資源簡(jiǎn)介

7．3.4　正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象
【課程標(biāo)準(zhǔn)】　1.借助單位圓能畫(huà)出正切函數(shù)的圖象.2.了解正切函數(shù)的周期性、單調(diào)性、奇偶性、最大 (小)值.3.借助圖象理解正切函數(shù)在(－)上的性質(zhì)．
教 材 要 點(diǎn)
知識(shí)點(diǎn)一　正切函數(shù)的圖象
1．正切函數(shù)的圖象：
y＝tan x(x∈R且x≠＋kπ，k∈Z)的圖象如圖．
2．正切函數(shù)的圖象稱為_(kāi)_______．
3．正切函數(shù)的圖象特征：
正切曲線是由通過(guò)點(diǎn)____________________且與________平行的直線隔開(kāi)的無(wú)窮多支曲線所組成．正切曲線是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心是(，0)(k∈Z)．
知識(shí)點(diǎn)二　正切函數(shù)的性質(zhì)
1．(1)函數(shù)y＝tan x(x∈R且x≠kπ＋，k∈Z)的圖象與性質(zhì)表：
解析式 y＝tan x
圖象
定義域 ________________
值域 ________________
周期 ________________
奇偶性 ________________
單調(diào)性 在開(kāi)區(qū)間________________內(nèi)都是增函數(shù)
2.函數(shù)y＝tan ωx(ω≠0)的最小正周期是________．
【學(xué)霸筆記】　正切函數(shù)的圖象是對(duì)稱的嗎？
[提示]　正切函數(shù)是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，并且有無(wú)數(shù)個(gè)對(duì)稱中心，對(duì)稱中心的坐標(biāo)為(，0)(k∈Z)，正切函數(shù)的圖象不是軸對(duì)稱圖形．
基 礎(chǔ) 自 測(cè)
1．下列是函數(shù)f(x)＝tan (2x－)的對(duì)稱中心的是(　　)
A．(－，0) B．(，0)
C．(0，0) D．(，0)
2．函數(shù)y＝tan x(－≤x≤，且x≠0)的值域是(　　)
A．[－1，1] B．[－1，0)
C．(－∞，1] D．[－1，＋∞)
3．函數(shù)y＝tan (2x－)的定義域是(　　)
A．{x，k∈Z}
B．{x＋kπ，k∈Z}
C．{x，k∈Z}
D．{x＋kπ，k∈Z}
4．y＝tan x(　　)
A．在整個(gè)定義域上為增函數(shù)
B．在整個(gè)定義域上為減函數(shù)
C．在每一個(gè)開(kāi)區(qū)間(－＋kπ，＋kπ)(k∈Z)上為增函數(shù)
D．在每一個(gè)閉區(qū)間[－＋kπ，＋kπ](k∈Z)上為增函數(shù)
5．若f(n)＝tan (n∈N*)，則f(1)＋f(2)＋…＋f(2 025)＝________．
題型1正切函數(shù)的定義域、值域問(wèn)題
例1(1)求下列函數(shù)的定義域：
①y＝；
②y＝tan ()．
(2)求函數(shù)y＝－tan2x＋2tanx＋5，x∈[－)的值域．
狀元隨筆　(1)列出使各部分有意義的條件，注意正切函數(shù)自身的定義域．
(2)換元轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在給定區(qū)間上求值域問(wèn)題．
方法歸納
1．求正切函數(shù)定義域的方法及求值域的注意點(diǎn)
(1)求正切函數(shù)定義域的方法
①求與正切函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的定義域時(shí)，除了求函數(shù)定義域的一般要求外，還要保證正切函數(shù)y＝A tan x有意義，即x≠＋kπ，k∈Z；
②求正切函數(shù)y＝A tan (ωx＋φ)(A≠0，ω>0)的定義域時(shí)，要將“ωx＋φ”視為一個(gè)“整體”，令ωx＋φ≠kπ＋，k∈Z，解得x.
(2)求解與正切函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的值域時(shí)，要注意函數(shù)的定義域，在定義域內(nèi)求值域；對(duì)于求由正切函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)的值域時(shí)，常利用換元法，但要注意新“元”的范圍．
2.解正切不等式的兩種方法
(1)圖象法：先畫(huà)出函數(shù)圖象，找出符合條件的邊界角，再寫(xiě)出符合條件的角的集合；
(2)三角函數(shù)線法：先在單位圓中作出角的邊界值時(shí)的正切線，得到邊界角的終邊，在單位圓中畫(huà)出符合條件的區(qū)域．要特別注意函數(shù)的定義域．
跟蹤訓(xùn)練1　(1)求函數(shù)y＝的定義域．
(2)函數(shù)y＝tan2x－tanx＋2，x∈的值域?yàn)?　　)
A．[，＋∞) B．
C． D．[2，4]
題型2正切函數(shù)的奇偶性、周期性
(1)函數(shù)y＝4tan (3x＋)的周期為_(kāi)_______．
(2)判斷下列函數(shù)的奇偶性：
①y＝3x tan 2x－2x4；
②y＝cos (－x)＋tan x.
狀元隨筆　(1)函數(shù)y＝A tan (ωx＋φ)的最小周期為T(mén)＝，常常利用此公式來(lái)求周期．
(2)判斷函數(shù)的奇偶性要先求函數(shù)的定義域，再判斷f(－x)與f(x)的關(guān)系．
方法歸納
1．函數(shù)f(x)＝A tan (ωx＋φ)周期的求解方法：
(1)定義法．
(2)公式法：對(duì)于函數(shù)f(x)＝A tan (ωx＋φ)的最小正周期T＝.
(3)觀察法(或圖象法)：觀察函數(shù)的圖象，看自變量間隔多少，函數(shù)值重復(fù)出現(xiàn)．
2．判定與正切函數(shù)有關(guān)的函數(shù)奇偶性的方法：
先求函數(shù)的定義域，看其定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，若其不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則該函數(shù)為非奇非偶函數(shù)；若其關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，再看f(－x)與f(x)的關(guān)系．
跟蹤訓(xùn)練2　(1)函數(shù)f(x)＝tan ωx(ω>0)的圖象的相鄰兩支截直線y＝所得線段長(zhǎng)為，則ω的值是________．
(2)已知函數(shù)y＝f(x)，其中f(x)＝a tan 3x＋4，若f(5)＝6，則f(－5)＝________．
題型3正切函數(shù)的單調(diào)性
【思考探究】　1.正切函數(shù)y＝tan x在其定義域內(nèi)是否為增函數(shù)？
[提示]　不是．函數(shù)的單調(diào)性是相對(duì)于定義域內(nèi)的某個(gè)區(qū)間而言的．正切函數(shù)的圖象被直線x ＝kπ＋(k∈Z)隔開(kāi)，所以它的單調(diào)區(qū)間只在(kπ －，kπ ＋)(k∈Z)內(nèi)，而不能說(shuō)它在定義域內(nèi)是增函數(shù)．假設(shè)x1 ＝，x2 ＝，x1 2．正切函數(shù)的定義域能寫(xiě)成( －＋kπ，＋kπ) (k∈Z)嗎？為什么？
[提示]　不能．因?yàn)檎泻瘮?shù)的定義域是{x|x≠＋kπ，k∈Z}，它表示x是不等于＋kπ(k∈Z)的全體實(shí)數(shù)，而(－＋kπ，＋kπ)(k∈Z)只表示k取某個(gè)整數(shù)時(shí)的一個(gè)區(qū)間，而不是所有區(qū)間的并集．
例3(1)求函數(shù)y＝tan (－x＋)的單調(diào)區(qū)間；
(2)下列各式中正確的是(　　)
A．tan 735°>tan 800°
B．tan 1>－tan 2
C．tan D．tan 狀元隨筆　(1)可先令y ＝－tan (x －)，從而把x －整體代入(－ ＋kπ， ＋kπ)，k∈Z這個(gè)區(qū)間內(nèi)解出x便可．
(2)可先把角化歸到同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)，即利用tan 2＝tan (2 －π)，tan 3 ＝tan (3 －π)，最后利用y ＝tan x 在(－)上的單調(diào)性判斷大小關(guān)系．
方法歸納
求y＝A tan (ωx＋φ)的單調(diào)區(qū)間，可先用誘導(dǎo)公式把ω化為正值，由kπ－<ωx＋φ跟蹤訓(xùn)練3　(1)已知函數(shù)y＝－2tan (x＋)，則(　　)
A．增區(qū)間為(6k－5，6k＋1)，k∈Z
B．增區(qū)間為(6k－1，6k＋5)，k∈Z
C．減區(qū)間為(6k－5，6k＋1)，k∈Z
D．減區(qū)間為(6k－1，6k＋5)，k∈Z
(2)比較下列各組中三角函數(shù)值的大小：
①tan 138°與tan 143°；
②tan (－)與tan (－)．
能 力 提 升 練
1.(多選)關(guān)于函數(shù)f(x)＝|tan x|的性質(zhì)，下列敘述正確的是(　　)
A．f(x)的最小正周期為
B．f(x)是偶函數(shù)
C．f(x)的圖象關(guān)于直線x＝(k∈Z)對(duì)稱
D．f(x)在區(qū)間(kπ，kπ＋)(k∈Z)上單調(diào)遞增
2．已知函數(shù)f(x)＝tan (ωx＋)，ω>0.
(1)若ω＝2，求f(x)的最小正周期與函數(shù)圖象的對(duì)稱中心；
(2)若f(x)在[0，π]上是嚴(yán)格增函數(shù)，求ω的取值范圍；
(3)若方程f(x)＝在[a，b]上至少存在2 022個(gè)根，且b－a的最小值不小于2 022，求ω的取值范圍．
教材反思
(1)對(duì)函數(shù)y＝A tan (ωx＋φ)＋k(ω≠0)周期的兩點(diǎn)說(shuō)明
①一般地，函數(shù)y＝A tan (ωx＋φ)＋k(ω≠0)的最小正周期T＝.
②當(dāng)ω>0時(shí)，函數(shù)y＝A tan (ωx＋φ)＋k具有周期性，最小正周期是.
(2)“三點(diǎn)兩線法”作正切曲線的簡(jiǎn)圖
①“三點(diǎn)”分別為(kπ，0)，(kπ＋，1)，(kπ－，－1)，其中k∈Z；兩線為直線x＝kπ＋和直線x＝kπ－，其中k∈Z(兩線也稱為正切曲線的漸近線，即無(wú)限接近但不相交)．
②作簡(jiǎn)圖時(shí)，只需先作出一個(gè)周期中的兩條漸近線，然后描出三個(gè)點(diǎn)，用光滑的曲線連接得到一條曲線，最后平行移動(dòng)至各個(gè)周期內(nèi)即可．
(3)解答正切函數(shù)圖象與性質(zhì)問(wèn)題應(yīng)注意的兩點(diǎn)
①對(duì)稱性：正切函數(shù)圖象的對(duì)稱中心是(，0)(k∈Z)，不存在對(duì)稱軸．
②單調(diào)性：正切函數(shù)在每個(gè)(－＋kπ，＋kπ)(k∈Z)區(qū)間內(nèi)是單調(diào)遞增的，但不能說(shuō)其在定義域內(nèi)是遞增的．
7．3.4　正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象
新知初探·自主學(xué)習(xí)
[教材要點(diǎn)]
知識(shí)點(diǎn)一
2．正切曲線
3．(＋kπ，0)(k∈Z)　y軸
知識(shí)點(diǎn)二
1.{x|x,k} 　R　π　奇函數(shù)　
(－＋kπ，＋kπ)(k∈Z)
2.
[基礎(chǔ)自測(cè)]
1．解析：令2x－(k∈Z)，解得x＝(k∈Z)，所以f(x)的對(duì)稱中心為(k∈Z)，當(dāng)k＝1時(shí)，，故是f(x)的一個(gè)對(duì)稱中心．故選D.
答案：D
2．解析：由于函數(shù)y＝tan x在?上單調(diào)遞增，當(dāng)x＝－時(shí)，y＝－1；當(dāng)x＝0時(shí)，y＝0；當(dāng)x＝時(shí)，y＝1，故該函數(shù)的值域?yàn)閇－1，0)∪(0，1]，故選B.
答案：B
3．解析：由題意可得2x－≠＋kπ(k∈Z)，解得x≠(k∈Z)，函數(shù)y＝tan 的定義域?yàn)閧x，k∈Z}．故選A.
答案：A
4．解析：函數(shù)y＝tan x是周期函數(shù)，在每一個(gè)開(kāi)區(qū)間(＋kπ，)(k∈Z)上為增函數(shù)，但在整個(gè)定義域上不是單調(diào)函數(shù)．故選C.
答案：C
5．解析：因?yàn)閒(n)＝tan 的周期T＝＝3，
且f(1)＝tan ，f(2)＝tan ，f(3)＝tan π＝0，則f(1)＋f(2)＋f(3)＝0，
因?yàn)椋?75，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2 025)＝675×0＝0.
答案：0
課堂探究·素養(yǎng)提升
例1　【解析】　(1)①要使函數(shù)y＝有意義，需使
∴函數(shù)的定義域?yàn)閧x，且x≠kπ＋，k∈Z}．
②令≠kπ＋(k∈Z)，解得x≠2kπ＋(k∈Z)，故函數(shù)的定義域?yàn)閧x，k∈Z}．
(2)令t＝tan x，∵x∈，∴t＝tan x∈，
∴y＝－t2＋2t＋5＝－(t－1)2＋6，拋物線開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為t＝1，
∴t＝1時(shí)，取最大值6，t＝－時(shí)，取最小值2－2，
∴函數(shù)y＝－tan2x＋2tanx＋5，x∈的值域?yàn)?
跟蹤訓(xùn)練1　解析：(1)根據(jù)題意，
得
解得(k∈Z)，
所以函數(shù)的定義域?yàn)閇＋kπ，)∪(＋kπ，)(k∈Z)．
(2)函數(shù)y＝tan2x－tanx＋2＝2＋，
由x∈，則tan x∈[－1，1]，
所以函數(shù)的值域?yàn)?
答案：(1)見(jiàn)解析　(2)C
例2　【解析】　(1)由于ω＝3，故函數(shù)的周期為T(mén)＝.
(2)①因?yàn)閥＝3x tan 2x－2x4的定義域?yàn)閧x，k∈Z}，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
且3(－x)tan 2(－x)－2(－x)4＝3x tan 2x－2x4，
所以y＝3x tan 2x－2x4為偶函數(shù)．
②因?yàn)閥＝cos ＋tan x＝sin x＋tan x的定義域?yàn)閧x，k∈Z}，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
且sin (－x)＋tan (－x)＝－sin x－tan x＝－(sin x＋tan x)，
所以y＝cos ＋tan x為奇函數(shù)．
【答案】　(1)　(2)見(jiàn)解析
跟蹤訓(xùn)練2　解析：(1)由題意知函數(shù)f(x)＝tan ωx的最小正周期為，∴ω＝＝8.
(2)設(shè)g(x)＝a tan 3x，則f(x)＝g(x)＋4，
因?yàn)間(－x)＝－a tan 3x＝－g(x)，
所以g(x)＝a tan 3x為奇函數(shù)，
f(5)＝g(5)＋4＝6，所以g(5)＝2，
則g(－5)＝－2，所以f(－5)＝g(－5)＋4＝2.
答案：(1)8　(2)2
例3　【解析】　(1)y＝tan ＝－tan ，
由kπ－<得2kπ－∴函數(shù)y＝tan 的單調(diào)遞減區(qū)間是(，2kπ＋)(k∈Z)，無(wú)單調(diào)遞增區(qū)間．
(2)對(duì)于A，tan 735°＝tan (720°＋15°)＝tan 15°，tan 800°＝tan (720°＋80°)＝tan 80°，因?yàn)?°<15°<80°<90°，所以tan 15°【答案】　(1)見(jiàn)解析　(2)D
跟蹤訓(xùn)練3　解析：(1)由－＋kπ<<＋kπ，k∈Z，解得6k－5(2)①因?yàn)楫?dāng)90°所以tan 138°②因?yàn)閠an ＝tan ＝tan ，
tan ＝tan ＝tan ，且0<<<，
結(jié)合函數(shù)y＝tan x在上單調(diào)遞增，
所以tan 答案：(1)C　(2)見(jiàn)解析
能力提升練
1．解析：作出函數(shù)f(x)的圖象，且函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閧x，k∈Z}，由函數(shù)f(x)＝|tan x|的圖象可知，最小正周期為π，A錯(cuò)誤；又f(－x)＝|tan (－x)|＝|tan x|＝f(x)，所以f(x)是定義域上的偶函數(shù)，B正確；根據(jù)函數(shù)f(x)的圖象知，f(x)的圖象關(guān)于直線x＝(k∈Z)對(duì)稱，C正確；根據(jù)f(x)的圖象知，f(x)在區(qū)間(k∈Z)上單調(diào)遞增，D正確．故選BCD.
答案：BCD
2．解析：(1)由題可得f(x)＝tan ，所以函數(shù)的最小正周期為，
由2x＋(k∈Z)，可得x＝(k∈Z)，
所以函數(shù)f(x)的圖象的對(duì)稱中心為(k∈Z)．
(2)因?yàn)閒(x)在[0，π]上是嚴(yán)格增函數(shù)，
所以x∈[0，π] ωx＋∈[，ωπ＋] ，所以ωπ＋<，
又ω>0，所以ω∈.
(3)因?yàn)閒(x)＝ tan ＝ ωx＋＋kπ，k∈Z，
所以x＝，k∈Z，至少存在2 022個(gè)根，
所以可得b－a至少包含2 021個(gè)周期，即b－a≥2 021T＝2 021·，
所以b－a的最小值為2 021·，又b－a的最小值不小于2 022，
所以2 021·≥2 022，所以ω∈.
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7．3.4　正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象

正切曲線
y軸

解析式 y＝tan x
圖象
定義域 ________________
值域 ________________
周期 ________________
奇偶性 ________________
單調(diào)性 在開(kāi)區(qū)間____________________________內(nèi)都是增函數(shù)
R
π
奇函數(shù)
2.函數(shù)y＝tan ωx(ω≠0)的最小正周期是________．


答案：D

答案：B

答案：A

答案：C

0



狀元隨筆　
(1)列出使各部分有意義的條件，注意正切函數(shù)自身的定義域．
(2)換元轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在給定區(qū)間上求值域問(wèn)題．
(2)求解與正切函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的值域時(shí)，要注意函數(shù)的定義域，在定義域內(nèi)求值域；對(duì)于求由正切函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)的值域時(shí)，常利用換元法，但要注意新“元”的范圍．
2.解正切不等式的兩種方法
(1)圖象法：先畫(huà)出函數(shù)圖象，找出符合條件的邊界角，再寫(xiě)出符合條件的角的集合；
(2)三角函數(shù)線法：先在單位圓中作出角的邊界值時(shí)的正切線，得到邊界角的終邊，在單位圓中畫(huà)出符合條件的區(qū)域．要特別注意函數(shù)的定義域．


答案：C





2．判定與正切函數(shù)有關(guān)的函數(shù)奇偶性的方法：
先求函數(shù)的定義域，看其定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，若其不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則該函數(shù)為非奇非偶函數(shù)；若其關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，再看f(－x)與f(x)的關(guān)系．
8

(2)已知函數(shù)y＝f(x)，其中f(x)＝a tan 3x＋4，若f(5)＝6，則f(－5)＝________．
2
解析：設(shè)g(x)＝a tan 3x，則f(x)＝g(x)＋4，
因?yàn)間(－x)＝－a tan 3x＝－g(x)，
所以g(x)＝a tan 3x為奇函數(shù)，
f(5)＝g(5)＋4＝6，所以g(5)＝2，
則g(－5)＝－2，所以f(－5)＝g(－5)＋4＝2.


【答案】D

答案：C


答案：BCD



答案：A


答案：C

答案：A

答案：BD


6．f(x)＝a sin x＋b tan x＋1，滿足f(5)＝7，則f(－5)＝________．
－5
解析：∵f(5)＝a sin 5＋b tan 5＋1＝7，
∴a sin 5＋b tan 5＝6，
∴f(－5)＝a sin (－5)＋b tan (－5)＋1＝－(a sin 5＋b tan 5)＋1＝－6＋1＝－5.
[－1，0)
8．(15分)畫(huà)出函數(shù)y＝|tan x|的圖象．
(1)根據(jù)圖象判斷其定義域、值域、單調(diào)區(qū)間、奇偶性、周期性；
(2)求不等式|tan x|≤1的解集．



10．(5分)函數(shù)f(x)＝tan (sin x)的最小正周期為_(kāi)_______．
2π
解析：因?yàn)閥＝sin x的最小正周期為2π，
而f(2π＋x)＝tan [sin (2π＋x)]＝tan (sin x)＝f(x)，
所以函數(shù)f(x)的最小正周期為2π.課時(shí)作業(yè)(十一)　正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象
(分值：90分)
一、選擇題(單選每小題5分，多選每小題6分，共21分)
1．函數(shù)f(x)＝的定義域是(　　)
A．
B．
C．
D．
解析：由題可得解得x≠(k∈Z)，
∴函數(shù)f(x)＝的定義域?yàn)?故選A.
答案：A
2．已知函數(shù)f(x)＝tan ，下列判斷正確的是(　　)
A．f(x)是定義域上的增函數(shù)，且周期是
B．f(x)在(k∈Z)上是增函數(shù)，且周期是2π
C．f(x)在上是減函數(shù)，且周期是
D．f(x)在上是減函數(shù)，且周期是2π
解析：∵f(x)＝tan (－2x)＝－tan (2x－)，－＋kπ<2x－<＋kπ(k∈Z)，－答案：C
3．函數(shù)f(x)＝圖象的對(duì)稱軸方程為(　　)
A．x＝(k∈Z) B．x＝(k∈Z)
C．x＝(k∈Z) D．x＝(k∈Z)
解析：由函數(shù)y＝|tan x|的對(duì)稱軸為x＝(k∈Z)，令2x－＝(k∈Z)，得x＝(k∈Z)，所以函數(shù)f(x)＝圖象的對(duì)稱軸方程為x＝(k∈Z)．故選A.
答案：A
4．(多選)已知函數(shù)f(x)＝tan x－，則(　　)
A．f(x)的最小正周期為π
B．f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱
C．f(x)有最小值
D．f(x)在()上為增函數(shù)
解析：由函數(shù)f(x)＝tan x－＝＝＝－，對(duì)于A，因?yàn)閒(x＋)＝f(x)，所以f(x)的最小正周期為，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)閒(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且f(－x)＝－＝＝－f(x)，所以f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以B正確；對(duì)于C，由函數(shù)y＝tan 2x的值域?yàn)镽，可得f(x)＝－∈R，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由x∈()，可得2x∈(，π)，可得函數(shù)y＝tan 2x單調(diào)遞增，所以f(x)在x∈()上也單調(diào)遞增，所以D正確．故選BD.
答案：BD
二、填空題(每小題5分，共15分)
5．設(shè)函數(shù)f(x)＝2tan (ωx－)(ω>0)的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為(，0)，則f(x)的一個(gè)最小正周期可以是________．(填寫(xiě)一個(gè)符合要求的即可)
解析：由題意可知ω×＝(k∈Z)，
∴ω＝，則T＝＝，
顯然當(dāng)k＝1時(shí)，T＝是f(x)的一個(gè)最小正周期．
答案：
6．f(x)＝a sin x＋b tan x＋1，滿足f(5)＝7，則f(－5)＝________．
解析：∵f(5)＝a sin 5＋b tan 5＋1＝7，
∴a sin 5＋b tan 5＝6，
∴f(－5)＝a sin (－5)＋b tan (－5)＋1＝－(a sin 5＋b tan 5)＋1＝－6＋1＝－5.
答案：－5
7．已知函數(shù)y＝tan ωx在(－)內(nèi)是減函數(shù)，則ω的取值范圍為_(kāi)_______；若函數(shù)y＝tan (3ax－)(a≠0)的最小正周期為，則a＝________．
解析：由題意可知ω<0，又(ω，－ω) (－)，故－1≤ω<0，即ω的取值范圍為[－1，0)；
因?yàn)椋剑詜a|＝，所以a＝±.
答案：[－1，0)　±
三、解答題(共32分)
8．(15分)畫(huà)出函數(shù)y＝|tan x|的圖象．
(1)根據(jù)圖象判斷其定義域、值域、單調(diào)區(qū)間、奇偶性、周期性；
(2)求不等式|tan x|≤1的解集．
解析：(1)函數(shù)y＝|tan x|，
化為y＝k∈Z，
函數(shù)y＝|tan x|的圖象如下：
觀察圖象知，函數(shù)y＝|tan x|的定義域?yàn)閧x∈R|x≠＋kπ，k∈Z}；值域?yàn)閇0，＋∞)；
函數(shù)y＝|tan x|的單調(diào)遞減區(qū)間是(－＋kπ，kπ](k∈Z)，單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ，＋kπ)(k∈Z)；
函數(shù)y＝|tan x|是偶函數(shù)；周期是π.
(2)由|tan x|≤1，得－1≤tan x≤1，
而函數(shù)y＝tan x在(－)上單調(diào)遞增，且是周期為π的周期函數(shù)，
于是－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，
所以不等式|tan x|≤1的解集是{x|kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z}．
9．(17分)已知x∈[－]，f(x)＝tan2x＋2tanx＋2，求f(x)的最大值和最小值，并求出相應(yīng)的x值．
解析：f(x)＝tan2x＋2tanx＋2＝(tan x＋1)2＋1，
∵x∈[－]，∴tan x∈[－，1]，
∴當(dāng)tan x＝－1，即x＝－時(shí)，f(x)有最小值1；
當(dāng)tan x＝1，即x＝時(shí)，f(x)有最大值5.
[尖子生題庫(kù)]
10．(5分)函數(shù)f(x)＝tan (sin x)的最小正周期為_(kāi)_______．
解析：因?yàn)閥＝sin x的最小正周期為2π，
而f(2π＋x)＝tan [sin (2π＋x)]＝tan (sin x)＝f(x)，
所以函數(shù)f(x)的最小正周期為2π.
答案：2π
11．(17分)已知函數(shù)f(x)＝.
(1)求函數(shù)y＝ln f(tan x)的定義域，并判斷奇偶性；
(2)若存在x∈()，使得不等式f(tan x)＋a tan x≤0能成立，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
解析：(1)g(x)＝ln f(tan x)＝ln ，
所以>0，
－1因?yàn)槎x域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且g(－x)＝ln ＝ln ＝－g(x)，
所以函數(shù)為奇函數(shù)．
(2)令tan x＝t∈(1，＋∞)，不等式＋a tan x≤0轉(zhuǎn)化為＋at≤0有解，
a≤＝，令t－1＝s∈(0，＋∞)，則a≤＝，
因?yàn)閟＋≥2，當(dāng)且僅當(dāng)s＝時(shí)取等號(hào)，的最大值為，
所以a≤＝3－2.
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