資源簡介

西藏2024年中考數學試題
1．（2024·西藏）下列實數中最小的是（　　）
A． B．0 C． D．1
2．（2024·西藏）下列圖形既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2024·西藏）隨著我國科技迅猛發展，電子制造技術不斷取得突破性成就，電子元件尺寸越來越小，在芯片上某種電子元件大約占．將0.0000007用科學記數法表示應為（　　）
A． B． C． D．
4．（2024·西藏）下列運算正確的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2024·西藏）如圖，已知直線，于點D，，則的度數是（　　）
A． B． C． D．
6．（2024·西藏）已知正多邊形的一個外角為，則這個正多邊形的內角和為（　　）
A． B． C． D．
7．（2024·西藏）若x與y互為相反數，z的倒數是，則的值為（　　）
A． B． C．9 D．1
8．（2024·西藏）如圖，為的直徑，點B，D在上，，，則的長為（　　）
A．2 B． C． D．4
9．（2024·西藏）如圖，在中，，，，點P是邊上任意一點，過點P作，，垂足分別為點D，E，連接，則的最小值是（　　）
A． B． C． D．
10．（2024·西藏）如圖，已知二次函數的圖象與x軸相交于點，，則下列結論正確的個數是（　　）
①
②
③對任意實數m，均成立
④若點，在拋物線上，則
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
11．（2024·西藏）分解因式： 　 　
12．（2024·西藏）甲、乙、丙三名學生參加仰臥起坐體育項目測試，他們一周測試成績的平均數相同，方差如下：，，，則甲、乙、丙中成績最穩定的學生是　 　．
13．（2024·西藏）將正比例函數的圖象向上平移3個單位長度后得到函數圖象的解析式為　 　．
14．（2024·西藏）如圖，在四邊形中，，，與相交于點O，請添加一個條件　 　，使四邊形是菱形．
15．（2024·西藏）如圖，在中，，以點B為圓心，適當長為半徑作弧，分別交，于點D，E，再分別以點D，E為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧在的內部相交于點P，作射線交于點F．已知，，則的長為　 　．
16．（2024·西藏）如圖是由若干個大小相同的“”組成的一組有規律的圖案，其中第1個圖案用了2個“”，第2個圖案用了6個“”，第3個圖案用了12個“”，第4個圖案用了20個“”，……，依照此規律，第n個圖案中“”的個數為　 　（用含n的代數式表示）．
17．（2024·西藏）計算：．
18．（2024·西藏）解不等式組：，并把解集在數軸上表示出來．
19．（2024·西藏）先化簡，再求值：，請為m選擇一個合適的數代入求值．
20．（2024·西藏）如圖，點C是線段的中點，，．求證：．
21．（2024·西藏）列方程（組）解應用題
某商場響應國家消費品以舊換新的號召，開展了家電惠民補貼活動．四月份投入資金20萬元，六月份投入資金24.2萬元，現假定每月投入資金的增長率相同．
（1）求該商場投入資金的月平均增長率；
（2）按照這個增長率，預計該商場七月份投入資金將達到多少萬元？
22．（2024·西藏）為了紀念西藏民主改革65周年，弘揚愛國主義精神，學校舉辦了“感悟歷史奇跡，擔當時代使命”的歷史知識競賽活動．從七、八年級中各隨機抽取了10名學生的競賽成績（單位：分）如下：
七年級：80 96 82 92 89 84 73 90 89 97
八年級：94 82 95 94 85 89 92 79 98 93
請根據以上信息，解答下列問題：
（1）七年級這10名學生成績的中位數是________；八年級這10名學生成績的眾數是________；
（2）若成績90分以上（含90分）定為優秀等次，請估計八年級400名學生中有多少名學生能達到優秀等次；
（3）根據本次競賽成績，七、八年級各推薦了兩名學生，學校準備再從這四名學生中隨機抽取兩人參加市級競賽，請用列表或畫樹狀圖的方法求抽到一名七年級學生和一名八年級學生的概率．
23．（2024·西藏）如圖，一次函數的圖象與反比例函數的圖象相交于，兩點．
（1）求一次函數和反比例函數的解析式；
（2）請直接寫出滿足的x取值范圍．
24．（2024·西藏）在數學綜合實踐活動中，次仁和格桑自主設計了“測量家附近的一座小山高度”的探究作業．如圖，次仁在A處測得山頂C的仰角為；格桑在B處測得山頂C的仰角為．已知兩人所處位置的水平距離米，A處距地面的垂直高度米，B處距地面的垂直高度米，點M，F，N在同一條直線上，求小山的高度．（結果保留根號）
25．（2024·西藏）如圖，是的直徑，C，D是上兩點，連接，，平分，，交延長線于點E．
（1）求證：是的切線；
（2）若的半徑為5，，求的長．
26．（2024·西藏）在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于，兩點，與y軸交于C點，設拋物線的對稱軸為直線l．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖（甲），設點C關于直線l的對稱點為點D，在直線l上是否存在一點P，使有最大值？若存在，求出的最大值；若不存在，請說明理由；
（3）如圖（乙），設點M為拋物線上一點，連接，過點M作交直線l于點N．若，求點M的坐標．
答案解析部分
1．【答案】A
【知識點】有理數的大小比較-直接比較法
【解析】【解答】解：∵，
∴下列實數中最小的是，
故答案為：A．
【分析】正數都大于0，負數都小于0，正數大于一切負數，兩個負數進行比較，絕對值大的反而小．
2．【答案】D
【知識點】軸對稱圖形；中心對稱及中心對稱圖形
【解析】【解答】解：A、繞某一點旋轉后，不能夠與原圖形重合，不是中心對稱圖形；沿一條直線折疊，直線兩旁的部分不能夠互相重合，不是軸對稱圖形；故不符合題意；
B、繞某一點旋轉后，不能夠與原圖形重合，不是中心對稱圖形；沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，是軸對稱圖形；故不符合題意；
C、繞某一點旋轉后，不能夠與原圖形重合，不是中心對稱圖形；沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，是軸對稱圖形；故不符合題意；
D、繞某一點旋轉后，能夠與原圖形重合，是中心對稱圖形；沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，是軸對稱圖形；故符合題意；
故答案為：D．
【分析】把一個圖形繞某一點旋轉后，能夠與原圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形；如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形．
3．【答案】C
【知識點】科學記數法表示大于0且小于1的數
【解析】【解答】解：將0.0000007用科學記數法表示應為，
故答案為：C．
【分析】科學記數法的表現形式為的形式，其中，為整數，確定的值時，要看把原數變成時，小數點移動了多少位，的絕對值與小數點移動的位數相同，當原數絕對值大于等于10時，是非負數，當原數絕對值小于1時，是負數.
4．【答案】C
【知識點】單項式乘單項式；單項式乘多項式；合并同類項法則及應用；積的乘方運算；冪的乘方運算
【解析】【解答】解：，故A錯誤；
，故B錯誤；
，故C正確；
，故D錯誤.
故答案為：C．
【分析】（1）利用合并同類項法則計算；
（2）利用單項式乘以多項式法則計算；
（3）利用冪的乘方與積的乘方法則計算；
（4）利用單項式乘以單項式的運算法則計算．
5．【答案】A
【知識點】兩直線平行，內錯角相等
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，故A正確．
故答案為：A．
【分析】由兩直線平行內錯角相等可把轉移到的位置上，再利用直角三角形兩銳角互余即可．
6．【答案】B
【知識點】多邊形的內角和公式；多邊形的外角和公式
【解析】【解答】解：∵正多邊形的一個外角為，
∴正多邊形的邊數為，
∴這個正多邊形的內角和為，
故答案為：B．
【分析】任意正多邊形的外角和都是，則可求出這個正多邊形的邊數，再依據正邊形的內角和公式計算即可．
7．【答案】D
【知識點】求代數式的值-整體代入求值
【解析】【解答】解：∵x與y互為相反數，z的倒數是，
∴，，
∴，
故答案為：D．
【分析】一對相反數的和為0，一對倒數的積為1．
8．【答案】C
【知識點】含30°角的直角三角形；勾股定理；圓周角定理
【解析】【解答】解：∵為的直徑，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案為：C．
【分析】先求出，利用含30°角的直角三角形的性質可得，最后利用勾股定理求出AD的長即可.
9．【答案】B
【知識點】垂線段最短及其應用；三角形的面積；矩形的判定與性質
【解析】【解答】解：中，，，，
，
連接，如圖所示：
∵于點，于點，，
∴，
四邊形是矩形，
，
當最小時，則最小，根據垂線段最短可知當時，則最小，
∴此時．
故選：B．
【分析】由垂直的概念得，，則四邊形PDCE是矩形，所以PC=DE，顯然當時，CP最小，利用勾股定理先求出斜邊AB的長，再利用面積即可求出CP的最小值，即DE的最小值．
10．【答案】B
【知識點】二次函數圖象與系數的關系；二次函數的最值；二次函數圖象與坐標軸的交點問題；二次函數圖象上點的坐標特征
【解析】【解答】解：由圖象可得：拋物線開口向上，對稱軸在軸左側，交軸于負半軸，
∴，，，
∴，
∴，故①正確；
∵二次函數的圖象與x軸相交于點，，
∴二次函數的對稱軸為直線，，，
由得：，
∵，
∴，
∴，即，故②錯誤；
當時，二次函數有最小值，
由圖象可得，對任意實數m，，
∴對任意實數m，均成立，故③正確；
∵點，在拋物線上，且，
∴，故④錯誤；
綜上所述，正確的有①③，共個，
故答案為：B．
【分析】① 由拋物線的開口向上知，由拋物線頂點坐標的大體位置知對稱軸在y左側，即同號，由拋物線與y軸交點的位置知，所以；
② 由拋物線與x軸的交點坐標為和知，對稱軸為，即或；則當時，，所以；
③ 因為拋物線開口向上，所以二次函數有最小值，即當時，最小，因此對于任意實數有，即 成立；
④ 因為拋物線的對稱軸為，所以、即離對稱軸距離越大函數值越大，所以．
11．【答案】(x-2)2
【知識點】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】x2-4x+4=（x-2）2
【分析】本題運用完全平方差公式就可以解答了.
12．【答案】丙
【知識點】分析數據的波動程度
【解析】【解答】解：∵他們一周測試成績的平均數相同，且，，．
∴，
∴成績最穩定的學生是丙，
故答案為：丙．
【分析】方差是反映一組數據穩定性的量，方差越小，數據穩定性越好；反之，數據穩定越差．
13．【答案】
【知識點】一次函數圖象的平移變換
【解析】【解答】解：正比例函數的圖象向上平移3個單位長度后得到函數圖象的解析式為：
，
故答案為：．
【分析】圖形平移的規律，上加下減、左加右減．
14．【答案】（答案不唯一）
【知識點】菱形的判定
【解析】【解答】解：添加（答案不唯一），
∵在四邊形中，，，
∴四邊形是平行四邊形，
∵，
∴四邊形是菱形，
故答案為：（答案不唯一）．
【分析】由兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形知，四邊形是平行四邊形，則根據定義判定的話需要保證鄰邊相等即可；若依據對角線判定的話只需要保證對角線垂直即可．
15．【答案】
【知識點】直角三角形全等的判定-HL；角平分線的性質
【解析】【解答】解：過F作于G，
由作圖得：平分，，，
∴，
在中根據勾股定理得：，
，，
，
，
設，則，，
在中，根據勾股定理得：
，
即：，
解得：，
，
在中根據勾股定理得：．
故答案為：．
【分析】如圖，由基本尺規作圖痕跡可判斷BF是的一條角平分線，因為角平分線上的點到角兩邊距離相等，可過點F作AB的垂線段FG，則FG=FC=3，利用勾股定理可AG=4，再利用HL定理可得BG=CD，可設BC為x，則AB=x+4，在中應用勾股定理可先求出x即BC的長，再在中應用勾股定理即可．
16．【答案】
【知識點】用代數式表示圖形變化規律；探索規律-圖形的個數規律
【解析】【解答】解：∵第1個圖案用了個“”，
第2個圖案用了個“”，
第3個圖案用了個“”，
第4個圖案用了個“”，
……，
∴第n個圖案中“”的個數為，
故答案為：．
【分析】先依次找出前四個圖案中“”的個數，則可得到“”個數的規律，即可寫出第n個圖案中“”的個數為．
17．【答案】解：
【知識點】求特殊角的三角函數值；實數的混合運算（含開方）
【解析】【分析】實數的混合運算，先計算乘方、零指數冪、特殊角的三角函數值、二次根式，再計算乘法，最后計算加減即可．
18．【答案】解：，解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式組的解集為：，
將解集表示在數軸上如圖：
【知識點】解一元一次不等式組；在數軸上表示不等式的解集
【解析】【分析】分別求出每一個不等式的解集，再根據口訣“同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到”確定不等式組的解集，再表示在數軸上即可．
19．【答案】解：
，
∵，，
∴，，
∴取，原式=1+2=3
【知識點】分式的化簡求值-擇值代入
【解析】【分析】分式的化簡求值，先利用通分計算出括號內分式運算的結果，進行分式的乘法運算并分別對分子和分母分解因式，再約分得到最簡分式或整式，最后再把合適的m值代入計算即可．
20．【答案】證明：∵點C是線段的中點，∴，
在和中，
，
∴，
∴
【知識點】三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】由于全等三角形的對應角相等，可由中點的概念先得到，再結合已知條件利用證明即可．
21．【答案】（1）解：設該商場投入資金的月平均增長率為，由題意得：，
解得：，（不符合題意，舍去），
∴該商場投入資金的月平均增長率
（2）解：（萬元），
答：預計該商場七月份投入資金將達到萬元
【知識點】一元二次方程的實際應用-百分率問題
【解析】【分析】（1）平均增長率（減少率）問題，常列方程，其中分別為起始數據和終止數據，為平均增長率或減少率；
（2）利用（1）中求得的增長率直接計算即可．
（1）解：設該商場投入資金的月平均增長率為，
由題意得：，
解得：，（不符合題意，舍去），
∴該商場投入資金的月平均增長率；
（2）解：（萬元），
∴預計該商場七月份投入資金將達到萬元．
22．【答案】（1）89；94
（2）解：（名），
故估計八年級400名學生中有名學生能達到優秀等次
（3）解：令七年級的兩名學生為、，八年級的兩名學生為、，
列表得：
由表格可得，共有種等可能出現的結果，其中抽到一名七年級學生和一名八年級學生的情況有種，
故抽到一名七年級學生和一名八年級學生的概率為
【知識點】用列表法或樹狀圖法求概率；中位數；眾數；用樣本所占百分比估計總體數量
【解析】【解答】
（1）
解：將七年級這10名學生成績按從小到大排列為：73，80，82，84，89，89，90，92，96，97，處在中間的兩個數為89，89，故中位數為；
八年級這10名學生成績出現次數最多的是94，故中位數為94．
【分析】
（1）求中位數時，先按照從小到大的順序對數據排序，再根據樣本容量取最中間的一個或最中間兩個數據的平均值；眾數是一組數據中重復出現次數最多的數據，可能是一個，也可能是多個；
（2）用總人數乘以樣本中優秀等次人數所占比例即可得解；
（3）兩步試驗可通過畫樹狀圖或列表格法求概率，畫樹狀圖中注意不重復不遺漏，列表時注意對角線欄目是否填寫數據．
（1）解：將七年級這10名學生成績按從小到大排列為：73，80，82，84，89，89，90，92，96，97，處在中間的兩個數為89，89，故中位數為；
八年級這10名學生成績出現次數最多的是94，故中位數為94；
（2）解：（名），
故估計八年級400名學生中有名學生能達到優秀等次；
（3）解：令七年級的兩名學生為、，八年級的兩名學生為、，
列表得：
由表格可得，共有種等可能出現的結果，其中抽到一名七年級學生和一名八年級學生的情況有種，
故抽到一名七年級學生和一名八年級學生的概率為．
23．【答案】（1）解：依題意，點在反比例函數的圖象上，，
反比例函數的解析式為；
又為一次函數的圖象與反比例函數的圖象的交點，
．
∵，兩點均在一次函數的圖象上，
，解得，
一次函數的解析式為．
綜上所述，反比例函數的解析式為，一次函數的解析式為
（2）或
【知識點】待定系數法求反比例函數解析式；反比例函數與一次函數的交點問題
【解析】【解答】（2）解：由函數圖象可知，當一次函數圖象在反比例函數圖象上方時，自變量的取值范圍為或，
∴當時，x的取值范圍為或．
【分析】（1）先把點A坐標代入反比例函數解析式中求出反比例函數解析式，進而求出點B的坐標，再利用待定系數法求解即可；
（2）觀察圖象直接找出直線在雙曲線上方時對應在自變量的取值范圍即可．
（1）解：依題意，點在反比例函數的圖象上，
，
反比例函數的解析式為；
又為一次函數的圖象與反比例函數的圖象的交點，
．
∵，兩點均在一次函數的圖象上，
，解得，
一次函數的解析式為．
綜上所述，反比例函數的解析式為，一次函數的解析式為；
（2）解：由函數圖象可知，當一次函數圖象在反比例函數圖象上方時，自變量的取值范圍為或，
∴當時，x的取值范圍為或．
24．【答案】解：根據題意可得：，，
∴四邊形和四邊形為矩形，
∴米，米，，，
∴（米），
設，則米，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵米，
∴，
解得：，
∴米．
【知識點】矩形的判定與性質；解直角三角形的實際應用﹣仰角俯角問題
【解析】【分析】如圖所示，先分別過A、B兩點作CF的垂線段AD和BE，則四邊形AMFD和四邊形BNFE都是矩形，則AM=DF、BN=FE、MN=AD+BE； 設CD為x，可分別解和，則可分別表示出AD和BE，再利用MN的長建立關于x的一元一次方程并解方程即可．
25．【答案】（1）證明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵為半徑，
∴是的切線
（2）解：∵的半徑為5，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵為的直徑，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
【知識點】圓周角定理；切線的性質；切線的判定；解直角三角形—邊角關系
【解析】【分析】（1）由于CE垂直DE，若CE是的切線，則OC//DE，即證即可；此時可利用角平分線的概念得，由等邊對等角得，由圓周角定理得，等量代換得，則OC//DE，故結論成立；
（2）由于，AB=10，則解可得BC=6；由于AB是直徑，則，由同角的余角相等可得，再解可得BE、CE；再解可得CD，由勾股定理再求出BD即可．
（1）證明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵為半徑，
∴是的切線；
（2）解：∵的半徑為5，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵為的直徑，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
26．【答案】（1）解：把，代入得：，
解得：，
∴拋物線的解析式為：
（2）解：存在最大值；把代入得：，
∴點C的坐標為，
∵，
∴拋物線的對稱軸為直線，
連接、、，如圖所示：
∵點C關于直線l的對稱點為點D，點P在直線l上，
∴，
∴，
∴當最大時，最大，
∴當點A、C、P三點在同一直線上時，最大，即當點P在點時，最大，
∴最大值為：
（3）解：過點M作軸，過點C作于點D，過點N作于點E，如圖所示：
∵，
∴，
∴，
設點M的坐標為：，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
當時，，，則：
，
解得：，（舍去），
此時點M坐標為：；
當時，，，則：
，
解得：（舍去），
此時點M坐標為：；
當時，，，則：
，
解得：，（舍去），
此時點M坐標為：；
當時，，，則：
，
解得：，（舍去），
此時點M坐標為：；
綜上分析可知：點M坐標為：或或或
【知識點】一線三等角相似模型（K字型相似模型）；將軍飲馬模型-一線兩點（一動兩定）；二次函數-線段周長問題；二次函數-特殊三角形存在性問題
【解析】【分析】（1）由于拋物線解析式中常數項已知，且拋物線與軸兩個交點坐標也已知，可直接利用待定系數法求解函數解析式；
（2）由于拋物線的解析式為，則拋物線交軸于C(0，3)，拋物線的對稱軸為，則點C關于直線的對稱點D的坐標為(2，3)，且PD=PC，即PA-PD等于PA-PC，顯然當點A、C、P三點共線時PA-PC值最大，即PA-PD最大，此時最大值等于線段AC的長，利用兩點距離公式直接計算即可；
（3）如圖乙所示，由于，則過點M作平行于軸的直線，再分別過點C、N分別作的垂線段CD和NE，則由一線三垂直模型可得，則相似比就等于，由于點M在拋物線上，可利用二次函數圖象上的點的坐標特征設出M的坐標為，則CD、DM、EM、NE均可表示，注意由于兩點間的距離都是正數，則表示時需要帶絕對值符號，再利用前面的相似比計算即可，計算時需要討論絕對值符號內的代數式的正負．
（1）解：把，代入得：
，
解得：，
∴拋物線的解析式為：；
（2）解：存在最大值；
把代入得：，
∴點C的坐標為，
∵，
∴拋物線的對稱軸為直線，
連接、、，如圖所示：
∵點C關于直線l的對稱點為點D，點P在直線l上，
∴，
∴，
∴當最大時，最大，
∴當點A、C、P三點在同一直線上時，最大，即當點P在點時，最大，
∴最大值為：．
（3）解：過點M作軸，過點C作于點D，過點N作于點E，如圖所示：
∵，
∴，
∴，
設點M的坐標為：，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
當時，，，則：
，
解得：，（舍去），
此時點M坐標為：；
當時，，，則：
，
解得：（舍去），
此時點M坐標為：；
當時，，，則：
，
解得：，（舍去），
此時點M坐標為：；
當時，，，則：
，
解得：，（舍去），
此時點M坐標為：；
綜上分析可知：點M坐標為：或或或．
1 / 1西藏2024年中考數學試題
1．（2024·西藏）下列實數中最小的是（　　）
A． B．0 C． D．1
【答案】A
【知識點】有理數的大小比較-直接比較法
【解析】【解答】解：∵，
∴下列實數中最小的是，
故答案為：A．
【分析】正數都大于0，負數都小于0，正數大于一切負數，兩個負數進行比較，絕對值大的反而小．
2．（2024·西藏）下列圖形既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知識點】軸對稱圖形；中心對稱及中心對稱圖形
【解析】【解答】解：A、繞某一點旋轉后，不能夠與原圖形重合，不是中心對稱圖形；沿一條直線折疊，直線兩旁的部分不能夠互相重合，不是軸對稱圖形；故不符合題意；
B、繞某一點旋轉后，不能夠與原圖形重合，不是中心對稱圖形；沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，是軸對稱圖形；故不符合題意；
C、繞某一點旋轉后，不能夠與原圖形重合，不是中心對稱圖形；沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，是軸對稱圖形；故不符合題意；
D、繞某一點旋轉后，能夠與原圖形重合，是中心對稱圖形；沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，是軸對稱圖形；故符合題意；
故答案為：D．
【分析】把一個圖形繞某一點旋轉后，能夠與原圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形；如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形．
3．（2024·西藏）隨著我國科技迅猛發展，電子制造技術不斷取得突破性成就，電子元件尺寸越來越小，在芯片上某種電子元件大約占．將0.0000007用科學記數法表示應為（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知識點】科學記數法表示大于0且小于1的數
【解析】【解答】解：將0.0000007用科學記數法表示應為，
故答案為：C．
【分析】科學記數法的表現形式為的形式，其中，為整數，確定的值時，要看把原數變成時，小數點移動了多少位，的絕對值與小數點移動的位數相同，當原數絕對值大于等于10時，是非負數，當原數絕對值小于1時，是負數.
4．（2024·西藏）下列運算正確的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知識點】單項式乘單項式；單項式乘多項式；合并同類項法則及應用；積的乘方運算；冪的乘方運算
【解析】【解答】解：，故A錯誤；
，故B錯誤；
，故C正確；
，故D錯誤.
故答案為：C．
【分析】（1）利用合并同類項法則計算；
（2）利用單項式乘以多項式法則計算；
（3）利用冪的乘方與積的乘方法則計算；
（4）利用單項式乘以單項式的運算法則計算．
5．（2024·西藏）如圖，已知直線，于點D，，則的度數是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知識點】兩直線平行，內錯角相等
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，故A正確．
故答案為：A．
【分析】由兩直線平行內錯角相等可把轉移到的位置上，再利用直角三角形兩銳角互余即可．
6．（2024·西藏）已知正多邊形的一個外角為，則這個正多邊形的內角和為（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知識點】多邊形的內角和公式；多邊形的外角和公式
【解析】【解答】解：∵正多邊形的一個外角為，
∴正多邊形的邊數為，
∴這個正多邊形的內角和為，
故答案為：B．
【分析】任意正多邊形的外角和都是，則可求出這個正多邊形的邊數，再依據正邊形的內角和公式計算即可．
7．（2024·西藏）若x與y互為相反數，z的倒數是，則的值為（　　）
A． B． C．9 D．1
【答案】D
【知識點】求代數式的值-整體代入求值
【解析】【解答】解：∵x與y互為相反數，z的倒數是，
∴，，
∴，
故答案為：D．
【分析】一對相反數的和為0，一對倒數的積為1．
8．（2024·西藏）如圖，為的直徑，點B，D在上，，，則的長為（　　）
A．2 B． C． D．4
【答案】C
【知識點】含30°角的直角三角形；勾股定理；圓周角定理
【解析】【解答】解：∵為的直徑，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案為：C．
【分析】先求出，利用含30°角的直角三角形的性質可得，最后利用勾股定理求出AD的長即可.
9．（2024·西藏）如圖，在中，，，，點P是邊上任意一點，過點P作，，垂足分別為點D，E，連接，則的最小值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知識點】垂線段最短及其應用；三角形的面積；矩形的判定與性質
【解析】【解答】解：中，，，，
，
連接，如圖所示：
∵于點，于點，，
∴，
四邊形是矩形，
，
當最小時，則最小，根據垂線段最短可知當時，則最小，
∴此時．
故選：B．
【分析】由垂直的概念得，，則四邊形PDCE是矩形，所以PC=DE，顯然當時，CP最小，利用勾股定理先求出斜邊AB的長，再利用面積即可求出CP的最小值，即DE的最小值．
10．（2024·西藏）如圖，已知二次函數的圖象與x軸相交于點，，則下列結論正確的個數是（　　）
①
②
③對任意實數m，均成立
④若點，在拋物線上，則
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】B
【知識點】二次函數圖象與系數的關系；二次函數的最值；二次函數圖象與坐標軸的交點問題；二次函數圖象上點的坐標特征
【解析】【解答】解：由圖象可得：拋物線開口向上，對稱軸在軸左側，交軸于負半軸，
∴，，，
∴，
∴，故①正確；
∵二次函數的圖象與x軸相交于點，，
∴二次函數的對稱軸為直線，，，
由得：，
∵，
∴，
∴，即，故②錯誤；
當時，二次函數有最小值，
由圖象可得，對任意實數m，，
∴對任意實數m，均成立，故③正確；
∵點，在拋物線上，且，
∴，故④錯誤；
綜上所述，正確的有①③，共個，
故答案為：B．
【分析】① 由拋物線的開口向上知，由拋物線頂點坐標的大體位置知對稱軸在y左側，即同號，由拋物線與y軸交點的位置知，所以；
② 由拋物線與x軸的交點坐標為和知，對稱軸為，即或；則當時，，所以；
③ 因為拋物線開口向上，所以二次函數有最小值，即當時，最小，因此對于任意實數有，即 成立；
④ 因為拋物線的對稱軸為，所以、即離對稱軸距離越大函數值越大，所以．
11．（2024·西藏）分解因式： 　 　
【答案】(x-2)2
【知識點】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】x2-4x+4=（x-2）2
【分析】本題運用完全平方差公式就可以解答了.
12．（2024·西藏）甲、乙、丙三名學生參加仰臥起坐體育項目測試，他們一周測試成績的平均數相同，方差如下：，，，則甲、乙、丙中成績最穩定的學生是　 　．
【答案】丙
【知識點】分析數據的波動程度
【解析】【解答】解：∵他們一周測試成績的平均數相同，且，，．
∴，
∴成績最穩定的學生是丙，
故答案為：丙．
【分析】方差是反映一組數據穩定性的量，方差越小，數據穩定性越好；反之，數據穩定越差．
13．（2024·西藏）將正比例函數的圖象向上平移3個單位長度后得到函數圖象的解析式為　 　．
【答案】
【知識點】一次函數圖象的平移變換
【解析】【解答】解：正比例函數的圖象向上平移3個單位長度后得到函數圖象的解析式為：
，
故答案為：．
【分析】圖形平移的規律，上加下減、左加右減．
14．（2024·西藏）如圖，在四邊形中，，，與相交于點O，請添加一個條件　 　，使四邊形是菱形．
【答案】（答案不唯一）
【知識點】菱形的判定
【解析】【解答】解：添加（答案不唯一），
∵在四邊形中，，，
∴四邊形是平行四邊形，
∵，
∴四邊形是菱形，
故答案為：（答案不唯一）．
【分析】由兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形知，四邊形是平行四邊形，則根據定義判定的話需要保證鄰邊相等即可；若依據對角線判定的話只需要保證對角線垂直即可．
15．（2024·西藏）如圖，在中，，以點B為圓心，適當長為半徑作弧，分別交，于點D，E，再分別以點D，E為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧在的內部相交于點P，作射線交于點F．已知，，則的長為　 　．
【答案】
【知識點】直角三角形全等的判定-HL；角平分線的性質
【解析】【解答】解：過F作于G，
由作圖得：平分，，，
∴，
在中根據勾股定理得：，
，，
，
，
設，則，，
在中，根據勾股定理得：
，
即：，
解得：，
，
在中根據勾股定理得：．
故答案為：．
【分析】如圖，由基本尺規作圖痕跡可判斷BF是的一條角平分線，因為角平分線上的點到角兩邊距離相等，可過點F作AB的垂線段FG，則FG=FC=3，利用勾股定理可AG=4，再利用HL定理可得BG=CD，可設BC為x，則AB=x+4，在中應用勾股定理可先求出x即BC的長，再在中應用勾股定理即可．
16．（2024·西藏）如圖是由若干個大小相同的“”組成的一組有規律的圖案，其中第1個圖案用了2個“”，第2個圖案用了6個“”，第3個圖案用了12個“”，第4個圖案用了20個“”，……，依照此規律，第n個圖案中“”的個數為　 　（用含n的代數式表示）．
【答案】
【知識點】用代數式表示圖形變化規律；探索規律-圖形的個數規律
【解析】【解答】解：∵第1個圖案用了個“”，
第2個圖案用了個“”，
第3個圖案用了個“”，
第4個圖案用了個“”，
……，
∴第n個圖案中“”的個數為，
故答案為：．
【分析】先依次找出前四個圖案中“”的個數，則可得到“”個數的規律，即可寫出第n個圖案中“”的個數為．
17．（2024·西藏）計算：．
【答案】解：
【知識點】求特殊角的三角函數值；實數的混合運算（含開方）
【解析】【分析】實數的混合運算，先計算乘方、零指數冪、特殊角的三角函數值、二次根式，再計算乘法，最后計算加減即可．
18．（2024·西藏）解不等式組：，并把解集在數軸上表示出來．
【答案】解：，解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式組的解集為：，
將解集表示在數軸上如圖：
【知識點】解一元一次不等式組；在數軸上表示不等式的解集
【解析】【分析】分別求出每一個不等式的解集，再根據口訣“同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到”確定不等式組的解集，再表示在數軸上即可．
19．（2024·西藏）先化簡，再求值：，請為m選擇一個合適的數代入求值．
【答案】解：
，
∵，，
∴，，
∴取，原式=1+2=3
【知識點】分式的化簡求值-擇值代入
【解析】【分析】分式的化簡求值，先利用通分計算出括號內分式運算的結果，進行分式的乘法運算并分別對分子和分母分解因式，再約分得到最簡分式或整式，最后再把合適的m值代入計算即可．
20．（2024·西藏）如圖，點C是線段的中點，，．求證：．
【答案】證明：∵點C是線段的中點，∴，
在和中，
，
∴，
∴
【知識點】三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】由于全等三角形的對應角相等，可由中點的概念先得到，再結合已知條件利用證明即可．
21．（2024·西藏）列方程（組）解應用題
某商場響應國家消費品以舊換新的號召，開展了家電惠民補貼活動．四月份投入資金20萬元，六月份投入資金24.2萬元，現假定每月投入資金的增長率相同．
（1）求該商場投入資金的月平均增長率；
（2）按照這個增長率，預計該商場七月份投入資金將達到多少萬元？
【答案】（1）解：設該商場投入資金的月平均增長率為，由題意得：，
解得：，（不符合題意，舍去），
∴該商場投入資金的月平均增長率
（2）解：（萬元），
答：預計該商場七月份投入資金將達到萬元
【知識點】一元二次方程的實際應用-百分率問題
【解析】【分析】（1）平均增長率（減少率）問題，常列方程，其中分別為起始數據和終止數據，為平均增長率或減少率；
（2）利用（1）中求得的增長率直接計算即可．
（1）解：設該商場投入資金的月平均增長率為，
由題意得：，
解得：，（不符合題意，舍去），
∴該商場投入資金的月平均增長率；
（2）解：（萬元），
∴預計該商場七月份投入資金將達到萬元．
22．（2024·西藏）為了紀念西藏民主改革65周年，弘揚愛國主義精神，學校舉辦了“感悟歷史奇跡，擔當時代使命”的歷史知識競賽活動．從七、八年級中各隨機抽取了10名學生的競賽成績（單位：分）如下：
七年級：80 96 82 92 89 84 73 90 89 97
八年級：94 82 95 94 85 89 92 79 98 93
請根據以上信息，解答下列問題：
（1）七年級這10名學生成績的中位數是________；八年級這10名學生成績的眾數是________；
（2）若成績90分以上（含90分）定為優秀等次，請估計八年級400名學生中有多少名學生能達到優秀等次；
（3）根據本次競賽成績，七、八年級各推薦了兩名學生，學校準備再從這四名學生中隨機抽取兩人參加市級競賽，請用列表或畫樹狀圖的方法求抽到一名七年級學生和一名八年級學生的概率．
【答案】（1）89；94
（2）解：（名），
故估計八年級400名學生中有名學生能達到優秀等次
（3）解：令七年級的兩名學生為、，八年級的兩名學生為、，
列表得：
由表格可得，共有種等可能出現的結果，其中抽到一名七年級學生和一名八年級學生的情況有種，
故抽到一名七年級學生和一名八年級學生的概率為
【知識點】用列表法或樹狀圖法求概率；中位數；眾數；用樣本所占百分比估計總體數量
【解析】【解答】
（1）
解：將七年級這10名學生成績按從小到大排列為：73，80，82，84，89，89，90，92，96，97，處在中間的兩個數為89，89，故中位數為；
八年級這10名學生成績出現次數最多的是94，故中位數為94．
【分析】
（1）求中位數時，先按照從小到大的順序對數據排序，再根據樣本容量取最中間的一個或最中間兩個數據的平均值；眾數是一組數據中重復出現次數最多的數據，可能是一個，也可能是多個；
（2）用總人數乘以樣本中優秀等次人數所占比例即可得解；
（3）兩步試驗可通過畫樹狀圖或列表格法求概率，畫樹狀圖中注意不重復不遺漏，列表時注意對角線欄目是否填寫數據．
（1）解：將七年級這10名學生成績按從小到大排列為：73，80，82，84，89，89，90，92，96，97，處在中間的兩個數為89，89，故中位數為；
八年級這10名學生成績出現次數最多的是94，故中位數為94；
（2）解：（名），
故估計八年級400名學生中有名學生能達到優秀等次；
（3）解：令七年級的兩名學生為、，八年級的兩名學生為、，
列表得：
由表格可得，共有種等可能出現的結果，其中抽到一名七年級學生和一名八年級學生的情況有種，
故抽到一名七年級學生和一名八年級學生的概率為．
23．（2024·西藏）如圖，一次函數的圖象與反比例函數的圖象相交于，兩點．
（1）求一次函數和反比例函數的解析式；
（2）請直接寫出滿足的x取值范圍．
【答案】（1）解：依題意，點在反比例函數的圖象上，，
反比例函數的解析式為；
又為一次函數的圖象與反比例函數的圖象的交點，
．
∵，兩點均在一次函數的圖象上，
，解得，
一次函數的解析式為．
綜上所述，反比例函數的解析式為，一次函數的解析式為
（2）或
【知識點】待定系數法求反比例函數解析式；反比例函數與一次函數的交點問題
【解析】【解答】（2）解：由函數圖象可知，當一次函數圖象在反比例函數圖象上方時，自變量的取值范圍為或，
∴當時，x的取值范圍為或．
【分析】（1）先把點A坐標代入反比例函數解析式中求出反比例函數解析式，進而求出點B的坐標，再利用待定系數法求解即可；
（2）觀察圖象直接找出直線在雙曲線上方時對應在自變量的取值范圍即可．
（1）解：依題意，點在反比例函數的圖象上，
，
反比例函數的解析式為；
又為一次函數的圖象與反比例函數的圖象的交點，
．
∵，兩點均在一次函數的圖象上，
，解得，
一次函數的解析式為．
綜上所述，反比例函數的解析式為，一次函數的解析式為；
（2）解：由函數圖象可知，當一次函數圖象在反比例函數圖象上方時，自變量的取值范圍為或，
∴當時，x的取值范圍為或．
24．（2024·西藏）在數學綜合實踐活動中，次仁和格桑自主設計了“測量家附近的一座小山高度”的探究作業．如圖，次仁在A處測得山頂C的仰角為；格桑在B處測得山頂C的仰角為．已知兩人所處位置的水平距離米，A處距地面的垂直高度米，B處距地面的垂直高度米，點M，F，N在同一條直線上，求小山的高度．（結果保留根號）
【答案】解：根據題意可得：，，
∴四邊形和四邊形為矩形，
∴米，米，，，
∴（米），
設，則米，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵米，
∴，
解得：，
∴米．
【知識點】矩形的判定與性質；解直角三角形的實際應用﹣仰角俯角問題
【解析】【分析】如圖所示，先分別過A、B兩點作CF的垂線段AD和BE，則四邊形AMFD和四邊形BNFE都是矩形，則AM=DF、BN=FE、MN=AD+BE； 設CD為x，可分別解和，則可分別表示出AD和BE，再利用MN的長建立關于x的一元一次方程并解方程即可．
25．（2024·西藏）如圖，是的直徑，C，D是上兩點，連接，，平分，，交延長線于點E．
（1）求證：是的切線；
（2）若的半徑為5，，求的長．
【答案】（1）證明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵為半徑，
∴是的切線
（2）解：∵的半徑為5，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵為的直徑，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
【知識點】圓周角定理；切線的性質；切線的判定；解直角三角形—邊角關系
【解析】【分析】（1）由于CE垂直DE，若CE是的切線，則OC//DE，即證即可；此時可利用角平分線的概念得，由等邊對等角得，由圓周角定理得，等量代換得，則OC//DE，故結論成立；
（2）由于，AB=10，則解可得BC=6；由于AB是直徑，則，由同角的余角相等可得，再解可得BE、CE；再解可得CD，由勾股定理再求出BD即可．
（1）證明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵為半徑，
∴是的切線；
（2）解：∵的半徑為5，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵為的直徑，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
26．（2024·西藏）在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于，兩點，與y軸交于C點，設拋物線的對稱軸為直線l．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖（甲），設點C關于直線l的對稱點為點D，在直線l上是否存在一點P，使有最大值？若存在，求出的最大值；若不存在，請說明理由；
（3）如圖（乙），設點M為拋物線上一點，連接，過點M作交直線l于點N．若，求點M的坐標．
【答案】（1）解：把，代入得：，
解得：，
∴拋物線的解析式為：
（2）解：存在最大值；把代入得：，
∴點C的坐標為，
∵，
∴拋物線的對稱軸為直線，
連接、、，如圖所示：
∵點C關于直線l的對稱點為點D，點P在直線l上，
∴，
∴，
∴當最大時，最大，
∴當點A、C、P三點在同一直線上時，最大，即當點P在點時，最大，
∴最大值為：
（3）解：過點M作軸，過點C作于點D，過點N作于點E，如圖所示：
∵，
∴，
∴，
設點M的坐標為：，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
當時，，，則：
，
解得：，（舍去），
此時點M坐標為：；
當時，，，則：
，
解得：（舍去），
此時點M坐標為：；
當時，，，則：
，
解得：，（舍去），
此時點M坐標為：；
當時，，，則：
，
解得：，（舍去），
此時點M坐標為：；
綜上分析可知：點M坐標為：或或或
【知識點】一線三等角相似模型（K字型相似模型）；將軍飲馬模型-一線兩點（一動兩定）；二次函數-線段周長問題；二次函數-特殊三角形存在性問題
【解析】【分析】（1）由于拋物線解析式中常數項已知，且拋物線與軸兩個交點坐標也已知，可直接利用待定系數法求解函數解析式；
（2）由于拋物線的解析式為，則拋物線交軸于C(0，3)，拋物線的對稱軸為，則點C關于直線的對稱點D的坐標為(2，3)，且PD=PC，即PA-PD等于PA-PC，顯然當點A、C、P三點共線時PA-PC值最大，即PA-PD最大，此時最大值等于線段AC的長，利用兩點距離公式直接計算即可；
（3）如圖乙所示，由于，則過點M作平行于軸的直線，再分別過點C、N分別作的垂線段CD和NE，則由一線三垂直模型可得，則相似比就等于，由于點M在拋物線上，可利用二次函數圖象上的點的坐標特征設出M的坐標為，則CD、DM、EM、NE均可表示，注意由于兩點間的距離都是正數，則表示時需要帶絕對值符號，再利用前面的相似比計算即可，計算時需要討論絕對值符號內的代數式的正負．
（1）解：把，代入得：
，
解得：，
∴拋物線的解析式為：；
（2）解：存在最大值；
把代入得：，
∴點C的坐標為，
∵，
∴拋物線的對稱軸為直線，
連接、、，如圖所示：
∵點C關于直線l的對稱點為點D，點P在直線l上，
∴，
∴，
∴當最大時，最大，
∴當點A、C、P三點在同一直線上時，最大，即當點P在點時，最大，
∴最大值為：．
（3）解：過點M作軸，過點C作于點D，過點N作于點E，如圖所示：
∵，
∴，
∴，
設點M的坐標為：，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
當時，，，則：
，
解得：，（舍去），
此時點M坐標為：；
當時，，，則：
，
解得：（舍去），
此時點M坐標為：；
當時，，，則：
，
解得：，（舍去），
此時點M坐標為：；
當時，，，則：
，
解得：，（舍去），
此時點M坐標為：；
綜上分析可知：點M坐標為：或或或．
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