資源簡介

2024年浙江省寧波市鎮海蛟川書院九年級中考第二次模擬數學模擬試題
1．（2024九下·鎮海區模擬）已如的直徑為，點到直線的距離為，則與的位置關系是（　　）
A．相離 B．相切 C．相交 D．相切或相交
【答案】A
【知識點】直線與圓的位置關系
【解析】【解答】解：∵的直徑為，點到直線的距離為，
∴的半徑為，
∵，
∴與的位置關系是相離；
故選A．
【分析】
本題考查直線與圓的位置關系，當點到直線的距離等于半徑之相切；點到直線的距離小于半徑之相交；點到直線的距離大于半徑之相離；據此判斷即可．
2．（2024九下·鎮海區模擬）若，則下列結論正確的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知識點】不等式的性質
【解析】【解答】解：由，得或或，
假設m=2，n=3；或m=2，n=-3；或m=-3，n=-2
A，，以上三種情況都正確，故本選項正確，符合題意；
B、，假設，，則，故本選項不符合題意；
C、，假設，，則，故本選項不符合題意；
D、，假設，，則，故本選項不符合題意；
故選：A．
【分析】根據不等式的性質，逐項分析判斷饑渴。
3．（2024九下·鎮海區模擬）已知是方程的一個根，則（　　）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
【答案】B
【知識點】一元二次方程的根與系數的關系（韋達定理）；求代數式的值-整體代入求值
【解析】【解答】解：由題意，得：，根據韋達定理得方程的另一個根為，
∴，
代入原式得
∴
；
故選B．
【分析】根據方程的解是使方程成立的未知數的值，得到，進而得到，根與系數的關系得到方程的另一個根為，進而得到整體代入代數式求值即可．
4．（2024九下·鎮海區模擬）已知，則（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】B
【知識點】完全平方公式及運用；二次根式的性質與化簡
【解析】【解答】解：設，，
，
，
兩邊平方，得，
∴，
由，，
兩邊分別平方，得，，
兩式相加，得，
∵，
，
，
，，
．
故答案為：．
【分析】先設，，兩邊平方，可得，，再求出，，然后計算，再求出．
5．（2024九下·鎮海區模擬）已知，，若，則的取值范圍是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知識點】解一元一次不等式；加減消元法解二元一次方程組
【解析】【解答】由題意得，
解得：
解得：
故選：C．
【分析】
先用消元法解二元一次方程組，求出x和y，再根據解不等式，可求出a的取值范圍。
6．（2024九下·鎮海區模擬）如圖，在中，是上一點，連結，，若點是的重心，則（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知識點】平行四邊形的性質；三角形的重心及應用
【解析】【解答】解：如圖，延長BF交E于G，
點F是△ABE的重心，
∴G是AE中點，GF：BG=1：3，
，
四邊形為平行四邊形，
，
，
，
故選：B．
【分析】延長BF交AE于G，由三角形重心的性質得到是中點，GF：BG=1：3，因此，又，于是得到．
7．（2024九下·鎮海區模擬）對于整數，，定義一種新的運算“”：當為偶數時，規定；當為奇數時，規定．已知，其中是負數，則（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知識點】整式的加減運算；化簡含絕對值有理數；解系數含參的一元一次方程；分類討論
【解析】【解答】解：∵是負數，為偶數，
∴，
∴，
當為偶數時，
則：，
∴，
解得：；
當為奇數時，
則：，
∴，
解得：（舍去）；
故選C．
【分析】先計算（aa），由于是負數，為偶數，根據根據定義新運算的法則按 計算結果是-4a.然后分類討論-4a+a=-3a為偶數按 計算，當-3a為奇數按 計算，
，列出一元一次方程，進行求解即可，
8．（2024九下·鎮海區模擬）在平面直角坐標系中，已知拋物線．若，，為拋物線上三點，且總有，則的取值范圍是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知識點】二次函數圖象上點的坐標特征；二次函數y=ax²+bx+c的性質；二次函數的對稱性及應用
【解析】【解答】解：，，
拋物線對稱軸為直線，拋物線開口向上，
，
，解得：，
故答案為：．
【分析】由拋物線解析式可得拋物線開口方向及對稱軸，根據拋物線上的點離對稱軸的距離越小，縱坐標越小得不等式求解．
9．（2024九下·鎮海區模擬）如圖，點在反比例函數的圖象上，點在反比例函數的圖象上，連接交圖象于點，若是的中點，則的面積是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知識點】反比例函數系數k的幾何意義；反比例函數的一點一垂線型
【解析】【解答】解：如圖所示，分別過點A、B作x軸的垂線，垂足分別為D、E，
∵ 點在反比例函數的圖象上，點在反比例函數的圖象上，
∴設，，
∵是的中點，
∴，
∵軸，，
∴；
∵點在反比例函數的圖象上，
∴，解得：或（舍去）；
∵
，
∴
，
故答案為：C．
【分析】先設出，兩點的坐標，則可表示出C點的坐標，把C點坐標代入可求得m與n的關系式，推出，再分別求出， 然后根據進行求解即可得到答案．
10．（2024九下·鎮海區模擬）如圖，內接于，，是的直徑，連結，平分交于，若，則的半徑為（　　）
A． B． C． D．5
【答案】B
【知識點】圓的綜合題
【解析】【解答】解：過點作垂直于點，交于點，交于點，連接，
∵，
∴為線段的中垂線，，
∵內接于，
∴三點共線，，
∴為的直徑，
∴，
∵平分，
∴，
∠AGH=∠CAE+∠HCA
∠GAH=∠EAB+∠BAH，
即：，
∴，
∵是的直徑，
∴，∴，
O是AD的中點，∴G是AE的中點
∴
設半徑為，則：，
∴，
在中，，
∴，
解得：（舍去）或；
∴的半徑為；
故選B．
【分析】過點作垂直于點，交于點，交于點，連接，易得為的直徑，先證，得到。在△ADE中根據中位線性質求出OG=1，設圓的半徑是r，在直角三角形中ACH中，AC=8，CH=2r ，AH=t-1，根據勾股定理列出二元一次方程求出r.
11．（2024九下·鎮海區模擬）因式分解：　 　．
【答案】
【知識點】因式分解﹣公式法；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：
．
故答案為：．
【分析】先用十字相乘法分解后再用平方差公式分解．
12．（2024九下·鎮海區模擬）已知，，則　 　．
【答案】
【知識點】完全平方公式及運用；求代數式的值-整體代入求值
【解析】【解答】解：∵a-b=-1……①
b-c=-1……②，
①+②得 a-c=-2，
∴
∵
∴
∴；
故答案為：．
【分析】根據，推出，求出，結合，即可得出結果．
13．（2024九下·鎮海區模擬）多項式與多項式的乘積為，則　 　．
【答案】
【知識點】多項式乘多項式；求代數式的值-整體代入求值
【解析】【解答】解：多項式與多項式的乘積為，
設多項式，
由題意得：
，
，
，
，
，
故答案為：．
【分析】設多項式，把展開與 比較系數，利用同類項的系數相等得到a、b、c的值（含有字母m），然后代入2a+b+c中求值。
14．（2024九下·鎮海區模擬）已知二次函數的圖象與軸只有一個公共點，且當和時函數值都為，則與的等量關系為　 　．
【答案】
【知識點】二次函數圖象與坐標軸的交點問題
【解析】【解答】解：拋物線與軸只有一個交點，
△，
即，
當和時函數值都為，
∴
，
把，代入得，
，
，
，
故答案為：．
【分析】由“拋物線與軸只有一個交點“得出，即，其次，根據拋物線對稱軸的定義知當和時函數值都為，得出，再把它代入二次函數中并結合求出m、n的數量關系．
15．（2024九下·鎮海區模擬）如圖，在中，，，以為直徑作半圓，過點作半圓的切線，切點為，過點作交于點，則　 　．
【答案】
【知識點】圓的綜合題
【解析】【解答】解：延長交的延長線于點，過點作于點，過點作于點，連接，如圖，設，
，，
為的切線，
為的切線，
，，
，
，，
在與中，
，
(AA)，
，
∴，
，
∵，
∴，解得：，
∴，
，
∴，解得：，
，
，，，
四邊形為矩形，
，
，
，
．
故答案為：．
【分析】先證明為的切線，再利用切線的性質和切線長定理得到，然后證明，再利用相似三角形的性質得到，接著可用x表示出FA，從而可用x表示出FD，再利用勾股定理求得OF，然后利用面積法可求出DG，再用勾股定理計算出OG，最后利用垂徑得到的長．
16．（2024九下·鎮海區模擬）如圖，在中，平分交于點，過作交于點，延長至點，使得，連結，若，，，則　 　．
【答案】
【知識點】等腰三角形的判定與性質；勾股定理；平行四邊形的判定與性質；解直角三角形
【解析】【解答】解：連接，過點作，過點作，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴，，，
∴，
∵，，
∴四邊形為平行四邊形，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
設，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，解得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案為：．
【分析】先證明四邊形為平行四邊形，根據平行四邊形的性質可得，再利用平行線的性質，結合角平分線的意義，可得，再利用等角對等邊得到，設，互余關系結合三角形的內角和定理，得出，再根據，可證得，從而可求，再求的長，然后利用解直角三角形求出的長，再利用三角形面積公式求出的長，勾股定理求出的長，進而求出的長，再利用勾股定理求解即可．
17．（2024九下·鎮海區模擬）如圖，在中，，，，是的中點，點，分別在邊，上，，將，分別沿，翻折使得與重合，與重合，若，則　 　．
【答案】3
【知識點】等腰三角形的判定與性質；翻折變換（折疊問題）；直角三角形斜邊上的中線
【解析】【解答】連接，，設交于點，交于．設，
∵ 將沿翻折使得與重合，
∴，，，
，
，
，
，
，
點D為的中點，
，
，，
在與中，
，
，
，
∴，
∴，
，
，解得：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案為：．
【分析】先根據折疊性質得出，，，再證明，然后利用相似三角形的性質得出，從中可求得，從而得，再等角對等邊得出，從而可證得，最后利用線段差求出BF．
18．（2024九下·鎮海區模擬）如圖，在中，，，是上一點，，交于點，是直線上一動點，連結，將線段繞點逆時針旋轉至線段，連結．當點，，共線時，　 　．
【答案】或
【知識點】旋轉的性質；三角形-動點問題
【解析】【解答】解：①當點在線段上時：
過點作于點，過點作，，則：四邊形為矩形，，設，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
設，
∴，
由旋轉的性質可得：，
∴，
∵點，，共線，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，解得：或（舍去）；
∴，
∴；
②當點在線段上時，如圖：
設，，
則：，，
∴，
同理可得：，，
∴；
綜上所述，或；
故答案為：或．
【分析】 先證得四邊形為矩形，再證明，根據相似三角形的性質列出比例式，從而可用a表示出，再表示出，接著證明，列出比例式求出，從而可求出，于是可求出，當點在線段上，同樣的方法可求出．
19．（2024九下·鎮海區模擬）（1）計算：；
（2）有兩道門，各配有2把鑰匙，這4把鑰匙分放在2個抽屜里，使每個抽屜里恰好有每一道門的1把鑰匙，若從每個抽屜里任取1把鑰匙，用畫樹狀圖或列表格的方法求出能打開兩道門的概率．
【答案】【解答】解：（1）
．
（2）設第一道門的鑰匙為，，第二道門的鑰匙為，，其中一個抽屜里放，，另一個抽屜里放，，
列表如下：
　
， ，
， ，
共有4種等可能的結果，其中能打開兩道門的結果有2種，
能打開兩道門的概率為．
【知識點】分式的加減法；用列表法或樹狀圖法求概率；概率公式
【解析】【分析】（1）先化簡括號內的式子，再將括號外的除法轉化為乘法，再約分即可．
（2）根據題意列出表格，由表格可得出所有等可能的結果數以及能打開兩道門的結果數，再利用概率公式可得出答案．
20．（2024九下·鎮海區模擬）如圖，在平面直角坐標系中，，，是軸負半軸上一點，連結，將線段繞著點逆時針旋轉得到線段，連結交軸于點，若點橫坐標為3．
（1）求直線的解析式；
（2）求點坐標；
（3）在軸和直線上分別找點，，使得、、、構成的四邊形是平行四邊形，直接寫出點坐標．
【答案】（1）解：設直線的解析式為：
將，代入，得：，解得：，
直線的表達式為：；
（2）解：過點作軸于，如圖1所示：
，，點是與軸的交點，且橫坐標為3，
，，，
軸于，
，
，
∵ 將線段繞著點逆時針旋轉得到線段，
∴，，
，
，，
，
又，
，
，
，
點的坐標為；
（3）或或
【知識點】一次函數的圖象；待定系數法求一次函數解析式；平行四邊形的性質；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中對應邊的關系
【解析】【解答】解：（3）設直線的解析式為：，
∵，在直線AD上，
∴，解得：，
直線的解析式為：，
點在直線上，
設，
點在軸上，
設，
點、、、構成的四邊形是平行四邊形，
可分兩種情況：
①當為平行四邊形的一邊時，又有兩種情況：
（ⅰ）當點在的上方時，連接交軸于，如圖2所示：
∵點、、、構成的四邊形是平行四邊形，
∴點是和的中點，
∵，，
∴，
∵，，
∴
，解得，，
點；
（ⅱ）當點在的下方時，連接，交于點，如圖3所示：
∵、、、構成的四邊形是平行四邊形，
∴點是和的中點，
∵，，
∴點，
∵，，
∴，
，解得：，，
點；
②當為平行四邊形的對角線時，連接交于，如圖4所示：
根據平行四邊形的性質得，點是和的中點，
對于，，則點，
對于，，則，
，
由，解得：，
將代入，得：，
點．
綜上所述：點的坐標為或或
．
【分析】（1）先設直線的解析式為，再將A，B兩點的坐標代入之中求出，即可；
（2）先證和全等，再根據全等三角形的性質得到，，再證明和全等，根據全等三角形的性質可得，從而可得，再求出點的坐標；
（3）先求出直線的解析式為，可設點，再設點，根據點、、、構成的四邊形是平行四邊形，分兩種情況：①當為平行四邊形的一邊時，又有兩種情況：點在的上方、點在的下方，分別求得點P的坐標；②當為平行四邊形的對角線時，列出方程求出的值得出的坐標．
21．（2024九下·鎮海區模擬）如圖，在中，是邊上的高，以為直徑的交于點F，交于點E，連結．
（1）求證：；
（2）若，的直徑為5，，求的長．
【答案】（1）證明：如圖，連接，
∵以為直徑的交于點F，
∴，
在Rt△BCF中∠BCF=90°-∠CBF
在Rt△ABD中∠BAD=90°-∠CBF
∴∠BCF=∠BAD
又∵∠BCF=∠BEF（等弧對等角
∴；
（2）解：如圖，連接，
∵，
∴
∵，
∴
∴∠BAC=∠ACF
∴，
∵
∴
在中，，，
∴
∵，
∴，
∴
設AD=4x BD=3x
∵
即(
x=
∴，
∵是的直徑，
∴
又∵
∴(AA)，
∴，
∴，
∴，
∴（負值已舍）．
【知識點】圓周角定理；直角三角形的性質；已知正切值求邊長；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性質-對應邊
【解析】【分析】（1）根據圓周角定理求出，結合直角三角形的性質求出，再根據圓周角定理得到∠BCF=∠BEF，即可得。
（2）連接，根據等腰直角三角形的判定與性質求出，根據勾股定理求出，，根據銳角三角函數及勾股定理求出，結合圓周角定理求出，證明（AA），根據相似三角形的對應邊成比例求出BE．
22．（2024九下·鎮海區模擬）某商店經銷甲、乙兩種堅果，其中甲堅果每盒進價比乙堅果多8元，甲、乙堅果每盒售價分別是68元和50元，若該商場用1920元購進乙堅果比用1920元購進甲堅果多8盒．
（1）分別求出甲、乙堅果每盒的進價；
（2）若超市用6000元購進了甲、乙兩種堅果，其中乙堅果數量不小于甲堅果數量的3倍，在兩種堅果全部售完的情況下，求總利潤的最大值；
（3）因甲堅果市場反應良好，超市第二次購進的甲堅果與乙堅果的數量比為，為回饋消費者，超市計劃將甲堅果每盒售價降低元（為正整數），但甲堅果每盒的利潤率需高于乙堅果每盒的利潤率，已知第二次兩種堅果全部售完后獲得的總利潤為3600元，求的值．
【答案】（1）解：設甲堅果每盒的進價為元，則：乙堅果每盒的進價為元，由題意，得：，解得：（舍去）或，
經檢驗：是原方程的根；
∴；
答：甲、乙堅果每盒的進價分別為元和元；
（2）解：設購進甲堅果的數量為盒，則購進乙堅果的數量為盒，由題意，得：
解得：，
∴的最大整數解為：35，甲堅果每盒利潤68-48=20（元），乙堅果每盒利潤50-40=10（元）
設總利潤為，則：
∴當時，有最大值：
故總利潤的最大值為元．
（3）解：由題意“甲堅果每盒的利潤率需高于乙堅果每盒的利潤率” ，得：，解得：，
設 第二次購進的甲堅果數量為n，乙堅果的數量為3n.
∵第二次兩種堅果全部售完后獲得的總利潤為3600元，
∴
整理，得：
∵均為正整數，
∴或，
∴或．
【知識點】分式方程的實際應用；一元一次不等式的應用；一次函數的實際應用-銷售問題
【解析】【分析】（1）設甲堅果每盒的進價為元，則：乙堅果每盒的進價為元，根據題意，列出分式方程進行求解即可；
（2）設購進甲堅果的數量為盒，用含有m的式子表示乙堅果的盒數，根據“乙堅果數量不小于甲堅果數量的3倍”求出m的取值范圍，根據題意列出總利潤為的函數關系式，由于甲堅果每盒利潤高于乙堅果每盒利潤，當m取最大值時，總利潤最大，即可總利潤的最大值。
（3）根據“甲堅果每盒的利潤率需高于乙堅果每盒的利潤率” 求出a的取值范圍，設第二次購進的甲堅果與乙堅果的數量分別為和，根據題意總利潤3600元，二元一次方程，由于a、n均為整數，求出二元一次方程的整數解即可．
23．（2024九下·鎮海區模擬）如圖1，四邊形中，，，平分．
（1）求證：．
（2）如圖2，平分交于點．
①若，，求的長；
②如圖3，若是的中點，連結，，若，求的長．
【答案】（1）解：過點作于，于，
∵平分，
∴，
在與中，
，
，
，
，
，
在四邊形AGCH中，，
∴四邊形AGCH是矩形，
，
（2）解：①平分，，
∴，
，
，，
，
，
∵平分，
，
，
，
，
，
作于，則，
設，則，
在中，∵，
∴
解得：或
∵在中，，
，
或．
∵，
∴，
當時，，不符合題意，
故；
②作于，則，
為的中點，
設，則，
在中，
解得（舍去）或，
，
【知識點】三角形的綜合；四邊形的綜合
【解析】【分析】（1）先證明，再證明四邊形AGCH中有3個直角，從而得出結論；
（2）①先證明，根據等角對等邊可得，再由勾股定理求出的長，再求的長即可；
②由，可證明，再證明，然后利用勾股定理求出的長，再利用線段和求出的長 ．
24．（2024九下·鎮海區模擬）四邊形內接于，是的直徑，連結交于點，，垂足為．
（1）如圖1，若交于點．
①求證：；
②若的直徑為10，，，求的長．
（2）如圖2，若交于點，連結，若，，，求的直徑．
【答案】（1）解：①證明：是的直徑，，
，
，
，
，
，
，
，
②如圖，過點G作于點K，
∵在中，，
∴，解得：，
∴，
，
，
，
，
，
在與中，
，
，
，
，
，
∴，
；
（2）解：如圖，設交于點Q，過點O作于點H，連接并延長交于點P，延長交于點G，連接，
，
，
，
是的直徑，
，
，
∴，
∵CG//BD，
，
，
∴，
，
∵OH//BD，
，，
，，
∵OH//BD，
，
∴，
，
，
，
，
∴，
設的半徑為r，
∴，
，解得：，
直徑為．
【知識點】圓的綜合題
【解析】【分析】（1）①先證得，再利用同角的余角相等得，然后結合圓周角定理可得結論成立；
②先利用正弦求得，用正切求得，再根據，可得，然后證明，利用全等三角形的性質可得，從而可求得，最后利用勾股定理求解即可；
（2）先證明，，再根據相似三角形的性質依次得出相應邊關系，然后設的半徑為r，可用r表示了DQ，最后利用勾股定理得到關于r的方程求解．
1 / 12024年浙江省寧波市鎮海蛟川書院九年級中考第二次模擬數學模擬試題
1．（2024九下·鎮海區模擬）已如的直徑為，點到直線的距離為，則與的位置關系是（　　）
A．相離 B．相切 C．相交 D．相切或相交
2．（2024九下·鎮海區模擬）若，則下列結論正確的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2024九下·鎮海區模擬）已知是方程的一個根，則（　　）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
4．（2024九下·鎮海區模擬）已知，則（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
5．（2024九下·鎮海區模擬）已知，，若，則的取值范圍是（　　）
A． B． C． D．
6．（2024九下·鎮海區模擬）如圖，在中，是上一點，連結，，若點是的重心，則（　　）
A． B． C． D．
7．（2024九下·鎮海區模擬）對于整數，，定義一種新的運算“”：當為偶數時，規定；當為奇數時，規定．已知，其中是負數，則（　　）
A． B． C． D．
8．（2024九下·鎮海區模擬）在平面直角坐標系中，已知拋物線．若，，為拋物線上三點，且總有，則的取值范圍是（　　）
A． B． C． D．
9．（2024九下·鎮海區模擬）如圖，點在反比例函數的圖象上，點在反比例函數的圖象上，連接交圖象于點，若是的中點，則的面積是（　　）
A． B． C． D．
10．（2024九下·鎮海區模擬）如圖，內接于，，是的直徑，連結，平分交于，若，則的半徑為（　　）
A． B． C． D．5
11．（2024九下·鎮海區模擬）因式分解：　 　．
12．（2024九下·鎮海區模擬）已知，，則　 　．
13．（2024九下·鎮海區模擬）多項式與多項式的乘積為，則　 　．
14．（2024九下·鎮海區模擬）已知二次函數的圖象與軸只有一個公共點，且當和時函數值都為，則與的等量關系為　 　．
15．（2024九下·鎮海區模擬）如圖，在中，，，以為直徑作半圓，過點作半圓的切線，切點為，過點作交于點，則　 　．
16．（2024九下·鎮海區模擬）如圖，在中，平分交于點，過作交于點，延長至點，使得，連結，若，，，則　 　．
17．（2024九下·鎮海區模擬）如圖，在中，，，，是的中點，點，分別在邊，上，，將，分別沿，翻折使得與重合，與重合，若，則　 　．
18．（2024九下·鎮海區模擬）如圖，在中，，，是上一點，，交于點，是直線上一動點，連結，將線段繞點逆時針旋轉至線段，連結．當點，，共線時，　 　．
19．（2024九下·鎮海區模擬）（1）計算：；
（2）有兩道門，各配有2把鑰匙，這4把鑰匙分放在2個抽屜里，使每個抽屜里恰好有每一道門的1把鑰匙，若從每個抽屜里任取1把鑰匙，用畫樹狀圖或列表格的方法求出能打開兩道門的概率．
20．（2024九下·鎮海區模擬）如圖，在平面直角坐標系中，，，是軸負半軸上一點，連結，將線段繞著點逆時針旋轉得到線段，連結交軸于點，若點橫坐標為3．
（1）求直線的解析式；
（2）求點坐標；
（3）在軸和直線上分別找點，，使得、、、構成的四邊形是平行四邊形，直接寫出點坐標．
21．（2024九下·鎮海區模擬）如圖，在中，是邊上的高，以為直徑的交于點F，交于點E，連結．
（1）求證：；
（2）若，的直徑為5，，求的長．
22．（2024九下·鎮海區模擬）某商店經銷甲、乙兩種堅果，其中甲堅果每盒進價比乙堅果多8元，甲、乙堅果每盒售價分別是68元和50元，若該商場用1920元購進乙堅果比用1920元購進甲堅果多8盒．
（1）分別求出甲、乙堅果每盒的進價；
（2）若超市用6000元購進了甲、乙兩種堅果，其中乙堅果數量不小于甲堅果數量的3倍，在兩種堅果全部售完的情況下，求總利潤的最大值；
（3）因甲堅果市場反應良好，超市第二次購進的甲堅果與乙堅果的數量比為，為回饋消費者，超市計劃將甲堅果每盒售價降低元（為正整數），但甲堅果每盒的利潤率需高于乙堅果每盒的利潤率，已知第二次兩種堅果全部售完后獲得的總利潤為3600元，求的值．
23．（2024九下·鎮海區模擬）如圖1，四邊形中，，，平分．
（1）求證：．
（2）如圖2，平分交于點．
①若，，求的長；
②如圖3，若是的中點，連結，，若，求的長．
24．（2024九下·鎮海區模擬）四邊形內接于，是的直徑，連結交于點，，垂足為．
（1）如圖1，若交于點．
①求證：；
②若的直徑為10，，，求的長．
（2）如圖2，若交于點，連結，若，，，求的直徑．
答案解析部分
1．【答案】A
【知識點】直線與圓的位置關系
【解析】【解答】解：∵的直徑為，點到直線的距離為，
∴的半徑為，
∵，
∴與的位置關系是相離；
故選A．
【分析】
本題考查直線與圓的位置關系，當點到直線的距離等于半徑之相切；點到直線的距離小于半徑之相交；點到直線的距離大于半徑之相離；據此判斷即可．
2．【答案】A
【知識點】不等式的性質
【解析】【解答】解：由，得或或，
假設m=2，n=3；或m=2，n=-3；或m=-3，n=-2
A，，以上三種情況都正確，故本選項正確，符合題意；
B、，假設，，則，故本選項不符合題意；
C、，假設，，則，故本選項不符合題意；
D、，假設，，則，故本選項不符合題意；
故選：A．
【分析】根據不等式的性質，逐項分析判斷饑渴。
3．【答案】B
【知識點】一元二次方程的根與系數的關系（韋達定理）；求代數式的值-整體代入求值
【解析】【解答】解：由題意，得：，根據韋達定理得方程的另一個根為，
∴，
代入原式得
∴
；
故選B．
【分析】根據方程的解是使方程成立的未知數的值，得到，進而得到，根與系數的關系得到方程的另一個根為，進而得到整體代入代數式求值即可．
4．【答案】B
【知識點】完全平方公式及運用；二次根式的性質與化簡
【解析】【解答】解：設，，
，
，
兩邊平方，得，
∴，
由，，
兩邊分別平方，得，，
兩式相加，得，
∵，
，
，
，，
．
故答案為：．
【分析】先設，，兩邊平方，可得，，再求出，，然后計算，再求出．
5．【答案】C
【知識點】解一元一次不等式；加減消元法解二元一次方程組
【解析】【解答】由題意得，
解得：
解得：
故選：C．
【分析】
先用消元法解二元一次方程組，求出x和y，再根據解不等式，可求出a的取值范圍。
6．【答案】B
【知識點】平行四邊形的性質；三角形的重心及應用
【解析】【解答】解：如圖，延長BF交E于G，
點F是△ABE的重心，
∴G是AE中點，GF：BG=1：3，
，
四邊形為平行四邊形，
，
，
，
故選：B．
【分析】延長BF交AE于G，由三角形重心的性質得到是中點，GF：BG=1：3，因此，又，于是得到．
7．【答案】C
【知識點】整式的加減運算；化簡含絕對值有理數；解系數含參的一元一次方程；分類討論
【解析】【解答】解：∵是負數，為偶數，
∴，
∴，
當為偶數時，
則：，
∴，
解得：；
當為奇數時，
則：，
∴，
解得：（舍去）；
故選C．
【分析】先計算（aa），由于是負數，為偶數，根據根據定義新運算的法則按 計算結果是-4a.然后分類討論-4a+a=-3a為偶數按 計算，當-3a為奇數按 計算，
，列出一元一次方程，進行求解即可，
8．【答案】D
【知識點】二次函數圖象上點的坐標特征；二次函數y=ax²+bx+c的性質；二次函數的對稱性及應用
【解析】【解答】解：，，
拋物線對稱軸為直線，拋物線開口向上，
，
，解得：，
故答案為：．
【分析】由拋物線解析式可得拋物線開口方向及對稱軸，根據拋物線上的點離對稱軸的距離越小，縱坐標越小得不等式求解．
9．【答案】C
【知識點】反比例函數系數k的幾何意義；反比例函數的一點一垂線型
【解析】【解答】解：如圖所示，分別過點A、B作x軸的垂線，垂足分別為D、E，
∵ 點在反比例函數的圖象上，點在反比例函數的圖象上，
∴設，，
∵是的中點，
∴，
∵軸，，
∴；
∵點在反比例函數的圖象上，
∴，解得：或（舍去）；
∵
，
∴
，
故答案為：C．
【分析】先設出，兩點的坐標，則可表示出C點的坐標，把C點坐標代入可求得m與n的關系式，推出，再分別求出， 然后根據進行求解即可得到答案．
10．【答案】B
【知識點】圓的綜合題
【解析】【解答】解：過點作垂直于點，交于點，交于點，連接，
∵，
∴為線段的中垂線，，
∵內接于，
∴三點共線，，
∴為的直徑，
∴，
∵平分，
∴，
∠AGH=∠CAE+∠HCA
∠GAH=∠EAB+∠BAH，
即：，
∴，
∵是的直徑，
∴，∴，
O是AD的中點，∴G是AE的中點
∴
設半徑為，則：，
∴，
在中，，
∴，
解得：（舍去）或；
∴的半徑為；
故選B．
【分析】過點作垂直于點，交于點，交于點，連接，易得為的直徑，先證，得到。在△ADE中根據中位線性質求出OG=1，設圓的半徑是r，在直角三角形中ACH中，AC=8，CH=2r ，AH=t-1，根據勾股定理列出二元一次方程求出r.
11．【答案】
【知識點】因式分解﹣公式法；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】解：
．
故答案為：．
【分析】先用十字相乘法分解后再用平方差公式分解．
12．【答案】
【知識點】完全平方公式及運用；求代數式的值-整體代入求值
【解析】【解答】解：∵a-b=-1……①
b-c=-1……②，
①+②得 a-c=-2，
∴
∵
∴
∴；
故答案為：．
【分析】根據，推出，求出，結合，即可得出結果．
13．【答案】
【知識點】多項式乘多項式；求代數式的值-整體代入求值
【解析】【解答】解：多項式與多項式的乘積為，
設多項式，
由題意得：
，
，
，
，
，
故答案為：．
【分析】設多項式，把展開與 比較系數，利用同類項的系數相等得到a、b、c的值（含有字母m），然后代入2a+b+c中求值。
14．【答案】
【知識點】二次函數圖象與坐標軸的交點問題
【解析】【解答】解：拋物線與軸只有一個交點，
△，
即，
當和時函數值都為，
∴
，
把，代入得，
，
，
，
故答案為：．
【分析】由“拋物線與軸只有一個交點“得出，即，其次，根據拋物線對稱軸的定義知當和時函數值都為，得出，再把它代入二次函數中并結合求出m、n的數量關系．
15．【答案】
【知識點】圓的綜合題
【解析】【解答】解：延長交的延長線于點，過點作于點，過點作于點，連接，如圖，設，
，，
為的切線，
為的切線，
，，
，
，，
在與中，
，
(AA)，
，
∴，
，
∵，
∴，解得：，
∴，
，
∴，解得：，
，
，，，
四邊形為矩形，
，
，
，
．
故答案為：．
【分析】先證明為的切線，再利用切線的性質和切線長定理得到，然后證明，再利用相似三角形的性質得到，接著可用x表示出FA，從而可用x表示出FD，再利用勾股定理求得OF，然后利用面積法可求出DG，再用勾股定理計算出OG，最后利用垂徑得到的長．
16．【答案】
【知識點】等腰三角形的判定與性質；勾股定理；平行四邊形的判定與性質；解直角三角形
【解析】【解答】解：連接，過點作，過點作，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴，，，
∴，
∵，，
∴四邊形為平行四邊形，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
設，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，解得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案為：．
【分析】先證明四邊形為平行四邊形，根據平行四邊形的性質可得，再利用平行線的性質，結合角平分線的意義，可得，再利用等角對等邊得到，設，互余關系結合三角形的內角和定理，得出，再根據，可證得，從而可求，再求的長，然后利用解直角三角形求出的長，再利用三角形面積公式求出的長，勾股定理求出的長，進而求出的長，再利用勾股定理求解即可．
17．【答案】3
【知識點】等腰三角形的判定與性質；翻折變換（折疊問題）；直角三角形斜邊上的中線
【解析】【解答】連接，，設交于點，交于．設，
∵ 將沿翻折使得與重合，
∴，，，
，
，
，
，
，
點D為的中點，
，
，，
在與中，
，
，
，
∴，
∴，
，
，解得：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案為：．
【分析】先根據折疊性質得出，，，再證明，然后利用相似三角形的性質得出，從中可求得，從而得，再等角對等邊得出，從而可證得，最后利用線段差求出BF．
18．【答案】或
【知識點】旋轉的性質；三角形-動點問題
【解析】【解答】解：①當點在線段上時：
過點作于點，過點作，，則：四邊形為矩形，，設，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
設，
∴，
由旋轉的性質可得：，
∴，
∵點，，共線，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，解得：或（舍去）；
∴，
∴；
②當點在線段上時，如圖：
設，，
則：，，
∴，
同理可得：，，
∴；
綜上所述，或；
故答案為：或．
【分析】 先證得四邊形為矩形，再證明，根據相似三角形的性質列出比例式，從而可用a表示出，再表示出，接著證明，列出比例式求出，從而可求出，于是可求出，當點在線段上，同樣的方法可求出．
19．【答案】【解答】解：（1）
．
（2）設第一道門的鑰匙為，，第二道門的鑰匙為，，其中一個抽屜里放，，另一個抽屜里放，，
列表如下：
　
， ，
， ，
共有4種等可能的結果，其中能打開兩道門的結果有2種，
能打開兩道門的概率為．
【知識點】分式的加減法；用列表法或樹狀圖法求概率；概率公式
【解析】【分析】（1）先化簡括號內的式子，再將括號外的除法轉化為乘法，再約分即可．
（2）根據題意列出表格，由表格可得出所有等可能的結果數以及能打開兩道門的結果數，再利用概率公式可得出答案．
20．【答案】（1）解：設直線的解析式為：
將，代入，得：，解得：，
直線的表達式為：；
（2）解：過點作軸于，如圖1所示：
，，點是與軸的交點，且橫坐標為3，
，，，
軸于，
，
，
∵ 將線段繞著點逆時針旋轉得到線段，
∴，，
，
，，
，
又，
，
，
，
點的坐標為；
（3）或或
【知識點】一次函數的圖象；待定系數法求一次函數解析式；平行四邊形的性質；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中對應邊的關系
【解析】【解答】解：（3）設直線的解析式為：，
∵，在直線AD上，
∴，解得：，
直線的解析式為：，
點在直線上，
設，
點在軸上，
設，
點、、、構成的四邊形是平行四邊形，
可分兩種情況：
①當為平行四邊形的一邊時，又有兩種情況：
（ⅰ）當點在的上方時，連接交軸于，如圖2所示：
∵點、、、構成的四邊形是平行四邊形，
∴點是和的中點，
∵，，
∴，
∵，，
∴
，解得，，
點；
（ⅱ）當點在的下方時，連接，交于點，如圖3所示：
∵、、、構成的四邊形是平行四邊形，
∴點是和的中點，
∵，，
∴點，
∵，，
∴，
，解得：，，
點；
②當為平行四邊形的對角線時，連接交于，如圖4所示：
根據平行四邊形的性質得，點是和的中點，
對于，，則點，
對于，，則，
，
由，解得：，
將代入，得：，
點．
綜上所述：點的坐標為或或
．
【分析】（1）先設直線的解析式為，再將A，B兩點的坐標代入之中求出，即可；
（2）先證和全等，再根據全等三角形的性質得到，，再證明和全等，根據全等三角形的性質可得，從而可得，再求出點的坐標；
（3）先求出直線的解析式為，可設點，再設點，根據點、、、構成的四邊形是平行四邊形，分兩種情況：①當為平行四邊形的一邊時，又有兩種情況：點在的上方、點在的下方，分別求得點P的坐標；②當為平行四邊形的對角線時，列出方程求出的值得出的坐標．
21．【答案】（1）證明：如圖，連接，
∵以為直徑的交于點F，
∴，
在Rt△BCF中∠BCF=90°-∠CBF
在Rt△ABD中∠BAD=90°-∠CBF
∴∠BCF=∠BAD
又∵∠BCF=∠BEF（等弧對等角
∴；
（2）解：如圖，連接，
∵，
∴
∵，
∴
∴∠BAC=∠ACF
∴，
∵
∴
在中，，，
∴
∵，
∴，
∴
設AD=4x BD=3x
∵
即(
x=
∴，
∵是的直徑，
∴
又∵
∴(AA)，
∴，
∴，
∴，
∴（負值已舍）．
【知識點】圓周角定理；直角三角形的性質；已知正切值求邊長；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性質-對應邊
【解析】【分析】（1）根據圓周角定理求出，結合直角三角形的性質求出，再根據圓周角定理得到∠BCF=∠BEF，即可得。
（2）連接，根據等腰直角三角形的判定與性質求出，根據勾股定理求出，，根據銳角三角函數及勾股定理求出，結合圓周角定理求出，證明（AA），根據相似三角形的對應邊成比例求出BE．
22．【答案】（1）解：設甲堅果每盒的進價為元，則：乙堅果每盒的進價為元，由題意，得：，解得：（舍去）或，
經檢驗：是原方程的根；
∴；
答：甲、乙堅果每盒的進價分別為元和元；
（2）解：設購進甲堅果的數量為盒，則購進乙堅果的數量為盒，由題意，得：
解得：，
∴的最大整數解為：35，甲堅果每盒利潤68-48=20（元），乙堅果每盒利潤50-40=10（元）
設總利潤為，則：
∴當時，有最大值：
故總利潤的最大值為元．
（3）解：由題意“甲堅果每盒的利潤率需高于乙堅果每盒的利潤率” ，得：，解得：，
設 第二次購進的甲堅果數量為n，乙堅果的數量為3n.
∵第二次兩種堅果全部售完后獲得的總利潤為3600元，
∴
整理，得：
∵均為正整數，
∴或，
∴或．
【知識點】分式方程的實際應用；一元一次不等式的應用；一次函數的實際應用-銷售問題
【解析】【分析】（1）設甲堅果每盒的進價為元，則：乙堅果每盒的進價為元，根據題意，列出分式方程進行求解即可；
（2）設購進甲堅果的數量為盒，用含有m的式子表示乙堅果的盒數，根據“乙堅果數量不小于甲堅果數量的3倍”求出m的取值范圍，根據題意列出總利潤為的函數關系式，由于甲堅果每盒利潤高于乙堅果每盒利潤，當m取最大值時，總利潤最大，即可總利潤的最大值。
（3）根據“甲堅果每盒的利潤率需高于乙堅果每盒的利潤率” 求出a的取值范圍，設第二次購進的甲堅果與乙堅果的數量分別為和，根據題意總利潤3600元，二元一次方程，由于a、n均為整數，求出二元一次方程的整數解即可．
23．【答案】（1）解：過點作于，于，
∵平分，
∴，
在與中，
，
，
，
，
，
在四邊形AGCH中，，
∴四邊形AGCH是矩形，
，
（2）解：①平分，，
∴，
，
，，
，
，
∵平分，
，
，
，
，
，
作于，則，
設，則，
在中，∵，
∴
解得：或
∵在中，，
，
或．
∵，
∴，
當時，，不符合題意，
故；
②作于，則，
為的中點，
設，則，
在中，
解得（舍去）或，
，
【知識點】三角形的綜合；四邊形的綜合
【解析】【分析】（1）先證明，再證明四邊形AGCH中有3個直角，從而得出結論；
（2）①先證明，根據等角對等邊可得，再由勾股定理求出的長，再求的長即可；
②由，可證明，再證明，然后利用勾股定理求出的長，再利用線段和求出的長 ．
24．【答案】（1）解：①證明：是的直徑，，
，
，
，
，
，
，
，
②如圖，過點G作于點K，
∵在中，，
∴，解得：，
∴，
，
，
，
，
，
在與中，
，
，
，
，
，
∴，
；
（2）解：如圖，設交于點Q，過點O作于點H，連接并延長交于點P，延長交于點G，連接，
，
，
，
是的直徑，
，
，
∴，
∵CG//BD，
，
，
∴，
，
∵OH//BD，
，，
，，
∵OH//BD，
，
∴，
，
，
，
，
∴，
設的半徑為r，
∴，
，解得：，
直徑為．
【知識點】圓的綜合題
【解析】【分析】（1）①先證得，再利用同角的余角相等得，然后結合圓周角定理可得結論成立；
②先利用正弦求得，用正切求得，再根據，可得，然后證明，利用全等三角形的性質可得，從而可求得，最后利用勾股定理求解即可；
（2）先證明，，再根據相似三角形的性質依次得出相應邊關系，然后設的半徑為r，可用r表示了DQ，最后利用勾股定理得到關于r的方程求解．
1 / 1

展開更多......

收起↑