資源簡(jiǎn)介

7．1.1　角的推廣
【課程標(biāo)準(zhǔn)】　1.了解任意角的概念.2.掌握象限角的概念．
教 材 要 點(diǎn)
知識(shí)點(diǎn)一　角的概念
1．角的形成：角可以看成是________繞著它的________從一個(gè)位置________到另一個(gè)位置所成的圖形．
2．角的分類：
按旋轉(zhuǎn)方向可將角分為如下三類：
(1)正角：按照______________而成的角；
(2)負(fù)角：按照______________而成的角；
(3)零角：當(dāng)射線______________時(shí)，我們也把它看成一個(gè)角，稱為零角．
知識(shí)點(diǎn)二　利用轉(zhuǎn)角給出角的加減法運(yùn)算的幾何
意義1.射線OA繞端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到OB所成的角，記作∠AOB，其中________叫做∠AOB的始邊，__________叫做∠AOB的________．
2．引入正角、負(fù)角的概念以后，角的加法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為角的終邊繞始邊逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，減法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為角的終邊繞始邊順時(shí)針旋轉(zhuǎn)．
知識(shí)點(diǎn)三　象限角
角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，角的始邊落在x軸的正半軸上，那么，角的終邊在第幾象限，就把這個(gè)角稱為________________．如果終邊在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何象限．
【學(xué)霸筆記】　零角是終邊和始邊重合的角，但終邊和始邊重合的角不一定是零角，如－360°，360°，720°等角的終邊和始邊也重合．
知識(shí)點(diǎn)四　終邊相同的角
所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合S＝________________，即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與__________的和．
知識(shí)點(diǎn)五　軸線角及其集合表示
1．軸線角的定義：在直角坐標(biāo)系中，角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的正半軸重合，角的終邊在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何一個(gè)象限，可稱為軸線角．
2．軸線角的集合表示
角的終邊位置 集合表示
x軸的非負(fù)半軸 {β|β＝k×360°，k∈Z}
x軸的非正半軸 {β|β＝k×360°＋180°，k∈Z}
x軸上 {β|β＝k×180°，k∈Z}
y軸非負(fù)半軸 {β|β＝k×360°＋90°，k∈Z}
y軸非正半軸 {β|β＝k×360°－90°，k∈Z}
y軸上 {β|β＝k×180°＋90°，k∈Z}
基 礎(chǔ) 自 測(cè)
1．射線OA繞端點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°到達(dá)OB位置，由OB位置繞端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到達(dá)OC位置，得∠AOC＝－150°，則射線OB旋轉(zhuǎn)的方向與角度分別為(　　)
A．逆時(shí)針，270° B．順時(shí)針，270°
C．逆時(shí)針，30° D．順時(shí)針，30°
2．下列命題中正確的是(　　)
A．第一象限角一定不是負(fù)角
B．鈍角一定是第二象限角
C．小于90°的角一定是銳角
D．第一象限角一定是銳角
3．若角α，β的終邊相同，則α－β的終邊在(　　)
A．x軸的正半軸上
B．x軸的負(fù)半軸上
C．y軸的正半軸上
D．y軸的負(fù)半軸上
4．1 013°是(　　)
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
5．如圖所示，終邊落在陰影部分(包括邊界)的角α的集合為________________________．
題型1任意角的概念
例1(1)在平面直角坐標(biāo)系中，給出下列命題：①小于的角一定是銳角；②鈍角一定是第二象限的角；③終邊不重合的角一定不相等；④第二象限角大于第一象限角．其中假命題的個(gè)數(shù)是(　　)
A．1個(gè) B．2個(gè)
C．3個(gè) D．4個(gè)
(2)將35°角的終邊按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°所得的角的度數(shù)為________，將35°角的終邊按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周后的角的度數(shù)為________．
方法歸納
利用角的概念進(jìn)行判斷
判斷角的概念問(wèn)題的關(guān)鍵與技巧：
(1)關(guān)鍵：正確理解象限角與銳角、直角、鈍角、平角、周角等概念．
(2)技巧：判斷命題為真需要證明，而判斷命題為假只要舉出反例即可．
跟蹤訓(xùn)練1　(1)下列命題正確的是(　　)
A．終邊與始邊重合的角是零角
B．終邊和始邊都相同的兩個(gè)角一定相等
C．小于90°的角是銳角
D．集合{α|90°≤α<180°}內(nèi)的角不一定是鈍角
(2)喜羊羊步行從家里到草原學(xué)校去上學(xué)，一般需要10分鐘，則10分鐘內(nèi)，鐘表的分針走過(guò)的角度是(　　)
A．30°　　B．－30° C．60°　　D．－60°
題型2終邊相同的角的概念
例2(1)寫出終邊落在直線y＝x上的角的集合S，并把S中適合不等式－360°≤β<720°的元素β寫出來(lái)．
狀元隨筆　(1)對(duì)終邊相同的角的說(shuō)明
所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)(而且只有這樣的角)，可以用式子α＋k·360°，k∈Z表示．在運(yùn)用時(shí)，需注意以下三點(diǎn)：
①k是整數(shù)，這個(gè)條件不能漏掉．
②α是任意角．
③k·360 °與α之間用“＋”號(hào)連接，如k·360 °－30 °應(yīng)看成k·360 °＋(－30 °)(k∈Z)．
(2)在0 °到360 °范圍內(nèi)找出與直線y＝x終邊相同的角，再推廣到任意角．
(3)終邊相同的角的取值是由k的取值決定的．
(2)終邊與坐標(biāo)軸重合的角α的集合是(　　)
A．{α|α＝k·360°，k∈Z}
B．{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}
C．{α|α＝k·180°，k∈Z}
D．{α|α＝k·90°，k∈Z}
狀元隨筆　終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合表示
角α的終邊位置 角α的集合表示
在x軸上 {α|α＝k·180°，k∈Z}
在y軸上 {α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}
在坐標(biāo)軸上 {α|α＝k·90°，k∈Z}
方法歸納
在0°到360°范圍內(nèi)找與給定角終邊相同的角的方法：
(1)一般地，可以將所給的角α化成k·360°＋β的形式(其中0°≤β<360°，k∈Z)，其中的β就是所求的角．
(2)如果所給的角的絕對(duì)值不是很大，可以通過(guò)如下方法完成：當(dāng)所給角是負(fù)角時(shí)，采用連續(xù)加360°的方式；當(dāng)所給角是正角時(shí)，采用連續(xù)減360°的方式，直到所得結(jié)果達(dá)到要求為止．
跟蹤訓(xùn)練2　(1)與－2 024°終邊相同的最小正角為(　　)
A．136° B．224°
C．44° D．134°
(2)終邊在x軸上的角的集合是(　　)
A．
B．
C．
D．
題型3象限角與區(qū)域角的表示及(k∈N*)所在象限的判定方法
【思考探究】　1.象限角的集合表示
象限角 象限角α的集合表示
第一象限角 {α|k·360°<α第二象限角 {α|k·360°＋90°<α第三象限角 {α|k·360°＋180°<α第四象限角 {α|k·360°＋270°<α2.由角α所在象限如何求(k∈N*)所在象限？
[提示]　(1)代數(shù)推導(dǎo)法：先表示出角α所在的象限范圍，再求出所在的范圍，進(jìn)一步由k值確定．如：當(dāng)角α在第二象限時(shí)，90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z，則30°＋k·120°<<60°＋k·120°，k∈Z，所以在第一、二、四象限．
(2)等分象限法：將各象限k等分，從x軸正半軸開始逆時(shí)針方向依次標(biāo)注1，2，3，4，循環(huán)下去，直到填滿為止，則當(dāng)角α在第n象限時(shí)，就在n號(hào)區(qū)域．例如：當(dāng)角α在第二象限時(shí)，在圖k＝2時(shí)的2號(hào)區(qū)域，在圖k＝3時(shí)的2號(hào)區(qū)域．但此規(guī)律有局限性，如在已知角α的范圍求角2α的范圍時(shí)，上述規(guī)律就不好用了，所以還應(yīng)該掌握求范圍的一般方法．
例3(1)如圖，終邊落在陰影部分(不包括邊界)的角的集合是(　　)
A．{α|k·360°＋30°<αB．{α|k·180°＋150°<αC．{α|k·360°＋150°<αD．{α|k·360°＋30°<α(2)已知角β的終邊在如圖所示的陰影部分內(nèi)，試指出角β的取值范圍；
(3)已知角α為第二象限角，則2α，分別是第幾象限角？
狀元隨筆　(3)可由角α范圍寫出2α，的范圍后，直接求得2α的范圍，然后分k為奇數(shù)或偶數(shù)兩種情況確定的位置．
方法歸納
1．表示區(qū)間角的三個(gè)步驟：
第一步：先按逆時(shí)針的方向找到區(qū)域的起始和終止邊界；
第二步：按由小到大分別標(biāo)出起始和終止邊界對(duì)應(yīng)的－360°～360°范圍內(nèi)的角α和β，寫出最簡(jiǎn)區(qū)間{x|α第三步：扇形區(qū)域起始、終止邊界對(duì)應(yīng)角α，β再加上k·360°，即得區(qū)間角集合．對(duì)頂區(qū)域，始邊、終邊再加上k·180°即得區(qū)間角集合(k∈Z)．
2．解決所在象限的問(wèn)題，要先確定α的范圍，進(jìn)一步確定出nα或的范圍，再根據(jù)k與n的關(guān)系進(jìn)行討論．跟蹤訓(xùn)練3　(1)已知角α的終邊在如圖所示的陰影區(qū)域內(nèi)，則角的取值范圍是________．
(2)已知α為第二象限角，試判斷是第幾象限角？
題型4關(guān)于角的對(duì)稱問(wèn)題[邏輯推理]
例4若α是第一象限角，則下列各角中屬于第四象限角的是(　　)
A．90°－α B．90°＋α
C．360°－α D．180°＋α
狀元隨筆　因?yàn)棣翞榈谝幌笙藿?，所? °＋n ·360 °<α<90 °＋n ·360 °(n∈Z)，結(jié)合不等式判斷題中各選項(xiàng)中的角所在象限．
方法歸納
角的終邊的對(duì)稱問(wèn)題
若角α與β的終邊關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)、直線y＝x對(duì)稱，則角α與β分別具有怎樣的關(guān)系？
[提示]　(1)關(guān)于y軸對(duì)稱：若角α與β的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱，則角α與β的關(guān)系是β＝180 °－α＋k·360°，k∈Z.
(2)關(guān)于x軸對(duì)稱：若角α與β的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱，則角α與β的關(guān)系是β＝－α＋k·360°，k∈Z.
(3)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱：若角α與β的終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則角α與β的關(guān)系是β＝180°＋α＋k·360°，k∈Z.
(4)關(guān)于直線y ＝x對(duì)稱：若角α與β的終邊關(guān)于直線y ＝x對(duì)稱，則角α與β的關(guān)系是β＝－α＋90°＋k·360°，k∈Z.
跟蹤訓(xùn)練4　(1)若α是第四象限角，則90°－α是(　　)
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
(2)(多選)若α是第三象限的角，則180°－可能是(　　)
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
能 力 提 升 練
1.(1)若角α與135°角的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱，且－360°<α<360°，則α＝________；
(2)若銳角α與角9α的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱，則α＝________；
(3)若角α為正角，角β為負(fù)角，且α與β的終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則α－β＝________．
2.如圖，圓周上點(diǎn)A從點(diǎn)(1，0)開始按逆時(shí)針方向做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，已知點(diǎn)A在1 min內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)的角度為θ(0°<θ<180°)，2 min到達(dá)第三象限，15 min回到起始位置，求θ.
7．1.1　角的推廣
新知初探·自主學(xué)習(xí)
[教材要點(diǎn)]
知識(shí)點(diǎn)一
1．一條射線　端點(diǎn)　旋轉(zhuǎn)　
2．(1)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)　(2)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)　(3)沒有旋轉(zhuǎn)
知識(shí)點(diǎn)二
1．OA　OB　終邊
知識(shí)點(diǎn)三
　第幾象限角
知識(shí)點(diǎn)四
　{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}　整數(shù)個(gè)周角
[基礎(chǔ)自測(cè)]
1．解析：由題意可得∠AOB＝120°，設(shè)∠BOC＝θ，則∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝120°＋θ＝－150°，解得θ＝－270°，所以射線OB繞端點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)270°，故選B.
答案：B
2．解析：對(duì)于A，令α＝－300°＝60°－360°，顯然α是第一象限角，同時(shí)也是負(fù)角，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，不妨設(shè)θ是鈍角，則90°<θ<180°，所以θ一定是第二象限角，故B正確；對(duì)于C，令β＝－60°，顯然β是小于90°的角，但不是銳角，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，令α＝－300°＝60°－360°，顯然α是第一象限角，但不是銳角，故D錯(cuò)誤．故選B.
答案：B
3．解析：因?yàn)榻铅?，β的終邊相同，所以α－β＝k·360°，k∈Z，所以α－β的終邊落在x軸的正半軸上．故選A.
答案：A
4．解析：因?yàn)? 013°＝360°×3－67°，即1 013°與－67°終邊相同，所以1 013°是第四象限角，故D正確．故選D.
答案：D
5．解析：由圖可知陰影部分下側(cè)終邊相同的角為－120°＋k·360°(k∈Z)，上側(cè)終邊相同的角為135°＋360°k，且k∈Z，所以陰影部分(包括邊界)的角α的集合為{α|－120°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}．
答案：{α|－120°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}
課堂探究·素養(yǎng)提升
例1　【解析】　(1)因?yàn)殇J角α∈(0，)，所以小于的角不一定是銳角，故①不成立；因?yàn)殁g角β∈(，π)，第二象限角θ∈(＋2kπ，π＋2kπ)，k∈Z，所以鈍角一定是第二象限角，故②成立；若兩個(gè)角的終邊不重合，則這兩個(gè)角一定不相等，故③成立；例如α＝120°，β＝390°，但α<β，故④不成立．故選B.
(2)把35°角的終邊按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得35°－60°＝－25°；把35°角的終邊按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周后得35°＋360°＝395°.
【答案】　(1)B　(2)－25°　395°
跟蹤訓(xùn)練1　解析：(1)A選項(xiàng)，終邊與始邊重合的角為0°＋k·360°(k∈Z)，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，終邊和始邊都相同的兩個(gè)角可能相差360°的整數(shù)倍，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，小于90°的角可能是0°，還可能是負(fù)角，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，集合{α|90°≤α<180°}內(nèi)的角包含90°直角，所以不一定是鈍角，故D正確．故選D.
(2)利用定義，分針是順時(shí)針走的，形成的角度是負(fù)角，又周角為360°，所以有×10＝60°，即分針走過(guò)的角度是－60°.
答案：(1)D　(2)D
例2　【解析】　(1)直線y＝x與x軸的夾角是45°，在0°到360°范圍內(nèi)，終邊在直線y＝x上的角有兩個(gè)：45°，225°.因此，終邊在直線y＝x上的角的集合：
S＝{β|β＝45°＋k·360°，k∈Z}＝225°＋k·360°，k∈Z}＝{β|β＝45°＋2k·180°，k∈Z}＝45°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{β|β＝45°＋k·180°，k∈Z}，
所以S中適合－360°≤β<720°的元素是：
45°－2×180°＝－315°；45°－1×180°＝－135°；
45°＋0×180°＝45°；45°＋1×180°＝225°；
45°＋2×180°＝405°；45°＋3×180°＝585°.
(2)終邊在坐標(biāo)軸上的角為90°角或90°的整數(shù)倍角，所以終邊與坐標(biāo)軸重合的角的集合為{α|α＝k·90°，k∈Z}．
【答案】　(1)見解析　(2)D
跟蹤訓(xùn)練2　解析：(1)因?yàn)椋? 024°＝－360°×6＋136°，所以與－2 024°終邊相同的最小正角是136°.故選A.
(2)終邊在x軸正半軸上的角的集合為{α|α＝k·360°，k∈Z}，
終邊在x軸負(fù)半軸上的角的集合為{α|α＝k·360°＋180°，k∈Z}＝{α|α＝(2k＋1)·180°，k∈Z}，
所以終邊在x軸上的角的集合為{α|α＝k·360°，k∈Z}＝(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝k·180°，k∈Z}，故選A.
答案：(1)A　(2)A
例3　【解析】　(1)在0°～360°內(nèi)落在陰影部分角的范圍為大于150°而小于225°，所以終邊落在陰影部分(不包括邊界)的角的集合為{α|k·360°＋150°<α(2)陰影在x軸上方部分的角的集合為A＝{β|k·360°＋60°≤β陰影在x軸下方部分的角的集合為B＝{β|k·360°＋240°≤β所以陰影部分內(nèi)角β的取值范圍是A即{β|k·360°＋60°≤β其中B可以化為{β|k·360°＋180°＋60°≤β即{β|(2k＋1)·180°＋60°≤β<(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}，
集合A可以化為{β|2k·180°＋60°≤β<2k·180°＋105°，k∈Z}，
故A可化為{β|n·180°＋60°≤β(3)∵α是第二象限角，
∴90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z，
∴180°＋2k·360°<2α<360°＋2k·360°，k∈Z，
∴2α是第三或第四象限角，或是終邊落在y軸的非正半軸上的角．
同理45°＋·360°<<90°＋·360°.
當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，不妨令k＝2n，n∈Z，則45°＋n·360°<<90°＋n·360°，此時(shí)，為第一象限角；
當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，令k＝2n＋1，n∈Z，則225°＋n·360°<<270°＋n·360°，此時(shí)，為第三象限角，
∴為第一或第三象限角．
【答案】　(1)C　(2)見解析　(3)見解析
跟蹤訓(xùn)練3　解析：(1)終邊在30°角的終邊所在直線上的角的集合為S1＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}，
終邊在180°－75°＝105°角的終邊所在直線上的角的集合為S2＝{α|α＝105°＋k·180°，k∈Z}，
因此終邊在題圖中的陰影區(qū)域內(nèi)的角α的取值范圍是{α|30°＋k·180°≤α<105°＋k·180°，k∈Z}，
所以角的取值范圍是{15°＋k·90°≤<52.5°＋k·90°，k∈Z}．
(2)∵α是第二象限角，
∴90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z，
∴30°＋k·120°<<60°＋k·120°，k∈Z.
當(dāng)k＝3n，n∈Z時(shí)，30°＋n·360°<<60°＋n·360°，n∈Z，此時(shí)為第一象限角；
當(dāng)k＝3n＋1，n∈Z時(shí)，150°＋n·360°<<180°＋n·360°，n∈Z，此時(shí)為第二象限角；
當(dāng)k＝3n＋2，n∈Z時(shí)，270°＋n·360°<<300°＋n·360°，n∈Z，此時(shí)為第四象限角，
∴為第一、第二或第四象限角．
答案：(1){15°＋k·90°≤<52.5°＋k·90°，k∈Z}　(2)見解析
例4　【解析】　因?yàn)棣潦堑谝幌笙藿牵?br/>所以0°＋n·360°<α<90°＋n·360°(n∈Z)，
所以－n·360°<90°－α<90°－n·360°(n∈Z)，
90°＋n·360°<90°＋α<180°＋n·360°(n∈Z)，
270°－n·360°<360°－α<360°－n·360°(n∈Z)，
180°＋n·360°<180°＋α<270°＋n·360°(n∈Z)，
90°－α位于第一象限，90°＋α位于第二象限，
360°－α位于第四象限，180°＋α位于第三象限．
【答案】　C
跟蹤訓(xùn)練4　解析：(1)由題知，α∈(－90°＋360°·k，360°·k)，k∈Z，則90°－α∈(90°－360°·k，180°－360°·k)在第二象限，故選B.
(2)由于α是第三象限的角，故180°＋k·360°<α<270°＋k·360°，k∈Z，所以90°＋k·180°<<135°＋k·180°，k∈Z，所以45°－k·180°<180°－<90°－k·180°，k∈Z.當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，180°－為第一象限角；當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，180°－為第三象限角，所以180°－可能是第一象限角，也可能是第三象限角．故選AC.
答案：(1)B　(2)AC
能力提升練
1．解析：(1)由題意得α＝－135°＋k·360°，k∈Z.由－360°<－135°＋k·360°<360°，得－(2)由題意得9α＋k·360°＝180°－α(k∈Z)，且0°<α<90°，所以α＝18°－k·36°(k∈Z)，故當(dāng)k＝0時(shí)，α＝18°；當(dāng)k＝－1時(shí)，α＝54°，所以α＝18°或54°.
(3)因?yàn)棣僚cβ的終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以α－β＝(2k＋1)·180°，k∈Z.又角α為正角，角β為負(fù)角，所以α－β＝(2k＋1)·180°，k∈N.
答案：(1)－135°或225°　(2)18°或54°　(3)(2k＋1)·180°，k∈N
2．解析：由題意得
即所以θ為96°或120°.
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7．1.1　角的推廣
【課程標(biāo)準(zhǔn)】　
1.了解任意角的概念.
2.掌握象限角的概念．
教 材 要 點(diǎn)
知識(shí)點(diǎn)一　角的概念
1．角的形成：角可以看成是________繞著它的________從一個(gè)位置________到另一個(gè)位置所成的圖形．
一條射線
端點(diǎn)
旋轉(zhuǎn)
2．角的分類：
按旋轉(zhuǎn)方向可將角分為如下三類：
(1)正角：按照______________而成的角；
(2)負(fù)角：按照______________而成的角；
(3)零角：當(dāng)射線________時(shí)，我們也把它看成一個(gè)角，稱為零角．
逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)
順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)
沒有旋轉(zhuǎn)
知識(shí)點(diǎn)二　利用轉(zhuǎn)角給出角的加減法運(yùn)算的幾何
意義1.射線OA繞端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到OB所成的角，記作∠AOB，其中________叫做∠AOB的始邊，__________叫做∠AOB的________．
2．引入正角、負(fù)角的概念以后，角的加法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為角的終邊繞始邊逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，減法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為角的終邊繞始邊順時(shí)針旋轉(zhuǎn)．
OA
OB
終邊
知識(shí)點(diǎn)三　象限角
角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，角的始邊落在x軸的正半軸上，那么，角的終邊在第幾象限，就把這個(gè)角稱為___________．如果終邊在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何象限．
【學(xué)霸筆記】　零角是終邊和始邊重合的角，但終邊和始邊重合的角不一定是零角，如－360°，360°，720°等角的終邊和始邊也重合．
第幾象限角
知識(shí)點(diǎn)四　終邊相同的角
所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合S＝____________________，即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與__________的和．
{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}
整數(shù)個(gè)周角
知識(shí)點(diǎn)五　軸線角及其集合表示
1．軸線角的定義：在直角坐標(biāo)系中，角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的正半軸重合，角的終邊在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何一個(gè)象限，可稱為軸線角．
2．軸線角的集合表示
角的終邊位置 集合表示
x軸的非負(fù)半軸 {β|β＝k×360°，k∈Z}
x軸的非正半軸 {β|β＝k×360°＋180°，k∈Z}
x軸上 {β|β＝k×180°，k∈Z}
y軸非負(fù)半軸 {β|β＝k×360°＋90°，k∈Z}
y軸非正半軸 {β|β＝k×360°－90°，k∈Z}
y軸上 {β|β＝k×180°＋90°，k∈Z}
基 礎(chǔ) 自 測(cè)
1．射線OA繞端點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°到達(dá)OB位置，由OB位置繞端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到達(dá)OC位置，得∠AOC＝－150°，則射線OB旋轉(zhuǎn)的方向與角度分別為(　　)
A．逆時(shí)針，270° B．順時(shí)針，270°
C．逆時(shí)針，30° D．順時(shí)針，30°
答案：B
解析：由題意可得∠AOB＝120°，設(shè)∠BOC＝θ，則∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝120°＋θ＝－150°，解得θ＝－270°，所以射線OB繞端點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)270°，故選B.
2．下列命題中正確的是(　　)
A．第一象限角一定不是負(fù)角
B．鈍角一定是第二象限角
C．小于90°的角一定是銳角
D．第一象限角一定是銳角
答案：B
解析：對(duì)于A，令α＝－300°＝60°－360°，顯然α是第一象限角，同時(shí)也是負(fù)角，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，不妨設(shè)θ是鈍角，則90°<θ<180°，所以θ一定是第二象限角，故B正確；對(duì)于C，令β＝－60°，顯然β是小于90°的角，但不是銳角，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，令α＝－300°＝60°－360°，顯然α是第一象限角，但不是銳角，故D錯(cuò)誤．故選B.
3．若角α，β的終邊相同，則α－β的終邊在(　　)
A．x軸的正半軸上
B．x軸的負(fù)半軸上
C．y軸的正半軸上
D．y軸的負(fù)半軸上
答案：A
解析：因?yàn)榻铅?，β的終邊相同，所以α－β＝k·360°，k∈Z，所以α－β的終邊落在x軸的正半軸上．故選A.
4．1 013°是(　　)
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
答案：D
解析：因?yàn)? 013°＝360°×3－67°，即1 013°與－67°終邊相同，所以1 013°是第四象限角，故D正確．故選D.
5．如圖所示，終邊落在陰影部分(包括邊界)的角α的集合為_______________________________________．
{α|－120°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}
解析：由圖可知陰影部分下側(cè)終邊相同的角為－120°＋k·360°(k∈Z)，上側(cè)終邊相同的角為135°＋360°k，且k∈Z，所以陰影部分(包括邊界)的角α的集合為{α|－120°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}．
答案：B
(2)將35°角的終邊按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°所得的角的度數(shù)為________，將35°角的終邊按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周后的角的度數(shù)為________．
－25°
395°
【解析】把35°角的終邊按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得35°－60°＝－25°；把35°角的終邊按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周后得35°＋360°＝395°.
方法歸納
利用角的概念進(jìn)行判斷
判斷角的概念問(wèn)題的關(guān)鍵與技巧：
(1)關(guān)鍵：正確理解象限角與銳角、直角、鈍角、平角、周角等概念．
(2)技巧：判斷命題為真需要證明，而判斷命題為假只要舉出反例即可．
跟蹤訓(xùn)練1　(1)下列命題正確的是(　　)
A．終邊與始邊重合的角是零角
B．終邊和始邊都相同的兩個(gè)角一定相等
C．小于90°的角是銳角
D．集合{α|90°≤α<180°}內(nèi)的角不一定是鈍角
答案：D
解析：A選項(xiàng)，終邊與始邊重合的角為0°＋k·360°(k∈Z)，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，終邊和始邊都相同的兩個(gè)角可能相差360°的整數(shù)倍，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，小于90°的角可能是0°，還可能是負(fù)角，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，集合{α|90°≤α<180°}內(nèi)的角包含90°直角，所以不一定是鈍角，故D正確．故選D.
(2)喜羊羊步行從家里到草原學(xué)校去上學(xué)，一般需要10分鐘，則10分鐘內(nèi)，鐘表的分針走過(guò)的角度是(　　)
A．30°　　B．－30° C．60°　　D．－60°
答案：D
題型2終邊相同的角的概念
例2(1)寫出終邊落在直線y＝x上的角的集合S，并把S中適合不等式－360°≤β<720°的元素β寫出來(lái)．
狀元隨筆　
(1)對(duì)終邊相同的角的說(shuō)明
所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)(而且只有這樣的角)，可以用式子α＋k·360°，k∈Z表示．在運(yùn)用時(shí)，需注意以下三點(diǎn)：
①k是整數(shù)，這個(gè)條件不能漏掉．
②α是任意角．
③k·360 °與α之間用“＋”號(hào)連接，如k·360 °－30 °應(yīng)看成k·360 °＋(－30 °)(k∈Z)．
(2)在0 °到360 °范圍內(nèi)找出與直線y＝x終邊相同的角，再推廣到任意角．
(3)終邊相同的角的取值是由k的取值決定的．
(2)終邊與坐標(biāo)軸重合的角α的集合是(　　)
A．{α|α＝k·360°，k∈Z}
B．{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}
C．{α|α＝k·180°，k∈Z}
D．{α|α＝k·90°，k∈Z}
【答案】D
【解析】終邊在坐標(biāo)軸上的角為90°角或90°的整數(shù)倍角，所以終邊與坐標(biāo)軸重合的角的集合為{α|α＝k·90°，k∈Z}．
狀元隨筆　終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合表示
角α的終邊位置 角α的集合表示
在x軸上 {α|α＝k·180°，k∈Z}
在y軸上 {α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}
在坐標(biāo)軸上 {α|α＝k·90°，k∈Z}
方法歸納
在0°到360°范圍內(nèi)找與給定角終邊相同的角的方法：
(1)一般地，可以將所給的角α化成k·360°＋β的形式(其中0°≤β<360°，k∈Z)，其中的β就是所求的角．
(2)如果所給的角的絕對(duì)值不是很大，可以通過(guò)如下方法完成：當(dāng)所給角是負(fù)角時(shí)，采用連續(xù)加360°的方式；當(dāng)所給角是正角時(shí)，采用連續(xù)減360°的方式，直到所得結(jié)果達(dá)到要求為止．
跟蹤訓(xùn)練2　(1)與－2 024°終邊相同的最小正角為(　　)
A．136° B．224°
C．44° D．134°
答案：A　
解析：因?yàn)椋? 024°＝－360°×6＋136°，所以與－2 024°終邊相同的最小正角是136°.故選A.

答案：A　

象限角 象限角α的集合表示
第一象限角 {α|k·360°<α第二象限角 {α|k·360°＋90°<α第三象限角 {α|k·360°＋180°<α第四象限角 {α|k·360°＋270°<α例3(1)如圖，終邊落在陰影部分(不包括邊界)的角的集合是(　　)
A．{α|k·360°＋30°<αB．{α|k·180°＋150°<αC．{α|k·360°＋150°<αD．{α|k·360°＋30°<α【答案】　C　
【解析】在0°～360°內(nèi)落在陰影部分角的范圍為大于150°而小于225°，所以終邊落在陰影部分(不包括邊界)的角的集合為{α|k·360°＋150°<α(2)已知角β的終邊在如圖所示的陰影部分內(nèi)，試指出角β的取值范圍；


題型4關(guān)于角的對(duì)稱問(wèn)題[邏輯推理]
例4若α是第一象限角，則下列各角中屬于第四象限角的是(　　)
A．90°－α B．90°＋α
C．360°－α D．180°＋α
【答案】　C
【解析】　因?yàn)棣潦堑谝幌笙藿牵?br/>所以0°＋n·360°<α<90°＋n·360°(n∈Z)，
所以－n·360°<90°－α<90°－n·360°(n∈Z)，
90°＋n·360°<90°＋α<180°＋n·360°(n∈Z)，
270°－n·360°<360°－α<360°－n·360°(n∈Z)，
180°＋n·360°<180°＋α<270°＋n·360°(n∈Z)，
90°－α位于第一象限，90°＋α位于第二象限，
360°－α位于第四象限，180°＋α位于第三象限．
狀元隨筆　因?yàn)棣翞榈谝幌笙藿牵? °＋n ·360 °<α<90 °＋n ·360 °(n∈Z)，結(jié)合不等式判斷題中各選項(xiàng)中的角所在象限．
方法歸納
角的終邊的對(duì)稱問(wèn)題
若角α與β的終邊關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)、直線y＝x對(duì)稱，則角α與β分別具有怎樣的關(guān)系？
[提示]　(1)關(guān)于y軸對(duì)稱：若角α與β的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱，則角α與β的關(guān)系是β＝180 °－α＋k·360°，k∈Z.
(2)關(guān)于x軸對(duì)稱：若角α與β的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱，則角α與β的關(guān)系是β＝－α＋k·360°，k∈Z.
(3)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱：若角α與β的終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則角α與β的關(guān)系是β＝180°＋α＋k·360°，k∈Z.
(4)關(guān)于直線y ＝x對(duì)稱：若角α與β的終邊關(guān)于直線y ＝x對(duì)稱，則角α與β的關(guān)系是β＝－α＋90°＋k·360°，k∈Z.
跟蹤訓(xùn)練4　(1)若α是第四象限角，則90°－α是(　　)
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
答案：B
解析：由題知，α∈(－90°＋360°·k，360°·k)，k∈Z，則90°－α∈(90°－360°·k，180°－360°·k)在第二象限，故選B.

答案：AC
能 力 提 升 練
1.(1)若角α與135°角的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱，且－360°<α<360°，則α＝______________；
(2)若銳角α與角9α的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱，則α＝________；
(3)若角α為正角，角β為負(fù)角，且α與β的終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則α－β＝_________________．
－135°或225°
18°或54°
(2k＋1)·180°，k∈N
2.如圖，圓周上點(diǎn)A從點(diǎn)(1，0)開始按逆時(shí)針方向做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，已知點(diǎn)A在1 min內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)的角度為θ(0°<θ<180°)，2 min到達(dá)第三象限，15 min回到起始位置，求θ.

1．下列說(shuō)法正確的是(　　)
A．銳角可能不是第一象限角
B．第一象限角一定不是負(fù)角
C．小于180°的角是鈍角、直角或銳角
D．在90°≤β<180°范圍內(nèi)的角β不一定是鈍角
答案：D
解析：銳角是大于0°，且小于90°的角，終邊落在第一象限，所以銳角是第一象限角，所以A錯(cuò)誤；－350°角是第一象限角，但它是負(fù)角，所以B錯(cuò)誤；0°角是小于180°的角，但它既不是鈍角，也不是直角或銳角，所以C錯(cuò)誤；由于在90°≤β＜180°范圍內(nèi)的角β包含90°角，所以不一定是鈍角，所以D正確．故選D.
2．每周一的早晨，我們都會(huì)在學(xué)校的操場(chǎng)上舉行升國(guó)旗儀式，一般需要15分鐘．這15分鐘的時(shí)間，鐘表的分針走過(guò)的角度是(　　)
A．30°　 　B．－30° C．90°　 　D．－90°
答案：D
3．(多選)已知下列各角：①－120°；②180°；③－240°；④495°，其中是第二象限角的是(　　)
A．①　　　B．②　　　C．③　　　D．④
答案：CD
解析：對(duì)于①，－120°＝－360°＋240°，而240°是第三象限角，①不是；對(duì)于②，180°角的終邊為x軸非正半軸，②不是；對(duì)于③，－240°＝－360°＋120°，120°是第二象限角，③是；對(duì)于④，495°＝360°＋135°，135°是第二象限角，④是．故選CD.
答案：BC
5．將－885°化為k·360°＋α(0°≤α<360°，k∈Z)的形式是________________．
(－3)×360°＋195°
解析：由題可得，－885°＝－1 080°＋195°＝(－3)×360°＋195°．
6．角θ的終邊在第二象限，
則角2θ的終邊在________________________．
第三、四象限或y軸非正半軸
解析：∵θ是第二象限角，∴k·360°＋90°<θ∴2θ的終邊的位置是第三或第四象限，y的非正半軸．
7．如圖所示，終邊落在陰影部分(包括邊界)的角α的集合為______________________________________．
{α|－120°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}
解析：由圖，陰影部分下側(cè)終邊相同的角為－120°＋360°k，上側(cè)終邊相同的角為135°＋360°k，且k∈Z，
所以陰影部分(包括邊界)的角α的集合為{α|－120°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}．

9．(15分)若角α的終邊與60°角的終邊關(guān)于直線y＝x對(duì)稱，且－360°<α<360°，求角α的值．
解析：根據(jù)對(duì)稱性先找到銳角α，寫出終邊相同的角，適當(dāng)取整數(shù)k，即可求出．如圖，設(shè)60°角的終邊為OA，
射線OA關(guān)于直線y＝x對(duì)稱的射線為OB，
則以射線OB為終邊的一個(gè)角為90°－60°＝30°，
∴以射線OB為終邊的角的集合為{α|α＝k·360°＋30°，k∈Z}．又－360°<α<360°，∴－360°當(dāng)k＝－1時(shí)，α＝－330°；當(dāng)k＝0時(shí)，α＝30°，∴角α的值為－330°或30°.
10. (15分)如圖所示，半徑為1的圓的圓心位于坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P從點(diǎn)A(1，0)出發(fā)，以逆時(shí)針方向等速沿單位圓周旋轉(zhuǎn)，已知P點(diǎn)在1 s內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)的角度為θ(0°<θ<180°)，經(jīng)過(guò)2 s達(dá)到第三象限，經(jīng)過(guò)14 s后又回到了出發(fā)點(diǎn)A處，求θ.課時(shí)作業(yè)(一)　角的推廣
(分值：80分)
一、選擇題(單選每小題5分，多選每小題6分，共22分)
1．下列說(shuō)法正確的是(　　)
A．銳角可能不是第一象限角
B．第一象限角一定不是負(fù)角
C．小于180°的角是鈍角、直角或銳角
D．在90°≤β<180°范圍內(nèi)的角β不一定是鈍角
解析：銳角是大于0°，且小于90°的角，終邊落在第一象限，所以銳角是第一象限角，所以A錯(cuò)誤；－350°角是第一象限角，但它是負(fù)角，所以B錯(cuò)誤；0°角是小于180°的角，但它既不是鈍角，也不是直角或銳角，所以C錯(cuò)誤；由于在90°≤β＜180°范圍內(nèi)的角β包含90°角，所以不一定是鈍角，所以D正確．故選D.
答案：D
2．每周一的早晨，我們都會(huì)在學(xué)校的操場(chǎng)上舉行升國(guó)旗儀式，一般需要15分鐘．這15分鐘的時(shí)間，鐘表的分針走過(guò)的角度是(　　)
A．30°　 　B．－30° C．90°　 　D．－90°
解析：∵分針是順時(shí)針走的，∴形成的角度是負(fù)角，又分針走過(guò)了15分鐘，∴走過(guò)的角度大小為×360°＝90°.綜上，分針走過(guò)的角度是－90°.故選D.
答案：D
3．(多選)已知下列各角：①－120°；②180°；③－240°；④495°，其中是第二象限角的是(　　)
A．①　　　B．②　　　C．③　　　D．④
解析：對(duì)于①，－120°＝－360°＋240°，而240°是第三象限角，①不是；對(duì)于②，180°角的終邊為x軸非正半軸，②不是；對(duì)于③，－240°＝－360°＋120°，120°是第二象限角，③是；對(duì)于④，495°＝360°＋135°，135°是第二象限角，④是．故選CD.
答案：CD
4．(多選)已知A＝{第一象限角}，B＝{銳角}，C＝{小于90°的角}，那么A，B，C關(guān)系是(　　)
A．B＝A B.＝C
C．B＝B D．A＝B＝C
解析：對(duì)于A選項(xiàng)，A除了銳角，還包括其它角，比如－330°，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，銳角是小于90°的角，故B選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)，銳角是第一象限角，故C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，A，B，C中角的范圍不一樣，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選BC.
答案：BC
二、填空題(每小題5分，共15分)
5．將－885°化為k·360°＋α(0°≤α<360°，k∈Z)的形式是________________．
解析：由題可得，－885°＝－1 080°＋195°＝(－3)×360°＋195°．
答案：(－3)×360°＋195°
6．角θ的終邊在第二象限，則角2θ的終邊在________________．
解析：∵θ是第二象限角，∴k·360°＋90°<θ∴2θ的終邊的位置是第三或第四象限，y的非正半軸．
答案：第三、四象限或y軸非正半軸
7．如圖所示，終邊落在陰影部分(包括邊界)的角α的集合為________．
解析：由圖，陰影部分下側(cè)終邊相同的角為－120°＋360°k，上側(cè)終邊相同的角為135°＋360°k，且k∈Z，
所以陰影部分(包括邊界)的角α的集合為{α|－120°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}．
答案：{α|－120°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}
三、解答題(共28分)
8．(13分)已知角α是第三象限角，求，所在的象限．
解析：角α是第三象限角，即π＋2kπ<α<＋2kπ，k∈Z，
對(duì)于，＋kπ<<＋kπ，k∈Z，
當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，在第二象限，當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，在第四象限，
故在第二或第四象限；
對(duì)于，kπ<當(dāng)k＝3m，m∈Z時(shí)，在第一象限，當(dāng)k＝3m＋1，m∈Z時(shí)，在第三象限，當(dāng)k＝3m＋2，m∈Z時(shí)，在第四象限，
故在第一、第三或第四象限．
9．(15分)若角α的終邊與60°角的終邊關(guān)于直線y＝x對(duì)稱，且－360°<α<360°，求角α的值．
解析：根據(jù)對(duì)稱性先找到銳角α，寫出終邊相同的角，適當(dāng)取整數(shù)k，即可求出．如圖，
設(shè)60°角的終邊為OA，
射線OA關(guān)于直線y＝x對(duì)稱的射線為OB，
則以射線OB為終邊的一個(gè)角為90°－60°＝30°，
∴以射線OB為終邊的角的集合為{α|α＝k·360°＋30°，k∈Z}．又－360°<α<360°，
∴－360°當(dāng)k＝－1時(shí)，α＝－330°；當(dāng)k＝0時(shí)，α＝30°，
∴角α的值為－330°或30°.
[尖子生題庫(kù)]
10.
(15分)如圖所示，半徑為1的圓的圓心位于坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P從點(diǎn)A(1，0)出發(fā)，以逆時(shí)針方向等速沿單位圓周旋轉(zhuǎn)，已知P點(diǎn)在1 s內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)的角度為θ(0°<θ<180°)，經(jīng)過(guò)2 s達(dá)到第三象限，經(jīng)過(guò)14 s后又回到了出發(fā)點(diǎn)A處，求θ.
解析：因?yàn)?°<θ<180°，且k·360°＋180°<2θ則當(dāng)k＝0時(shí)，90°<θ<135°.
又因?yàn)?4θ＝n·360°(n∈Z)，
所以θ＝n·°，從而90°所以當(dāng)n＝4時(shí)，θ＝°；當(dāng)n＝5時(shí)，θ＝°.
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