資源簡介

(共59張PPT)
7．3.5　已知三角函數值求角
【課程標準】　會利用已知的三角函數值求相應的角．
arcsin y，即x＝arcsin y
arccos y，即x＝arccos y
arctan y，即x＝arctan y
2．利用三角函數圖象求角或角的范圍
用三角函數圖象解sin x>a(或cos x>a)的方法
(1)作出直線y＝a，y＝sin x(或y＝cos x)的圖象；
(2)確定sin x＝a(或cos x＝a)的________值；
(3)選取一個合適的周期寫出sin x>a(或cos x>a)的________，要盡量使解集為一個連續區間．
x的
解集
知識點三　已知三角函數值求角的相關規律
1．對于已知正弦值求角的規律

答案：B

答案：D






(2)當x∈[0，2π]時，求x的取值集合；
(3)當x∈R時，求x的取值集合；

方法歸納
1．給值求角問題，由于范圍不同，所得的角可能不同，一定要注意范圍條件的約束作用．
2．對于已知正弦值求角有如下規律：sin x＝a(－1≤a≤1)，當x∈R時，可先求得[0，2π]內的所有解α，π－α，再利用周期性可求得{x|x＝2kπ＋α，或x＝2kπ＋π－α，k∈Z}．






狀元隨筆　(1)，(2)利用余弦線、圖象求值．
(3)先求出相等時的x值，再寫出滿足不等式的x的范圍．

答案：BC


方法歸納
cos x＝a(－1≤a≤1)，當x∈R時，可先求得[0，2π]內的所有解α，2π－α，再利用周期性可求得：{x|x＝2kπ±α，k∈Z}．




(2)當0

能 力 提 升 練
1.如果cos α＝cos β，則角α與β的終邊除了可能重合外，還有可能(　　)
A．關于x軸對稱 B．關于y軸對稱
C．關于直線y＝x對稱 D．關于原點對稱
答案：A
解析：如圖，角α的終邊與單位圓相交于點P，過點P作PM⊥x軸于點M，由三角函數線的定義可知，OM＝cos α，由圖知，設角β的終邊與單位圓相交于點P1，當角β的終邊與角α的終邊關于x軸對稱時，過點P1作x軸的垂線，則垂足為點M，所以OM＝cos β，所以當角α與β的終邊關于x軸對稱時，cos α＝cos β，故選A.

答案：C

答案：D


答案：A

答案：C

答案：B

答案：BCD











答案：C
12．(5分)集合{x|cos (πcos x)＝0，x∈[0，π]}＝________．

7．3.5　已知三角函數值求角
【課程標準】　會利用已知的三角函數值求相應的角．
教 材 要 點
知識點一　已知三角函數值求角相關概念
1．已知正弦值求角
對于正弦函數y＝sin x，在區間[－]內，滿足sin x＝y(y∈[－1，1])的x只有一個，這個x記作________________．
2．已知余弦值求角
對于余弦函數y＝cos x，在區間[0，π]內，滿足cos x＝y(y∈[－1，1])的x只有一個，這個x記作________________．
3．已知正切值求角
對于正切函數y＝tan x，在區間(－)內，滿足tan x＝y(y∈R)的x只有一個，這個x記作________________．
知識點二　已知三角函數值求角或角的范圍的方法
1．利用三角函數線求角
在單位圓中，是正弦線，是余弦線，是正切線，作出三角函數線，即可求得角的大小．
2．利用三角函數圖象求角或角的范圍
用三角函數圖象解sin x>a(或cos x>a)的方法
(1)作出直線y＝a，y＝sin x(或y＝cos x)的圖象；
(2)確定sin x＝a(或cos x＝a)的________值；
(3)選取一個合適的周期寫出sin x>a(或cos x>a)的________，要盡量使解集為一個連續區間．
知識點三　已知三角函數值求角的相關規律
1．對于已知正弦值求角的規律
2.利用余弦值求角、解不等式規律
將ωx＋φ看作整體，先求出[0，2π]或[－π，π]的角，再通過周期推廣到整個定義域內，最后解出x的值或范圍．
3．已知正切值求角的規律
可先求出(－)內的角，再由y＝tan x的周期性表示所給范圍內的角，tan x＝a(a∈R)的解集為{x|x＝kπ＋arctan a，k∈Z}．
基 礎 自 測
1．若α是銳角，sin (α＋15°)＝，那么銳角α＝(　　)
A．15° B．30°
C．45° D．60°
2．已知α∈(0，2π)，且cos α＝cos ，則α＝(　　)
A． B．或
C．或 D．或
3．已知tan 2x＝－，且x∈[0，π]，則x＝________．
4．已知cos x＝－，x∈[－2π，2π]，則滿足條件的角x的集合是________________．
5．已知sin α＝，若<α<π，用反正弦符號表示α為____________．
題型1已知正弦值求角
嘗試借助正弦曲線及所給角的范圍求解．
例1已知sin x＝.
(1)當x∈[－]時，求x的取值集合；
(2)當x∈[0，2π]時，求x的取值集合；
(3)當x∈R時，求x的取值集合；
利用三角函數線、圖象結合周期性求解集．
(4)求不等式sin x<－的解集．
方法歸納
1．給值求角問題，由于范圍不同，所得的角可能不同，一定要注意范圍條件的約束作用．
2．對于已知正弦值求角有如下規律：sin x＝a(－1≤a≤1)，當x∈R時，可先求得[0，2π]內的所有解α，π－α，再利用周期性可求得{x|x＝2kπ＋α，或x＝2kπ＋π－α，k∈Z}．
跟蹤訓練1　(1)已知函數f(x)＝2sin (ωx＋)(ω>0)的最小正周期為π，則方程f(x)＝1在(0，π]上的解集為____________.
(2)求不等式sin x>－的解集．
題型2已知余弦值求角
例2(1)已知cos x＝－.
①當x∈[0，π]時，求x的值；
②當x∈R時，求x的取值集合．
(2)已知cos (2x－)＝，求x.
(3)求不等式cos (x＋)>－的解集．
狀元隨筆　(1)，(2)利用余弦線、圖象求值．
(3)先求出相等時的x值，再寫出滿足不等式的x的范圍．
跟蹤訓練2　(1)(多選)若cos (3x＋)＝，則x可以是(　　)
A． B．
C． D．
(2)求不等式2cos (2x＋)－<0的解集．
方法歸納
cos x＝a(－1≤a≤1)，當x∈R時，可先求得[0，2π]內的所有解α，2π－α，再利用周期性可求得：{x|x＝2kπ±α，k∈Z}．
題型3已知正切值求角
例3(1)已知tan α＝1.
①若α∈(－)，求角α；
②若α∈R，求角α.
(2)已知f(x)＝tan (3x－)，求使f(x)≤－成立的x的集合．
狀元隨筆　利用正切線或圖象求值，先求x的范圍，再根據周期寫解集．
方法歸納
1．已知角的正切值求角，可先求出(－)內的角α，再由y＝tan x的周期性表示所給范圍內的角.
2．tan x＝a，a∈R的解集為{x|x＝kπ＋α，k∈Z}．
跟蹤訓練3　(1)已知角x∈[0，π)，且滿足tan (2x－)＝1，則角x為________．
(2)當0(3)已知集合A＝{x＝}，B＝{x}，則A＝________．
能 力 提 升 練
1.如果cos α＝cos β，則角α與β的終邊除了可能重合外，還有可能(　　)
A．關于x軸對稱 B．關于y軸對稱
C．關于直線y＝x對稱 D．關于原點對稱
2．下列敘述錯誤的是(　　)
A．arctan <
B．若x＝arcsin y，0≤y≤1，則sin x＝y
C．若tan ＝y，則x＝－2arctan y
D．π－arcsin ∈(，π)
溫馨提示：請完成課時作業(十二) 章末質量檢測(一)
7．3.5　已知三角函數值求角
新知初探·自主學習
[教材要點]
知識點一
1．arcsin y，即x＝arcsin y
2．arccos y，即x＝arccos y
3．arctan y，即x＝arctan y
知識點二
2．(2)x的　(3)解集
[基礎自測]
1．解析：因為sin (α＋15°)＝，α是銳角，所以α＋15°∈(15°，105°)，α＋15°＝45°，所以α＝30°.故選B.
答案：B
2．解析：cos α＝cos ＝，又α∈(0，2π)，則α＝或.故選D.
答案：D
3．解析：∵x∈[0，π]，∴2x∈[0，2π].
∵tan 2x＝－，∴2x＝或2x＝，
∴x＝或.
答案：或
4．解析：因為cos x＝－，x∈[－2π，2π]，解得x＝－或－或或，所以滿足條件的角x的集合是{－，－，}．
答案：{－，－}
5．解析：∵sin α＝<α<π，
∴sin (π－α)＝sin α＝，0<π－α<，
∴π－α＝arcsin ，∴α＝π－arcsin .
答案：π－arcsin
課堂探究·素養提升
例1　【解析】　(1)∵y＝sin x在[－]上是增函數，且sin ＝，∴x＝，∴{}是所求集合．
(2)∵sin x＝＞0，∴x為第一或第二象限的角，且sin ＝sin (π－)＝，
∴在[0，2π]上符合條件的角有x＝或x＝，
∴x的取值集合為{}．
(3)當x∈R時，x的取值集合為
{x|x＝2kπ＋或x＝2kπ＋，k∈Z}．
(4)方法一　由sin x＝－<0可知，角x對應的正弦線方向朝下，而且長度為，如圖所示，
可知角x的終邊可能是OP，也可能是OP′.
又因為sin (－)＝sin (－)＝－，
所以x＝－＋2kπ或x＝－＋2kπ，k∈Z.
如果x終邊在∠POP′中，則有sin x<－，
所以－＋2kπ所以不等式的解集為
{x|－＋2kπ方法二　因為sin x＝－，
如圖所示，
由正弦函數的圖象，知在[－2π，0]內，sin (－)＝sin (－)＝－，
所以x＝－＋2kπ或x＝－＋2kπ，k∈Z，
所以－＋2kπ所以不等式的解集為
{x|－＋2kπ跟蹤訓練1　解析：(1)由題意可得＝π，解得ω＝2，
所以f(x)＝2sin (2x＋)＝1，
可得sin (2x＋)＝，
因為x∈(0，π]，所以2x＋∈(]，
所以2x＋＝或，即x∈{}．
(2)當sin x＝－時，
x＝＋2kπ或x＝－＋2kπ，k∈Z，
所以－＋2kπ所以不等式的解集為
{x|－＋2kπ答案：(1){}　(2)見解析
例2　【解析】　(1)①因為cos x＝－且x∈[0，π]，
所以x＝.
②當x∈R時，先求出x在[0，2π]上的解．
因為cos x＝－，故x是第二或第三象限角，
所以由余弦函數的周期性知，
當x＝＋2kπ或x＝2kπ－(k∈Z)時，
cos x＝－，即所求x值的集合是
{x|x＝＋2kπ或x＝2kπ－(k∈Z)}．
(2)由cos (2x－)＝>0，知角2x－對應的余弦線方向向右，且長度為，
如圖所示，
可知角2x－的終邊可能是OP，也可能是OP′.
又因為cos ＝cos (－)＝，
所以2x－＝－＋2kπ或2x－＝＋2kπ(k∈Z)，
所以x＝＋kπ或x＝＋kπ(k∈Z)．
(3)如圖所示，
在[－π，π]上，＝－或＝時，
cos ()＝－，
所以＝－＋2kπ或＝＋2kπ，k∈Z時，cos ()＝－.
令－＋2kπ<<＋2kπ，k∈Z，
解得－＋4kπ所以不等式的解集為
{x|－＋4kπ跟蹤訓練2　解析：(1)cos (3x＋)＝，則3x＋＝2kπ±(k∈Z)，
解得x＝(k∈Z)，當k＝1時，x＝，
或x＝(k∈Z)，當k＝1時，x＝，
故選BC.
(2)不等式變為cos (2x＋)<，
則＋2kπ<2x＋<＋2kπ，k∈Z，
解得＋kπ所以不等式的解集為{x|＋kπ答案：(1)BC　(2)見解析
例3　【解析】　(1)①由正切函數在開區間(－)上是增函數可知，符合條件tan α＝1的角只有一個，即α＝.
②α＝kπ＋(k∈Z)．
(2)方法一　令t＝3x－，作出函數y＝tan t的圖象如圖，
則－＋kπ即－＋kπ<3x－≤－＋kπ，k∈Z，
解得－所以不等式tan (3x－)≤－的解集為(－]，k∈Z.
方法二　因為tan (3x－)＝－<0，令t＝3x－，
所以角3x－對應的正切線方向朝下，而且長度為，
如圖所示，
可知3x－的終邊可能是OT，也可能是OT′，
因為tan (－)＝tan ＝－，
即－＋kπ<3x－≤－＋kπ，k∈Z，
解得－所以不等式tan (3x－)≤－的解集為(－]，k∈Z.
跟蹤訓練3　解析：(1)由已知得tan (2x－)＝1，tan (2x－)＝，2x－＝＋kπ，x＝，k∈Z，又因為x∈[0，π)，所以x＝或.
(2)由正切函數的圖象知，當0若tan x<－1，則即實數x的取值范圍是()．
(3)∵cos (－x)＝，
∴－x＝＋2kπ或＋2kπ，k∈Z，
x＝＋2kπ或－＋2kπ，k∈Z，
∵tan x＝－，∴x＝－＋kπ，k∈Z，
那么A＝{x，k∈Z}．
答案：(1)或　(2)()
(3){x，k∈Z}
能力提升練
1．解析：
如圖，角α的終邊與單位圓相交于點P，過點P作PM⊥x軸于點M，由三角函數線的定義可知，OM＝cos α，由圖知，設角β的終邊與單位圓相交于點P1，當角β的終邊與角α的終邊關于x軸對稱時，過點P1作x軸的垂線，則垂足為點M，所以OM＝cos β，所以當角α與β的終邊關于x軸對稱時，cos α＝cos β，故選A.
答案：A
2．解析：令arctan ＝α，α∈(－)，則tan α＝，∵tan α答案：C
21世紀教育網(www.21cnjy.com)課時作業(十二)　已知三角函數值求角
(分值：80分)
一、選擇題(單選每小題5分，多選每小題6分，共26分)
1．滿足tan x＝－的x的集合是(　　)
A．
B．
C．
D．
解析：∵在上，當x＝－時，tan x＝－，
∴tan x＝－的x的集合為{x|x＝kπ－，k∈Z}．
答案：D
2．在△ABC中，若sin A＝cos B＝，則∠C＝(　　)
A．90° B．60°
C．45° D．30°
解析：△ABC中，若sin A＝cos B＝，A，B∈(0，π)，則B＝60°，所以A＝30°，所以C＝180°－30°－60°＝90°，故選A.
答案：A
3．若θ∈[0，2π)，cos θ＝，則適合條件的角θ有(　　)
A．0個 B．1個
C．2個 D．無數個
解析：因為θ∈[0，2π)，cos θ＝，則θ∈(0，)或θ∈(，2π)，又在(0，)只有1個角使得cos θ＝，在θ∈(，2π)也只有1個角使得cos θ＝，即符合條件的角θ有2個，故選C.
答案：C
4．若tan ＝，則在區間[0，2π]上解的個數為(　　)
A．5 B．4
C．3 D．2
解析：∵tan ＝，∴2x＋＝kπ＋(k∈Z)，即x＝(k∈Z)．∵x∈[0，2π]，∴k＝1，2，3，4時，x分別為.故選B.
答案：B
5．(多選)使得等式2cos ＝1成立的角x可以是(　　)
A． B．
C． D．－
解析：由已知得cos ＝.因此＝2kπ±，故x＝4kπ±(k∈Z)，故x可以是±.
答案：BCD
二、填空題(每小題5分，共15分)
6．已知sin x＝(0解析：由sin x＝(0答案：arcsin
7．arcsin ＋arccos (－)＋arctan (－)＝________．
解析：arcsin ＋arccos (－)＋arctan (－)＝＝.
答案：
8．方程sin (3x)＝1在x∈(，π)內的解集為________．
解析：∵sin (3x)＝1，∴sin (3x)＝，
∴3x＝＋2kπ或3x＝＋2kπ，∴x＝或x＝，∵x∈(，π)，∴x∈.
答案：
三、解答題(共29分)
9．(12分)用反三角函數的形式把下列各式中的x表示出來．
(1)cos x＝－(2)sin x＝－，－(3)3tan x＋1＝0，0解析：(1)∵cos x＝－∴cos (π－x)＝－cos x＝，0<π－x<，
∴π－x＝arccos ，∴x＝π－arccos .
(2)∵sin x＝－，－∴x＝－arcsin .
(3)∵3tan x＋1＝0，0∴tan x＝－∴tan (π－x)＝－tan x＝，0<π－x<，
∴π－x＝arctan ，∴x＝π－arctan .
10．(17分)求下列不等式的解集．
(1)cos x－<0；
(2)3tan x－≥0.
解析：(1)因為cos x－<0，所以cos x<，
利用余弦線或余弦曲線可知所求解集為
{x＋2kπ(2)因為3tan x－≥0，所以tan x≥，
利用正切線或正切曲線可知所求解集為
{x＋kπ≤x<＋kπ，k∈Z}．
[尖子生題庫]
11．(5分)已知cos x＝－，－πA．－π＋arccos
B．－arccos (－)
C．－π＋arccos (－)
D．－π＋arcsin
解析：因為cos θ＝－，由反函數的定義可知θ＝arccos (－)，其中答案：C
12．(5分)集合{x|cos (πcos x)＝0，x∈[0，π]}＝________．
解析：當0≤x≤π時，－1≤cos x≤1，則－π≤πcos x≤π，
由cos (πcos x)＝0，可得πcos x＝±，
所以cos x＝±，
因為0≤x≤π，則x＝或，
因此，{x|cos (πcos x)＝0，x∈[0，π]}＝.
答案：
21世紀教育網(www.21cnjy.com)

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