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豐城市第九中學2024-2025學年高一下學期期中考試數學試題
一、單選題
1．已知集合，若，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
2．函數的值域為（ ）
A． B． C． D．
3．已知，則（ ）
A． B． C． D．
4．函數的零點所在的區間是（ ）
A． B． C． D．
5．按從小到大排列的一組數據的分位數為（ ）
A．96 B．96.5 C．97 D．97.5
6．某檢測箱中有10袋食品，其中有2袋符合國家衛生標準，質檢員從中任取1袋食品進行檢測，則它符合國家衛生標準的概率為（ ）
A． B． C． D．
7．在中，是的中點，，若，則的值分別為（ ）
A．， B．，
C．， D．，
8．已知是上的連續函數，滿足有，且.則下列說法中正確的是（ ）
A． B．為奇函數
C．的一個周期為8 D．是的一個對稱中心
二、多選題
9．已知且，則下列結論正確的是（ ）
A． B．
C． D．
10．下列關于平面向量的說法中正確的是（ ）
A．O為點A，B，C所在直線外一點，且，則
B．已知非零向量，且與的夾角為銳角，則實數的取值范圍是
C．已知向量，則在上的投影向量的坐標為
D．若點G為△的外心，則
11．現定義：定義域和值域均為正整數的單調增函數稱為“正直函數”，已知正直函數滿足，，則（ ）
A． B． C． D．
三、填空題
12．已知，則 .
13．定義在R上的函數，恒有，當時，，則方程的解為
14．如圖，在平面四邊形ABCD中，，．若點為邊CD上的動點，則的最小值為 ．
四、解答題
15．已知向量，，，且，.
(1)求與；
(2)求向量與的夾角的余弦值.
16．設函數．
(1)求函數的最小正周期和對稱軸方程；
(2)求函數在上的最大值與最小值及相對應的的值．
17．在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若.
(1)求角A的大小；
(2)若，∠BAC的角平分線交BC于點D，求線段AD長度的最大值.
18．某商場為了吸引顧客，規定購買一定價值的商品可以獲得一次抽獎機會，獎品價值分別為10元、20元、30元、40元．已知甲抽到價值為10元、20元、30元、40元的獎品的概率分別為，且每次抽獎結果相互獨立．
(1)已知甲參與抽獎兩次，求甲兩次抽到的獎品價值不同的概率；
(2)求甲參與抽獎三次，抽到兩種不同價值的獎品，且獲得的獎品價值總和不低于80元的概率．
19．已知函數圖象上兩條相鄰的對稱軸之間的距離為，將函數的圖象向左平移個單位長度，得到函數的圖象，設．
(1)求函數在上的值域；
(2)若對任意的恒成立，求的最大值；
(3)若任取，總存在，使成立，求的取值范圍．
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A A D B D B B D AB ACD
題號 11
答案 BD
1．A
根據數集的并集運算求參數的取值范圍.
【詳解】因為，，
所以.
故選：A.
2．A
結合函數單調性即可求解.
【詳解】易知為減函數，
所以.
所以函數的值域為，
故選：A
3．D
由對數的換底公式及對數的運算性質即可求出結果.
【詳解】，
，.
故選：D.
4．B
先判斷函數的單調性，再結合函數零點的存在性定理進行判斷即可.
【詳解】函數的定義域為，
因為函數在上為增函數
，又因為函數在上為增函數，
故函數在上為增函數.
因為，則.
由零點存在定理可知，函數的零點所在的區間是.
故選：B
5．D
利用百分位數的計算原理計算即可.
【詳解】共10個數，，所以分位數為第8個，第9個數據的平均數，即
故選：D
6．B
根據古典概型概率公式即可求解.
【詳解】箱中有10袋食品，其中有2袋符合國家衛生標準，質檢員從中任取1袋食品進行檢測，則它符合國家衛生標準的概率為.
故選：B.
7．B
利用平面向量的線性運算，結合平面向量基本定理計算求值即可.
【詳解】
如圖，因為，所以點為線段的中點，則有,
因為是的中點，所以，
所以.
所以，.
故選：B.
8．D
對中分別賦值，得出，進一步研究函數的奇偶性與對稱性，對選項逐一分析即可.
【詳解】對于A選項，由題，令，則
，故A不正確；
對于B選項，令，則，即，則為偶函數，故B不正確；
對于C選項，令，則，
故，兩式相加整理得：即
故，故的一個周期為6，
則，故的一個周期為8不成立，C不正確，
對于D選項，由且為偶函數，故，
所以是的一個對稱中心，故D正確；
故選：D.
9．AB
計算即可得出A；根據A判斷范圍，再利用齊次化思想得到，即可得出B. C；利用齊次化思想得到D.
【詳解】由，得，所以，A正確；
因為，所以，，則，
而，得出或，
若，則，與矛盾.
故，故C錯誤；
，B正確；
，D錯誤．
故選：AB
10．ACD
對A，由，，三點共線，有，其中，即可求得的值；對B，由向量夾角的坐標表示即可判斷；對C，根據投影向量的概念結合條件即得結果；對D，根據三角形外心的概念得解.
【詳解】對于A，由，，三點共線，為點，，所在直線外一點，
有，其中，即，所以，故A正確；
對于B，，因為與的夾角為銳角，
則，解得，
當與共線時，，解得，
所以實數的取值范圍是，故B不正確；
對于C，，，
所以在上的投影向量的坐標為，故C正確；
對于D，因為點為的外心，所以，故D正確.
故選：ACD.
11．BD
對于A：假設，結合題意推出矛盾；對于BC：結合選項A可知：或（且），假設，結合題意推出矛盾，可得，即可得；對于D：可求，結合單調性分析求解.
【詳解】對于選項A：若，則，
可得，兩者相矛盾，故A錯誤；
對于選項B：因為為正整數，且單調遞增，
結合選項A可知：或（且）．
若（且），
令，則；
再令，則，可得．
因為，則，即，
這與矛盾．即（且）不成立．
所以，可得，即，故B正確；
對于選項C：令，，即．故C錯誤；
對于選項D：令，，即．
又為正整數．且單調遞增，所以，故D正確；
故選：BD.
12．/0.3
應用商數關系有，結合平方關系得，即可求解.
【詳解】由，而，
所以，則.
故答案為：
13．或
由可得，分析出函數的部分解析式，作出函數圖象，先由，求出對應的值，根據圖象可得答案．
【詳解】由，可得，
又當時，，
所以，
由上的圖象，可作出的圖象，如圖．
當時，
當時，，又
由，可得.
故答案為：或
14．
建立平面直角坐標系，將幾何問題轉化為代數問題，把向量用坐標表示，進而計算數量積并結合函數性質求出最小值.
【詳解】以為坐標原點，所在直線為軸建立平面直角坐標系.
因為，，所以，.
設，由，，，
，則①；
又，，，，即，
得，代入①式解得，所以.
設，，則，
,
所以點坐標為.
則.
，
所以當時，取得最小值.
故答案為：
15．(1)，
(2)
（1）根據平面向量共線和垂直的坐標公式計算即可.
（2）求出向量與的坐標，根據向量的夾角公式求解.
【詳解】（1）由，可得，得，故，
由，可得，得，故.
（2）由（1），，，
設向量與的夾角為，
則.
所以向量與的夾角的余弦值為.
16．(1)，
(2)最大值是2， 的最小值是，
（1）利用正弦型函數的周期公式可求最小正周期，利用整體法可求對稱軸方程；
（2）由已知可得的范圍，進而結合正弦曲線的性質可求得函數的最值及此時的值.
【詳解】（1）函數的最小正周期為，
由，可得，
所以函數的圖象對稱軸方程為．
（2）由（1）知，在上，，
故當，即時，取得最大值為2，
當，即時，取得最小值為，
故的最大值是2，此時的最小值是，此時．
17．(1)
(2)
（1）由得，由正弦定理有，由余弦定理即可求解
（2）由余弦定理得，利用基本不等式得，由得，由均值不等式即可求解.
【詳解】（1）因為，
所以，
即，
由正弦定理得，即，
由余弦定理得，
又， 所以.
（2）因為，，
所以由余弦定理得，
即，
所以，
即（當且僅當時，等號成立），
因為，
所以，解得，
因為（當且僅當時，等號成立），
所以（當且僅當時，等號成立），
所以長度的最大值為.
18．(1)
(2)
（1）先求得甲兩次抽到相同獎品的概率，利用對立事件的概率公式可求得甲兩次抽到的獎品價值不同的概率；
（2）先得甲參與抽獎三次，抽到兩種不同價值的獎品的所有情況，求得對應的概率，利用互斥事件的概率加法公式求解即可.
【詳解】（1）記甲兩次抽到相同獎品為事件，
記甲在一次抽獎中抽到值為10元、20元、30元、40元分別為事件，
則，
，
所以甲兩次抽到的獎品價值不同的概率為；
（2）甲參與抽獎三次，抽到兩種不同價值的獎品，所以其中一種獎品抽到兩次，另一種抽到一次.
又獲得的獎品價值總和不低于80元，
故可能兩次抽到40元，一次抽到30元或兩次抽到40元，一次抽到20元或兩次抽到40元，一次抽到10元或兩次抽到30元，一次抽到40元或兩次抽到30元，一次抽到20元或兩次抽到20元，一次抽到40元，
又兩次抽到40元，一次抽到30元的概率，
兩次抽到40元，一次抽到20元的概率，
兩次抽到40元，一次抽到10元的概率，
兩次抽到30元，一次抽到40元的概率，
兩次抽到30元，一次抽到20元的概率，
兩次抽到20元，一次抽到40元的概率，
所以獲得的獎品價值總和不低于80元的概率為：
.
19．(1)
(2)
(3)
（1）先根據周期確定的值，再求函數在上的值域.
（2）先明確函數的解析式，再根據，分離參數得：，再轉化為求函數的最小值即可.
（3）把問題轉化成兩個函數值域的包含關系，求參數的取值范圍.
【詳解】（1）根據題意，函數的周期為.
由.所以.
當時，，所以，所以，
即所求函數的值域為：.
（2）由題意：.
所以.
因為當時，，所以.
由.
因為（當時取“”）.
所以.
所以的最大值為：.
（3）當時，的值域為.
設函數的值域為，由題意：.
設，則，則函數，，對稱軸為.
所以，，.
由或.
當時，，所以函數在上單調遞減，所以，
由；
當時，，所以函數在上單調遞增，所以，
由.
綜上的取值范圍為：.

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