資源簡介

8．2.2　第1課時　兩角和與差的正弦
【課程標準】　1.能從兩角和與差的余弦公式推導出兩角和與差的正弦公式，了解它們的內在聯(lián)系.2.能運用上述公式進行簡單的恒等變換．
教 材 要 點
知識點一　兩角和與差的正弦公式
1．Sα＋β：sin (α＋β)＝______________________．
2．Sα－β：sin (α－β)＝______________________．
【公式理解】
1．角α，β都是任意角；
2．兩角和與差的正弦公式不能按分配律展開，即sin (α±β)≠sin α±sin β；
3．注意公式的變形運用
(1)逆用：如sin (α＋β)cos β－cos (α＋β)sin β＝sin [(α＋β)－β]＝sin α；
(2)變形運用：變形運用涉及兩個方面，一是公式的變形，如sin (α－β)＋cos αsin β＝sin αcos β；第二是角的變形運用，即角的拆分變換，如α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)等．
知識點二　輔助角公式
y＝a sin x＋b cos x＝____________sin (x＋θ)(a，b不同時為0)，其中cos θ＝____________，sin θ＝____________.
【學霸筆記】　根據公式C(α±β)的識記規(guī)律，你能總結出公式S(α±β)的記憶規(guī)律嗎？
[提示]　對比公式C(α±β)的識記規(guī)律“余余正正，和差相反”可得公式S(α±β)的記憶規(guī)律：“正余余正，和差相同”．
基 礎 自 測
1.cos 17°sin 13°＋sin 17°cos 13°＝(　　)
A． B．
C． D．以上都不對
2．已知cos α＝，α∈，角β的頂點為坐標原點，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊經過點且β∈(0，π)，則α－β＝(　　)
A．　　　B．－ C．　　　D．－
3．計算sin ＝(　　)
A． B．
C． D．－
4．已知α為銳角，sin α＝，β是第四象限角，cos (π＋β)＝－，則sin (α＋β)＝________．
5．已知點P(3，4)是角α的終邊上一點，則sin ＝________．
題型1利用公式化簡求值
例1(1)＝(　　)
A．－　　B．－　　C．　　D．
(2)計算sin 50°cos 10°＋sin 40°sin 10°＝________．
(3)求sin (θ＋75°)＋cos (θ＋45°)－cos (θ＋15°)的值．
狀元隨筆　(1)化簡求值應注意公式的逆用．
(2)(3)對于非特殊角的三角函數式化簡應轉化為特殊角的三角函數值．
方法歸納
1．對于非特殊角的三角函數式，要想利用兩角和與差的正弦、余弦公式求出具體數值，一般有以下三種途徑：
(1)化為特殊角的三角函數值；
(2)化為正負相消的項，消去，求值；
(3)化為分子、分母形式，進行約分再求值．
2．在進行求值過程的變換中，一定要本著先整體后局部的基本原則，先整體分析三角函數式的特點，如果整體符合三角公式，則整體變形，否則進行各局部的變換．
跟蹤訓練1　(1)計算＝________．
(2)化簡－2cos (α＋β)．
題型2給值(式)求值
例2(1)設α∈，β∈，若cos α＝sin β＝，求sin (α＋β)的值．
(2)已知sin α＝，cos (α＋β)＝－，且α，β均為銳角．
①求sin (2α＋β)；②求β.
跟蹤訓練2　已知α∈，β∈，sin ＝，sin ＝，則sin ＝________．
方法歸納
“給值求值”問題求解的關鍵在于“變角”，使其角相同或具有某種關系，借助角之間的聯(lián)系尋找轉化方法．
(1)把“所求角”用“已知角”表示．
①當“已知角”有兩個時，“所求角”一般表示為兩個“已知角”的和或差的形式；
②當“已知角”有一個時，此時應著眼于“所求角”與“已知角”的和或差的關系．
(2)常見的配角方法：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，α＝＝－等．
提醒：解題時要重視角的范圍對三角函數值的制約，從而恰當、準確地求出三角函數值．
題型3輔助角公式的應用
【思考探究】　(1)函數y＝sin x＋cos x(x∈R)的最大值為2對嗎？為什么？
[提示]　不對．因為sin x＋cos x
＝sin x ＋
＝＋cos x·sin)
＝sin ，
所以函數的最大值為.
(2)函數y＝3sin x ＋4cos x的最大值等于多少？
[提示]　因為y ＝3sin x＋4cos x
＝5(sin x ＋)，
令cos φ＝，sin φ＝，
則y ＝5(sin x cos φ＋cos x sin φ) ＝5sin (x＋φ)，
所以函數y的最大值為5.
(3)如何推導a sin x ＋b cos x＝sin (x ＋φ)公式？
[提示]　a sin x ＋b cos x
＝sin x ＋，
令cos φ ＝，sin φ ＝，則
a sin x ＋b cos x ＝(sin x cos φ ＋cos x sin φ)＝
sin (x ＋φ)(其中φ角所在象限由a，b的符號確定，φ角的值由tan φ ＝確定，或由sin φ ＝和cos φ ＝共同確定)．
例3(1)函數f(x)＝sin 2x＋cos 2x的單調遞增區(qū)間是(　　)
A．[，kπ＋](k∈Z)
B．[，2kπ＋](k∈Z)
C．[，kπ＋](k∈Z)
D．[，2kπ＋](k∈Z)
(2)設函數f(x)＝sin x＋sin .
①求f(x)的最小值，并求使f(x)取得最小值的x的集合；
②不畫圖，說明函數y＝f(x)的圖象可由y＝sin x的圖象經過怎樣的變換得到．
狀元隨筆　輔助角公式?轉化成“一角一函數”的形式?將所給函數展開與合并．
跟蹤訓練3　(1)已知a＝，b＝(sin x，cos x)，x∈R，f(x)＝a·b，求函數f(x)的周期、值域、單調遞增區(qū)間．
狀元隨筆　解答此類問題的關鍵是巧妙構建公式Cα－β，Cα＋β，Sα－β，Sα＋β的右側， 逆用公式化成一個角的一種三角函數值．
(2)把下列各式化為A sin (α＋φ)(A>0)的形式：
①(sin x－cos x)；
②sin ＋cos ；
③3sin x＋3cos x．
方法歸納
輔助角公式的應用
(1)公式形式：公式a sin α＋b cos α＝ sin (α＋φ)或a sin α＋b cos α＝cos (α－φ)將形如a sin α＋b cos α(a，b不同時為零)的三角函數式收縮為同一個角的一種三角函數式．
(2)形式選擇：對于正弦或余弦，要看已知條件而定，變形后角α的系數為正，有利于研究函數的性質．
教材反思
(1)兩角和與差的正弦公式的結構特點
①公式中的α，β均為任意角．
②兩角和與差的正弦公式可以看成是誘導公式的推廣，誘導公式可以看成是兩角和與差的正弦公式的特例．
③兩角和與差的正弦公式結構是“正余余正，加減相同”，兩角和與差的余弦公式結構是“余余正正，加減相反”．
(2)兩角和與差的正弦、余弦公式的內在聯(lián)系
(3)使用和差公式時不僅要會正用，還要能夠逆用公式．
能 力 提 升 練
1.已知f(x)＝sin x＋2cos x，當x＝θ時，f(x)取得最大值，則tan θ＝________．
2．已知cos α＝，sin (α－β)＝，且α，β∈，則sin (2α－β)＝________，β＝________．
8．2.2　第1課時　兩角和與差的正弦
新知初探·自主學習
[教材要點]
知識點一
1．sin αcos β＋cos αsin β
2．sin αcos β－cos αsin β
知識點二
[基礎自測]
1．解析：原式＝sin (13°＋17°)＝sin 30°＝.
答案：A
2．解析：因為角β的終邊經過點P()，所以cos β＝，sin β＝，又cos α＝，α∈(0，)，所以sin α＝，所以sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝＝，因為β∈(0，π)，α∈(0，)，所以α－β∈(－π，)，所以α－β＝.故選A.
答案：A
3．解析：sin (－)＝－sin ＝－sin ()＝－(sin ·cos ＋cos sin )＝－()＝－.故選D.
答案：D
4．解析：∵α為銳角，且sin α＝，∴cos α＝.又β為第四象限角，且cos (π＋β)＝－cos β＝－，∴cos β＝，sin β＝－，∴sin (α＋β)＝×(－)＝0.
答案：0
5．解析：因為點P(3，4)是角α終邊上一點，
所以cos α＝＝，sin α＝＝，
所以sin (α＋)＝sin αcos ＋cos αsin ＝＝.
答案：
課堂探究·素養(yǎng)提升
例1　【解析】　(1)
＝
＝
＝＝sin 30°＝.
(2)sin 50°cos 10°＋sin 40°sin 10°＝sin 50°cos 10°＋cos 50°sin 10°＝sin (50°＋10°)＝sin 60°＝.
(3)sin (θ＋75°)＋cos (θ＋45°)－cos (θ＋15°)
＝sin (θ＋15°＋60°)＋cos (θ＋15°＋30°)－cos (θ＋15°)
＝sin (θ＋15°)cos 60°＋cos (θ＋15°)sin 60°＋cos (θ＋15°)cos 30°－sin (θ＋15°)sin 30°－cos (θ＋15°)
＝sin (θ＋15°)＋cos (θ＋15°)＋cos (θ＋15°)－sin (θ＋15°)－cos (θ＋15°)＝0.
【答案】　(1)C　(2)　(3)見解析
跟蹤訓練1　解析：(1)因為sin 68°＝sin 60°cos 8°＋cos 60°sin 8°，cos 68°＝cos 60°cos 8°－sin 60°sin 8°，
所以＝＝tan 60°＝.
(2)原式＝
＝
＝
＝.
答案：(1)　(2)見解析
例2　【解析】　(1)因為α∈(，π)，cos α＝－，
所以sin α＝，
因為β∈(，2π)，sin β＝－，
所以cos β＝，
所以sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β
＝＋(－)×(－)＝.
(2)①因為α，β∈(0，)，sin α＝，
所以cos α＝＝.
又因為α，β均為銳角，所以α＋β∈(0，π)，
所以sin (α＋β)＝＝，
所以sin(2α＋β)＝sin (α＋α＋β)
＝sin αcos (α＋β)＋cos αsin (α＋β)
＝×(－)＋＝－.
②sin β＝sin (α＋β－α)＝sin (α＋β)cos α－cos (α＋β)sin α
＝＝＝，
又因為β∈(0，)，所以β＝.
跟蹤訓練2　解析：∵α∈(0，)，β∈(－，0)，
∴α＋∈()，∈()，
∵sin (α＋)＝，sin ()＝，
∴cos (α＋)＝，cos ()＝，
∴sin (α＋)＝sin ＝sin (α＋)cos ()－cos (α＋)sin ()＝＝.
答案：
例3　【解析】　(1)f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝2sin (2x＋)，
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
即函數的單調遞增區(qū)間為[kπ－，kπ＋](k∈Z)．
(2)①f(x)＝sin x＋sin x cos ＋cos x sin ＝sin x＋sin x＋cos x＝sin x＋cos x＝(sin x cos ＋cos x sin )＝sin (x＋)，
當sin (x＋)＝－1時，f(x)min＝－，
此時x＋＝＋2kπ(k∈Z)，所以x＝＋2kπ(k∈Z)，
所以f(x)的最小值為－，
x的集合為{x|x＝＋2kπ，k∈Z}．
②將y＝sin x的圖象上所有點的橫坐標不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼谋叮脃＝sin x的圖象，
然后將y＝sin x的圖象上所有的點向左平移個單位長度，得f(x)＝sin (x＋)的圖象．
【答案】　(1)A　(2)見解析
跟蹤訓練3　解析：(1)f(x)＝sin x－cos x
＝2(sin x·－cos x·)
＝2(sin x cos －cos x sin )
＝2sin (x－)，
所以T＝＝2π，值域為[－2，2].
由－＋2kπ≤x－＋2kπ，得－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，
所以f(x)的單調遞增區(qū)間為[－＋2kπ，＋2kπ]，k∈Z.
(2)①(sin x－cos x)＝·(sin x·－cos x·)＝2(sin x cos －cos x sin )＝2sin (x－)．
②sin (－x)＋cos (－x)＝sin (－x)＋cos (－x)]＝sin (－x＋)＝sin (－x)．
③3sin x＋3cos x＝6sin x＋cos x)＝6sin (x＋).
能力提升練
1．解析：令cos α＝，sin α＝，其中α為銳角，
則f(x)＝sin x＋2cos x＝sin x＋cos x)＝(sin x cos α＋cos x sin α)＝sin (x＋α)，
因為當x＝θ時，f(x)取得最大值，則θ＋α＝2kπ＋(k∈Z)，
所以θ＝2kπ＋－α(k∈Z)，
所以sin θ＝sin (2kπ＋－α)＝cos α＝，
cos θ＝cos (2kπ＋－α)＝sin α＝，故tan θ＝＝·＝.
答案：
2．解析：因為α，β∈(0，)，所以α－β∈(－)，
又sin (α－β)＝>0，所以0<α－β<，
所以sin α＝，cos (α－β)＝，所以sin (2α－β)＝sin [α＋(α－β)]＝sin α·cos (α－β)＋cos α·sin (α－β)＝
＝.
又cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos α·cos (α－β)＋sin α·sin (α－β)＝
＝，
又β∈(0，)，所以β＝.
答案：
21世紀教育網(www.21cnjy.com)(共64張PPT)
8．2.2　第1課時　兩角和與差的正弦
【課程標準】　1.能從兩角和與差的余弦公式推導出兩角和與差的正弦公式，了解它們的內在聯(lián)系.2.能運用上述公式進行簡單的恒等變換．
教 材 要 點
知識點一　兩角和與差的正弦公式
1．Sα＋β：sin (α＋β)＝______________________．
2．Sα－β：sin (α－β)＝______________________．
sin αcos β＋cos αsin β
sin αcos β－cos αsin β
【公式理解】
1．角α，β都是任意角；
2．兩角和與差的正弦公式不能按分配律展開，即sin (α±β)≠sin α±sin β；
3．注意公式的變形運用
(1)逆用：如sin (α＋β)cos β－cos (α＋β)sin β＝sin [(α＋β)－β]＝sin α；
(2)變形運用：變形運用涉及兩個方面，一是公式的變形，如sin (α－β)＋cos αsin β＝sin αcos β；第二是角的變形運用，即角的拆分變換，如α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)等．
知識點二　輔助角公式
y＝a sin x＋b cos x＝____________sin (x＋θ)(a，b不同時為0)，其中cos θ＝____________，sin θ＝____________.



【學霸筆記】　根據公式C(α±β)的識記規(guī)律，你能總結出公式S(α±β)的記憶規(guī)律嗎？
[提示]　對比公式C(α±β)的識記規(guī)律“余余正正，和差相反”可得公式S(α±β)的記憶規(guī)律：“正余余正，和差相同”．

答案：A

答案：A

答案：D
0




【答案】C

(2)計算sin 50°cos 10°＋sin 40°sin 10°＝________．


狀元隨筆　(1)化簡求值應注意公式的逆用．
(2)(3)對于非特殊角的三角函數式化簡應轉化為特殊角的三角函數值．
方法歸納
1．對于非特殊角的三角函數式，要想利用兩角和與差的正弦、余弦公式求出具體數值，一般有以下三種途徑：
(1)化為特殊角的三角函數值；
(2)化為正負相消的項，消去，求值；
(3)化為分子、分母形式，進行約分再求值．
2．在進行求值過程的變換中，一定要本著先整體后局部的基本原則，先整體分析三角函數式的特點，如果整體符合三角公式，則整體變形，否則進行各局部的變換．







方法歸納
“給值求值”問題求解的關鍵在于“變角”，使其角相同或具有某種關系，借助角之間的聯(lián)系尋找轉化方法．
(1)把“所求角”用“已知角”表示．
①當“已知角”有兩個時，“所求角”一般表示為兩個“已知角”的和或差的形式；
②當“已知角”有一個時，此時應著眼于“所求角”與“已知角”的和或差的關系．


【答案】A

狀元隨筆　輔助角公式?轉化成“一角一函數”的形式?將所給函數展開與合并．

狀元隨筆　解答此類問題的關鍵是巧妙構建公式Cα－β，Cα＋β，Sα－β，Sα＋β的右側， 逆用公式化成一個角的一種三角函數值．

教材反思
(1)兩角和與差的正弦公式的結構特點
①公式中的α，β均為任意角．
②兩角和與差的正弦公式可以看成是誘導公式的推廣，誘導公式可以看成是兩角和與差的正弦公式的特例．
③兩角和與差的正弦公式結構是“正余余正，加減相同”，兩角和與差的余弦公式結構是“余余正正，加減相反”．
(2)兩角和與差的正弦、余弦公式的內在聯(lián)系
(3)使用和差公式時不僅要會正用，還要能夠逆用公式．
能 力 提 升 練
1.已知f(x)＝sin x＋2cos x，當x＝θ時，f(x)取得最大值，則tan θ＝________．




答案：C
2．在△ABC中，若sin B＝2sin A cos C，那么△ABC一定是(　　)
A．等腰直角三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等邊三角形
答案：B
解析：在△ABC中，因為sin B＝sin [π－(A＋C)]＝sin (A＋C)＝sin A cos C＋cos A sin C＝2sin A cos C，所以sin A cos C－cos A sin C＝0，即sin (A－C)＝0，因為0＜A＜π，0＜C＜π，所以－π＜A－C＜π，所以A－C＝0，即A＝C，所以△ABC一定是等腰三角形，故選B.

答案：A

答案：B
5．sin 15°＝________．




π





課時作業(yè)(十六)　兩角和與差的正弦
(分值：80分)
一、選擇題(每小題5分，共20分)
1．已知角θ的終邊過點P(－3，－1)，則sin (－θ)＝(　　)
A．－　　B．　　C．－　　D．
解析：因為角θ的終邊過點P(－3，－1)，所以sin θ＝＝－，cos θ＝＝－，所以sin (－θ)＝sin cos θ－cos sin θ＝·(－)－·(－)＝－，故選C.
答案：C
2．在△ABC中，若sin B＝2sin A cos C，那么△ABC一定是(　　)
A．等腰直角三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等邊三角形
解析：在△ABC中，因為sin B＝sin [π－(A＋C)]＝sin (A＋C)＝sin A cos C＋cos A sin C＝2sin A cos C，所以sin A cos C－cos A sin C＝0，即sin (A－C)＝0，因為0＜A＜π，0＜C＜π，所以－π＜A－C＜π，所以A－C＝0，即A＝C，所以△ABC一定是等腰三角形，故選B.
答案：B
3．化簡sin 200°sin 230°－cos 160°sin 40°＝(　　)
A． B．sin 200°
C．cos 200° D．
解析：sin 200°sin 230°－cos 160°sin 40°＝sin (180°＋20°)·sin (270°－40°)－cos (180°－20°)sin 40°＝－sin 20°(－cos 40°)＋cos 20°sin 40°＝sin 60°＝.故選A.
答案：A
4．函數f(x)＝sin x－cos (x＋)的值域為(　　)
A．[－2，2] B．[－]
C．[－1，1] D．[－]
解析：因為f(x)＝sin x－cos (x＋)＝sin x－(cos x－sin x)＝sin x－cos x＝·sin x－cos x)＝sin (x－)，所以－≤f(x)≤，即函數f(x)＝sin x－cos (x＋)的值域為[－].
答案：B
二、填空題(每小題5分，共15分)
5．sin 15°＝________．
解析：∵15°＝45°－30°，
∴sin 15°＝sin (45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＝＝.
答案：
6．已知α，β均為銳角，且cos α＝，sin β＝，則α－β＝________．
解析：因為0<α<，0<β<，且cos α＝，sin β＝，
所以sin α＝ ＝，cos β＝＝，－<α－β<，
故sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝＝－，
由于－<α－β<，所以α－β＝－.
答案：－
7．函數f(x)＝sin (2x－)＋sin (2x＋)的最小正周期為________．
解析：由題意，函數f(x)＝sin (2x－)＋sin (2x＋)＝sin 2x－cos 2x＋sin 2x＋cos 2x＝sin 2x，
所以函數的最小正周期為＝π.
答案：π
三、解答題(共30分)
8．(15分)已知函數f(x)＝A sin (x＋)，x∈R，且f()＝.
(1)求A的值；
(2)若f(θ)－f(－θ)＝，θ∈(0，)，求f(－θ)．
解析：(1)由f()＝A sin ()＝A sin ＝＝，可得A＝3.
(2)f(θ)－f(－θ)＝，
則3sin (θ＋)－3sin (－θ)＝，
3(cos θ＋sin θ)－3(cos θ－sin θ)＝，
所以sin θ＝.
因為θ∈(0，)，所以cos θ＝，
f(－θ)＝3sin (－θ＋)＝3sin (－θ)＝3cos θ＝.
9．(15分)已知函數f(x)＝cos 2x＋sin (2x－)．
(1)求函數f(x)的最小正周期；
(2)若α∈(0，)，f(α)＝，求cos 2α.
解析：(1)因為f(x)＝cos 2x＋sin 2x－cos 2x＝sin 2x＋cos 2x＝sin (2x＋)，
所以函數f(x)的最小正周期為T＝π.
(2)由f(α)＝可得，sin (2α＋)＝.
因為α∈(0，)，
所以2α＋∈()．
又因為0所以2α＋∈(，π)，
所以cos (2α＋)＝－，
所以cos 2α＝cos [(2α＋)－]
＝cos (2α＋)cos ＋sin (2α＋)sin
＝.
[尖子生題庫]
10．(15分)若函數f(x)＝(1＋tan x)cos x，0≤x＜.
(1)把f(x)化成A sin (ωx＋φ)的形式；
(2)判斷f(x)在上的單調性，并求f(x)的最大值．
解析：(1)f(x)＝(1＋tan x)cos x
＝cos x＋··cos x＝cos x＋sin x
＝2(cos x＋sin x)
＝2
＝2sin .
(2)∵0≤x＜，∴f(x)在上是單調遞增函數，在上是單調遞減函數，
∴當x＝時，f(x)有最大值為2.
21世紀教育網(www.21cnjy.com)

展開更多......

收起↑