資源簡介

2025年北京市高三數學一模試題分類匯編——數列
一、單選題
1．[2025北京東城·一模]已知是各項均為正整數的無窮等差數列，其中的三項為，則的公差可以為（ ）
A． B． C．4 D．3
2．[2025北京石景山·一模]等比數列中，，設甲：，乙：，則甲是乙的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
3．[2025北京朝陽·一模]已知是等比數列，，，則（ ）
A． B． C． D．1
4．[2025北京豐臺·一模]已知是公差不為0的等差數列，其前n項和為，則“，”是“”的（ ）
充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
5．[2025北京延慶·一模]已知等比數列的公比為q，前n項和為.若，且，則下列結論錯誤的是（ ）
A． B． C． D．
6．[2025北京房山·一模]已知數列的各項均為正數，且滿足（是常數，），則下列四個結論中正確的是（ ）
A．若，則數列是等比數列
B．若，則數列是遞增數列
C．若數列是常數列，則
D．若數列是周期數列，則最小正周期可能為2
7．[2025北京平谷·一模]在等比數列中，，記，則數列（ ）
A．無最大項，有最小項 B．有最大項，無最小項
C．有最大項，有最小項 D．無最大項，無最小項
8．[2025北京海淀·一模]已知是公差為的等差數列，是公比為的等比數列．若，則“是遞增數列”是“”的（ ）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
9．[2025北京順義·一模]設為等比數列，則“存在，使得”是“為遞減數列”的（ ）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
10．[2025北京海淀·一模]對于無窮數列和正整數，若存在滿足且，則稱數列具有性質．下列選項中錯誤的是（ ）
A．若，則數列不具有性質
B．若，則數列具有性質
C．存在數列和，使得和均不具有性質，且具有性質
D．若數列和均具有性質，則具有性質
11．[2025北京西城·一模]設等比數列的前項和為，前項的乘積為．若，則（ ）
A．無最小值，無最大值 B．有最小值，無最大值
C．無最小值，有最大值 D．有最小值，有最大值
二、填空題
12．[2025北京平谷·一模]《張邱健算經》是公元5世紀中國古代內容豐富的數學著作，書中記載著這樣一個問題：“有個女子善織布，每天比前一天多織相同的布，第一天織5尺，一個月（按30天計）共織了440尺，推算第10天該女子織了 尺布.”
13．[2025北京房山·一模]已知是等差數列，且，則的通項公式 .
14．[2025北京豐臺·一模]已知，，是公比不為1的等比數列，將，，調整順序后可構成一個等差數列，則滿足條件的一組，，的值依次為 .
15．[2025北京門頭溝·一模]已知數列滿足，，給出下列四個結論：
①存在，使得為常數列；
②對任意的，為遞增數列；
③對任意的，既不是等差數列也不是等比數列；
④對于任意的，都有.
其中所有正確結論的序號是 .
16．[2025北京朝陽·一模]干支紀年法是我國古代一種紀年方式，它以十天干（甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸）和十二地支（子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥）的組合來表示年份，循環紀年．比如某一年為甲子年‘，則下一年為乙丑年，再下一年為丙寅年，以此類推，排列到癸酉年后，天干回到“甲”，即甲戌年，下一年為乙亥年，之后地支回到“子”，即丙子年，以此類推．已知2025年是乙巳年，則2025年之后的首個己巳年是 年．（用數字作答）
17．[2025北京平谷·一模]已知各項均不為零的數列，其前項和是，且.給出如下結論：
①；
②若為遞增數列，則的取值范圍是；
③存在實數，使得為等比數列；
④，使得當時，總有.
其中所有正確結論的序號是 .
18．[2025北京東城·一模]已知數列滿足，且.給出下列四個結論：
①若，當時，；
②若，當時，；
③若，對任意正數，存在正整數，當時，；
④若，對任意負數，存在正整數，當時，.
其中正確結論的序號是 .
19．[2025北京順義·一模]已知函數數列滿足，.
給出下列四個結論：
①若，則有3個不同的可能取值；
②若，則；
③對于任意，存在正整數，使得；
④對于任意大于2的正整數，存在，使得；
其中所有正確結論的序號是 .
三、解答題
20．[2025北京門頭溝·一模]已知有限數列，其中，.在中選取若干項按照一定次序排列得到的數列稱為的一個子列，對某一給定正整數，若對任意的，均存在的相應子列，使得該子列的各項之和為，則稱具有性質.
（1）判斷：，，，，，，是否具有性質？說明理由；
（2）若，是否存在具有性質？若存在，寫出一個，若不存在，說明理由；
（3）若，且存在具有性質，求的取值范圍.
21．[2025北京延慶·一模]數字的任意一個排列記作，設為所有這樣的排列構成的集合．集合任意整數都有，集合任意整數都有，
（1）用列舉法表示集合；
（2）求集合的元素個數；
（3）記集合的元素個數為，證明：數列是等比數列．
22．[2025北京海淀·一模]設正整數，對于數列，定義變換，將數列變換成數列：．已知數列滿足．記．
(1)若：，寫出數列，；
(2)若為奇數且不是常數列，求證：對任意正整數，都不是常數列；
(3)求證：當且僅當時，對任意，都存在正整數，使得為常數列．
23．[2025北京朝陽·一模]已知，，，為有窮正整數數列，若存在，其使得，其中，則稱Q為連續可歸零數列．
(1)判斷：1，3，2和：4，2，4是否為連續可歸零數列？并說明理由；
(2)對任意的正整數，記，其中表示數集S中最大的數．令，求證：數列，，，不是連續可歸零數列；
(3)若，，，的每一項均為不大于的正整數，求證：當時，Q是連續可歸零數列．
24．[2025北京西城·一模]如圖，設是由個實數組成的行列的數表，其中表示位于第行第列的實數，且滿足與均是公差不為的等差數列．
…
…
…
…
若根據條件，能求出數表中所有的數，則稱能被確定．
(1)已知，分別根據下列條件，直接判斷數表能否被其確定；
條件“已知”；
條件“已知”．
(2)設條件“任意給定數表中的個數”，能被確定，證明：的最小值為；
(3)設條件“已知集合或其中中的任意個元素”，求的最小值，使得能被確定．
25．[2025北京石景山·一模]已知有窮數列：，，…，經過一次M變換后得到數列：，，…，，．
其中，表示a，b中的最小者．記數列A的所有項之和為．
(1)若：1，3，2，4，寫出數列并求；
(2)若：，，…，是1，2，3，…，n的一個排列，例如，當時，4，1，3，2可以為1，2，3，4的一個排列．
（i）當時，求的最小值；
（ii）若經過一次M變換后得到數列，求的最小值．
26．[2025北京豐臺·一模]已知無窮遞增數列各項均為正整數，記數列為數列的自身子數列.
（1）若，寫出數列的自身子數列的前4項；
（2）證明：；
（3）若數列與是公差分別為，的等差數列.
（i）證明：；
（ii）當，時，求數列的通項公式.
27．[2025北京平谷·一模]對于數列，若滿足，則稱數列為“數列”.定義變換，若，將變成0，1，若，將變成1，0，得到新的“數列”.設是“數列”，令.
(1)若數列.求數列；
(2)若數列共有10項，則數列中連續兩項相等的數對至多有多少對？請說明理由；
(3)若為0，1，記數列中連續兩項都是0的數對個數為.求關于的表達式.
28．[2025北京延慶·一模]數字的任意一個排列記作，設為所有這樣的排列構成的集合.集合任意整數都有，集合任意整數都有.
（1）用列舉法表示集合；
（2）求集合的元素個數；
（3）記集合的元素個數為，證明：數列是等比數列.
29．[2025北京順義·一模]已知數列：各項為正整數.對任意正整數，定義：，，其中表示有限集中的元素個數，規定.
(1)對于數列：1，3，2，2，寫出，，，的值；
(2)若數列：滿足.
（i）若，令，當時，求；
（ii）求證：.
30．[2025北京東城·一模]已知有限數列滿足.對于給定的，若中存在項滿足，則稱有項遞增子列；若中存在項滿足，則稱有項遞減子列.當既有項遞增子列又有項遞減子列時，稱具有性質.
(1)判斷下列數列是否具有性質；
①；
②.
(2)若數列中有，證明：數列不具有性質；
(3)當數列具有性質時，若中任意連續的項中都包含項遞增子列，求的最大值.
參考答案
1．【答案】C
【詳解】因為是各項均為正整數的無窮等差數列，所以只能是常數數列或單調遞增數列，
若中的三項為，則它們在數列中的位置只能是排在前，排在后，
由，，由同時是公差的倍數，
所以公差可以為.
故選C.
2．【答案】C
【詳解】已知等比數列中，若，設公比為.
根據等比數列通項公式，即，解得.
再根據通項公式求，所以由能推出，充分性成立.
若，同樣根據等比數列通項公式，即，解得，則.
又因為，所以由能推出，必要性成立.
由于充分性和必要性都成立，所以甲是乙的充要條件.
故選C.
3．【答案】A
【詳解】已知，，可得公比.
再將，代入通項公式，可得，解得.
可得：；；.
可得：.
故選A.
4．【答案】A
【詳解】若，這意味著是數列中的最大值.
因為是公差不為的等差數列，所以該數列的前項和是關于的二次函數（且二次項系數不為），其圖象是一條拋物線.
當是最大值時，說明從第項開始數列的項變為非正數，即，且（若，那么，與是最大值矛盾）.
所以由“”可以推出“”，充分性成立.
若，僅知道第項是非負的，但無法確定就是的最大值.
例如，當公差時，數列是遞增數列，那么會隨著的增大而增大，此時就不是最大值，即不能推出，必要性不成立.
因為充分性成立，必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要條件.
故選A．
5．【答案】C.
【詳解】對于選項B：因為，且對恒成立，
則，整理可得恒成立，
則，故B正確；
對于選項A：因為，故A正確；
對于選項C：因為，
由前面B項，已得，則，，而，
則，故C錯誤；
對于選項D：因為，即，故D正確.
故選C.
6．【答案】C
【詳解】對于A中，若，可得，即，
當且時，兩邊取對數，可得，即，
此時數列表示首項為，公比為的等比數列；
當時，可得，此時，數列不能構成等比數列，故A錯誤；
對于B中，當時，可得，即，
例如：當時，由，可得，
又由，可得，此時，
所以，當，數列是不一定是遞增數列，所以B錯誤；
對于C中，若數列為常數列，則，
因為，即，
又因為，所以，
所以的取值范圍為，所以C正確；
對于D中，假設數列是周期數列，且最小正周期為，即且，
因為，可得，所以，
則，即，
又因為數列的各項均為正數，即，
所以，即，這與矛盾，
所以數列的最小正周期不可能是，所以D錯誤.
故選C.
7．【答案】C
【詳解】設等比數列的公比為，
由，
則，解得，，
則，
則
，
設，則，
所以，
則時，，即，
當時，，即，
則，則為最大項，
此時為正數項，且在正數項中最大；
再比較和，其中一個為第二大的項，
由于，，因此為最小項.
故選C.
8．【答案】D
【詳解】若是遞增數列，則對所有的正整數都成立，
充分性：若是遞增數列，則
即恒成立，又，，
①若數列為無窮數列，
若，則，時，，所以；
若，則，時，，所以，
此時充分性成立；
②若數列為有窮數列，
若， ，只需即可，此時充分性不成立.
必要性：時，
若，有，則不一定成立，故必要性不成立；
即時，“是遞增數列”是“”的既不充分也不必要條件.
故選D.
9．【答案】B
【詳解】假設等比數列的公比，首項，則數列的項依次為，
當時，滿足，但是不是遞減數列，
故充分性不滿足；
若為遞減數列，則對于任意的，必然有，
故必要性滿足；
所以“存在，使得”是“為遞減數列”的必要而不充分條件.
故選B．
10．【答案】D
【詳解】因，則，由于是個不同的正整數，
因此不可能相等，故數列不具有性質，故A正確；
B，，故當為偶數時，，此時，
故取為個不同的偶數，此時，
則數列具有性質，故B正確；
取，由A選項可知，數列不具有性質；取，
則，由于是個不同的正整數，因此不可能相等，
故數列不具有性質；，則，
故任取為個不同的正整數，
有，則數列具有性質，故C正確；
取，，則當為奇數時，，
故取為個不同的奇數，此時，
故數列具有性質；當為偶數時，，故取為個不同的偶數，
此時，故數列具有性質；，
則，由于為個不同的正整數，
則，，，不可能相等，
此時數列不具有性質，故D錯誤.
故選D.
11．【答案】D
【詳解】由已知，是等比數列，，即，可得，
若，則，可計算當時，，
結合，可得即為的最小值，
同理，當，，當，，可知的最小值為，
綜上可得，有最小值.
由可得，，
根據等比數列的性質，，必有滿足對于所有，，
因為一定是正負交替出現，可得一定存在最大值.
綜上，對于滿足已知條件的等比數列，滿足有最小值，有最大值.
故選D
12．【答案】11
【詳解】由題得每天的織布數成等差數列，首項，記公差為，
由題得，所以
所以.
13．【答案】
【詳解】設等差數列的公差為，
由，
因代入解得，
故.
14．【答案】（答案不唯一）
【詳解】設等比數列，，的公比為，則等比數列為，
不妨設調整順序后的等差數列為，則，
∵，∴，解得或（舍），
令，則，，
∴滿足條件的一組，，的值依次為.
15．【答案】②③④
【詳解】對于①，若為常數列，則，根據遞推公式，
可得，進而可得，解得，又，
故不存在，使得為常數列，故①錯誤；
對于②，對于，由遞推公式，可得，
所以，，所以，
所以數列是遞增數列，結論②正確；
對于③，若是等差數列，則為常數，可得常數，
則可得是常數數列，則，與矛盾，
故對任意的，既不是等差數列，
若是等比數列，則為常數。根據遞推公式，
即為常數，則為常數數列，則可得，這與矛盾，
所以對任意的，不是等比數列；
綜上所述：對任意的，既不是等差數列也不是等比數列，故③正確；
對于④，由，兩邊平方得，故④正確.
16．【答案】2049
【詳解】天干是以10為公差的等差數列，地支是以12為公差的等差數列，
從2025年是乙巳年，以2025年的天干和地支分別為首項，
因為地支為巳，則經過的年數為12的倍數，
又因為2025年為天干為乙，到天干為已，需經過丙、丁、戊、己，
故經過年數除以10的余數為4，故需經過24年，所以2025年之后的首個已巳年是2049.
17．【答案】①②④
【詳解】由得，相減可得，
由于各項均不為零，所以，所以的奇數項和偶數項分別為公差為1的等差數列，
對于①，，故正確；
對于②，由于的奇數項和偶數項分別為公差為1的等差數列，所以，
若，則需要，則，故正確，
對于③，，若為等比數列，則為常數，則，
此時，故，進而可得數列的項為顯然這不是等比數列，故錯誤，
對于④，若，只要足夠大，一定會有 ，
則，只要足夠的大， 趨近于0，
而，顯然能滿足，故，當時，總有，故正確.
18．【答案】①③④
【詳解】因為且，所以，
所以是首相為，公比為的等比數列，所以，
即，所以，
又因為，
所以是首相為，公比為的等比數列，所以，
即，
對于①，若，當時，
，
當且為奇數時，；
當且為偶數數時，；
綜上，即，故①正確；
對于②，若，取，則，故②錯誤；
對于③，若，則，
對任意正數，由得，
所以，又，
當時上式一定成立，即，
故存在正整數，當時，，故③正確；
對于④，若，則，
對任意負數，由得，
所以，又，
當時成立，即，
故存在正整數，當時，，故④正確.
19．【答案】①②④
【詳解】①所以若，
當時，，解得．
當時，則，解得，當時，則，解得；
當時，，解得，當時，則，解得，當時，則，解得（舍去）；
綜上可得：可以取3個不同的值：5，，．因此①正確．
②若，則，，，可得．數列是周期為3的數列，故②正確．
③當時，，，，
所以不存在正整數，，故③正確．
④先考慮數列的周期性，
對于，則，，
，，，要使是周期數列，
則有，解得，
從而存在，使得數列是周期數列，周期為，
從而要使周期為，只需，即即可，故④正確．
20．【答案】（1）具有，理由見解析；
（2）不存在，理由見解析；
（3）.
【詳解】（1）根據定義知取，有；
取，有，
取，有，
即對任意，都存在的相應子列，使得該子列的各項之和為，
所以：，，，，，，具有性質；
（2）不能，理由如下：
假設，具有性質，
因為，所以M的任意四項和小于4，
所以，
則對于M的任意四項子列S，不妨設，
有，
又具有性質，，所以M的任意三項和小于3，
故不存在的子列其各項和為3，與具有性質矛盾，
所以時，不存在具有性質；
（3）由題可知，時，又，所以，
由（2）道理相同可知，，
取，
因為，
，，
所以具有性質，
綜上.
21．【答案】(1),；(2)的元素個數為1；(3)證明見詳解
【詳解】(1),
(2)考慮集合中的元素．
由已知,對任意整數都有,
所以,
所以．
由的任意性可知,是的單調遞增排列,
所以．
又因為當時,對任意整數
都有．
所以,所以．
所以集合的元素個數為1．
(3)由(2)知,．
因為,所以．
當時,考慮中的元素．
(i)假設．由已知,,
所以,
又因為,所以．
依此類推,若,則,,．
①若,則滿足條件的的排列有1個．
②若,則．
所以．
此時滿足條件的的排列有1個．
③若,
只要是的滿足條件的一個排列,就可以相應得到的一個滿足條件的排列．
此時,滿足條件的的排列有個．
(ii)假設,只需是的滿足條件的排列,此時滿足條件的的排列有個．
綜上．
因為,
且當時,,
所以對任意,都有．
所以成等比數列．
22．【答案】(1)；；
(2)證明見詳解；
(3)證明見詳解.
【詳解】（1）由題意可得；.
（2）證明：設，其中．
假設存在正整數，使得是常數列，由不是常數列，
不妨設不為常數列且為常數列，
記，則．
令,
當時，因為，且，所以．
故．
此時為常數列，矛盾．
另法：
①若，則，
有
此時為常數列，矛盾．
②若，則，
有，
矛盾．
綜上，對于任意正整數，都不是常數列.
（3）首先證明，若，其中，
則存在項的數列，使得對任意的正整數都不是常數列．
證明：構造項的數列，其中，
構造項的數列，
對任意的正整數，設，則，
因為不是常數列，故不是常數列．
其次證明：若，其中，對任意，都存在正整數是常數列．
證明：假設存在，其中，使得存在數列，
使得對任意的正整數都不是常數列，不妨設的最小值為．
情形一：，則，記，則為常數列，矛盾．
情形二：，對任意的數列，則
，
記，
定義數列，其中．
則．
則依此類推，對任意正整數，記，
存在正整數，使得為常數列，記，則數列均為常數列，
設，則的各項均為．即時，是常數列，矛盾．
綜上，當且僅當時，對任意，都存在正整數，使得為常數列．
23．【答案】(1)數列是連續可歸零數列，數列不是連續可歸零數列，理由見解析
(2)證明見解析
(3)證明見解析
【詳解】（1）數列是連續可歸零數列，理由如下：
取，則，
所以數列是連續可歸零數列．
數列不是連續可歸零數列，理由如下：
當時，，
因為是奇數，故是奇數，所以．
當時，，
因為是奇數，故是奇數，所以．
當時，，
因為是奇數，故是奇數，所以．
所以數列不是連續可歸零數列．
（2）因為1，3，5，7是奇數，故，
所以．
因為，所以．
因為，所以．
所以數列．
因為，
所以與奇偶性相同．
當或時，因為中，為奇數，其余各項均為偶數，
所以為奇數．
所以．
當取時，
由（1）可知，
綜上，數列不是連續可歸零數列．
（3）設，
則是整數數列．
下面證明對任意，均有．
顯然滿足．
假設結論不成立，則存在，使得或，
且當時都有．
（i）若，當時，，
因為，所以，矛盾；
當時，，
因為，所以，矛盾．
（ii）若，當時，，
因為，所以，矛盾；
當時，，
因為，
又是整數，所以，矛盾．
綜上，對任意，均有．
若存在，使得，
則存在且，使得，
此時數列是連續可歸零數列．
若任意，
因為中共個非零整數，
當時，數列中存在且，使得，
從而存在，使得，
此時數列是連續可歸零數列．
綜上，當時，數列是連續可歸零數列．
24．【答案】(1)數表不能被確定，數表能被確定；
(2)證明見詳解；
(3).
【詳解】（1）數表不能被確定；數表能被確定；
對于條件，假設數表中每行、每列的公差都相等，均為，
則，，，
則，
、均無法確定，故數表不能被確定；
對于條件，因為、確定，可以根據確定，則第二行可以全部確定，
對于第二列，由于確定，結合可確定第二列的公差，進而可求出，則第二列可以全部確定，
對于第三行，由于確定了，結合可求出第三行的公差，由此可確定，則第三行可以全部確定，
對于第一列，由于確定了、，可以求出第一列的公差，由此可確定，則第一列可以全部確定，
綜上所述，數表可由條件確定；
（2）對于一個公差為的等差數列，若知其中兩項與，
便可根據，求出該等差數列中的每一項，
故對于數表中的任意一行（或列），若知道其中的兩個數，便可利用條件得到該行（或列）中的所有數，
一方面，若知這個數，則無法求出，故不能得出數表中所有的數，
所以，
另一方面，若知數表中的任意個數，則必存在表中的兩行，且這兩行中至少有兩個數已知，
于是數表中這兩行的數都能被求出，即數表中每一列都至少有兩個數已知，
所以數表中所有的數都能求出，即能被確定，
綜上，的最小值為；
（3）當時，若知中的個數，則不能求出中所有的數，
當時，已知與中的任意個數，
則必存在兩個數在中位于同一行（記為第行），從而可求出這一行中的所有數，
因為與中至多有兩個數在同一行，
所以除去第行的兩個數外，余下已知的個數必在其余的行中，
當時，通過列舉可知，余下已知的2個數不在同一列中（所在列分別記為第列和第列），
當時，，
因為在與中至多有兩個數在同一列，
所以至少有兩列（記為第列和第列）中含有這已知的數中的數，
又因為第行的數均已得到，
所以在第列與第列中均至少知道兩個數，故這兩列中所有的數都可求出，
于是數表中每一行至少有兩個數均已得到，從而可求出數表中所有的數，
綜上，的最小值為．
25．【答案】(1)：1，2，2，1；；
(2)（i）9；（ii）
【詳解】（1）由題意，，即1，2，2，1；
所以；
（2）（i）由題意知，中元素兩兩互異，故中的任一元素，
如，在中至多在和中出現兩次（規定，），
且若出現兩次，則這兩個數處于鄰位（和也視為鄰位），
所以的所有項中至多有兩個1和兩個2．所以，
當為1，4，2，5，3時取得等號，所以的最小值為9；
（ii）同（i）可知，中的任一元素若在中僅出現一次，則在中至多出現兩次，
若在中出現兩次，由于這兩個數處于鄰位，故在中至多出現三次，
①若，則，
當滿足時取得等號，
②若，則，
當滿足時取得等號，
③若，則，
當滿足時取得等號，
綜上，
26．【答案】（1）1，5，9，13；
（2）見詳解；
（3）
【詳解】（1）因為
所以數列的自身子數列為，
所以前4項為：，
即數列的自身子數列的前4項為1，5，9，13.
（2）因為數列是遞增數列且各項均為正整數，于是，
所以，
設，則，
所以.
（3）（i）由題得，，
又及是遞增數列，得，
即，
即，
由于對任意正整數均成立，則，否則矛盾.
所以.
（ii）由，
若存在，使得，
設，
不妨設，有，
則，
又，
因此與矛盾，
所以對任意，都有.
若存在，使得，
設，
不妨設，有，
則，
又，
因此與矛盾，
所以對任意，都有，
綜上，對任意，都有.
設，
則數列是公差為的等差數列，，
又，
因此，又，
所以.
27．【答案】(1)
(2)至少有19對，理由見解析
(3)答案見解析
【詳解】（1）由變換的定義可得.
（2）數列中連續兩項相等的數對至多有19對.
證明：對于任意一個“數列”中每一個1在中對應連續四項，
在中每一個0在中對應的連續四項為，
因此，共有10項的“數列”中的每一個項在中都會對應一個連續相等的數對，
在中若出現連續兩項的數對最多，
對于中的每一個第項和第項之間產生一個連續相等的數對，
所以中至多有19對連續相等的數對.
比如：取，則
（3）設中有個01數對，
中的00數對只能由中的01數對得到，所以，
中的01數對有兩個產生途徑：①由中的1得到；②由中00得到，
由變換的定義及可得中0和1的個數總相等，且共有個.
所以，得，
由可得，
所以，
當時，
若為偶數，．
上述各式相加可得，
經檢驗，時，也滿足．
若為奇數，．
上述各式相加可得，
經檢驗，時，也滿足．
所以．
28．【答案】(1),；
(2)的元素個數為1；
(3)證明見解析.
【詳解】(1),；
(2)考慮集合中的元素.
由已知,對任意整數都有,
所以,所以.
由的任意性可知,是的單調遞增排列,
所以.又因為當時,對任意整數
都有.所以,所以.所以集合的元素個數為1.
(3)由(2)知,.因為,所以.
當時,考慮中的元素.
(i)假設.由已知,
所以,又因為,所以.
依此類推,若,則,,.
①若,則滿足條件的的排列有1個.
②若,則.所以.
此時滿足條件的的排列有1個.
③若,只要是的滿足條件的一個排列,
就可以相應得到的一個滿足條件的排列.
此時,滿足條件的的排列有個.
(ii)假設,只需是的滿足條件的排列,此時滿足條件的的排列有個.
綜上.
因為,且當時,,
所以對任意,都有.所以成等比數列.
29．【答案】(1)，，，；
(2)（i），其中；
【詳解】（1），，，；
（2）（i）令，則，根據的定義，可知數列中有兩項等于1，
根據數列的增減性質，可得；令，則，
可知數列中有四項小于等于2，可得，
以此類推可得得前項為，
，其中.
（ii）法一：用數學歸納法證明對成立，（**）
當時，令，，，
（**）式左邊=，
（**）式右邊=，
（**）式左邊=（**）式右邊，（**）式對成立；
假設時，（**）式成立，
即①
當時，（**）式左邊=
設，令，
則,，……，，，
（**）式左邊=，
（**）式右邊=
根據①可知（**）式對成立，由數學歸納法原理可知（**）成立.
（法二）設數列中等于的項分別有個，則
，，……，，，
從而,，……，，
注意到
等式成立.
30．【答案】(1)數列①具有性質，數列②不具有性質；
(2)證明見詳解；
(3).
【詳解】（1）數列①：具有性質；數列②：不具有性質.理由如下：
對數列①，記該數列為，
該數列有項遞增子列：，
該數列有項遞減子列：，故數列①具有性質；
對于數列②，記該數列為，
該數列有項遞增子列：，該數列沒有項遞減子列，
故數列②不具有性質.
（2）假設數列具有性質，則數列中存在項遞增的數列和項遞減數列，
因為，所以為，為，
所以對任意的，在中至少存在一項，
因為中有項，所以存在在中恰出現一次，不妨記為，
記，則必有，
因為遞增，遞減，
所以，數列中排在前面的項至少有，共項，
排在后面的項至少有，共項，
因為數列中有項，所以是第項，即.
這與題設矛盾，所以假設不成立，即數列不具有性質.
（3）當數列具有性質時，
記數列的項遞增子列為為和項遞減子列為，
由（2）知，數列中恰有一項既是的項，也是的項，
記，所以，
所以數列的前項由組成，
因為，
所以項數最多的遞增子列只能是或，
所以遞增子列的項數最多為，
數列的后項由組成，
所以項數最多的遞增子列是或，
所以遞增子列的項數最多為，所以，
因為，
所以當為奇數，時，有最大值，所以，
構造數列，
該數列具有性質，且滿足任意連續的項中，都包含項的遞增子列；
當為偶數，時，有最大值，所以，
構造數列，
該數列具有性質，且滿足任意連續的項中，都包含項的遞增子列，
綜上所述，.
第 page number 頁，共 number of pages 頁

展開更多......

收起↑