擬）如圖，在扇形中，點為圓心，點在上，過點作于點，交弦于點，且，連接．
（1）設，則　 　．（用的代數式表示）
（2）已知的長為，若為等腰三角形，則扇形的半徑長為　 　．
17．（2024九下·東陽模擬）計算：．
18．（2024九下·東陽模擬）解不等式組：．
19．（2024九下·東陽模擬）為了解學生手機使用情況，某學校開展了“手機伴我健康行”主題活動，他們隨機抽取部分學生進行“使用手機的目的”和“每周使用手機的時間”的問卷調查，并繪制成如圖①，圖②所示的統計圖，已知“查資料”的人數是48人．解答下列問題：
（1）在扇形統計圖中，求表示“玩游戲”的扇形圓心角度數，并補全條形統計圖．
（2）該校共有學生2100人，估計每周使用手機時間在2h以上(不含2h)的人數．
20．（2024九下·東陽模擬）如圖，點E是矩形的邊上一點，且．
（1）尺規作圖：作的平分線，交的延長線于點F(保留作圖痕跡，不寫作法)．
（2）連接，試判斷四邊形的形狀，并說明理由．
21．（2024九下·東陽模擬）已知二次函數，是常數，．
（1）當二次函數的圖象過點時，求該拋物線的對稱軸．
（2）若，點，在該二次函數圖象上，求證：．
22．（2024九下·東陽模擬）小聰家購買了一輛新能源汽車，該汽車的基本配置為：電池容量為，支持快速充電功能，快速充電功率為．圖①為汽車儀表盤的一部分，有關充電小常識如表②所示．
表②
新能源汽車小常識： 1.新能源汽車充電有個簡單的公式： 充電量() =充電功率() ×充電時間 2.電動汽車電池剩余20%電量時，提示充電狀態，此時電量燈顯示為黃色 已知該新能源汽車在滿電量狀態下行駛過程中儀表盤行駛里程y(千米)與顯示電量的部分數據如下表：(不考慮續航縮水問題)
已知該新能源汽車在滿電量狀態下行駛過程中儀表盤行駛里程y(千米)與顯示電量的部分數據如下表：(不考慮續航縮水問題)
汽車行駛過程
已行駛里程y(千米) 0 200 300 350
顯示電量 100 60 40 30
（1）在直角坐標系中，通過描點判斷y與x之間的函數關系，并求出該函數表達式．
（2）請問該汽車在滿電狀態行駛多少公里時，電量燈開始變成黃色？
（3）已知小聰爸爸駕駛該新能源汽車在滿電量的狀態下出發，前往600千米處的目的地，行駛240千米后，在途中的服務區充電，一次性充電若干時長后繼續行駛，到達目的地時儀表盤顯示電量為，求該汽車在服務區充電的時長．
23．（2024九下·東陽模擬）根據以下操作，完成任務．
如何折出正多邊形？
操 作 1 如圖①，先對折正方形，得到的垂直平分線，再攤開、鋪平，把點D，C折到的垂直平分線上．折疊后的點D，點C重合，記為點O．得到．
操 作 2 將操作1中折出的剪下，如圖②，將對折，記折痕為，再攤開、鋪平，把點A，B折到上．折疊后的點A，點B重合，記為點G……
問題解決
任 務 1 判斷的形狀，并說明理由
任 務 2 某數學學科小組在操作2的基礎上繼續折疊，提供了以下三種方案： 方案①：將紙片沿向上折疊，使得點H落在點P處． 方案②：將對折，使得角兩邊與重合，折痕交于點P． 方案③：將紙片向左上方折疊，使得點E與點H重合，折疊后的點F落在點P處． 以上方案中折出的四邊形為正方形的是 ．(填寫序號)
任 務3 求操作1中的正方形與操作2中所折出的正方形的面積之比．
24．（2024九下·東陽模擬）如圖，內接于，點在直徑的延長線上，且，連結，．
（1）求證：是的切線．
（2）若的半徑為，．
①當時，求．
②求證：．
答案解析部分
1．【答案】D
【知識點】用正數、負數表示相反意義的量
【解析】【解答】解：若零上記作，則零下記作．
故選：D．
【分析】、在一對具有相反意義的量中，先規定其中一個為正，則另一個就用負表示．
2．【答案】C
【知識點】科學記數法表示大于10的數
【解析】【解答】解：．
故選：C．
【分析】用科學記數法表示較大的數時，一般形式為，其中，為整數且比位數少1，據此判斷即可．
3．【答案】B
【知識點】積的乘方運算
【解析】【解答】解：
故選：B
【分析】 積的乘方，等于把積的每一個因式分別乘方， 根據法則得出結果即可。
4．【答案】A
【知識點】概率公式；概率的簡單應用
【解析】【解答】解：∵該路口交通信號燈紅燈時間為30秒，綠燈時間為25秒，黃燈時間為5秒，共60秒，
∴小明過該路口時恰好遇到綠燈的概率為，
故答案為：A.
【分析】先求出所有等可能的情況數，再求出符合條件的情況數，最后利用概率公式求解即可。
5．【答案】D
【知識點】點的坐標與象限的關系
【解析】【解答】解：∵點在第二象限，
∴，，
∴在第四象限，
故選：D．
【分析】本題考查了平面直角坐標系－點的坐標特征：第一象限（+，+），第二象限（-，+），第三象限（-，-），第二象限（+，-），根據第二象限的點的坐標特征得出，，進而判斷所在的象限即可．
6．【答案】B
【知識點】解直角三角形的實際應用﹣仰角俯角問題；解直角三角形—三邊關系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如圖：
由題意得：，
在中，，
設，則，
，
，，
，，
由題意得： ，
在中，，
，
解得：，
，，，
，
故選：B．
【分析】
本題考查了解直角三角形的應用．在下滑的過程中梯子的總長度不變，根據題意，在中，根據銳角三角函數的定義可設，則，從而利用勾股定理可得，再利用線段的和差關系可得，，然后根據題意可得：，從而在中，利用勾股定理列出關于的方程，繼而求出，，再根據代入計算即可。
7．【答案】B
【知識點】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：，，
而，
當添加時，，則，所以，所以A選項不符合題意；
當添加平分時，，兩邊不夾角，不能判斷，所以B項符合題意；
當添加為的中點時，，，則，所以，所以C選項不符合題意；
當添加時，所以，所以D選項不符合題意．
故選：B．
【分析】本題考查了全等三角形的判定：全等三角形的5種判定方法是：SSS；ASA；AAS；SAS及HL.
先由得到，加上為公共邊，則根據全等三角形的判定方法可分別對各選項進行判斷．
8．【答案】D
【知識點】圓錐的計算；由三視圖判斷幾何體
【解析】【解答】解：由三視圖可得該幾何體是圓錐，且圓錐的底面直徑是4，高是
母線長為∶，
∴圓錐的底面周長為：，
∵圓錐的側面圖扇形的弧長等于圓錐的底面周長，
∴圓錐的側面展開扇形的弧長為，半徑為6，
∴，
∴解得：．
故選：D．
【分析】
本題考查了由三視圖還原幾何體，以及扇形的弧長公式。由三視圖可得該幾何體是圓錐，展開圖是扇形，且圓錐的底面直徑是4，母線長為，母線長是幾何展開圖扇形的半徑，圓錐的側面圖扇形的弧長等于圓錐的底面周長，根據扇形的弧長公式計算出n即可．
9．【答案】C
【知識點】反比例函數與一次函數的交點問題；反比例函數圖象上點的坐標特征
【解析】【解答】解：如圖所示：
直線一定過點，，
如果k=2，反比例函數圖象經過（1，2）；（2，1）；(3，)陰影部分（不包括邊界）只有一個整數點，故選項A錯誤。
如果k=3，反比例函數圖象經過（1，3）；（2，1.5）；(3，1)陰影部分（不包括邊界）只有三個整數點，故選項B錯誤。
如果k=4，反比例函數圖象經過（1，4）；（2，2）；(3，)；(4，1)陰影部分（不包括邊界）有五個整數點，故選項C正確。
如果k=5，反比例函數圖象經過（1，5）；（2，2.5）；(3，)（4，），（5，1）陰影部分（不包括邊界）只有七個整數點，故選項C錯誤
故選：C．
【分析】直線一定過點，，根據題意一次函數反比例函數與兩坐標軸之間的陰影部分（不位括邊界）有5個整點（橫、縱坐標都為整數），設反比例函數K值分別是2，3，4，5，當x=1、2、3、4求出相應的y值，分析各種情況陰影部分（不包括邊界）的整數點，即可找到符合題意的K值。
10．【答案】D
【知識點】正方形的性質；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性質-對應邊
【解析】【解答】解：如圖：設DH=a，DG=AB=4a，
四邊形是矩形，
，
，
，，
，
，
設BE=AD=b
，
，
，
，
∴b=2a，
，，，，
，
，
，
故選：D．
【分析】本題考查相似三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，矩形、正方形的性質，設DH=a，DG=AB=4a，BE=AD=b。先證明，推出BK=DH，再證明，推出，得到，求出b=2a，由勾股定理求出EH和IC，即可得到.
11．【答案】
【知識點】去括號法則及應用
【解析】【解答】解：．
故答案為：．
【分析】去括號法則：
（1）括號前是“”，把括號和它前面的“”去掉后，原括號里各項的符號都不改變.
（2）括號前是“”，把括號和它前面的“”去掉后，原括號里各項的符號都要改變成與原來相反的符號．
12．【答案】
【知識點】因式分解﹣綜合運用提公因式與公式法
【解析】【解答】解：．
故答案為：．
【分析】本題考查了分解因式。先提取公因式2，再對余下的多項式利用完全平方公式繼續分解即可．
13．【答案】4
【知識點】中位數；眾數
【解析】【解答】∵ 一組數據3，4，x，6，7的眾數是3，
∴x=3，
∴這組數據從小到大排列為：3，3，4，6，7，
∴這組數據的中位數為：4，
故答案為：4.
【分析】先利用眾數的定義求出x的值，再將數據從小到大排列，再利用中位數的定義分析求解即可.
14．【答案】
【知識點】三角形的面積；勾股定理；幾何圖形的面積計算-割補法
【解析】【解答】解：∵三角形的面積等于正方形的面積減去三個直角三角形的面積，
∴==6，
∵AC＝==，
∴AC邊上的高h===，
故答案為：．
【分析】先根據大正方形的面積減去三個直角三角形的面積計算出三角形ABC的面積，再根據勾股定理求得AC的長，再根據三角形的面積公式即可求得AC邊上的高．
15．【答案】
【知識點】二次函數y=ax²+bx+c的性質；二次函數與一元二次方程的綜合應用；二次函數的對稱性及應用
【解析】【解答】解：∵，
∴，
-2＜0，拋物線開口向下，對稱軸
∴
∴
故答案為：．
【分析】先把拋物線化成一般形式，找出對稱軸，根據二次函數的性質判斷x的取值范圍，再根據一元二次方程的根與系數的關系確定 的取值范圍。
16．【答案】；或．
【知識點】三角形的外角性質；垂徑定理；弧長的計算；三角形全等的判定-SSS；等腰三角形的性質-三線合一
【解析】【解答】解：（1）連接，交于，則，
在和中，
，
，
，，
∵∠OCD+∠AOC=90°
∴∠OAB+∠AOC=90°
，
∵OA=OB，
∴∠AOB=∠COB
，
故答案為：；
（2）由（1）可知，設，則，
，
當，
，
，
，
∠BEO=∠BAO+∠AOE=4x
在三角形BOE中
∠ABO+∠BOE+∠BEO=180°
，
，
，
，
．
當時，
∠BOE=∠BEO=3X，
∵∠BAO+∠AOE=∠BEO
∴∠BAO=2X=∠ABO
在三角形BOE中
∠ABO+∠BOE+∠BEO=180°
∴2x+3x+3x=180°
x=22.5°
.
故答案為：或．
【分析】
本題考查了弧長的計算，等腰三角形的性質，三角形全等的判定和性質，垂徑定理。作出輔助線構建全等三角形是解題的關鍵．
（1）連接，交于，則OA=OB=OC，先證明，得到，，，等腰三角形三線合一得到求得，則；
（2）由（1）可知，設，則，，分兩種情況；
①BE=OE，分別求出∠BOE=3X，∠ABO=3x，∠BEO=4X，根據三角形內角和等于180°求出∠AOB=72°，再根據弧長=，求出半徑R.
②BE=OB，分別求出∠BOE=3X，∠ABO=2x，∠BEO=3X，根據三角形內角和等于180°求出∠AOB=90°，再根據弧長=，求出半徑R.
17．【答案】解：
.
【知識點】求特殊角的三角函數值；實數的混合運算（含開方）
【解析】【分析】根據特殊角的三角形函數值和實數的混合運算進行計算即可.
18．【答案】解：，由①得，，
由②得，，
∴原不等式組的解集是：．
【知識點】解一元一次不等式組
【解析】【分析】分別求出各不等式的解集，再根據“同大取大，同小取小。大大小小沒有解，大小小大取中間 ”求出其公共解集即可．
19．【答案】（1）解：“玩游戲”的扇形圓心角度數：
隨機抽取的學生數為：（人，
用手機時間在3小時以上的人數為：（人，
補全條形統計圖如下：
（2）解：（人，
答：估計每周使用手機時間在2小時以上的人數是1470人．
【知識點】扇形統計圖；條形統計圖；用樣本所占百分比估計總體數量
【解析】【分析】此題考查了條形統計圖，扇形統計圖，以及用樣本估計總體．（1）由扇形統計圖其他的百分比求出“玩游戲”的百分比，乘以即可得到“玩游戲”的扇形圓心角度數。然后求出總人數，再求出3小時以上的人數，補全條形統計圖即可；
（2）由每周使用手機時間在2小時以上（不含2小時）所占的比乘以2100即可得到結果．
20．【答案】（1）如圖所示，線段AF就是所求作的角平分線；
（2）解：
四邊形是菱形．理由如下：
四邊形是矩形，
，
平分
，（等角對等邊）
，
，
四邊形是平行四邊形，（對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形）
，
四邊形是菱形．（鄰邊相等的平行四邊形為菱形）
【知識點】平行四邊形的判定；菱形的判定；矩形的性質；尺規作圖-作角的平分線
【解析】【分析】（1）以A為圓心以任意長度為半徑畫弧交AE、AD于M、N；分別以M、N為圓心以大于MN為半徑畫弧，兩弧相交于P，連接AP并延長相交于BC的延長線于F.據此完成作圖。
（2）根據矩形的性質得出，結合角平分線的定義先證明AEFD是平行四邊形，結合平行四邊形的鄰邊相等即可證明AEFD是菱形。
21．【答案】（1）解：由題意，二次函數的圖象過點，
．
．
拋物線的對稱軸是直線
（2）證明：由題意，點，在該二次函數圖象上，
∴3a+b＞0 ①．
又
-a-b＞0 ②，
①+②得，
．
【知識點】二次函數圖象上點的坐標特征；二次函數y=ax²+bx+c的性質；二次函數的對稱性及應用
【解析】【分析】（1）依據題意，由二次函數的圖象過點，從而，進而可得，再根據對稱軸即可求出該拋物線的對稱軸。
（2）依據題意，由點，在該二次函數圖象上，從而可得，又，從而，進而可得，得證a＞0.
22．【答案】（1）解：在坐標系中描點作圖如下：判斷該函數為一次函數，設函數解析式為，
將點，代入解析式得：
，解得，
一次函數解析式為：．
（2）解：當時，
答：該汽車在滿電狀態行駛400公里時，電量燈開始變成黃色．
（3）解：由題意可得行駛里程表顯示：，解得，
每千米的耗電量（100-52）÷240=0.2
600千米的耗電量600×0.2=120
充電電量為：120+10-100=30，
根據題意，電池容量為，支持快速充電功能，快速充電功率為，即小時充電
的電量需要充電時間為：分鐘，即充電時間為分鐘．
答：到達目的地時儀表盤顯示電量為，該汽車在服務區充電分鐘．
【知識點】一次函數的實際應用
【解析】【分析】（1）根據表格數據，描點畫出函數圖象并利用待定系數法求出一次函數解析式即可；
（2）將代入（1）中解析式求出值即可；
（3）根據題意先求出每行駛1千米需要的電量，再求出行駛600千米需要的電量。由于儀表盤顯示剩余10%的電量，可求出需要充電的電量是30%。再根據“ 電池容量為，支持快速充電功能，快速充電功率為． ”可知快充充滿需要的時間是即可充滿100%據此即可求出充30%電量需要的時間。
23．【答案】解：
任務1：根據折疊的方法可知：OH垂直平分AB，AD=AO=BO=BC. ∵ABCD是正方形，∴AB=AD=BC
∴AB=AO=BO， 所以是等邊三角形，
任務2：
方案中折出的四邊形為正方形的是①②③；
任務3：過點E作，垂足為M.如圖：
∵，，∠AEM=30°
設AM=x，AE=2x，EM=MH=x
AH=AE+MH=x+，
AB=2AH=2(1+)x
正方形ABCD的面積=
正方形EHPF的面積==6X
∴正方形與正方形的面積之比為：
【知識點】含30°角的直角三角形；菱形的判定與性質；正方形的判定與性質；翻折變換（折疊問題）
【解析】【解答】
任務2：連接，因為是等邊三角形，所在直線是AB的垂直平分線，
∵∠A=∠B，AH=BH，
∴△AEH≌△BFH
EH=FH，、是關于的對稱，
∴，，即是的垂直平分線，，
方案①，將紙片沿向上折疊，使得點落在點處，
∴，
∴四邊形是菱形，
又∵，
∴菱形是正方形；
方案②，將∠對折，使得角兩邊與重合，折痕交于點．
∵∠A=60°，∠EHA=∠EHP=45° ∠GOE=30°
∴∠AEH=180°-60°-45°=75°
又折疊可知∠GEH=75°
∴∠OEG=180°-75°-75°=30°
∠OEP=∠OEG=15°
∠HPE=∠GOE+∠OEP=45°
∴EP=EH=HF，∠PEH=180°-∠EHG-∠EPG=180°-45°-45°=90°
EP∥HF，EP=EH=HF
∴四邊形是是正方形；
方案③：將紙片向左上方折疊，使得點E與點H重合，折疊后的點F落在點P處．如圖：∠EHF=90°
由折疊方法可知：，，
∴，
∴四邊形是平行四邊形，
∵
∴四邊形是正方形；
綜上所述：方案中折出的四邊形為正方形的是①②③；
故答案為：①②③。
【分析】
本題考查了正方形與折疊問題，等腰三角形的性質與判定，軸對稱的性質，勾股定理，熟練掌握折疊的性質是解題的關鍵．
任務1：根據ABCD是正方形和折疊的性質得出AB=AO=BO，故是等邊三角形；
任務2：連接，可證是的垂直平分線，
方案①，由折疊的方法和對稱性質可得：先證EHFP是菱形 且∠EHF=90°繼而證得EHFP是正方形；
方案②，證明EP∥HF，EP=EH=HF得到EHFP是正方形；
方案③，先證四邊形是平行四邊形，由于鄰邊相等且互相垂直，故EHFP是正方形
故按以上方案折疊方法折出四邊形是正方形有①②③；
任務3：由折疊性質知，，∠AEM=30°，設AM=x，用含有x的式子表示出AE、EM、MH、EH、AB，而正方形ABCD的面積，正方形EHFP的面積，繼而可以求出兩個正方形的面積之比。
24．【答案】（1）證明：連接、，
∵是直徑，
∴，
設∠OAB=∠OBA=∠ACD=x
∵∠BAC=∠BAO+∠FAO=∠2∠ ACD=2x
即x+∠FAO=2x
∴∠FAO=x
AE∥BC
∴∠ACB=∠CAE
∠ACB+∠ACD=∠CAE+∠FAO
∴∠BCD=∠OAE=90°
即：，
∵是半徑，.
∴是的切線．
（2）解：①∵，，∴．AO=AE=R
∴
∴
∵，
∴
∴在中，
∴
∵，
∴．
②由（1）得AE是圓的切線
∴∠ABE=∠EAD=∠ACD，
∠E=∠ E
∴，即
∵在中，
在中，，
∵AE∥BC
∴，即
∵，
∴，即：
∴，即，
∴，
∴
∴
【知識點】切線的判定；解直角三角形；圓與三角形的綜合；圓周角定理的推論；轉化思想
【解析】【解析】考查了圓與三角形綜合，涉及了切線性質和判斷、圓周角定理，相似三角形的判定與性質、解三角形等知識點，（1）連接、，根據題意和已知條件先證∠OAF=∠ACD，再證∠ACB+∠ACD=∠CAE+∠FAO=90°即，∵是半徑，∴是的切線．
（2）①因為AE∥BC，所以∠E=∠DBC=45°，∠OAE=∠BCD=90°，解直角三角形求出DE=
CD=，得到，結合已知條件 ，求出n=2-.
②證得，因為∠ABD=∠ACD，求得，又因為AE∥BC，，解直角三角形得到，結合已知條件繼而得到，，，把DE，BE代入得證。
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