資源簡介

(共59張PPT)
8．2.2　 第2課時　兩角和與差的正切
【課程標準】　1.能從兩角和與差的正、余弦公式推導出兩角和與差的正切公式，了解它們的內在聯系.2.能運用上述公式進行簡單的恒等變換．
教 材 要 點
知識點一　兩角和的正切公式
Tα＋β：tan (α＋β)＝_____________．
知識點二　兩角差的正切公式
Tα－β：tan (α－β)＝____________．

答案：D

答案：D

答案：A



5．已知tan (α＋β)＝－2，tan (α－β)＝7，則tan 2α＝________．


題型1利用公式化簡求值
例1求下列各式的值：
(1)tan 15°；



狀元隨筆　把非特殊角轉化為特殊角(如(1))及公式的逆用(如(2))與活用(如(3))，通過適當的變形變為可以使用公式的形式，從而達到化簡或求值的目的．
方法歸納
1．公式Tα＋β，Tα－β是變形較多的兩個公式，公式中有tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan (α＋β)(或tan (α－β))．三者知二可表示或求出第三個．
2．一方面要熟記公式的結構，另一方面要注意常值代換．


(2)計算：(1＋tan 1°)(1＋tan 2°)(1＋tan 3°)…(1＋tan 44°)＝________．
222
答案：A


狀元隨筆　先由任意角的三角函數定義求出cos α，cos β，再求sin α，sin β，從而求出tan α， tan β，然后利用Tα＋β求tan (α＋β)，最后利用α＋2β＝(α＋β)＋β，求tan (α＋2β)進而得到α＋2β的值．
3．給值求角的一般步驟：
(1)求角的某一三角函數值；
(2)確定角的范圍；
(3)根據角的范圍寫出所求的角．


(2)如圖所示，三個相同的正方形相接，試計算α＋β的大小．

題型3公式的變形應用
【思考探究】　(1)判斷三角形的形狀時，都有哪些特殊三角形？
[提示]　根據三角形的邊角關系，常見的特殊三角形有等邊三角形、等腰三角形、銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形等．
(2)在△ABC中，tan (A＋B)與tan C有何關系？
[提示]　根據三角形內角和定理可得A ＋B ＋C ＝π，
∴A＋B ＝π－C，
∴tan (A＋B) ＝tan (π－C) ＝－tan C．


答案：B


答案：BD


答案：B

答案：A
答案：C

答案：BD











10．(17分)在銳角△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若sin B＝3sin C sin A，求tan A＋tan B＋tan C的最小值．8．2.2　 第2課時　兩角和與差的正切
【課程標準】　1.能從兩角和與差的正、余弦公式推導出兩角和與差的正切公式，了解它們的內在聯系.2.能運用上述公式進行簡單的恒等變換．
教 材 要 點
知識點一　兩角和的正切公式
Tα＋β：tan (α＋β)＝________________________．
知識點二　兩角差的正切公式
Tα－β：tan (α－β)＝________________________．
注意：Tα±β公式的適用范圍是使公式兩邊有意義的角的取值范圍．
【學霸筆記】　你能舉出幾個兩角和與差的正切公式的變形式嗎？
[提示]　(1)tan α±tan β＝tan (α±β)(1 ?tan αtan β)．
(2)1 ?tan αtan β＝.
(3)tan α＋tan β＋tan αtan βtan (α＋β)＝tan (α＋β)．
注意：當α±β為特殊角時，常考慮使用變形(1)，遇到1與正切的乘積的和(或差)時常用變形(2)．
基 礎 自 測
1.tan 255°＝(　　)
A．－2－ B．－2＋
C．2－ D．2＋
2．＝(　　)
A．－ B．
C．－ D．
3．設角θ的終邊過點(2，3)，則tan ＝(　　)
A．　　　B．－　　　C．5　　　D．－5
4．設tan α＝，tan β＝，且角α，β為銳角，則α＋β＝________．
5．已知tan (α＋β)＝－2，tan (α－β)＝7，則tan 2α＝________．
題型1利用公式化簡求值
例1求下列各式的值：
(1)tan 15°；
(2)；
(3)tan 23°＋tan 37°＋tan 23°tan 37°.
狀元隨筆　把非特殊角轉化為特殊角(如(1))及公式的逆用(如(2))與活用(如(3))，通過適當的變形變為可以使用公式的形式，從而達到化簡或求值的目的．
方法歸納
1．公式Tα＋β，Tα－β是變形較多的兩個公式，公式中有tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan (α＋β)(或tan (α－β))．三者知二可表示或求出第三個．
2．一方面要熟記公式的結構，另一方面要注意常值代換．
跟蹤訓練1　(1)求的值．
(2)計算：(1＋tan 1°)(1＋tan 2°)(1＋tan 3°)…(1＋tan 44°)＝________．
(3)α＋β＝－，則1－tan α－tan β＋tan αtan β＝(　　)
A．2 B．1
C．0 D．－1
題型2條件求值(角)問題
例2如圖，在平面直角坐標系xOy中，以Ox軸為始邊作兩個銳角α，β，它們的終邊分別與單位圓相交于A，B兩點，已知A，B的橫坐標分別為.
(1)求tan (α＋β)的值；
(2)求α＋2β的值．
狀元隨筆　先由任意角的三角函數定義求出cos α，cos β，再求sin α，sin β，從而求出tan α， tan β，然后利用Tα＋β求tan (α＋β)，最后利用α＋2β＝(α＋β)＋β，求tan (α＋2β)進而得到α＋2β的值．
方法歸納
1．通過先求角的某個三角函數值來求角．
2．選取函數時，應遵照以下原則：
(1)已知正切函數值，選正切函數；
(2)已知正、余弦函數值，選正弦或余弦函數．若角的范圍是，選正、余弦皆可；若角的范圍是(0，π)，選余弦較好；若角的范圍為，選正弦較好．
3．給值求角的一般步驟：
(1)求角的某一三角函數值；
(2)確定角的范圍；
(3)根據角的范圍寫出所求的角．
跟蹤訓練2　(1)若α，β為銳角，tan α＝4，cos (α＋β)＝－，則角β＝________．
(2)如圖所示，三個相同的正方形相接，試計算α＋β的大小．
題型3公式的變形應用
【思考探究】　(1)判斷三角形的形狀時，都有哪些特殊三角形？
[提示]　根據三角形的邊角關系，常見的特殊三角形有等邊三角形、等腰三角形、銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形等．
(2)在△ABC中，tan (A＋B)與tan C有何關系？
[提示]　根據三角形內角和定理可得A ＋B ＋C ＝π，
∴A＋B ＝π－C，
∴tan (A＋B) ＝tan (π－C) ＝－tan C．
例3已知△ABC中，tan B＋tan C＋tan B tan C＝，且＋tan B＋1＝tan A tan B，判斷△ABC的形狀．
狀元隨筆　→.
跟蹤訓練3　(1)(變條件)例題中把條件改為“tan B＋tan C－＝－，且tan A＋1＝tan A tan B”，結果如何？
(2)已知tan (α＋β)＝，tan ＝，則＝(　　)
A． B．
C． D．
方法歸納
公式Tα＋β的逆用及變形應用的解題策略
(1)“1”的代換：在Tα＋β中，如果分子中出現“1”常利用1＝tan 45°來代換，以達到化簡求值的目的，
如＝tan ；
tan .
(2)整體意識：若化簡的式子中出現了“tan α±tan β”及“tan α·tan β”兩個整體，常考慮tan (α±β)的變形公式．
能 力 提 升 練
1.(多選)若0<α<β<，且cos αcos β＝，tan αtan β＝，則(　　)
A．cos (α＋β)＝ B．sin (α－β)＝－
C．cos 2α＝ D．β<
2．在平面直角坐標系xOy中，以Ox為始邊作兩個銳角α，β，它們的終邊分別與單位圓相交于A，B兩點．已知點A，B的橫坐標分別為.
(1)求tan (α－β)的值；
(2)求的值．
教材反思
1．公式T(α±β)的適用范圍和結構特征
(1)由正切函數的定義可知α，β，α＋β(或α－β)的終邊不能落在y軸上，即不為kπ＋(k∈Z)．
(2)公式T(α±β)的右側為分式形式，其中分子為tan α與tan β的和或差，分母為1與tan αtan β的差或和．
2．兩角和與差的正切公式的變形
變形公式如：tan α＋tan β＝tan (α＋β)(1－tan α tan β)；
tan α－tan β＝tan (α－β)(1＋tan α tan β)；
tan α tan β＝1－等．
8．2.2　第2課時　兩角和與差的正切
新知初探·自主學習
[教材要點]
知識點一
知識點二
[基礎自測]
1．解析：tan 255°＝tan (180°＋75°)＝tan 75°＝tan (45°＋30°)＝＝＝2＋.故選D.
答案：D
2．解析：原式＝tan (75°－15°)＝tan 60°＝.
答案：D
3．解析：由于角θ的終邊過點(2，3)，因此tan θ＝，故tan (θ－)＝＝＝.故選A.
答案：A
4．解析：∵tan α＝，tan β＝，
∴tan (α＋β)＝＝＝1，
又∵α，β均為銳角，即α，β∈(0，)，
∴0<α＋β<π，則α＋β＝.
答案：
5．解析：已知tan (α＋β)＝－2，tan (α－β)＝7，
則tan 2α＝tan ＝＝＝.
答案：
課堂探究·素養提升
例1　【解析】　(1)tan 15°＝tan (45°－30°)
＝
＝＝＝2－.
(2)＝
＝
＝tan (30°－75°)＝tan (－45°)＝－tan 45°＝－1.
(3)∵tan (23°＋37°)＝tan 60°＝＝，
∴tan 23°＋tan 37°＝(1－tan 23°tan 37°)，
∴原式＝(1－tan 23°tan 37°)＋tan 23°tan 37°＝.
跟蹤訓練1　解析：(1)原式＝＝＝
tan (45°－75°)＝tan (－30°)＝－tan 30°＝－.
(2)因為tan 45°＝tan [θ＋(45°－θ)]＝＝1，
整理得tan θtan (45°－θ)＋[tan θ＋tan (45°－θ)]＝1，
則(1＋tan θ)[1＋tan (45°－θ)]＝tan θtan (45°－θ)＋[tan θ＋tan (45°－θ)]＋1＝2，
所以(1＋tan 1°)(1＋tan 2°)…(1＋tan 44°)
＝[(1＋tan 1°)(1＋tan 44°)]…[(1＋tan 22°)(1＋tan 23°)]
＝2×…×2＝222，
即(1＋tan 1°)(1＋tan 2°)…(1＋tan 44°)＝222.
(3)因為α＋β＝－，
所以tan (α＋β)＝＝tan (－)＝－1，
所以tan α·tan β＝1＋(tan α＋tan β)，
所以1－tan α－tan β＋tan αtan β＝1－tan α－tan β＋1＋(tan α＋tan β)＝1－(tan α＋tan β)＋1＋(tan α＋tan β)＝2.故選A.
答案：(1)見解析　(2)222　(3)A
例2　【解析】　由條件得cos α＝，cos β＝，
∵α，β為銳角，
∴sin α＝，sin β＝，
∴tan α＝7，tan β＝.
(1)tan (α＋β)＝＝＝－3.
(2)tan (α＋2β)＝tan [(α＋β)＋β]＝＝＝－1，
∵α，β為銳角，
∴0＜α＋2β＜，∴α＋2β＝.
跟蹤訓練2　解析：(1)由于α，β為銳角，所以0<α＋β<π，
所以sin (α＋β)＝＝，tan(α＋β)＝－，
所以tan β＝tan [(α＋β)－α]＝＝＝，所以β＝.
(2)由題圖可知tan α＝，tan β＝，且α，β均為銳角，
所以tan (α＋β)＝＝＝1.
因為α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝.
答案：(1)　(2)見解析
例3　【解析】　由tan A＝tan [π－(B＋C)]
＝－tan (B＋C)
＝
＝＝－.
而0°＜A＜180°，
∴A＝120°.
由tan C＝tan [π－(A＋B)]
＝＝＝，
而0°＜C＜180°，
∴C＝30°，∴B＝30°，
∴△ABC是頂角為120°的等腰三角形．
跟蹤訓練3　解析：(1)由tan A＝tan [π－(B＋C)]＝－tan (B＋C)＝＝＝.
又0°由tan C＝tan [π－(A＋B)]＝＝＝.
又0°所以C＝60°，所以B＝60°，
所以△ABC是等邊三角形．
(2)因為tan (α＋β)＝，tan (β－)＝，
所以tan (α＋)＝tan [(α＋β)－(β－)]＝＝＝，故選B.
答案：(1)見解析　(2)B
能力提升練
1．解析：由題意可得sin αsin β＝cos αcos βtan αtan β＝，
所以cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝，故A錯誤；
cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝，
因為0<α<β<，所以－<α－β<0，
所以sin (α－β)＝－＝－，故B正確；
因為0<α<β<，所以sin(α＋β)＝＝，
所以cos2α＝cos [(α＋β)＋(α－β)]＝cos (α＋β)cos (α－β)－sin (α＋β)sin (α－β)＝，故C錯誤；
cos 2β＝cos [(α＋β)－(α－β)]＝cos (α＋β)cos (α－β)＋sin (α＋β)sin (α－β)＝，即cos 2β＝>>－＝cos ，
因為0<β<，所以0<2β<π，
故2β<，所以β<，故D正確．故選BD.
答案：BD
2．解析：(1)根據三角函數的定義得cos α＝，cos β＝，
因為α，β為銳角，所以sin α＝，sin β＝，
因此tan α＝2，tan β＝，
所以tan (α－β)＝＝＝.
(2)＝·＝tan [(α－β)＋β]＝tan α＝×2＝.
21世紀教育網(www.21cnjy.com)課時作業(十七)　兩角和與差的正切
(分值：80分)
一、選擇題(單選每小題5分，多選每小題6分，共21分)
1．＝(　　)
A． B．
C．－ D．－
解析：
＝tan (105°－45°)＝tan 60°＝.
答案：B
2．tan ＝(　　)
A．2－ B．－2
C．－1 D．2＋
解析：tan ＝tan ＝tan ＝＝.故選A.
答案：A
3．在△ABC中，cos A＋2sin B＝2，sin A＋2cos B＝，則C的大小為(　　)
A．或 B．
C． D．或
解析：由cos A＋2sin B＝2，sin A＋2cos B＝，等式兩邊平方相加得cos2A＋4cos A sin B＋4sin2B＋sin2A＋4sin A cos B＋4cos2B＝4＋3＝7，即1＋4＋4sin (B＋A)＝7，故sin (A＋B)＝sin C＝，故C＝或.由sin A＋2cos B＝，得sin A＝－2cos B＋>0，得cos B<，故答案：C
4．(多選)下列式子化簡正確的是(　　)
A．sin 8°sin 52°－sin 82°cos 52°＝
B．cos 15°－sin 15°＝
C．
D．sin 15°sin 30°sin 75°＝
解析：對于A選項，sin 8°sin 52°－sin 82°cos 52°＝sin (90°－82°)sin 52°－sin 82°cos 52°＝sin 52°cos 82°－cos 52°sin 82°＝sin (52°－82°)＝sin (－30°)＝－sin 30°＝－，A錯誤；對于B選項，cos 15°－sin 15°＝－＝－2sin (15°－60°)＝－2sin (－45°)＝2sin 45°＝2×，B正確；對于C選項，＝tan (45°－15°)＝tan 30°＝，C錯誤；對于D選項，sin 15°sin 30°sin 75°＝sin 15°sin (90°－15°)＝sin 15°cos 15°＝sin 30°＝，D正確．
答案：BD
二、填空題(每小題5分，共15分)
5．已知tan α＝2，tan (α＋β)＝－1，則＝________．
解析：因為tan α＝2，所以tan β＝tan ＝3，所以.
答案：
6．已知sin (60°＋α)＝，60°<α<120°，則tan α＝________．
解析：∵60°<α<120°，∴120°<60°＋α<180°，
又sin (60°＋α)＝，∴cos (60°＋α)＝－，tan (60°＋α)＝－，
∴tan α＝tan [(60°＋α)－60°]
＝.
答案：
7．已知tan α，tan β是方程x2－3x＋10＝0的兩根，且α，β∈，則α＋β＝________.
解析：因為tan α，tan β是方程x2－3x＋10＝0的兩根，
所以故tan α>0，tan β>0，
而α，β∈，故α，β∈，故α＋β∈(0，π)，
而tan (α＋β)＝，所以α＋β＝.
答案：
三、解答題(共27分)
8．(10分)已知tan ＝，tan ＝2.
(1)求tan 的值；
(2)求tan (α＋β)的值．
解析：(1)tan
＝tan
＝
(2)
＝
9．(17分)已知函數
(1)化簡f(x)的解析式；
(2)若
解析：(1)
＝
(2)由于
所以
由于
所以
故
故＝sin (α＋β)cos 2β－cos (α＋β)sin 2β＝－－，
所以α－β＝.
[尖子生題庫]
10．(17分)在銳角△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若sin B＝3sin C sin A，求tan A＋tan B＋tan C的最小值．
解析：由題意知，在銳角△ABC中，sin B＝sin (A＋C)＝3sin C sin A，
sin A cos C＋sin C cos A＝3sin C sin A，
等式兩邊同時除以cos A cos C，得tan A＋tan C＝3tan A tan C，
又tan B＝－tan (A＋C)＝>0，
所以tan A＋tan C＝tan B(tan A tan C－1)，
得tan A＋tan B＋tan C＝tan A tan B tan C，且tan A tan C－1>0，
所以tan A＋tan B＋tan C＝tan A tan C·，
令tan A tan C－1＝m，則m>0，
故tan A＋tan B＋tan C＝(m＋1)·＝(m＋1)·＝(m＋1)·＝12，
當且僅當3m＝，即m＝1時等號成立，此時tan A tan C＝2，
所以tan A＋tan B＋tan C的最小值為12.
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