資源簡介

廣東省陽市揭東區2025年中考一模數學卷
1．（2025·揭東模擬）下面哪個數最小（　　）
A．0 B． C． D．
2．（2025·揭東模擬）學校會議室的圓桌如圖所示，則它的俯視圖為（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025·揭東模擬）下列運算中，正確的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025·揭東模擬）下列語句中，不是命題的是（ ）
A．相等的角是對頂角 B．兩條直線不平行
C．延長AB到C使BC=AB D．兩點之間線段最短
5．（2025·揭東模擬）現有一組數據：．若該組數據的中位數是，則的值為（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·揭東模擬）使有意義的x的取值范圍在數軸上表示為（　　）
A． B．
C． D．
7．（2025·揭東模擬）如圖，在中，，，點為邊的中點，，則的長為（　　）
A． B． C．2 D．4
8．（2025·揭東模擬）如圖，點在正方形的內部，且是等邊三角形，連接，，則（　　）
A． B． C． D．
9．（2025·揭東模擬）隨著生活水平的提高和環保意識的增強，小亮家購置了新能源電動汽車，這樣他乘電動汽車比乘公交車上學所需的時間少用了15分鐘，已知電動汽車的平均速度是公交車的2.5倍，小亮家到學校的距離為8千米．若設乘公交車平均每小時走x千米，則可列方程為（　　）
A． B． C． D．
10．（2025·揭東模擬）觀察規律，運用你觀察到的規律解決以下問題：如圖，分別過點作軸的垂線，交的圖象于點，交直線于點．則的值為（　　）
A． B． C． D．
11．（2025·揭東模擬）2024年“五一”假期，我市實現旅游總收入51.46億元．將5146000000用科學記數法表示為　 　．
12．（2025·揭東模擬）分式方程的解為　 　．
13．（2025·揭東模擬）有四張正面分別標有數字，，3，5的卡片，它們除數字不同外其余全部相同．現將四張卡片背面朝上，洗勻后從中隨機一次性抽取兩張，則抽取的兩張卡片上的數字之積為一個負數的概率是　 　．
14．（2025·揭東模擬）如圖，五邊形是的內接正五邊形，是的直徑，與交于點G，則的度數是　 　．
15．（2025·揭東模擬）如圖，在平面直角坐標系中，點，，將向右平移到位置，點A，O分別與點C，D對應，函數的圖象經過點C和的中點F，則k的值為　 　．
16．（2025·揭東模擬）解不等式組：．
17．（2025·揭東模擬）計算：．
18．（2025·揭東模擬）如圖，在中，．
（1）作的平分線，交于點P；（要求：尺規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）
（2）在（1）的條件下，過點Р作于點D，若，求的長．
19．（2025·揭東模擬）某商場今年年初以每件25元的進價購進一批商品．當商品售價為40元時，三月份銷售128件，四、五月份該商品的銷售量持續走高，在售價不變的前提下，五月份的銷量達到200件．假設四、五兩個月銷售量的月平均增長率不變
（1）求四、五兩個月銷售量的月平均增長率；
（2）從六月起，商場采用降價促銷方式回饋顧客，經調查發現，該商品每降1元，銷售量增加5件，當商品降價多少元時，商場可獲利2250元？
20．（2025·揭東模擬）項目式學習【項目背景】為方便師生雨天出行，某校在校園內設置了4個共享雨傘放置區，總投放240把雨傘．小明發現雨天時各放置區的雨傘使用效率差別很大，有些放置區的雨傘不夠用，而有些放置區的雨傘被閑置，為探究雨傘的合理投放方案，小明和同學們展開了研究．
【數據收集】在雨天到各放置區對師生使用共享雨傘的情況，人流量進行數據收集，數據如表1，表2：
表1：師生使用共享雨傘情況的抽樣調查數據
放置區 教學樓 圖書館 飯堂 宿舍樓
經過放置區的師生人數 80 110 70 90
使用共享雨傘的人數 6 8 7 6
表2：雨天經過放置區的平均人流量
放置區 教學樓 圖書館 飯堂 宿舍樓
人流量（單位：人） 280 330 200 225
【問題解決】
（1）經過飯堂的師生使用共享雨傘的概率是多少？
（2）請設計一個合理的投放方案，應對該校師生使用共享雨傘的需求．
21．（2025·揭東模擬）如圖，已知在四邊形中，，均與垂直，，為的直徑，點E為上一點，連接交于點F，連接并延長與交于點G，連接，．
（1）求證：是的切線；
（2）若當，的半徑為，求的面積．
22．（2025·揭東模擬）【問題情境】
如圖1，小明把三角板（）放置到矩形中，使得頂點E、F、G分別落在、、上，你發現線段與有什么數量關系？
直接寫出結論：______（不用證明）．
【變式探究】
如圖2，小明把三角板（）放置到矩形中，使得頂點E、F、G分別在邊上，若，，求的長．
【拓展應用】
如圖3，小明把三角形放置到平行四邊形中，使得頂點E、F、G分別落在邊上，若，，，求出的值．
23．（2025·揭東模擬）如圖，在平面直角坐標系內，已知拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點．
（1）求該拋物線解析式和的值；
（2）如圖1，點為第一象限拋物線上的點，連接．當時，求點的坐標；
（3）如圖2，點在軸負半軸上，，點為拋物線上一點，．點分別為的邊上的動點，且，記的最小值為．求的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知識點】有理數的大小比較-直接比較法
【解析】【解答】解：∵-3<-2<0<+3，
∴最小的數是-3，
故答案為：B．
【分析】根據有理數大小的比較法則：正數大于0，0大于負數，正數大于負數；兩個負數相比較，絕對值大的反而小，據此直接得到答案.
2．【答案】A
【知識點】簡單組合體的三視圖
【解析】【解答】解：從上向下看，可得俯視圖為：
，
故答案為：A．
【分析】本題考查了求簡單組合體的三視圖，根據俯視圖的定義，從上往下看即可得到答案.
3．【答案】C
【知識點】同底數冪的乘法；單項式乘多項式；冪的乘方運算
【解析】【解答】解：A、原計算錯誤，本項不符合題意；
B、2x和3y不是同類項，不能合并，原計算錯誤，本項不符合題意；
C、原計算正確，本項符合題意；
D、原計算錯誤，本項不符合題意；
故答案為：C.
【分析】根據同底數冪的乘法法則，合并同類項，單項式乘多項式的法則，完全平方公式，分析選項即可知道答案.
4．【答案】C
【知識點】定義、命題、定理、推論的概念
【解析】【解答】解：A.、相等的角是對頂角是命題，故A不符合題意；
B.、兩條直線不平行是命題，故B不符合題意；
C.、延長AB到C使BC=AB不是命題，故C符合題意；
D.、兩點之間線段最短是命題，故D不符合題意；
故答案為：C.
【分析】根據命題的定義：一般的，在數學中我們把用語言、符號或式子表達的，可以判斷真假的陳述句叫做命題，據此逐項進行判斷即可.
5．【答案】D
【知識點】中位數
【解析】【解答】解：A、當時，數據按從小到大進行排列為，，，，，，
∴數據的中位數為，不符合題意；
B、當時，數據按從小到大進行排列為，，，，，，
∴數據的中位數為，不符合題意；
C、當時，數據按從小到大進行排列為，，，，，，
∴數據的中位數為，不符合題意；
D、當時，數據按從小到大進行排列為，，，，，，
∴數據的中位數為，符合題意；
故答案為：D．
【分析】本題考查了中位數，根據中位數的定義解答即可.
6．【答案】B
【知識點】二次根式有意義的條件；在數軸上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：∵使有意義，
∴，
解得：，
∴使有意義的x的取值范圍在數軸上表示如下圖所示：
故答案為：B．
【分析】根據二次根式有意義的條件：被開方數大于等于0，可得關于x的一元一次不等式，解不等式得x的取值范圍，再結合選項進行判斷即可.
7．【答案】C
【知識點】三角形內角和定理；含30°角的直角三角形；直角三角形斜邊上的中線
【解析】【解答】解：∵∠ABC=90°，∠C=60°，
∴∠A=30°，
∵點D為邊AC的中點，BD=2
∴AC=2BD=4，
∴BC=，
故選：C．
【分析】
由直角三角形斜邊上的中線的性質得出AC=2BD=4，再利用含30度角的直角三角形的性質求解即可．
8．【答案】C
【知識點】等腰三角形的性質；等邊三角形的性質；正方形的性質
【解析】【解答】解：∵點在正方形內部，且是等邊三角形，是正方形的對角線，
∴，，
∴，
∴，
故答案為：C．
【分析】本題考查了正方形的性質、等邊三角形的性質以及等腰三角形的性質，根據正方形與等邊三角形的性質得出，，進而求得，即可求解．
9．【答案】D
【知識點】分式方程的實際應用
【解析】【解答】解：15分鐘=小時
設乘公交車平均每小時走x千米，則電動汽車的平均速度是每小時走2.5x千米，
得：
故答案為：D．
【分析】設乘公交車平均每小時走x千米，則電動汽車的平均速度是每小時走2.5x千米，根據“乘電動汽車比乘公交車上學所需的時間少用了15分鐘”列出方程即可。
10．【答案】D
【知識點】探索數與式的規律；二次函數圖象上點的坐標特征；一次函數圖象上點的坐標特征
【解析】【解答】解：∵過點的垂線，交的圖象于點，交直線于點；
∴令，可得：縱坐標為， 縱坐標為，
，，
，
，
，
故答案為：D．
【分析】根據題意，得，的縱坐標，從而得 ，的值，進而得的值，于是得的值 ，然后令，可得的值，再觀察題目中的規律，可知 ，據此進行計算即可．
11．【答案】5.146×109
【知識點】科學記數法表示大于10的數
【解析】【解答】解：5146000000=5.146×109，
故答案為：5.146×109．
【分析】用科學記數法表示較大的數，一般形式為a×10n，其中1≤|a|≤9，n為原數的整數位數減1，據此即可求解.
12．【答案】
【知識點】去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：∵，
∴兩邊同乘，得，
∴，
解得：，
檢驗：當時，，
∴是原分式方程的解，
故答案為：．
【分析】利用去分母解分式方程的解法，先去分母將分式方程化為整式方程，然后解整式方程得到x的值，再檢驗x的值是否為分式方程的增根，即可得到答案．
13．【答案】
【知識點】用列表法或樹狀圖法求概率
【解析】【解答】解：列表如下：
　 -5 -1 3 5
-5 　 （-5，-1） （-5，3） （-5，5）
-1 （-1，-5） 　 （-1，3） （-1，5）
3 （3，-5） （3，-1） 　 （3，5）
5 （5，-5） （5，-1） （5，3） 　
∴共有12種等可能結果，其中抽取的兩張卡片上的數字之積為一個負數的結果有8種，
∴抽取的兩張卡片上的數字之積為一個負數的概率為：，
故答案為：．
【分析】本題考查概率的應用，通過列表法得到所有的等可能結果數，從而得抽取的兩張卡片上的數字之積為一個負數的結果數，進而利用概率公式進行求解．
14．【答案】54
【知識點】垂徑定理；圓周角定理；圓內接正多邊形；正多邊形的性質
【解析】【解答】解：如圖，連接，設與交于點，
∵五邊形是的內接正五邊形，
∴，
∵，
∴，
∵是的直徑，
∴，
∴，
∴，
故答案為：54．
【分析】連接，設與交于點，根據正五邊形的性質得，由圓周角定理得，然后根據垂徑定理得，據此即可求出的度數.
15．【答案】6
【知識點】平移的性質；坐標與圖形變化﹣平移；反比例函數圖象上點的坐標特征
【解析】【解答】解：∵將向右平移到位置，點A，O分別與點C，D對應，，
∴，，
∴，
∵點，，
∴中點坐標為，
設，
∴，
∵函數的圖象經過點C和點F，
∴，
解得：，
∴，
故答案為：6．
【分析】根據圖形平移的性質得，，利用中點坐標公式得中點坐標，然后設，即可表示出點C和點F的坐標，根據反比例函數上點的坐標特征得關于a的方程，解方程進行求解即可．
16．【答案】解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴原不等式組的解集為：．
【知識點】解一元一次不等式組
【解析】【分析】根據不等式組的解法，先分別解兩個不等式，再由口訣“同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小無解了”得不等式組的解集.
17．【答案】解：原式
．
【知識點】分式的混合運算
【解析】【分析】本題主要考查了分式的混合計算，先把小括號內的式子進行通分化簡，同時利用完全平方公式把分式進行整理，然后再把除法變成乘法，最后進行約分化簡即可得到答案．
18．【答案】（1）解：如圖所示，點P即為所求；
（2）解：如圖，過點P作于D，
∵，
∴，
∵平分，，
∴，
在中，，
在和中，
，
∴，
∴，
設，則，
在中，有，
∴，
解得：，
∴的長為6．
【知識點】直角三角形全等的判定-HL；角平分線的性質；勾股定理；尺規作圖-作角的平分線；全等三角形中對應邊的關系
【解析】【分析】（1）根據角平分線尺規作圖的作法：以頂點為圓心畫弧，交于兩點，分別以這兩點為圓心，再以相同半徑畫弧線，得兩個弧線的交點，連接點與兩弧線交點，延長交于點，則就是這個角的平分線；
（2）過點P作于D，根據角平分線的性質得，在中，利用勾股定理得，然后證明，得到，接下來設，則，在中，利用勾股定理得關于的方程，解方程即可求解.
19．【答案】（1）解：設四、五月份銷售量平均增長率為x，則128（1+x）2＝200
解得x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（舍去）
所以四、五月份銷售量平均增長率為25%
（2）解：設商品降價m元，則（40﹣m﹣25）（200+5m）＝2250
解得m1＝5，m2＝﹣30（舍去）
所以商品降價5元時，商場獲利2250元
【知識點】一元二次方程的實際應用-百分率問題；一元二次方程的實際應用-銷售問題
【解析】【分析】（1）首先設四、五月份銷售量平均增長率為x，然后列出方程即可得解；（2）首先設商品降價m元，然后列出方程即可得解.
20．【答案】（1）解：由表1可知，經過飯堂的師生有70人，使用共享雨傘的有7人，
∴經過飯堂的師生使用共享雨傘的概率是；
（2）解：根據題意，得4個放置區使用共享雨傘的平均人數如下：
教學樓：（人），
圖書館：（人），
飯堂：（人），
宿舍樓：（人），
∴雨天使用共享雨傘的平均人數約為：（人），
∴教學樓：（把） ，
圖書館：（把），
飯堂：（把），
宿舍樓：（把），
∴投放方案為：教學樓63把，圖書館72把，飯堂60把，宿舍45把．
【知識點】概率公式；用樣本所占百分比估計總體數量
【解析】【分析】（1）結合表格1的數據，利用概率公式求解即可；
（2）先計算4個放置區使用共享雨傘的平均人數，從而得到雨天使用的平均人數，進而可求4個放置區投放雨傘的數量.
（1）解：由表1可知，經過飯堂的師生有70人，使用共享雨傘的有7人，
∴經過飯堂的師生使用共享雨傘的概率是．
答：經過飯堂的師生使用共享雨傘的概率是；
（2）解：4個放置區使用共享雨傘的平均人數分別是：
教學樓：
圖書館：
飯堂：
宿舍樓：
∴雨天使用共享雨傘的平均人數約為：，
∴教學樓：
圖書館：
飯堂：
宿舍樓：
∴投放方案是：教學樓63把，圖書館72把，飯堂60把，宿舍45把．
答：投放方案是：教學樓63把，圖書館72把，飯堂60把，宿舍45把．
21．【答案】（1）證明：∵為的直徑，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∵是的半徑，
∴是的切線；4
（2）解：如圖，過作于點，
∴，
，
∴，
∴四邊形是矩形，
，
∵的半徑為，
∴，
∵，
∴，
，
，
∵，
∴，
，
又∵，
，
，
．
【知識點】三角形的面積；切線的判定；解直角三角形—邊角關系；圓周角定理的推論
【解析】【分析】（1）根據直徑所對的圓周角是直角得，從而由三角形外角的性質得，然后推出得到，進行等量代換即可得，最后根據切線的判定得證結論；
（2）過作于點，得，易證四邊形是矩形，得，然后求出的值，解直角三角形得，從而得，進而解直角三角形得的值，最后利用三角形面積公式進行求解即可.
（1）證明：∵為的直徑，
，
，
，
，
，
，
，
∵是的半徑，
∴是的切線；
（2）解：∵，
，
∵的半徑為，
，
，
，
，
，
作于點，則，
，
，
．
22．【答案】解：【問題情境】；
【變式探究】如圖，過點作于，
四邊形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
四邊形是矩形，
，
，
；
【拓展應用】如圖，過點作，交的延長線于點，交于點，
，
，
∵四邊形是平行四邊形，
，，
，，
，
，，
，
，
，即，
，
，
，
，，
．
【知識點】平行四邊形的性質；矩形的判定與性質；解直角三角形—邊角關系；一線三等角相似模型（K字型相似模型）；相似三角形的性質-對應邊
【解析】【解答】解：【問題情境】，，
，，
四邊形是矩形，
，
，
，
，
，
，
故答案為：．
【分析】【問題情境】先根據特殊角的三角函數得出的值，再通過“一線三等角”相似模型證明，由相似三角形對應邊成比例的性質可得的值，據此即可求解；
【變式探究】過點作于，由（1）同理可證，根據相似三角形對應邊成比例的性質以及結合特殊角的三角函數得出可得的值，從而求出的值，然后再證四邊形是矩形，根據矩形的性質得，最后求的值即可；
【拓展應用】過點作，交的延長線于點，交于點，則，再結合平行四邊形以及平行線的性質推出，然后再證，推出，，，代入可得的值．
23．【答案】（1）解：將，代入，得，
解得：，
∴拋物線解析式為：，
∵與軸交于、兩點，
∴時，有，
解得：，，
∴，
∴，，
在中，有；
（2）解：如圖1，過點作軸，交于點，過點作軸，交軸于點，
∵，，，
∴，，，
∴，
由（1）可得，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵軸，軸，
∴，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
設點坐標為，則，，
∴，
解得：（舍去），，
∴點坐標為；
（3）解：如圖2，過點作于，且使得，連接，，，過點作于點，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴三點共線時，的值最小，最小值為的長，
∵，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
設，則，
∴，，
∴，
解得：或（舍去），
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵的最小值為，
∴在中，．
【知識點】待定系數法求二次函數解析式；解直角三角形—邊角關系；求正切值；二次函數-線段周長問題；二次函數-角度的存在性問題
【解析】【分析】（1）直接利用待定系數法得出拋物線解析式，從而得，進而利用正切的定義計算即可得出的值；
（2）過點作軸，交于點，過點作軸，交軸于點，結合的坐標解直角三角形得出，結合題意得出，然后根據平行線的性質，進行等量代換得出，證明，得出，接下來設點坐標為，則，，得出關于的方程，解方程即可求解；
（3）過點作于，且使得，連接，，，過點作于點，先求出，證明，得出，從而得出當三點共線時，的值最小，最小值為的長，然后推出，設，則，進而得出關于的方程，解方程即可求得，再計算出的長，最后利用勾股定理計算即可得出答案．
1 / 1廣東省陽市揭東區2025年中考一模數學卷
1．（2025·揭東模擬）下面哪個數最小（　　）
A．0 B． C． D．
【答案】B
【知識點】有理數的大小比較-直接比較法
【解析】【解答】解：∵-3<-2<0<+3，
∴最小的數是-3，
故答案為：B．
【分析】根據有理數大小的比較法則：正數大于0，0大于負數，正數大于負數；兩個負數相比較，絕對值大的反而小，據此直接得到答案.
2．（2025·揭東模擬）學校會議室的圓桌如圖所示，則它的俯視圖為（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知識點】簡單組合體的三視圖
【解析】【解答】解：從上向下看，可得俯視圖為：
，
故答案為：A．
【分析】本題考查了求簡單組合體的三視圖，根據俯視圖的定義，從上往下看即可得到答案.
3．（2025·揭東模擬）下列運算中，正確的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知識點】同底數冪的乘法；單項式乘多項式；冪的乘方運算
【解析】【解答】解：A、原計算錯誤，本項不符合題意；
B、2x和3y不是同類項，不能合并，原計算錯誤，本項不符合題意；
C、原計算正確，本項符合題意；
D、原計算錯誤，本項不符合題意；
故答案為：C.
【分析】根據同底數冪的乘法法則，合并同類項，單項式乘多項式的法則，完全平方公式，分析選項即可知道答案.
4．（2025·揭東模擬）下列語句中，不是命題的是（ ）
A．相等的角是對頂角 B．兩條直線不平行
C．延長AB到C使BC=AB D．兩點之間線段最短
【答案】C
【知識點】定義、命題、定理、推論的概念
【解析】【解答】解：A.、相等的角是對頂角是命題，故A不符合題意；
B.、兩條直線不平行是命題，故B不符合題意；
C.、延長AB到C使BC=AB不是命題，故C符合題意；
D.、兩點之間線段最短是命題，故D不符合題意；
故答案為：C.
【分析】根據命題的定義：一般的，在數學中我們把用語言、符號或式子表達的，可以判斷真假的陳述句叫做命題，據此逐項進行判斷即可.
5．（2025·揭東模擬）現有一組數據：．若該組數據的中位數是，則的值為（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知識點】中位數
【解析】【解答】解：A、當時，數據按從小到大進行排列為，，，，，，
∴數據的中位數為，不符合題意；
B、當時，數據按從小到大進行排列為，，，，，，
∴數據的中位數為，不符合題意；
C、當時，數據按從小到大進行排列為，，，，，，
∴數據的中位數為，不符合題意；
D、當時，數據按從小到大進行排列為，，，，，，
∴數據的中位數為，符合題意；
故答案為：D．
【分析】本題考查了中位數，根據中位數的定義解答即可.
6．（2025·揭東模擬）使有意義的x的取值范圍在數軸上表示為（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知識點】二次根式有意義的條件；在數軸上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：∵使有意義，
∴，
解得：，
∴使有意義的x的取值范圍在數軸上表示如下圖所示：
故答案為：B．
【分析】根據二次根式有意義的條件：被開方數大于等于0，可得關于x的一元一次不等式，解不等式得x的取值范圍，再結合選項進行判斷即可.
7．（2025·揭東模擬）如圖，在中，，，點為邊的中點，，則的長為（　　）
A． B． C．2 D．4
【答案】C
【知識點】三角形內角和定理；含30°角的直角三角形；直角三角形斜邊上的中線
【解析】【解答】解：∵∠ABC=90°，∠C=60°，
∴∠A=30°，
∵點D為邊AC的中點，BD=2
∴AC=2BD=4，
∴BC=，
故選：C．
【分析】
由直角三角形斜邊上的中線的性質得出AC=2BD=4，再利用含30度角的直角三角形的性質求解即可．
8．（2025·揭東模擬）如圖，點在正方形的內部，且是等邊三角形，連接，，則（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知識點】等腰三角形的性質；等邊三角形的性質；正方形的性質
【解析】【解答】解：∵點在正方形內部，且是等邊三角形，是正方形的對角線，
∴，，
∴，
∴，
故答案為：C．
【分析】本題考查了正方形的性質、等邊三角形的性質以及等腰三角形的性質，根據正方形與等邊三角形的性質得出，，進而求得，即可求解．
9．（2025·揭東模擬）隨著生活水平的提高和環保意識的增強，小亮家購置了新能源電動汽車，這樣他乘電動汽車比乘公交車上學所需的時間少用了15分鐘，已知電動汽車的平均速度是公交車的2.5倍，小亮家到學校的距離為8千米．若設乘公交車平均每小時走x千米，則可列方程為（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知識點】分式方程的實際應用
【解析】【解答】解：15分鐘=小時
設乘公交車平均每小時走x千米，則電動汽車的平均速度是每小時走2.5x千米，
得：
故答案為：D．
【分析】設乘公交車平均每小時走x千米，則電動汽車的平均速度是每小時走2.5x千米，根據“乘電動汽車比乘公交車上學所需的時間少用了15分鐘”列出方程即可。
10．（2025·揭東模擬）觀察規律，運用你觀察到的規律解決以下問題：如圖，分別過點作軸的垂線，交的圖象于點，交直線于點．則的值為（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知識點】探索數與式的規律；二次函數圖象上點的坐標特征；一次函數圖象上點的坐標特征
【解析】【解答】解：∵過點的垂線，交的圖象于點，交直線于點；
∴令，可得：縱坐標為， 縱坐標為，
，，
，
，
，
故答案為：D．
【分析】根據題意，得，的縱坐標，從而得 ，的值，進而得的值，于是得的值 ，然后令，可得的值，再觀察題目中的規律，可知 ，據此進行計算即可．
11．（2025·揭東模擬）2024年“五一”假期，我市實現旅游總收入51.46億元．將5146000000用科學記數法表示為　 　．
【答案】5.146×109
【知識點】科學記數法表示大于10的數
【解析】【解答】解：5146000000=5.146×109，
故答案為：5.146×109．
【分析】用科學記數法表示較大的數，一般形式為a×10n，其中1≤|a|≤9，n為原數的整數位數減1，據此即可求解.
12．（2025·揭東模擬）分式方程的解為　 　．
【答案】
【知識點】去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：∵，
∴兩邊同乘，得，
∴，
解得：，
檢驗：當時，，
∴是原分式方程的解，
故答案為：．
【分析】利用去分母解分式方程的解法，先去分母將分式方程化為整式方程，然后解整式方程得到x的值，再檢驗x的值是否為分式方程的增根，即可得到答案．
13．（2025·揭東模擬）有四張正面分別標有數字，，3，5的卡片，它們除數字不同外其余全部相同．現將四張卡片背面朝上，洗勻后從中隨機一次性抽取兩張，則抽取的兩張卡片上的數字之積為一個負數的概率是　 　．
【答案】
【知識點】用列表法或樹狀圖法求概率
【解析】【解答】解：列表如下：
　 -5 -1 3 5
-5 　 （-5，-1） （-5，3） （-5，5）
-1 （-1，-5） 　 （-1，3） （-1，5）
3 （3，-5） （3，-1） 　 （3，5）
5 （5，-5） （5，-1） （5，3） 　
∴共有12種等可能結果，其中抽取的兩張卡片上的數字之積為一個負數的結果有8種，
∴抽取的兩張卡片上的數字之積為一個負數的概率為：，
故答案為：．
【分析】本題考查概率的應用，通過列表法得到所有的等可能結果數，從而得抽取的兩張卡片上的數字之積為一個負數的結果數，進而利用概率公式進行求解．
14．（2025·揭東模擬）如圖，五邊形是的內接正五邊形，是的直徑，與交于點G，則的度數是　 　．
【答案】54
【知識點】垂徑定理；圓周角定理；圓內接正多邊形；正多邊形的性質
【解析】【解答】解：如圖，連接，設與交于點，
∵五邊形是的內接正五邊形，
∴，
∵，
∴，
∵是的直徑，
∴，
∴，
∴，
故答案為：54．
【分析】連接，設與交于點，根據正五邊形的性質得，由圓周角定理得，然后根據垂徑定理得，據此即可求出的度數.
15．（2025·揭東模擬）如圖，在平面直角坐標系中，點，，將向右平移到位置，點A，O分別與點C，D對應，函數的圖象經過點C和的中點F，則k的值為　 　．
【答案】6
【知識點】平移的性質；坐標與圖形變化﹣平移；反比例函數圖象上點的坐標特征
【解析】【解答】解：∵將向右平移到位置，點A，O分別與點C，D對應，，
∴，，
∴，
∵點，，
∴中點坐標為，
設，
∴，
∵函數的圖象經過點C和點F，
∴，
解得：，
∴，
故答案為：6．
【分析】根據圖形平移的性質得，，利用中點坐標公式得中點坐標，然后設，即可表示出點C和點F的坐標，根據反比例函數上點的坐標特征得關于a的方程，解方程進行求解即可．
16．（2025·揭東模擬）解不等式組：．
【答案】解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴原不等式組的解集為：．
【知識點】解一元一次不等式組
【解析】【分析】根據不等式組的解法，先分別解兩個不等式，再由口訣“同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小無解了”得不等式組的解集.
17．（2025·揭東模擬）計算：．
【答案】解：原式
．
【知識點】分式的混合運算
【解析】【分析】本題主要考查了分式的混合計算，先把小括號內的式子進行通分化簡，同時利用完全平方公式把分式進行整理，然后再把除法變成乘法，最后進行約分化簡即可得到答案．
18．（2025·揭東模擬）如圖，在中，．
（1）作的平分線，交于點P；（要求：尺規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）
（2）在（1）的條件下，過點Р作于點D，若，求的長．
【答案】（1）解：如圖所示，點P即為所求；
（2）解：如圖，過點P作于D，
∵，
∴，
∵平分，，
∴，
在中，，
在和中，
，
∴，
∴，
設，則，
在中，有，
∴，
解得：，
∴的長為6．
【知識點】直角三角形全等的判定-HL；角平分線的性質；勾股定理；尺規作圖-作角的平分線；全等三角形中對應邊的關系
【解析】【分析】（1）根據角平分線尺規作圖的作法：以頂點為圓心畫弧，交于兩點，分別以這兩點為圓心，再以相同半徑畫弧線，得兩個弧線的交點，連接點與兩弧線交點，延長交于點，則就是這個角的平分線；
（2）過點P作于D，根據角平分線的性質得，在中，利用勾股定理得，然后證明，得到，接下來設，則，在中，利用勾股定理得關于的方程，解方程即可求解.
19．（2025·揭東模擬）某商場今年年初以每件25元的進價購進一批商品．當商品售價為40元時，三月份銷售128件，四、五月份該商品的銷售量持續走高，在售價不變的前提下，五月份的銷量達到200件．假設四、五兩個月銷售量的月平均增長率不變
（1）求四、五兩個月銷售量的月平均增長率；
（2）從六月起，商場采用降價促銷方式回饋顧客，經調查發現，該商品每降1元，銷售量增加5件，當商品降價多少元時，商場可獲利2250元？
【答案】（1）解：設四、五月份銷售量平均增長率為x，則128（1+x）2＝200
解得x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（舍去）
所以四、五月份銷售量平均增長率為25%
（2）解：設商品降價m元，則（40﹣m﹣25）（200+5m）＝2250
解得m1＝5，m2＝﹣30（舍去）
所以商品降價5元時，商場獲利2250元
【知識點】一元二次方程的實際應用-百分率問題；一元二次方程的實際應用-銷售問題
【解析】【分析】（1）首先設四、五月份銷售量平均增長率為x，然后列出方程即可得解；（2）首先設商品降價m元，然后列出方程即可得解.
20．（2025·揭東模擬）項目式學習【項目背景】為方便師生雨天出行，某校在校園內設置了4個共享雨傘放置區，總投放240把雨傘．小明發現雨天時各放置區的雨傘使用效率差別很大，有些放置區的雨傘不夠用，而有些放置區的雨傘被閑置，為探究雨傘的合理投放方案，小明和同學們展開了研究．
【數據收集】在雨天到各放置區對師生使用共享雨傘的情況，人流量進行數據收集，數據如表1，表2：
表1：師生使用共享雨傘情況的抽樣調查數據
放置區 教學樓 圖書館 飯堂 宿舍樓
經過放置區的師生人數 80 110 70 90
使用共享雨傘的人數 6 8 7 6
表2：雨天經過放置區的平均人流量
放置區 教學樓 圖書館 飯堂 宿舍樓
人流量（單位：人） 280 330 200 225
【問題解決】
（1）經過飯堂的師生使用共享雨傘的概率是多少？
（2）請設計一個合理的投放方案，應對該校師生使用共享雨傘的需求．
【答案】（1）解：由表1可知，經過飯堂的師生有70人，使用共享雨傘的有7人，
∴經過飯堂的師生使用共享雨傘的概率是；
（2）解：根據題意，得4個放置區使用共享雨傘的平均人數如下：
教學樓：（人），
圖書館：（人），
飯堂：（人），
宿舍樓：（人），
∴雨天使用共享雨傘的平均人數約為：（人），
∴教學樓：（把） ，
圖書館：（把），
飯堂：（把），
宿舍樓：（把），
∴投放方案為：教學樓63把，圖書館72把，飯堂60把，宿舍45把．
【知識點】概率公式；用樣本所占百分比估計總體數量
【解析】【分析】（1）結合表格1的數據，利用概率公式求解即可；
（2）先計算4個放置區使用共享雨傘的平均人數，從而得到雨天使用的平均人數，進而可求4個放置區投放雨傘的數量.
（1）解：由表1可知，經過飯堂的師生有70人，使用共享雨傘的有7人，
∴經過飯堂的師生使用共享雨傘的概率是．
答：經過飯堂的師生使用共享雨傘的概率是；
（2）解：4個放置區使用共享雨傘的平均人數分別是：
教學樓：
圖書館：
飯堂：
宿舍樓：
∴雨天使用共享雨傘的平均人數約為：，
∴教學樓：
圖書館：
飯堂：
宿舍樓：
∴投放方案是：教學樓63把，圖書館72把，飯堂60把，宿舍45把．
答：投放方案是：教學樓63把，圖書館72把，飯堂60把，宿舍45把．
21．（2025·揭東模擬）如圖，已知在四邊形中，，均與垂直，，為的直徑，點E為上一點，連接交于點F，連接并延長與交于點G，連接，．
（1）求證：是的切線；
（2）若當，的半徑為，求的面積．
【答案】（1）證明：∵為的直徑，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∵是的半徑，
∴是的切線；4
（2）解：如圖，過作于點，
∴，
，
∴，
∴四邊形是矩形，
，
∵的半徑為，
∴，
∵，
∴，
，
，
∵，
∴，
，
又∵，
，
，
．
【知識點】三角形的面積；切線的判定；解直角三角形—邊角關系；圓周角定理的推論
【解析】【分析】（1）根據直徑所對的圓周角是直角得，從而由三角形外角的性質得，然后推出得到，進行等量代換即可得，最后根據切線的判定得證結論；
（2）過作于點，得，易證四邊形是矩形，得，然后求出的值，解直角三角形得，從而得，進而解直角三角形得的值，最后利用三角形面積公式進行求解即可.
（1）證明：∵為的直徑，
，
，
，
，
，
，
，
∵是的半徑，
∴是的切線；
（2）解：∵，
，
∵的半徑為，
，
，
，
，
，
作于點，則，
，
，
．
22．（2025·揭東模擬）【問題情境】
如圖1，小明把三角板（）放置到矩形中，使得頂點E、F、G分別落在、、上，你發現線段與有什么數量關系？
直接寫出結論：______（不用證明）．
【變式探究】
如圖2，小明把三角板（）放置到矩形中，使得頂點E、F、G分別在邊上，若，，求的長．
【拓展應用】
如圖3，小明把三角形放置到平行四邊形中，使得頂點E、F、G分別落在邊上，若，，，求出的值．
【答案】解：【問題情境】；
【變式探究】如圖，過點作于，
四邊形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
四邊形是矩形，
，
，
；
【拓展應用】如圖，過點作，交的延長線于點，交于點，
，
，
∵四邊形是平行四邊形，
，，
，，
，
，，
，
，
，即，
，
，
，
，，
．
【知識點】平行四邊形的性質；矩形的判定與性質；解直角三角形—邊角關系；一線三等角相似模型（K字型相似模型）；相似三角形的性質-對應邊
【解析】【解答】解：【問題情境】，，
，，
四邊形是矩形，
，
，
，
，
，
，
故答案為：．
【分析】【問題情境】先根據特殊角的三角函數得出的值，再通過“一線三等角”相似模型證明，由相似三角形對應邊成比例的性質可得的值，據此即可求解；
【變式探究】過點作于，由（1）同理可證，根據相似三角形對應邊成比例的性質以及結合特殊角的三角函數得出可得的值，從而求出的值，然后再證四邊形是矩形，根據矩形的性質得，最后求的值即可；
【拓展應用】過點作，交的延長線于點，交于點，則，再結合平行四邊形以及平行線的性質推出，然后再證，推出，，，代入可得的值．
23．（2025·揭東模擬）如圖，在平面直角坐標系內，已知拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點．
（1）求該拋物線解析式和的值；
（2）如圖1，點為第一象限拋物線上的點，連接．當時，求點的坐標；
（3）如圖2，點在軸負半軸上，，點為拋物線上一點，．點分別為的邊上的動點，且，記的最小值為．求的值．
【答案】（1）解：將，代入，得，
解得：，
∴拋物線解析式為：，
∵與軸交于、兩點，
∴時，有，
解得：，，
∴，
∴，，
在中，有；
（2）解：如圖1，過點作軸，交于點，過點作軸，交軸于點，
∵，，，
∴，，，
∴，
由（1）可得，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵軸，軸，
∴，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
設點坐標為，則，，
∴，
解得：（舍去），，
∴點坐標為；
（3）解：如圖2，過點作于，且使得，連接，，，過點作于點，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴三點共線時，的值最小，最小值為的長，
∵，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
設，則，
∴，，
∴，
解得：或（舍去），
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵的最小值為，
∴在中，．
【知識點】待定系數法求二次函數解析式；解直角三角形—邊角關系；求正切值；二次函數-線段周長問題；二次函數-角度的存在性問題
【解析】【分析】（1）直接利用待定系數法得出拋物線解析式，從而得，進而利用正切的定義計算即可得出的值；
（2）過點作軸，交于點，過點作軸，交軸于點，結合的坐標解直角三角形得出，結合題意得出，然后根據平行線的性質，進行等量代換得出，證明，得出，接下來設點坐標為，則，，得出關于的方程，解方程即可求解；
（3）過點作于，且使得，連接，，，過點作于點，先求出，證明，得出，從而得出當三點共線時，的值最小，最小值為的長，然后推出，設，則，進而得出關于的方程，解方程即可求得，再計算出的長，最后利用勾股定理計算即可得出答案．
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