資源簡介

(共74張PPT)
7．2.4　 第2課時　誘導公式五、六、七、八

cos α
sin α


cos α
－sin α

－cos α
sin α

－cos α
－sin α

答案：A

答案：B
解析：cos 130°＝cos (90°＋40°)＝－sin 40°＝－a.

答案：C
4．下列各式不正確的是(　　)
A．sin (α＋180°)＝－sin α
B．cos (－α＋β)＝－cos (α－β)
C．sin (－α－360°)＝－sin α
D．cos (－α－β)＝cos (α＋β)
答案：B
解析：cos (－α＋β)＝cos [－(α－β)]＝cos (α－β)，故B項錯誤．






狀元隨筆　(1)直接利用誘導公式求解，注意公式的靈活選擇．
(2)n分為奇數、偶數兩種情況討論．
方法歸納
1．已知角求值的問題主要是利用誘導公式把任意角的三角函數值轉化為銳角的三角函數值求解．一般是先利用公式二將負角化為正角，再利用公式一將任意角轉化為0°～360°之間的角，然后利用公式三、公式四轉化為0°～90°之間的角求解．
2．凡涉及參數n的三角函數求值問題．由于n為奇數、偶數時，三角函數值有所不同，故考慮對n進行分類討論．其次，熟記誘導公式，熟悉各誘導公式的作用也是解題的關鍵．


(2)tan 10°＋tan 170°＋sin 1 866°－sin (－606°)
＝tan 10°＋tan (180°－10°)＋sin (5×360°＋66°)－sin [(－2)×360°＋114°]
＝tan 10°－tan 10°＋sin 66°－sin (180°－66°)
＝sin 66°－sin 66°＝0.






狀元隨筆　注意觀察題目中給出角度之間的互余、互補關系，遇到此類問題，不妨考慮兩個角的和，要善于利用角的變換來解決問題．

答案：B
狀元隨筆　先根據誘導公式將待求式子化簡，然后根據平方和為1去計算相應結果．

答案：D


題型3利用誘導公式化簡三角函數式
【思考探究】　1.利用誘導公式能否直接寫出sin (kπ＋α)的值？
[提示]　不能．因為k是奇數還是偶數不確定．
當k是奇數時，即k ＝2n＋1(n∈Z)，sin (kπ＋α)＝sin (π＋α) ＝－sin α；
當k是偶數時，即k ＝2n(n∈Z)，sin (kπ＋α) ＝sin α.



狀元隨筆　(1)用誘導公式化簡f(α)；
(2)由正切值求出角α，然后計算sin α，cos α即得．
方法歸納
誘導公式綜合應用要“三看”
一看角：①化大為小；②看角與角間的聯系，可通過相加、相減分析兩角的關系．
二看函數名稱：一般是弦切互化．
三看式子結構：通過分析式子，選擇合適的方法，如分式可對分子分母同乘一個式子變形．




③用誘導公式進行化簡時的注意點：a.化簡后項數盡可能的少；b.函數的種類盡可能的少；c.分母不含三角函數的符號；d.能求值的一定要求值；e.含有較高次數的三角函數式，多用因式分解、約分等．



狀元隨筆　對于恒等式的證明，應遵循化繁為簡的原則，從左邊推導右邊或從右邊推導左邊．
方法歸納
利用誘導公式證明恒等式的方法
對于恒等式的證明，在掌握基本方法的前提下，我們也可以考慮左右歸一，變更論證的方法．常用定義法、弦化切、拆項拆角法、“1”的代換法、公式變形法等，要熟練掌握基本公式，善于從中選擇巧妙簡捷的方法．

1



答案：B


答案：C

答案：AC

答案：AC
5．cos (－330°)·tan (－120°)＝________．




8．(13分)求sin(－1 200°)·cos 1 290°＋cos (－1 020°)·sin (－1 050°)＋tan 945°的值．


7．2.4　 第2課時　誘導公式五、六、七、八
【課程標準】　借助單位圓的對稱性，利用三角函數的定義推導出誘導公式(－α，α＋，α＋－α的正弦、余弦)．
教 材 要 點
知識點一　誘導公式五
α與－α的三角函數間的關系：
sin (－α)＝________，cos (－α)＝________．
【學霸筆記】　
(1)角－α與角α的終邊有什么樣的位置關系？
[提示]　角－α與角α的終邊關于y＝x對稱．
(2)點P1(a，b)關于y＝x對稱的對稱點坐標是什么？
[提示]　點P1(a，b)關于y＝x對稱的對稱點坐標是P2(b，a)．
知識點二　誘導公式六
α與α＋的三角函數間的關系：
sin (α＋)＝________，cos (α＋)＝________．
知識點三　誘導公式七
α與α＋的三角函數間的關系：
sin (α＋)＝________，cos (α＋)＝________．
知識點四　誘導公式八
α與－α的三角函數間的關系：
sin (－α)＝________，cos (－α)＝________．
【學霸筆記】　各組誘導公式雖然形式不同，但存在著一定的規律，有人把它概括為“奇變偶不變，符號看象限”，你理解這句話的含義嗎？
[提示]　誘導公式可以歸納為k·＋α(k∈Z)的三角函數值．當k為偶數時，得α的同名三角函數值；當k為奇數時，得α的異名三角函數值．然后，在前面加上一個把α看成銳角時原函數值的符號，概括為“奇變偶不變，符號看象限”．值得注意的是，這里的奇和偶分別指的是的奇數倍或偶數倍；符號看象限指的是等式右邊的正負號恰為把α看成銳角時，原函數值的符號．
基 礎 自 測　
1．sin 585°＝(　　)
A．－ B．
C．－ D．
2．已知sin 40°＝a，則cos 130°＝(　　)
A．a B．－a
C． D．－
3．若cos (＋θ)>0，且sin (－θ)<0，則θ是(　　)
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
4．下列各式不正確的是(　　)
A．sin (α＋180°)＝－sin α
B．cos (－α＋β)＝－cos (α－β)
C．sin (－α－360°)＝－sin α
D．cos (－α－β)＝cos (α＋β)
5．若cos (π＋α)＝，則sin (＋α)＝________．
題型1給角求值問題
例1(1)求下列各三角函數值：
①sin (－)；②cos ；
(2)求sin (2nπ＋)·cos (nπ＋)(n∈Z)的值．
狀元隨筆　(1)直接利用誘導公式求解，注意公式的靈活選擇．
(2)n分為奇數、偶數兩種情況討論．
方法歸納
1．已知角求值的問題主要是利用誘導公式把任意角的三角函數值轉化為銳角的三角函數值求解．一般是先利用公式二將負角化為正角，再利用公式一將任意角轉化為0°～360°之間的角，然后利用公式三、公式四轉化為0°～90°之間的角求解．
2．凡涉及參數n的三角函數求值問題．由于n為奇數、偶數時，三角函數值有所不同，故考慮對n進行分類討論．其次，熟記誘導公式，熟悉各誘導公式的作用也是解題的關鍵．
跟蹤訓練1　求下列各三角函數值：
(1)cos ＋cos ＋cos ＋cos ；
(2)tan 10°＋tan 170°＋sin 1 866°－sin (－606°)；
(3)sin (π－α)＋cos (π－α)(k∈Z)．
題型2給值(式)求值問題
例2(1)已知cos (π＋α)＝－，求cos (＋α)的值．
狀元隨筆　
→→
先根據誘導公式將待求式子化簡，然后根據平方和為1去計算相應結果．
(2)已知sin (－α)＝，則cos (＋α)＝________．
(3)求解下列各式的值：
①已知cos (＋α)＝，求cos (－α)的值；
②已知cos (－α)＝，求sin (＋α)的值．
狀元隨筆　注意觀察題目中給出角度之間的互余、互補關系，遇到此類問題，不妨考慮兩個角的和，要善于利用角的變換來解決問題．
方法歸納
1．已知一個角的某種三角函數值，求這個角的其他三角函數值，若給定具體數值，但未指定角α的取值范圍，就要進行討論．
2．常見的互余關系有：－α與＋α；＋α與－α；＋α與－α等．
3．常見的互補關系有：＋θ與－θ；＋θ與－θ等．
跟蹤訓練2　(1)已知sin α＝，α∈(0，)，那么cos (π－α)＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
狀元隨筆　先根據誘導公式將待求式子化簡，然后根據平方和為1去計算相應結果．
(2)若α∈(0，)，sin (＋α)＝，則cos (＋α)＝(　　)
A．－ B．
C．－ D．
(3)已知sin (π－α)＝－，求sin (－α)，tan (＋α)的值．
題型3利用誘導公式化簡三角函數式
【思考探究】　1.利用誘導公式能否直接寫出sin (kπ＋α)的值？
[提示]　不能．因為k是奇數還是偶數不確定．
當k是奇數時，即k ＝2n＋1(n∈Z)，sin (kπ＋α)＝sin (π＋α) ＝－sin α；
當k是偶數時，即k ＝2n(n∈Z)，sin (kπ＋α) ＝sin α.
2．如何化簡tan (π＋α)呢？
[提示]　當k為奇數時，即k＝2n＋1(n∈Z)，
tan (＋α)＝tan (＋α)＝＝＝；
當k為偶數時，即k＝2n(n∈Z)，tan (＋α)＝tan α.
綜上，tan (＋α)＝
例3已知α是第三象限角，f(α)＝
.
(1)化簡f(α)；
(2)已知f(α)＝－，求cos α－sin α的值．
狀元隨筆　(1)用誘導公式化簡f(α)；
(2)由正切值求出角α，然后計算sin α，cos α即得．
方法歸納
誘導公式綜合應用要“三看”
一看角：①化大為小；②看角與角間的聯系，可通過相加、相減分析兩角的關系．
二看函數名稱：一般是弦切互化．
三看式子結構：通過分析式子，選擇合適的方法，如分式可對分子分母同乘一個式子變形．跟蹤訓練3　化簡：(1)；
(2)·sin (π－α)·cos (2π＋α)．
(3)已知sin (α－3π)＝2cos (α－4π)，
求的值．
教材反思
(1)誘導公式分類歸納
①誘導公式一～四反映的是角π±α，2kπ±α，－α與α的三角函數值之間的關系，可借用口訣“函數名不變，符號看象限”來記憶．
②誘導公式五～八反映的是角±α與α的三角函數值之間的關系．可借用口訣“函數名改變，符號看象限”來記憶．
(2)誘導公式共同特征
①誘導公式一～四揭示了終邊具有某種對稱關系的兩個角的三角函數之間的關系．
②這八組誘導公式可歸納為“k·±α(k∈Z)”的三角函數值與α的三角函數值之間的關系．當k為偶數時，得角α的同名三角函數值，當k為奇數時，得角α的異名三角函數值．然后在前面加上一個把角α看成銳角時原三角函數值的符號．可簡記為“奇變偶不變，符號看象限”．
③用誘導公式進行化簡時的注意點：a.化簡后項數盡可能的少；b.函數的種類盡可能的少；c.分母不含三角函數的符號；d.能求值的一定要求值；e.含有較高次數的三角函數式，多用因式分解、約分等．
題型4利用誘導公式證明恒等式
(1)求證：＝；
(2)求證：＝－tan θ.
狀元隨筆　對于恒等式的證明，應遵循化繁為簡的原則，從左邊推導右邊或從右邊推導左邊．
方法歸納
利用誘導公式證明恒等式的方法
對于恒等式的證明，在掌握基本方法的前提下，我們也可以考慮左右歸一，變更論證的方法．常用定義法、弦化切、拆項拆角法、“1”的代換法、公式變形法等，要熟練掌握基本公式，善于從中選擇巧妙簡捷的方法．
跟蹤訓練4　已知tan (α＋)＝m，求證：＝.
能 力 提 升 練
1.已知函數f(x)＝ex－e－x＋＋1，則f(x)＋f(－x)＝________；若f(sin (－α))＝，則f(cos (α－))＝________．
2．已知A，B，C為△ABC的三個內角，求證：
(1)cos (2A＋B＋C)＝cos (B＋C)；
(2)sin ()＝cos ()．
7．2.4　第2課時　誘導公式五、六、七、八
新知初探·自主學習
[教材要點]
知識點一
　cos α　sin α
知識點二
　cos α　－sin α
知識點三
－cos α　sin α
知識點四
－cos α　－sin α
[基礎自測]
1．解析：sin 585°＝sin (360°＋180°＋45°)
＝－sin 45°＝－.故選A.
答案：A
2．解析：cos 130°＝cos (90°＋40°)＝－sin 40°＝－a.
答案：B
3．解析：由于cos (＋θ)＝－sin θ>0，所以sin θ<0，又因為sin (－θ)＝cos θ<0，所以角θ的終邊落在第三象限，故選C．
答案：C
4．解析：cos (－α＋β)＝cos [－(α－β)]＝cos (α－β)，故B項錯誤．
答案：B
5．解析：方法一　cos (π＋α)＝－cos α＝，
所以cos α＝－，sin (＋α)＝cos α＝－.
方法二　cos (π＋α)＝cos [＋(＋α)]＝，
所以－sin (＋α)＝，
所以sin (＋α)＝－.
答案：－
課堂探究·素養提升
例1　【解析】　(1)①sin (－)
＝－sin ＝－sin (2π＋)＝－sin
＝－sin (π＋)＝sin ＝.
②cos ＝cos (4π＋)＝cos
＝cos (π－)＝－cos ＝－.
(2)①當n為奇數時，
原式＝sin (－cos )＝sin (π－)·[－cos (π＋)]
＝sin ·cos ＝＝；
②當n為偶數時，原式＝sin ·cos
＝sin (π－)·cos (π＋)
＝sin ·(－cos )
＝×(－)＝－.
跟蹤訓練1　解析：(1)cos ＋cos ＋cos ＋cos
＝(cos ＋cos )＋(cos ＋cos )
＝[cos ＋cos (π－)]＋[cos ＋cos (π－)]
＝(cos －cos )＋(cos －cos )＝0.
(2)tan 10°＋tan 170°＋sin 1 866°－sin (－606°)
＝tan 10°＋tan (180°－10°)＋sin (5×360°＋66°)－sin [(－2)×360°＋114°]
＝tan 10°－tan 10°＋sin 66°－sin (180°－66°)
＝sin 66°－sin 66°＝0.
(3)原式＝sin [kπ－(＋α)]＋cos [kπ＋(－α)].
當k為奇數時，設k＝2n＋1(n∈Z)，則原式＝
sin [(2n＋1)π－(＋α)]＋cos [(2n＋1)π＋(－α)]
＝sin [π－(＋α)]＋cos [π＋(－α)]
＝sin (＋α)＋[－cos (－α)]
＝sin (＋α)－cos [－(＋α)]
＝sin (＋α)－sin (＋α)＝0；
當k為偶數時，設k＝2n(n∈Z)，則
原式＝sin [2nπ－(＋α)]＋cos [2nπ＋(－α)]
＝－sin (＋α)＋cos (－α)
＝－sin (＋α)＋cos [－(＋α)]
＝－sin (＋α)＋sin (＋α)＝0.
綜上所述，原式＝0.
例2　【解析】　(1)∵cos (π＋α)＝－cos α＝－，
∴cos α＝，∴α為第一或第四象限角．
①若α為第一象限角，
則cos (＋α)＝－sin α＝－＝－＝－.
②若α為第四象限角，
則cos(＋α)＝－sin α＝＝＝.
(2)cos (＋α)＝cos [－(－α)]＝sin (－α)＝．
(3)①由cos (＋α)＝，
所以cos (－α)＝cos [π－(＋α)]＝－cos (＋α)＝－.
②由cos (－α)＝>0，
所以sin (＋α)＝sin [－(－α)]
＝sin [2π－－(－α)]＝sin [－－(－α)]
＝－cos (－α)＝－.
【答案】　(1)見解析　(2)　(3)見解析
跟蹤訓練2　解析：(1)因為cos (π－α)＝－cos α，
又因為sin2α＋cos2α＝1且α∈(0，)，所以cosα＝＝，所以cos(π－α)＝－，故選B.
(2) 因為sin (＋α)＝cos α＝，α∈(0，)，
所以sin α＝＝，
所以cos(＋α)＝sin α＝.故選D.
(3)因為sin (π－α)＝sin α＝－，
所以cos α＝±＝±＝±，
當cos α＝時，sin (－α)＝－cos α＝－，
tan α＝＝－，則tan (＋α)＝－＝2；
當cos α＝－時，sin (－α)＝－cos α＝，
tan α＝＝，則tan (＋α)＝－＝－2.
綜上所述，sin (－α)＝－，tan (＋α)＝2或sin (－α)＝，tan (＋α)＝－2.
答案：(1)B　(2)D　(3)見解析
例3　【解析】　(1)f(α)＝
＝
＝－tan α.
(2)由(1)，f(α)＝－tan α＝－，知tan α＝，
因為α是第三象限角，所以α＝(2k＋1)π＋，k∈Z，
則sin α＝sin [(2k＋1)π＋]＝－sin ＝－，
cos α＝cos [(2k＋1)π＋]＝－cos ＝－，
所以cos α－sin α＝.
跟蹤訓練3　解析：(1)由誘導公式可得，
＝＝0.
(2)由誘導公式可得，·sin (π－α)·cos (2π＋α)＝·sin α·cos α＝sin2α.
(3)由sin(α－3π)＝2cos (α－4π)，可得sin α＝－2cos α，
＝
＝＝－.
例4　【證明】　(1)右邊＝
＝＝
＝＝
＝＝＝左邊，
所以原等式成立．
(2)左邊＝
＝＝－tan θ＝右邊，
所以原等式成立．
跟蹤訓練4　證明：
方法一　左邊＝
＝
＝＝＝右邊，
所以原等式成立．
方法二　由tan (α＋)＝m，得tan (α＋)＝m，
所以等式左邊
＝
＝＝＝＝右邊，等式成立．
能力提升練
1．解析：由題意得f(x)＋f(－x)＝ex－e－x＋＋1＋e－x－ex＋＋1＝2＋＝1.因為cos (α－)＝cos [－－(－α)]＝－sin (－α)，
且f(sin (－α))＝，
所以f(cos (α－))＝f(－sin (－α))＝1－f(sin (－α))＝.
答案：1　
2．證明：(1)因為左邊＝cos (2A＋B＋C)＝cos [A＋(A＋B＋C)]＝cos (π＋A)＝－cos A，
右邊＝cos (B＋C)＝cos (π－A)＝－cos A，
所以cos (2A＋B＋C)＝cos (B＋C)．
(2)右邊＝cos ()＝cos [(π－A)－]
＝cos ()＝cos [－()]
＝sin ()＝左邊，
所以sin ()＝cos ()．
21世紀教育網(www.21cnjy.com)課時作業(七)　誘導公式五、六、七、八
(分值：80分)
一、選擇題(單選每小題5分，多選每小題6分，共22分)
1．已知cos ＝，則sin x＝(　　)
A．　　B．－　　　C．　　D．－
解析：∵cos ＝－sin x＝，∴sin x＝－.
答案：B
2．已知sin α＝，則下列各式中值為的是(　　)
A．cos (＋α) B．sin (π＋α)
C．cos (＋α) D．sin (2π－α)
解析：對A，cos (＋α)＝－sin α＝－，故A錯誤；對B，sin (π＋α)＝－sin α＝－，故B錯誤；對C，cos (＋α)＝sin α＝，故C正確；對D，sin (2π－α)＝－sin α＝－，故D錯誤．故選C.
答案：C
3．(多選)在△ABC中，下列等式恒成立的是(　　)
A．sin (A＋B)－sin C＝0
B．cos (B＋C)－cos A＝0
C．＝1
D．＝1
解析：對于A，sin (A＋B)－sin C＝sin C－sin C＝0，A正確；對于B，cos (B＋C)－cos A＝－cos A－cos A＝－2cos A，B錯誤；對于C，＝＝＝1，C正確；對于D，＝＝＝tan ，D錯誤．故選AC.
答案：AC
4．(多選)下列化簡正確的是(　　)
A．sin (2 023π－α)＝sin α
B．tan (α－2 023π)＝－tan α
C．sin (＋α)＝－cos α
D．cos (－α)＝sin α
解析：sin (2 023π－α)＝sin (2 022π＋π－α)＝sin (π－α)＝sin α，故A正確；tan (α－2 023π)＝tan α，故B錯誤；sin (＋α)＝sin (6π－＋α)＝sin (－＋α)＝－sin (－α)＝－cos α，故C正確；cos (－α)＝cos (－α)＝－sin α，故D錯誤．故選AC.
答案：AC
二、填空題(每小題5分，共15分)
5．cos (－330°)·tan (－120°)＝________．
解析：cos (－330°)·tan (－120°)＝cos (－360°＋30°)·tan (－180°＋60°)＝cos 30°·tan 60°＝·＝.
答案：
6．已知sin ＝，則cos ＝________．
解析：cos ＝cos
＝－sin ＝－.
答案：－
7．已知在平面直角坐標系中，點M(2，4)在角α終邊上，則＝________.
解析：由題意可得tanα＝2，所以原式＝＝＝＝.
答案：
三、解答題(共28分)
8．(13分)求sin(－1 200°)·cos 1 290°＋cos (－1 020°)·sin (－1 050°)＋tan 945°的值．
解析：原式＝－sin (3×360°＋120°)·cos (3×360°＋210°)－cos (2×360°＋300°)·sin (2×360°＋330°)＋tan (2×360°＋225°)
＝－sin (180°－60°)·cos (180°＋30°)－cos (360°－60°)·sin (360°－30°)＋tan (180°＋45°)
＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°＋tan 45°
＝＋1＝2.
9．(15分)已知
f(α)＝.
(1)化簡f(α)；
(2)若f(α)·f(α＋)＝－，且≤α≤，求f(α)＋f(α＋)的值；
(3)若f(α＋)＝2f(α)，求f(α)·f(α＋)的值.
解析：(1)f(α)＝＝－cos α.
(2)∵f(α)·f(α＋)＝－，
∴(－cos α)·[－cos (α＋)]＝－，
∴sin α·cos α＝，(sin α－cos α)2＝1－2×＝.
∵≤α≤，∴0>cos α>sin α，
∴f(α)＋f(α＋)＝sin α－cos α＝－.
(3)∵f(α＋)＝2f(α)，∴－cos (＋α)＝－2cos α，
∴sin α＝－2cos α.
又sin2α＋cos2α＝1，
∴(－2cosα)2＋cos2α＝1，解得cos2α＝，
∴f(α)·f(α＋)＝－sinαcos α＝2cos2α＝.
[尖子生題庫]
10．(15分)在△ABC中，已知2sinA＋3cos A＝0.
(1)求sin A－cos A的值；
(2)求的值．
解析：(1)由2sin A＋3cos A＝0，可得tan A＝－，
因為tan A<0，所以A∈(，π)，2sin A＋3cos A＝0亦可得sin A＝－cos A，
由sin2A＋cos2A＝1，
則sin2A＋cos2A＝cos2A＋cos2A＝1，
解得cosA＝－，
則sin A＝，所以sin A－cos A＝.
(2)原式＝＝tan A＝－.
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