資源簡介

浙江省溫州市部分學校（瑞安中學附屬學校等校）2024-2025學年七年級下學期數學期中學能診斷試題
一、選擇題(本大題有10小題,每小題3分,共30分.請選出每小題中最符合題意的一個選項,不選、多選、錯選均不得分)
1．（2025七下·瑞安期中）沙燕風箏是傳統風箏中最具代表性的，不僅性能良好，還有祈福的寓意。圖1是一沙燕風箏的示意圖，在下列四個選項中，能由圖1經過平移得到的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025七下·瑞安期中） 下列運算正確的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025七下·瑞安期中） 紅細胞的平均直徑約是0.000008m，將數據0.000008用科學記數法表示為（　　）
A． B． C． D．
4．（2025七下·瑞安期中） 若，則n的值為（　　）
A．-6 B．1 C．5 D．6
5．（2025七下·瑞安期中）化簡的結果是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2025七下·瑞安期中）根據∠1=∠2，能得到AB∥CD的是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2025七下·瑞安期中） 若 ， ， 則 的值是（　　）
A．4 B．6 C．10 D．16
8．（2025七下·瑞安期中）將一條長方形紙帶按如圖方式折疊，若∠1=112°，則∠2的度數為（　　）
A．34° B．44° C．39° D．56°
9．（2025七下·瑞安期中） 若關于 x，y 的方程組的解是，則關于 x，y 的方程組的解是（　　）
A． B． C． D．
10．（2025七下·瑞安期中） 如圖，將兩張長為a，寬為b的長方形紙片按圖1，圖2兩種方式放置，圖1和圖2中兩張長方形紙片重疊的部分分別記為①和②，正方形ABCD中未被這兩張長方形紙片覆蓋的部分用陰影表示，①和②的面積分別記為和.若知道下列條件，可以求值的是（　　）
A．長方形紙片的面積 B．長方形紙片的周長
C．長方形紙片和①的面積差 D．圖1與圖2陰影部分的面積差
二、填空題(本大題有6小題,每小題3分,共18分)
11．（2025七下·瑞安期中） 已知二元一次方程 ，用含 y 的代數式表示 x，則 　 　.
12．（2025七下·瑞安期中）如圖，將三角形ABC沿BC方向平移到三角形DEF的位置。已知三角形ABC的周長是17，四邊形ABFD的周長是21，那么平移的距離是　 　。
13．（2025七下·瑞安期中） 《增刪算法統宗》中有一個“隔溝計算”的問題：“甲乙隔溝牧放，二人暗里參詳.甲云得乙九只羊，多乙一倍之上.乙說得甲九只，兩家之數相當.二人閑坐惱心腸，畫地算了半晌.”這個題目的意思是甲、乙兩個牧人隔著山溝放羊，甲對乙說：“我若得你9只羊，我的羊多你一倍.”乙對甲說：“我若得你9只羊，我們兩家羊的數量就一樣多.”設甲有x只羊，乙有y只羊，根據題意列出二元一次方程組為　 　.
14．（2025七下·瑞安期中） 已知關于x的多項式與的乘積展開式中不含x的二次項，且一次項的系數為-7，則ab的值為　 　.
15．（2025七下·瑞安期中） 光線在不同介質中傳播會發生折射.由于折射率相同，在水中平行的光線，在空氣中也是平行的.如圖，從玻璃杯底部發出的一束平行光線經過水面時發生了折射，水面與玻璃杯的底面平行.若，則　 　（用含a的代數式表示）.
16．（2025七下·瑞安期中） 如圖，小明準備將78張形狀、大小完全相同的小長方形（長是寬的3倍）卡片，既不重疊又無空隙地放在一個長方形（長與寬的比為10：9）的蛇年插畫邊沿，則得到的新長方形的長與寬的比為　 　.
三、解答題(本大題有8小題,共72分.解答需寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)
17．（2025七下·瑞安期中）解方程組：
（1） ；
（2）.
18．（2025七下·瑞安期中）計算：
（1） ；
（2） .
19．（2025七下·瑞安期中）在化簡的過程中，小明有以下兩種方法：
解法一：原式= （第一步）
=-6x；（第二步）
解法二：原式= （第一步）
= （第二步）
=. （第三步）
小明發現兩種解法的結果不同，請你幫他判斷上述解法是否正確.如果錯誤，請指出小明是從哪一步開始出現錯誤的.若兩種解法都錯誤，請你再寫出正確的解答過程.
20．（2025七下·瑞安期中）先化簡，再求值：
（1） ，其中 ；
（2） 已知 ，求代數式 的值.
21．（2025七下·瑞安期中）如圖，直線 CD，EF 交于點 O，OA，OB 分別平分 和 ，且 .
（1） 請判定直線 AB 與 CD 的位置關系，并說明理由；
（2） 若 ，求 的度數.
22．（2025七下·瑞安期中） 在月歷上，我們可以發現其中某些日期滿足一定的規律，某興趣小組對此進行了活動探究.
探究主題：月歷中的數學
初步探究 ⑴圖1是2025年4月份的月歷，用圖2所示的“Z”字型框架任意框住月歷中的5個數（如圖1中 的陰影部分），將位置B，D上的數相乘，位置A，E上的數相乘，再相減，嘗試計算： ▲ ；
猜測說明 ⑵多次嘗試可以發現，上述運算結果都是定值.設“Z”字型框架中位置C上的數為x，請利用整 式運算的有關知識對上述規律進行說明；
深度探究 ⑶在某張月歷中，兩個“Z”字型框架如圖3擺放，若每框中A，E上的數各自相乘，兩積之差為 360，求a，b的值.
23．（2025七下·瑞安期中） 為了鼓勵市民節約用水，某市居民生活用水按階梯式水價計費.下表是該市“一戶一表”生活用水階梯式計費價格表的部分信息：
自來水銷售價格 污水處理價格
每戶每月用水量 單價：元/噸 單價：元/噸
17噸及以下 A 0.50
超過17噸但不超過30噸的部分 B 0.50
超過30噸的部分 3.00 0.50
(說明：①每戶生產的污水量等于該戶自來水用量；②水費=自來水費用+污水處理費)
已知小王家 2024 年 7 月用水 15 噸，交水費 30 元；8 月份用水 26 噸，交水費 61 元.
（1） 求 a，b 的值.
（2） 如果小王家 9 月份上交水費 108 元，則小王家這個月用水多少噸？
（3） 小王家 10 月份忘記去交水費，當他 11 月去交水費時發現兩個月一共用水 52 噸（其中 10 月份用水超過 30 噸），一共交水費 132.59 元（其中包含 10 月份的滯納金，即 10 月份水費的 2%），求小王家 11 月份用水多少噸.（滯納金：因未能按期繳納水費，逾期要繳納的“罰款金額”）
24．（2025七下·瑞安期中）如圖，直線AB∥CD，直線MN⊥AB分別交AB，CD于點M，N，直角三角板EMF如圖放置，∠FEM=30°，直線NG∥EF。
（1）求∠GND的度數。
（2）將三角板EMF繞點M以每秒2°的速度順時針旋轉，得到三角板E'MF'，旋轉的時間為t（0①當三角板E'MF'的一邊與直線NG平行時，求t的值；
②三角板EMF繞點M旋轉的同時，直線NG繞點N以每秒3°的速度逆時針旋轉到NG'，若NG'⊥E'M，求t的值。
答案解析部分
1．【答案】D
【知識點】圖形的平移
【解析】【解答】解： 根據“平移”的定義可知，由題圖經過平移得到的圖形如下：
故答案為：D.
【分析】平移是指在同一平面內，將一個圖形整體按照某個直線方向移動一定的距離，這樣的圖形運動叫作圖形的平移運動，簡稱平移．
2．【答案】A
【知識點】同底數冪的乘法；同底數冪的除法；單項式除以單項式；積的乘方運算
【解析】【解答】解： 計算正確，符合題意；
原計算錯誤，不符合題意；
原計算錯誤，不符合題意；
原計算錯誤，不符合題意，
故答案為：A .
【分析】根據積的乘方，同底數冪的乘除法，單項式乘多項式的運算法則，逐一判斷各選項， 即可得到結果.
3．【答案】B
【知識點】科學記數法表示大于0且小于1的數
【解析】【解答】解：，
故答案為：B .
【分析】科學記數法的表示形式為的形式，其中 n為整數.確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同.當原數絕對值 時，n是正數；當原數的絕對值 時，n是負數.
4．【答案】A
【知識點】多項式乘多項式
【解析】【解答】解：
又·
故答案為：A .
【分析】根據題意，把 展開后，與原式相比較， 即可得到結果.
5．【答案】C
【知識點】多項式除以單項式
【解析】【解答】解：
故答案為：C .
【分析】根據多項式除以單項式的運算法則求解即可.
6．【答案】D
【知識點】平行線的判定
【解析】【解答】解：A、∠1與∠2不是同位角，不能得到 AB∥CD；
B、∠1=∠2只能得到AC∥BD，但不能得到AB∥CD；
C、∠1與∠2不是同位角，不能得到 AB∥CD；
D、根據內錯角相等，兩直線平行可知，通過∠1=∠2能得到 AB∥CD.
故答案為：D.
【分析】根據平行線的判定定理對各選項進行逐一判斷即可.
7．【答案】A
【知識點】同底數冪除法的逆用
【解析】【解答】解：
.
故答案為：D .
【分析】根據同底數冪的除法法則計算即可.
8．【答案】A
【知識點】平行線的性質；翻折變換（折疊問題）
【解析】【解答】解：如圖，
∠3=180°-∠1=180°-112°=68°，
由折疊可知∠2=∠4，
由平行線的性質可知∠3=∠2+∠4，進而可得∠2=.
故答案為：A.
【分析】由折疊的性質可知∠2=∠4，再由兩直線平行，同位角相等可推知∠2=，從而可解.
9．【答案】B
【知識點】解二元一次方程組
【解析】【解答】解： 由可得
∵關于x、y的方程組 的解為
∴，解得
故答案為：C .
【分析】將第一個方程組的解代入方程，與第二個方程組組成新的的方程組，即可求解.
10．【答案】D
【知識點】多項式乘多項式
【解析】【解答】解：
則 即：
；
∵矩形的面積是 ab，矩形的周長是
故A、B是正確的；
又因為①的面積是( ②的面積是
；
故③正確，
故答案為：D .
【分析】用字母表示長度，列代數式，運用整式的運算進行驗證.
11．【答案】
【知識點】代入消元法解二元一次方程組
【解析】【解答】解：，
所以
故答案為：
【分析】先把含y的項進行移項，再把x的系數化為1即可.
12．【答案】2
【知識點】平移的性質
【解析】【解答】解：因為 由 平移得到，
所以
又因為三角形ABC的周長是17，四邊形ABFD的周長是21，
所以
即
所以
即平移的距離是2.
故答案為： 2.
【分析】先根據三角形ABC和四邊形ABFD的周長得出 得長，再根據平移的性質即可求出平移的距離.
13．【答案】
【知識點】二元一次方程組的應用-古代數學問題；列二元一次方程組
【解析】【解答】解：由題意得：
故答案為： .
【分析】根據“我若得你9只羊，我的羊多你一倍.”和“我若得你9只羊，我們兩家的羊數就一樣多”為等量關系，列出方程組即可.
14．【答案】3
【知識點】多項式乘多項式
【解析】【解答】解：
∵展開式中不含x的二次項，且一次項的系數為
解得
故答案為： 3.
【分析】根據題意，把 展開后，其二次項的系數為0，一次項的系數為 ， 求得a， b的值，得到結果.
15．【答案】
【知識點】兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，同旁內角互補
【解析】【解答】解：∵空氣中的光線平行，
∵水面與玻璃杯的底面平行，
故答案為：
【分析】根據平行線的性質即可解決問題.
16．【答案】
【知識點】二元一次方程組的應用-幾何問題
【解析】【解答】解：設在 插畫的長上放了x張小長方形卡片，寬上放了y張小長方形卡片，
依題意，得：
解得：
∴ 新長方形的長與寬的比為12×3：2=36：29，
故答案為： .
【分析】設在 插畫的長上放了x張小長方形卡片，寬上放了y張小長方形卡片，根據題意列方程組求出x和y的值，即可解題.
17．【答案】（1）解：
得
解得：
把 代入①，得
解得：
∴方程組的解為 ；
（2）解：
整理，得
得
得
得
解得：
把 代入①，得
解得：
∴方程組的解為
【知識點】加減消元法解二元一次方程組
【解析】【分析】(1)利用加減消元法解方程組即可；
(2)把原方程組整理，再利用加減消元法解方程組即可.
18．【答案】（1）解：原式=-1+1+8=8；
（2）解：原式=.
【知識點】同底數冪的乘法；同底數冪的除法；零指數冪；負整數指數冪；積的乘方運算
【解析】【分析】(1)先化簡各式，然后再進行計算即可解答；
(2)先算乘方，再算乘除，后算加減，即可解答.
19．【答案】解：解法一錯誤，從第一步開始出錯；
解法二錯誤，也是從第一步開始出錯；
正確的解答過程：原式=.
【知識點】整式的混合運算
【解析】【分析】根據完全平方公式及平方差公式進行計算，再合并同類項， 即可得出答案
20．【答案】（1）解：原式 ，
當 時，原式 ；
（2）解：原式 ，
由已知得 ，所以原式 .
【知識點】利用整式的混合運算化簡求值
【解析】【分析】(1)先運用完全平方公式、多項式乘以多項式展開，然后合并，再把x的值代入計算解題；
(2)先根據單項式乘以多項式、平方差公式展開，然后去括號合并，再整體代入計算解題.
21．【答案】（1）解： ，理由如下：
分別平分和，
，
，
，
，
，
.
（2）解：平分，
，
，
∵設，則，，
∴.
∵，
∴，
∴.
【知識點】角的運算；角平分線的概念；內錯角相等，兩直線平行
【解析】【分析】(1)根據角平分線平分角，結合平角的定義推出 推出 即可得出結論；
(2)根據角平分線平分角，得到 結合平角的定義和. 進行求解即可.
22．【答案】解：⑴15；
⑵∵C上的數為x，
∴B上的數為，D上的數為，A上的數為，E上的數為
∴；
⑶∵兩框A.E上的數各自相乘，其差為360.
∴，
又∵，
∴，
∴.
【知識點】整式的混合運算；一元一次方程的實際應用-數字、日歷、年齡問題
【解析】【解答】（1）解：，
故答案為：15；
【分析】(1)計算得到結果，歸納總結即可得到結果；
(2)設“Z”字型框架中位置C上的數為x，則A，B，D，E四個數依次為 ，根據題意列出關系式，去括號合并得到結果，即可證明；
(3)中間位置上的數為a，則最小的數為 最大的數為 ，根據題意列出關系式， 即可求解.
23．【答案】（1）解：由題意，得，
解得；
（2）解：由題意可知，（元），（元），（元），
設小王家這個月用水 x 噸，
由題意，得，
解得.
答：小王家這個月用水 40 噸；
（3）解：設 11 月份用水 m 噸，則 10 月份用水噸.
①當 ，
可得 ，
解得；
②當 ，
可得 ，
解得 ( 舍去 )，
即小王家 11 月份用水 13 噸.
【知識點】一元一次方程的實際應用-計費問題；二元一次方程組的實際應用-計費
【解析】【分析】(1)根據“小王家2024年7月用水15噸， 交水費30元；8月份用水26噸，交水費61元”，可列出關于a，b的二元一次方程組，解之即可得出結論；
(2)設小王家這個月用水x噸，根據小王家9月份上交水費108元，可列出關于x的一元一次方程，解之即可得出結論；
(3)設小王家11月份用水y噸，則小王家10月份用水 噸， 分 及 兩種情況考慮，根據小王家一共交水費132.59元，可列出關于y的一元一次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結論.
24．【答案】（1）解：
，
（2）解：①如圖1，∵0∴只有 MF'∥NG 一種情形，
則∠FMF'=∠MNG=60°，
∴2t=60，∴t=30。
②如圖2，此時∠MPN=90°。
∵∠BMP+∠DNP=∠MPN，
∴2t+30+3t=90，
∴t=12。
如圖3，此時∠MPN=90°.
∵∠EMP+∠CNG'=90°，
∴180-2t+150-3t=90，
∴t=48。
綜上，若 NG'⊥E'M ，則t的值為12或48。
【知識點】平行線的性質；平行線的判定與性質的應用-三角尺問題
【解析】【分析】(1)由三角板可知 再根據平行的性質即可得解；
(2)①根據題意可知只有 一種情形， 所以 進而得解；
②在旋轉過程中會出現兩次垂直，分別是 在MN左側和右側，分別畫出圖形，建立方程求解即可.
1 / 1浙江省溫州市部分學校（瑞安中學附屬學校等校）2024-2025學年七年級下學期數學期中學能診斷試題
一、選擇題(本大題有10小題,每小題3分,共30分.請選出每小題中最符合題意的一個選項,不選、多選、錯選均不得分)
1．（2025七下·瑞安期中）沙燕風箏是傳統風箏中最具代表性的，不僅性能良好，還有祈福的寓意。圖1是一沙燕風箏的示意圖，在下列四個選項中，能由圖1經過平移得到的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知識點】圖形的平移
【解析】【解答】解： 根據“平移”的定義可知，由題圖經過平移得到的圖形如下：
故答案為：D.
【分析】平移是指在同一平面內，將一個圖形整體按照某個直線方向移動一定的距離，這樣的圖形運動叫作圖形的平移運動，簡稱平移．
2．（2025七下·瑞安期中） 下列運算正確的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知識點】同底數冪的乘法；同底數冪的除法；單項式除以單項式；積的乘方運算
【解析】【解答】解： 計算正確，符合題意；
原計算錯誤，不符合題意；
原計算錯誤，不符合題意；
原計算錯誤，不符合題意，
故答案為：A .
【分析】根據積的乘方，同底數冪的乘除法，單項式乘多項式的運算法則，逐一判斷各選項， 即可得到結果.
3．（2025七下·瑞安期中） 紅細胞的平均直徑約是0.000008m，將數據0.000008用科學記數法表示為（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知識點】科學記數法表示大于0且小于1的數
【解析】【解答】解：，
故答案為：B .
【分析】科學記數法的表示形式為的形式，其中 n為整數.確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同.當原數絕對值 時，n是正數；當原數的絕對值 時，n是負數.
4．（2025七下·瑞安期中） 若，則n的值為（　　）
A．-6 B．1 C．5 D．6
【答案】A
【知識點】多項式乘多項式
【解析】【解答】解：
又·
故答案為：A .
【分析】根據題意，把 展開后，與原式相比較， 即可得到結果.
5．（2025七下·瑞安期中）化簡的結果是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知識點】多項式除以單項式
【解析】【解答】解：
故答案為：C .
【分析】根據多項式除以單項式的運算法則求解即可.
6．（2025七下·瑞安期中）根據∠1=∠2，能得到AB∥CD的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知識點】平行線的判定
【解析】【解答】解：A、∠1與∠2不是同位角，不能得到 AB∥CD；
B、∠1=∠2只能得到AC∥BD，但不能得到AB∥CD；
C、∠1與∠2不是同位角，不能得到 AB∥CD；
D、根據內錯角相等，兩直線平行可知，通過∠1=∠2能得到 AB∥CD.
故答案為：D.
【分析】根據平行線的判定定理對各選項進行逐一判斷即可.
7．（2025七下·瑞安期中） 若 ， ， 則 的值是（　　）
A．4 B．6 C．10 D．16
【答案】A
【知識點】同底數冪除法的逆用
【解析】【解答】解：
.
故答案為：D .
【分析】根據同底數冪的除法法則計算即可.
8．（2025七下·瑞安期中）將一條長方形紙帶按如圖方式折疊，若∠1=112°，則∠2的度數為（　　）
A．34° B．44° C．39° D．56°
【答案】A
【知識點】平行線的性質；翻折變換（折疊問題）
【解析】【解答】解：如圖，
∠3=180°-∠1=180°-112°=68°，
由折疊可知∠2=∠4，
由平行線的性質可知∠3=∠2+∠4，進而可得∠2=.
故答案為：A.
【分析】由折疊的性質可知∠2=∠4，再由兩直線平行，同位角相等可推知∠2=，從而可解.
9．（2025七下·瑞安期中） 若關于 x，y 的方程組的解是，則關于 x，y 的方程組的解是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知識點】解二元一次方程組
【解析】【解答】解： 由可得
∵關于x、y的方程組 的解為
∴，解得
故答案為：C .
【分析】將第一個方程組的解代入方程，與第二個方程組組成新的的方程組，即可求解.
10．（2025七下·瑞安期中） 如圖，將兩張長為a，寬為b的長方形紙片按圖1，圖2兩種方式放置，圖1和圖2中兩張長方形紙片重疊的部分分別記為①和②，正方形ABCD中未被這兩張長方形紙片覆蓋的部分用陰影表示，①和②的面積分別記為和.若知道下列條件，可以求值的是（　　）
A．長方形紙片的面積 B．長方形紙片的周長
C．長方形紙片和①的面積差 D．圖1與圖2陰影部分的面積差
【答案】D
【知識點】多項式乘多項式
【解析】【解答】解：
則 即：
；
∵矩形的面積是 ab，矩形的周長是
故A、B是正確的；
又因為①的面積是( ②的面積是
；
故③正確，
故答案為：D .
【分析】用字母表示長度，列代數式，運用整式的運算進行驗證.
二、填空題(本大題有6小題,每小題3分,共18分)
11．（2025七下·瑞安期中） 已知二元一次方程 ，用含 y 的代數式表示 x，則 　 　.
【答案】
【知識點】代入消元法解二元一次方程組
【解析】【解答】解：，
所以
故答案為：
【分析】先把含y的項進行移項，再把x的系數化為1即可.
12．（2025七下·瑞安期中）如圖，將三角形ABC沿BC方向平移到三角形DEF的位置。已知三角形ABC的周長是17，四邊形ABFD的周長是21，那么平移的距離是　 　。
【答案】2
【知識點】平移的性質
【解析】【解答】解：因為 由 平移得到，
所以
又因為三角形ABC的周長是17，四邊形ABFD的周長是21，
所以
即
所以
即平移的距離是2.
故答案為： 2.
【分析】先根據三角形ABC和四邊形ABFD的周長得出 得長，再根據平移的性質即可求出平移的距離.
13．（2025七下·瑞安期中） 《增刪算法統宗》中有一個“隔溝計算”的問題：“甲乙隔溝牧放，二人暗里參詳.甲云得乙九只羊，多乙一倍之上.乙說得甲九只，兩家之數相當.二人閑坐惱心腸，畫地算了半晌.”這個題目的意思是甲、乙兩個牧人隔著山溝放羊，甲對乙說：“我若得你9只羊，我的羊多你一倍.”乙對甲說：“我若得你9只羊，我們兩家羊的數量就一樣多.”設甲有x只羊，乙有y只羊，根據題意列出二元一次方程組為　 　.
【答案】
【知識點】二元一次方程組的應用-古代數學問題；列二元一次方程組
【解析】【解答】解：由題意得：
故答案為： .
【分析】根據“我若得你9只羊，我的羊多你一倍.”和“我若得你9只羊，我們兩家的羊數就一樣多”為等量關系，列出方程組即可.
14．（2025七下·瑞安期中） 已知關于x的多項式與的乘積展開式中不含x的二次項，且一次項的系數為-7，則ab的值為　 　.
【答案】3
【知識點】多項式乘多項式
【解析】【解答】解：
∵展開式中不含x的二次項，且一次項的系數為
解得
故答案為： 3.
【分析】根據題意，把 展開后，其二次項的系數為0，一次項的系數為 ， 求得a， b的值，得到結果.
15．（2025七下·瑞安期中） 光線在不同介質中傳播會發生折射.由于折射率相同，在水中平行的光線，在空氣中也是平行的.如圖，從玻璃杯底部發出的一束平行光線經過水面時發生了折射，水面與玻璃杯的底面平行.若，則　 　（用含a的代數式表示）.
【答案】
【知識點】兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，同旁內角互補
【解析】【解答】解：∵空氣中的光線平行，
∵水面與玻璃杯的底面平行，
故答案為：
【分析】根據平行線的性質即可解決問題.
16．（2025七下·瑞安期中） 如圖，小明準備將78張形狀、大小完全相同的小長方形（長是寬的3倍）卡片，既不重疊又無空隙地放在一個長方形（長與寬的比為10：9）的蛇年插畫邊沿，則得到的新長方形的長與寬的比為　 　.
【答案】
【知識點】二元一次方程組的應用-幾何問題
【解析】【解答】解：設在 插畫的長上放了x張小長方形卡片，寬上放了y張小長方形卡片，
依題意，得：
解得：
∴ 新長方形的長與寬的比為12×3：2=36：29，
故答案為： .
【分析】設在 插畫的長上放了x張小長方形卡片，寬上放了y張小長方形卡片，根據題意列方程組求出x和y的值，即可解題.
三、解答題(本大題有8小題,共72分.解答需寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)
17．（2025七下·瑞安期中）解方程組：
（1） ；
（2）.
【答案】（1）解：
得
解得：
把 代入①，得
解得：
∴方程組的解為 ；
（2）解：
整理，得
得
得
得
解得：
把 代入①，得
解得：
∴方程組的解為
【知識點】加減消元法解二元一次方程組
【解析】【分析】(1)利用加減消元法解方程組即可；
(2)把原方程組整理，再利用加減消元法解方程組即可.
18．（2025七下·瑞安期中）計算：
（1） ；
（2） .
【答案】（1）解：原式=-1+1+8=8；
（2）解：原式=.
【知識點】同底數冪的乘法；同底數冪的除法；零指數冪；負整數指數冪；積的乘方運算
【解析】【分析】(1)先化簡各式，然后再進行計算即可解答；
(2)先算乘方，再算乘除，后算加減，即可解答.
19．（2025七下·瑞安期中）在化簡的過程中，小明有以下兩種方法：
解法一：原式= （第一步）
=-6x；（第二步）
解法二：原式= （第一步）
= （第二步）
=. （第三步）
小明發現兩種解法的結果不同，請你幫他判斷上述解法是否正確.如果錯誤，請指出小明是從哪一步開始出現錯誤的.若兩種解法都錯誤，請你再寫出正確的解答過程.
【答案】解：解法一錯誤，從第一步開始出錯；
解法二錯誤，也是從第一步開始出錯；
正確的解答過程：原式=.
【知識點】整式的混合運算
【解析】【分析】根據完全平方公式及平方差公式進行計算，再合并同類項， 即可得出答案
20．（2025七下·瑞安期中）先化簡，再求值：
（1） ，其中 ；
（2） 已知 ，求代數式 的值.
【答案】（1）解：原式 ，
當 時，原式 ；
（2）解：原式 ，
由已知得 ，所以原式 .
【知識點】利用整式的混合運算化簡求值
【解析】【分析】(1)先運用完全平方公式、多項式乘以多項式展開，然后合并，再把x的值代入計算解題；
(2)先根據單項式乘以多項式、平方差公式展開，然后去括號合并，再整體代入計算解題.
21．（2025七下·瑞安期中）如圖，直線 CD，EF 交于點 O，OA，OB 分別平分 和 ，且 .
（1） 請判定直線 AB 與 CD 的位置關系，并說明理由；
（2） 若 ，求 的度數.
【答案】（1）解： ，理由如下：
分別平分和，
，
，
，
，
，
.
（2）解：平分，
，
，
∵設，則，，
∴.
∵，
∴，
∴.
【知識點】角的運算；角平分線的概念；內錯角相等，兩直線平行
【解析】【分析】(1)根據角平分線平分角，結合平角的定義推出 推出 即可得出結論；
(2)根據角平分線平分角，得到 結合平角的定義和. 進行求解即可.
22．（2025七下·瑞安期中） 在月歷上，我們可以發現其中某些日期滿足一定的規律，某興趣小組對此進行了活動探究.
探究主題：月歷中的數學
初步探究 ⑴圖1是2025年4月份的月歷，用圖2所示的“Z”字型框架任意框住月歷中的5個數（如圖1中 的陰影部分），將位置B，D上的數相乘，位置A，E上的數相乘，再相減，嘗試計算： ▲ ；
猜測說明 ⑵多次嘗試可以發現，上述運算結果都是定值.設“Z”字型框架中位置C上的數為x，請利用整 式運算的有關知識對上述規律進行說明；
深度探究 ⑶在某張月歷中，兩個“Z”字型框架如圖3擺放，若每框中A，E上的數各自相乘，兩積之差為 360，求a，b的值.
【答案】解：⑴15；
⑵∵C上的數為x，
∴B上的數為，D上的數為，A上的數為，E上的數為
∴；
⑶∵兩框A.E上的數各自相乘，其差為360.
∴，
又∵，
∴，
∴.
【知識點】整式的混合運算；一元一次方程的實際應用-數字、日歷、年齡問題
【解析】【解答】（1）解：，
故答案為：15；
【分析】(1)計算得到結果，歸納總結即可得到結果；
(2)設“Z”字型框架中位置C上的數為x，則A，B，D，E四個數依次為 ，根據題意列出關系式，去括號合并得到結果，即可證明；
(3)中間位置上的數為a，則最小的數為 最大的數為 ，根據題意列出關系式， 即可求解.
23．（2025七下·瑞安期中） 為了鼓勵市民節約用水，某市居民生活用水按階梯式水價計費.下表是該市“一戶一表”生活用水階梯式計費價格表的部分信息：
自來水銷售價格 污水處理價格
每戶每月用水量 單價：元/噸 單價：元/噸
17噸及以下 A 0.50
超過17噸但不超過30噸的部分 B 0.50
超過30噸的部分 3.00 0.50
(說明：①每戶生產的污水量等于該戶自來水用量；②水費=自來水費用+污水處理費)
已知小王家 2024 年 7 月用水 15 噸，交水費 30 元；8 月份用水 26 噸，交水費 61 元.
（1） 求 a，b 的值.
（2） 如果小王家 9 月份上交水費 108 元，則小王家這個月用水多少噸？
（3） 小王家 10 月份忘記去交水費，當他 11 月去交水費時發現兩個月一共用水 52 噸（其中 10 月份用水超過 30 噸），一共交水費 132.59 元（其中包含 10 月份的滯納金，即 10 月份水費的 2%），求小王家 11 月份用水多少噸.（滯納金：因未能按期繳納水費，逾期要繳納的“罰款金額”）
【答案】（1）解：由題意，得，
解得；
（2）解：由題意可知，（元），（元），（元），
設小王家這個月用水 x 噸，
由題意，得，
解得.
答：小王家這個月用水 40 噸；
（3）解：設 11 月份用水 m 噸，則 10 月份用水噸.
①當 ，
可得 ，
解得；
②當 ，
可得 ，
解得 ( 舍去 )，
即小王家 11 月份用水 13 噸.
【知識點】一元一次方程的實際應用-計費問題；二元一次方程組的實際應用-計費
【解析】【分析】(1)根據“小王家2024年7月用水15噸， 交水費30元；8月份用水26噸，交水費61元”，可列出關于a，b的二元一次方程組，解之即可得出結論；
(2)設小王家這個月用水x噸，根據小王家9月份上交水費108元，可列出關于x的一元一次方程，解之即可得出結論；
(3)設小王家11月份用水y噸，則小王家10月份用水 噸， 分 及 兩種情況考慮，根據小王家一共交水費132.59元，可列出關于y的一元一次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結論.
24．（2025七下·瑞安期中）如圖，直線AB∥CD，直線MN⊥AB分別交AB，CD于點M，N，直角三角板EMF如圖放置，∠FEM=30°，直線NG∥EF。
（1）求∠GND的度數。
（2）將三角板EMF繞點M以每秒2°的速度順時針旋轉，得到三角板E'MF'，旋轉的時間為t（0①當三角板E'MF'的一邊與直線NG平行時，求t的值；
②三角板EMF繞點M旋轉的同時，直線NG繞點N以每秒3°的速度逆時針旋轉到NG'，若NG'⊥E'M，求t的值。
【答案】（1）解：
，
（2）解：①如圖1，∵0∴只有 MF'∥NG 一種情形，
則∠FMF'=∠MNG=60°，
∴2t=60，∴t=30。
②如圖2，此時∠MPN=90°。
∵∠BMP+∠DNP=∠MPN，
∴2t+30+3t=90，
∴t=12。
如圖3，此時∠MPN=90°.
∵∠EMP+∠CNG'=90°，
∴180-2t+150-3t=90，
∴t=48。
綜上，若 NG'⊥E'M ，則t的值為12或48。
【知識點】平行線的性質；平行線的判定與性質的應用-三角尺問題
【解析】【分析】(1)由三角板可知 再根據平行的性質即可得解；
(2)①根據題意可知只有 一種情形， 所以 進而得解；
②在旋轉過程中會出現兩次垂直，分別是 在MN左側和右側，分別畫出圖形，建立方程求解即可.
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